一.總知識(shí)點(diǎn)

（一）幾何知識(shí)點(diǎn)

11.等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩人底角相等（簡(jiǎn)單敘述為：等邊對(duì)等

角）

2.等腰三角形性質(zhì)定理的推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底

J邊上的高互相重合.（也稱：三線合一）

三角研3,等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的二角形是等腰二角形，簡(jiǎn)單敘述為：等

角對(duì)等邊.

4.等邊三角形的判定定理：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

15.判定一個(gè)三角形是等邊三角形的方法有三種：分別是

證明三角形的三條邊相等；

證明三角形的三個(gè)內(nèi)角相等；

證明三角形是等腰三角形，其中有一個(gè)角是60°.

廠6.直角三角形的定理:在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它

所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

直角I7.直角三角形勾股定理：直角三角形兩條直角邊（a力）的平方和等于斜邊

三角形一W的平方.即aa+bj=C2.

8.勾股定理的逆定理：如果三角形兩直角邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是

I直角三角形.

9.線段垂直平分線的定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

10.中垂線的逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

11.三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離

相等，此點(diǎn)為三角形的外心。

12三角形的內(nèi)心：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。

13.三角形的重心：三條中線的交點(diǎn)。性質(zhì)：⑴重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距

離之比為2：1。⑵重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。⑶重心到三

角形3個(gè)頂點(diǎn)距離平方的和最小。⑷在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的

算術(shù)平均數(shù)。⑸三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)

14.角平分線率理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

《逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線

I上。

15.證明三角形全等的方法：（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（SSS）（2）兩邊及其夾

角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（SAS）（3）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（ASA）

⑷兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

16.全等三角形的性質(zhì)定理：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。

線段：有兩個(gè)端點(diǎn)

17.，線：將線段向一個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就形成了射線，有一個(gè)端點(diǎn)。

直線［將線段向兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就形成了直線，沒(méi)有端點(diǎn)。

18.基本定理：⑴兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。⑵經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。（3）同

角或等角的補(bǔ)角相等⑷同角或等角的余角相等。⑸過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂

宜。（6）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。⑺三角形兩邊的和大

于第三邊；三角形兩邊的差小于第三邊。⑻三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。⑼兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做

這兩點(diǎn)之間的距離。

19.平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線

上截得的線段也相等。

推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰

推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

20.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半I二空士，S=lh

2

21.平行定理1：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

平行定理2：如果兩條直線都與笫三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

平行判定方法1：同位角相等，兩直線平行。

平行判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

平行判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

22.平行線性質(zhì)定理1：兩直線平行，同位角相等。

平行線性質(zhì)定理2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

平行線性質(zhì)定理3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

23.三角形的三邊大小關(guān)系：在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

24.平行四邊形

⑴定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。

⑵性質(zhì)：①平行四邊形的對(duì)邊相等；②對(duì)角相等；③對(duì)角線互相平分。

25.平行四邊形的判定方法：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊

分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）兩條對(duì)角線互相立分的四邊形是平行四邊形：（4）一

組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

26.菱形

⑴定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

⑵性質(zhì)：①菱形的四條邊都相等；②兩條對(duì)角線互相垂直平分；③每一條對(duì)角線平分一組對(duì)

八ab

角。④面積公式：S二k即對(duì)角線乘積的一半。

2

27.菱形的判定方法：Q）一組鄰邊相等的平行四邊是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四

邊形是菱形；G）四條邊都相等的四邊形是菱形。

28.矩形的定義及其性質(zhì)：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形。矩形的對(duì)角線相等，四

個(gè)角都是直角。

29.矩形的判定方法：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

30.正方形定義及其性質(zhì)：一組鄰邊相等的矩形是正方形。（1）正方形的四條邊都相等；

正方形的四個(gè)內(nèi)角都相等切都等于90度；8）正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分；（4）

正方形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（5）正方形的每組對(duì)邊互相平行。（6）既是中心對(duì)稱

