2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)高頻考點強化之“不等式與線性規(guī)劃”一、不等式性質(zhì)與實數(shù)大小比較不等式的基本性質(zhì)是解決各類不等關(guān)系問題的基礎(chǔ)，2025年高考對該部分的考查重點集中在性質(zhì)的靈活應(yīng)用及實數(shù)大小比較的方法創(chuàng)新上。不等式的核心性質(zhì)包括傳遞性（若a>b且b>c，則a>c）、可加性（若a>b，則a+c>b+c）、可乘性（若a>b且c>0，則ac>bc；若c<0，則ac<bc）等，這些性質(zhì)在解題中需結(jié)合具體情境判斷成立條件。例如，在處理含參不等式時，需特別注意不等號方向是否隨參數(shù)取值變化而改變。實數(shù)大小比較作為不等式的基礎(chǔ)應(yīng)用，近年來命題趨勢從傳統(tǒng)的“增設(shè)構(gòu)造法”轉(zhuǎn)向“實踐觀察法”，更注重對問題本質(zhì)的理解。常用方法包括：作差法：通過計算a-b的符號判斷大小，適用于多項式形式的代數(shù)式比較，如比較x3與x2-x+1的大小，可作差得x3-(x2-x+1)=(x-1)(x2+1)，進(jìn)而根據(jù)x與1的大小關(guān)系確定差的符號。函數(shù)單調(diào)性法：構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，如比較log?3與log?4的大小，可構(gòu)造f(x)=log?(x+1)，通過求導(dǎo)分析其在x>1時的單調(diào)性。幾何法：將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形的位置關(guān)系，例如利用兩點間距離公式比較√(a2+b2)與√[(a-1)2+(b-1)2]的大小，可視為點(a,b)到原點與到點(1,1)的距離比較。在2025年北京卷第5題中，通過定義新運算“a?b=|a-b|+min(a,b)”考查實數(shù)比較大小，需先化簡表達(dá)式再結(jié)合分類討論思想求解，體現(xiàn)了高考對創(chuàng)新情境下不等式應(yīng)用的要求。二、不等式解法專題不等式解法是高考的穩(wěn)定考點，主要涉及一元二次不等式、絕對值不等式、分式不等式及含參不等式，常與函數(shù)定義域、集合運算等知識結(jié)合考查。（一）一元二次不等式求解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的關(guān)鍵是掌握“三步法”：求根：計算判別式Δ=b2-4ac，若Δ>0，方程ax2+bx+c=0有兩不等實根x?、x?（x?<x?）；若Δ=0，有兩相等實根x?=-b/(2a)；若Δ<0，無實根。定號：根據(jù)二次項系數(shù)a的符號確定拋物線開口方向，a>0時開口向上，a<0時開口向下。寫解集：結(jié)合開口方向與根的情況寫出解集，例如a>0且Δ>0時，解集為(-∞,x?)∪(x?,+∞)。對于含參一元二次不等式，需按參數(shù)對判別式、根的大小關(guān)系的影響進(jìn)行分類討論。例如解不等式x2-(m+1)x+m<0，可先因式分解為(x-1)(x-m)<0，再分m<1、m=1、m>1三種情況討論解集。（二）絕對值不等式絕對值不等式的解法核心是“去絕對值符號”，常用方法包括：定義法：|f(x)|>g(x)等價于f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)（g(x)>0）；|f(x)|<g(x)等價于-g(x)<f(x)<g(x)（g(x)>0）。平方法：適用于兩邊非負(fù)的絕對值不等式，如|x-1|>|2x+3|，兩邊平方得(x-1)2>(2x+3)2，整理后求解一元二次不等式。幾何意義法：|x-a|表示數(shù)軸上x到a的距離，例如|x-1|+|x+2|≥5的解集可通過數(shù)軸分析，當(dāng)x≤-2或x≥3時距離之和大于等于5。2025年上海卷第18題結(jié)合分段函數(shù)考查絕對值不等式的解法，要求考生能準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像并結(jié)合圖像求解不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。