圖形又是軸對(duì)稱圖形。

31.正方形的判定方法：

r（1）對(duì)角線相等的菱形是正方形；

先證明菱形j（2）四邊均相等，對(duì)角線相等的四邊形是正方形；

1（3）有一個(gè)角為直角的菱形是正方形；

「（4）一組鄰邊相等的矩形是正方形；

\（5）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；

先證明矩形］（6）一組鄰邊相等，有三個(gè)角是直角的四邊形是正方；

（7）一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方；

（8）對(duì)角線互相垂直，平分且相等的四邊形是正方形。

32.梯形的定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的里邊形是梯形。

33.等腰梯形⑴定義兩條腰相等的梯形是等腰梯形。⑵性質(zhì)：①等腰梯形同一底上的兩

個(gè)內(nèi)角相等；②對(duì)角線相等。

34.等腰梯形的判定方法：⑴同一底.卜.的兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形。⑵對(duì)角線相等的

梯形是等腰梯形。

35.直角梯形的定義：一條腰和底垂直的梯形是直角梯形。

36.多邊形的定義及其性質(zhì)：①在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相

連組成的封閉圖形稱為多邊形。②在平面內(nèi)，內(nèi)角和邊都相等的多邊形為正多邊形。③外角：

多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角。@n邊形的內(nèi)

角和等于（n-2）1800,外角和為360度。⑤n邊形的對(duì)角線公式：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以

引出（n-3）條對(duì)角線；n邊形共有?"'一"條對(duì)角線。

37.圓

⑴定義：在平面上到定點(diǎn)的距離等「定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)

叫做半徑。

⑵與圓相關(guān)的概念：

①圓?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧。②弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓

心的弦稱為直徑。③弦心距：圓心到弦的距離。

⑶與圓有關(guān)的角

①圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。

同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦用等.

②圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：I在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中

相等圓周角所對(duì)的弧也相等.

II半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

m一條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于這條弧度數(shù)的一半.

③弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

弦切角的性質(zhì)：I弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角，等于它所夾的弧所對(duì)的圓心

角的一半。

n兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。

④圓心角與圓周角的關(guān)系：在同圓或等圓中，同弧或同弦所對(duì)的圓周角等「二分之

一的圓心角。

⑷圓的切線

①定義：平面幾何中，將和圓只有一個(gè)公共交點(diǎn)的直線叫做圓的切線。

②性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.

③判定定理：I經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。n與圓有

惟一公共點(diǎn)的直線是圓的切線；ni若圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，則該直線是圓的

切線；

④切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等圓心和這一點(diǎn)的連線平分

兩條切線的夾角。

⑤相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引

兩條弦，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）。

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的?半是它分直校所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。

⑥切割弦定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)

的比例中項(xiàng)

幾何語(yǔ)言：如圖，PT切圓。于點(diǎn)T,PBA是圓。的割線，則有

PT2=PA?PB

推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積

相等。

幾何語(yǔ)言：PBAPDC是圓0的割線，則有：PD?PC=PB?PA.

⑸與圓有關(guān)性質(zhì)

①垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦.并且平分弦所對(duì)的兩條弧

推論一:平分弦（不是直徑）的直徑垂直與這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩段弧

推論二：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分這條弦所對(duì)的弧

推論三:平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的另一條弧

推論四：在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等。

②圓心角、弧、弦心距、弦之間的關(guān)系：

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弧、兩條弦心距中有一組量相等，那

么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。

⑹與圓有關(guān)的三種位置關(guān)系

①點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系是由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的數(shù)量大小關(guān)系決定的，

即：I點(diǎn)在圓外今d>r

H點(diǎn)在圓上U'd二r

Ill點(diǎn)在圓內(nèi)三'dVr

②直線與圓的位置關(guān)系：

r相交

直線和圓的位置關(guān)系《相切

I相離

判斷直線和圓的位置關(guān)系的方法：

方法1:從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷

當(dāng)直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)直線和圓相交；

當(dāng)直線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線和圓相切；

當(dāng)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，直線和圓相離.

方法2:比較圓心到直線的距離d與半徑r的大小

當(dāng)dVr時(shí)，直線和圓相交；

當(dāng)d=r時(shí),直線和圓相切;

當(dāng)d>r時(shí)，直線和圓相離.

③圓與圓的位置關(guān)系：

方法1：比較兩圓的半徑與圓心距的大小

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,兩圓心之間的距離為d

I當(dāng)d>R+r時(shí)，兩圓外離；

II當(dāng)€1=1^+1,時(shí)，兩圓外切；

III當(dāng)R-rVdVR+r時(shí)，兩圓相交；

N當(dāng)d=R-r時(shí)(R>r)兩圓內(nèi)切；

V當(dāng)dVR-r(R>r)時(shí)，兩圓內(nèi)含。

反之也成立。

方法2：從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部還是內(nèi)部來(lái)考慮，兩個(gè)圓的位

置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。

I外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的每一點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部；

II外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部；

111相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，一個(gè)圓上的點(diǎn)有的在另一個(gè)圓的外部，有的在另一個(gè)

圓的內(nèi)部;

IV內(nèi)切：兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外，上的點(diǎn)在。(L的內(nèi)部；

V內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，。。,上的點(diǎn)都在。的內(nèi)部.

⑺弧長(zhǎng)與扇形的面積

〃兀r

在半徑為R的圓中，n。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)公式:I=___

180,

onnR

3-__.2

扇形360

如果扇形的半徑為電圓心角為n。的扇形面積公式：

S=11R

扇形2

或是.(1是扇形的弧長(zhǎng)，R是扇形的半徑)

⑻圓錐的側(cè)面積：

①圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形.

②設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為1,側(cè)面展開(kāi)圖中扇形的圓心角度數(shù)為n,那么圓錐

n

,3607r1

的側(cè)面積為：兀rI或.

③圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，其半徑等于母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng).設(shè)圓

錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為I,則它的側(cè)面積：S=TTri,S=S+S=TTr(I+r).

H全制攻

⑼確定圓的條件：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

38.相似圖形

⑴比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條

線段叫成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。

⑵比例的基本性質(zhì)：如果：=那么ad=be,即內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積;

hd

ac八a±bc士d

⑶合比性質(zhì)：T=:今^—二三一，即前后項(xiàng)和比后項(xiàng)，比值不變叫合比。

bdba

⑷等比性質(zhì)：:二:二…二.+…+”/0)一:=；：

bdnh+d+...+nb

⑸黃金分割：若線段AB上的一點(diǎn)P,把線段AB分成AP、BP兩部分，并且使竺二<C,則

APAR

稱線段AB被C黃金分割。

(6)相似多邊形：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多

邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。

相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形性質(zhì)定理1：相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比。

相似多邊形性質(zhì)定理2：相似多邊形對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比等于相似比。

相似多邊形性質(zhì)定理3：相似多邊形中的對(duì)應(yīng)三角形相似，其相似比等于相似多邊形

的相似比。

相似多邊形性質(zhì)定理4：相似多邊形面積的比等于相似比的平方。

相似多邊形性質(zhì)定理5：若相似比為1,則全等

⑺相似三角形：三角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。

①相似三角形的性質(zhì)：

I相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例：

n相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切阿

半徑等）的比等于相似比。

in相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

N相似三角形面積的比等于相似比的平方。

v相似三角形內(nèi)，外切圓直徑比和周長(zhǎng)比都和相似匕相同，內(nèi)，外切圓面積比是相似比

的平方

②相似三角形的判定方法：

I兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

H三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；

Ill兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。

⑻平行線分線段成比例定理：三條平行線或兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

⑼基本定理：⑴如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，

那么這條直線平行于三角形的第三邊。

⑵平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三

邊對(duì)應(yīng)成比例

⑩基本點(diǎn)：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

QD直角三角形相似判定方法：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角

形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

39.視圖與投影

①常見(jiàn)的幾何體的三視圖的畫(huà)法：

I平行投影：太陽(yáng)光線可以看成平行光線，像這樣的光線形成的投影稱為平行投影.