（三）分式不等式與高次不等式分式不等式的求解需先轉(zhuǎn)化為整式不等式，注意分母不為零的條件。例如(x+1)/(x-2)≤0等價于(x+1)(x-2)≤0且x≠2，解集為[-1,2)。高次不等式則常用“穿針引線法”，步驟為：分解因式，將多項式化為(x-x?)(x-x?)...(x-x?)的形式；確定各根的大小順序，在數(shù)軸上標(biāo)出；從右上角開始，根據(jù)奇穿偶回原則畫曲線，確定不等式的解集。三、基本不等式求最值基本不等式（a+b≥2√(ab)，a,b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）是求最值問題的重要工具，2025年高考對其考查重點在于構(gòu)造“一正二定三相等”的條件，常見題型包括直接應(yīng)用、配湊法、常數(shù)代換法及構(gòu)造函數(shù)法。（一）直接應(yīng)用與配湊法當(dāng)已知條件中兩個變量的和或積為定值時，可直接應(yīng)用基本不等式。例如，若正數(shù)x,y滿足x+2y=3，則xy=(x·2y)/2≤(x+2y)2/8=9/8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=3/2時取等號。配湊法適用于解析式不滿足“定值”條件的情況，如求y=x+1/(x-1)（x>1）的最小值，可變形為y=(x-1)+1/(x-1)+1≥2√[(x-1)·1/(x-1)]+1=3，當(dāng)x=2時取等號。（二）常數(shù)代換法在“已知ax+by=1（a,b>0），求1/x+1/y最小值”的典型問題中，可將1替換為ax+by，得(ax+by)(1/x+1/y)=a+b+ay/x+bx/y≥a+b+2√(ab)，當(dāng)ay/x=bx/y時取等號。2025年天津卷第15題即考查此類問題：已知3a+2b=1（a,b>0），求2/a+3/b的最小值，通過常數(shù)代換可得(3a+2b)(2/a+3/b)=6+9a/b+4b/a+6=12+2√(9a/b·4b/a)=24，當(dāng)a=1/6，b=1/4時取等號。（三）構(gòu)造函數(shù)與導(dǎo)數(shù)法對于無法直接應(yīng)用基本不等式的問題，可構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值。例如求y=(x2+3)/√(x2+2)的最小值，設(shè)t=√(x2+2)≥√2，則y=t+1/t，求導(dǎo)得y’=1-1/t2，當(dāng)t>1時y’>0，故t=√2時y取最小值√2+1/√2=3√2/2。需注意，此時不能直接用基本不等式t+1/t≥2，因為等號成立條件t=1不在定義域內(nèi)。四、線性規(guī)劃問題盡管新課標(biāo)中刪除了單純的線性規(guī)劃證明題，但線性規(guī)劃作為不等式的應(yīng)用分支，在2025年高考中仍以“二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題”形式穩(wěn)定出現(xiàn)，重點考查可行域確定、目標(biāo)函數(shù)最值求解及實際應(yīng)用。（一）可行域的確定二元一次不等式Ax+By+C≥0表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)的平面區(qū)域，判斷方法為“特殊點法”：當(dāng)C≠0時，取原點(0,0)代入，若滿足不等式則原點所在側(cè)為區(qū)域；當(dāng)C=0時，取(1,0)等特殊點。例如不等式2x-y+1≥0，代入原點得1≥0成立，故區(qū)域為直線2x-y+1=0的右下方（含直線）。不等式組表示的可行域是各不等式區(qū)域的公共部分，需準(zhǔn)確畫出邊界線并區(qū)分實線（含等號）與虛線（不含等號）。（二）目標(biāo)函數(shù)的類型及求解線性目標(biāo)函數(shù)：z=ax+by（a,b≠0），其幾何意義為直線ax+by-z=0在y軸上的截距（當(dāng)b>0時，截距越大z越大；當(dāng)b<0時，截距越大z越?。