II中心投影：探照燈、手電簡(jiǎn)、臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線形

成的投影稱為中心投影。

in視點(diǎn)：眼睛的位置稱為視點(diǎn).視線：由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線.盲區(qū)：眼睛看不到的地

方稱為盲區(qū).稱為中心投影。

40.軸對(duì)稱圖形

(1)軸對(duì)稱圖形的定義：在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。這時(shí)，我們也說(shuō)

這個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。

(2)軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過(guò)去，如果它能與另一個(gè)圖形重合，

那么稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱。

(3)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：①對(duì)稱軸是一條直線。②在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸兩側(cè)的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等。③在軸對(duì)稱圖形中，沿對(duì)稱軸將它對(duì)折，左右兩邊完全

重合。④如果兩個(gè)圖形關(guān)廣某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的

垂直平分線。⑤關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形C

(4)軸對(duì)稱的判定方法：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同-條直線垂直平分，那么這兩

個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

⑸常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形、正方形、等邊三角形、等腰梯形、圓和正多邊

形、矩形、角、五角星

41.中心對(duì)稱圖形

⑴中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互

相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。

⑵中心對(duì)稱：在平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與另一個(gè)圖形重

合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180。

后重合的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

⑶中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)：①在中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)的線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱

中心且被對(duì)稱中心平分。②成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等,

⑷中心對(duì)稱的判定方法：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，

那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。

⑸常見(jiàn)的中心對(duì)稱圖形：線段、矩形、菱形、正方形、平行四邊形、圓、邊數(shù)為偶數(shù)

的正多邊形。

42.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形：正方形、圓、矩形、菱形、邊數(shù)為偶數(shù)的正

多邊形。

43.圖形的平移

（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。

（2）性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移前后新舊兩圖形全

等。②經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。

44.圖形的旋轉(zhuǎn)

（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)

稱為旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心。

（2）性質(zhì)：①經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度：②

任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角；③對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

（二）實(shí)數(shù)

1.實(shí)數(shù)的分類

r正有理數(shù)：比o大的數(shù)。

「正實(shí)數(shù)＜

I正無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)的正的小數(shù)c

實(shí)數(shù)（零

、J負(fù)有理數(shù)：在正數(shù)前面加“-”的數(shù)；比0小的數(shù)。

負(fù)實(shí)數(shù)［負(fù)無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)的負(fù)的小數(shù)C

2.實(shí)數(shù)大小的比較

（1）在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)。

（2）正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零；兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的較小。

3.相反數(shù)

相反數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)。設(shè)a與

b互為相反數(shù)，則有a+b=。

4.絕對(duì)值：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值。①正數(shù)的絕對(duì)值

是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)：0的絕對(duì)值是0.②任何數(shù)的絕對(duì)值為非負(fù)數(shù)，即

|a>0Q為任意實(shí)數(shù)）

5.實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則：

（1）加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；②異號(hào)兩數(shù)相加，絕

對(duì)值相等時(shí)和為0;絕對(duì)值不等時(shí)，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小

的絕對(duì)值。

（2）減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

（3）乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相乘。

（4）除法法則：①除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。（注意：0沒(méi)有倒數(shù)）②兩數(shù)相

除，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對(duì)值相除。③0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都等于

0。

6.實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，就是說(shuō)所有的實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸

上的點(diǎn)來(lái)表示；反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)

7.有理數(shù)的乘方：求n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫做殘方，乘方的結(jié)果稱為塞，a叫做

底數(shù)，n叫做指數(shù)

8.平方根：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即X2二a,Q20）,那么這個(gè)數(shù)x叫做a的平方

根。如果此x為正數(shù)，則x為a的算術(shù)平方根。一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根；0只有一個(gè)平

方根，是0本身：負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

9.開(kāi)平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算。開(kāi)平方和平方運(yùn)算是互逆運(yùn)算。

a（a>0）

<a2=Io（a=0）

-a（a<，）

10.最簡(jiǎn)二次根式：⑴被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；⑵被開(kāi)方數(shù)中不含有能

開(kāi)的盡的因式：⑶被開(kāi)方數(shù)不含分母。

分母有理化的方法：⑴如果分母是單項(xiàng)式，則分子分母同時(shí)乘以此分母；⑵如果分母

是多項(xiàng)式，則采用平方差公式。

11.立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,即X3二a,那么這個(gè)數(shù)x叫做a的立方根，正