Ｇ蠼獠襟E為：畫出可行域；平移目標(biāo)函數(shù)直線，確定最優(yōu)解（通常在可行域頂點處取得）；代入頂點坐標(biāo)計算z的最值。2025年浙江卷第3題即為此類：約束條件為x-y≥0，x+y-3≥0，x≤2，目標(biāo)函數(shù)z=x+2y?？尚杏驗槿切螀^(qū)域，頂點為(1.5,1.5)、(2,1)、(2,2)，代入得z最大值為2+2×2=6，最小值為1.5+2×1.5=4.5。非線性目標(biāo)函數(shù)：常見類型包括：斜率型：z=(y-b)/(x-a)，表示可行域內(nèi)點(x,y)與定點(a,b)連線的斜率，如z=y/(x+1)表示點(x,y)與(-1,0)連線的斜率；距離型：z=(x-a)2+(y-b)2，表示點(x,y)與(a,b)距離的平方，如z=x2+y2表示點(x,y)到原點距離的平方；截距型變形：z=|ax+by+c|，可轉(zhuǎn)化為z/√(a2+b2)表示點(x,y)到直線ax+by+c=0的距離的√(a2+b2)倍。（三）含參線性規(guī)劃與實際應(yīng)用含參線性規(guī)劃問題需分類討論參數(shù)對可行域或目標(biāo)函數(shù)的影響。例如約束條件中含參數(shù)t：x≥0，y≥0，x+y≤t，目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為10，則需先確定t>0，可行域為三角形，頂點(0,0)、(t,0)、(0,t)，代入得z最大值在(0,t)處取得，即2t=10，解得t=5。實際應(yīng)用題中，線性規(guī)劃用于解決資源分配、生產(chǎn)安排等優(yōu)化問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型：設(shè)變量、列約束條件、寫目標(biāo)函數(shù)。例如某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲需A原料3kg/件、B原料2kg/件，利潤50元/件；乙需A原料1kg/件、B原料4kg/件，利潤30元/件?，F(xiàn)有A原料12kg，B原料16kg，設(shè)生產(chǎn)甲x件、乙y件，則約束條件為3x+y≤12，2x+4y≤16，x,y≥0且為整數(shù)，目標(biāo)函數(shù)z=50x+30y，通過線性規(guī)劃可求得最優(yōu)解x=3，y=3，最大利潤240元。五、不等式與線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用不等式與線性規(guī)劃常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等知識結(jié)合，形成綜合性考題。例如2025年課標(biāo)Ⅰ卷第11題：已知函數(shù)f(θ)=3sinθ+cosθ，角θ終邊經(jīng)過可行域Ω：x+y≥1，x≤1，y≤1上的點P(x,y)，求f(θ)的最值。首先確定可行域為三角形區(qū)域，頂點(1,0)、(0,1)、(1,1)，則θ的范圍為[π/4,π/2]，f(θ)=√10sin(θ+φ)（其中tanφ=1/3），當(dāng)θ=π/2時，f(θ)=3sinπ/2+cosπ/2=3；當(dāng)θ=π/4時，f(θ)=3×√2/2+√2/2=2√2，故最大值為3，最小值為2√2。另一類綜合題型是含參不等式恒成立問題，如“對任意x∈[1,2]，x2-ax+1≥0恒成立，求a的取值范圍”，可轉(zhuǎn)化為a≤x+1/x在[1,2]上恒成立，由基本不等式知x+1/x≥2，當(dāng)x=1時取等號，故a≤2。此類問題需注意區(qū)分“恒成立”與“存在性”：恒成立等價于a≤f(x)min，存在性等價于a≤f(x)max。在解題過程中，需特別關(guān)注以下易錯點：基本不等式忽視“一正二定三相等”條件導(dǎo)致最值錯誤；線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)斜率與邊界線斜率相近時易混淆最優(yōu)解；含參問題分類討論不完整導(dǎo)致漏解。建議通過典型例題歸納解題模型，如“已知不等式解集求參數(shù)”模型（利用根與系數(shù)關(guān)系）、“可行域含參數(shù)求最值”模型（動態(tài)分析