數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

12.開(kāi)立方：求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算。開(kāi)立方與立方運(yùn)算是互逆運(yùn)算。

13.科學(xué)計(jì)數(shù)法和有效數(shù)字

①科學(xué)計(jì)數(shù)法：將較大的正數(shù)寫(xiě)成ax10n的形式.其中1<a<10,指數(shù)n為原數(shù)的整

數(shù)位數(shù)減1；將小于1的正數(shù)表示為aXWn的形式，其中14a<10,指數(shù)n為第一位

有效數(shù)字前零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

②有效數(shù)字：對(duì)于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)為止，

所有的數(shù)字都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

（三）代數(shù)式

1.單項(xiàng)式：①數(shù)與字母的積稱為單項(xiàng)式。單獨(dú)的數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。②所有字母的

指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。③單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)稱為單項(xiàng)式的系數(shù)

2.多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和。次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)為此多項(xiàng)式的次數(shù)。

3.同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)。

4.合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)為合并同類項(xiàng)。在合并同類項(xiàng)時(shí)，我們把同類項(xiàng)

的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變（用于整式的加減運(yùn)算）。

5.代數(shù)式在運(yùn)算時(shí)去括號(hào)的法則：①括號(hào)前是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去

掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都不改變；②括號(hào)前是“一”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”

號(hào)去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要改變。

6.同底數(shù)塞的乘除法法則：①同底數(shù)暴相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加：am?an二a的②

同底數(shù)暴相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減：am4-an=a-n

幕的乘方和積的乘方：①基的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘（am'n=amn②積的乘方：各

因式分別乘方二anbn③分式乘方：分子分母分別乘方：一=一

Jan

7.第函數(shù)和指數(shù)函數(shù)

（1）幕函數(shù)：底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)；如：X2

（2）指數(shù)函數(shù)：底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是變量。如：2x

（3）負(fù)指數(shù)品：底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是負(fù)整數(shù)。如：2-n

注意：任何不為零的數(shù)的-n（n為正整數(shù)）次幕等于這個(gè)數(shù)n次哥的倒數(shù)

即a-n二J_QHO）

an

8.整式的乘法法則：①單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相

同字母的幕分別相乘,其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.

②單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每

一項(xiàng),再把所得的積相加.

③多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式

每一項(xiàng)，再把所的積相加.

9.整式的除法法則：①單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)基分別相除后，作為商的因式；對(duì)于

只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式.

②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式,再把所得的商相加

10.平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差。即（a+b）Q七）二a2比2

11.完全平方公式：兩數(shù)和或差平方，展開(kāi)式它共三項(xiàng)。首平方與尾平方，首尾二倍中間放。

即（a±b）2二a2±2ab+te

12.立方和公式：a3+ba=（a+PK-ab+b2）；

立方差公式：a3-b3=（a-b）K+ab+b2）

A

13.分式的定義和性質(zhì)：⑴整式A除以整式B,可以表示成一形式，如果除式B中含有字母，

B

那么A（BW0）稱為分式。⑵當(dāng)分母的值等于零時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)分子為零，分母不為零

B

時(shí)，分式的值為零。（3）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不

等于零的整式，分式的值不變。

14.（1）分式通分時(shí)最簡(jiǎn)公分母的確定方法：①算式中只有一項(xiàng)是分式，最簡(jiǎn)公分母就是

這個(gè)分式的分母。②算式中有幾個(gè)分式相加減，分母互為相反數(shù)，最簡(jiǎn)公分母可取其中任何

一個(gè)分母③當(dāng)算式中的幾個(gè)分母都是單項(xiàng)式時(shí)，最簡(jiǎn)公分母則取系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字

母的最高次第的乘積。④當(dāng)算式中分式的幾個(gè)分母都是多項(xiàng)式時(shí)，則先把所有分母進(jìn)行因式

分解，最簡(jiǎn)公分母則是每個(gè)因式的最高次事的乘積。⑤當(dāng)算式中分式的分子與分母都有公因

式時(shí)，可以先把這個(gè)分式約分，再根據(jù)情況確定最簡(jiǎn)公分母。

（2）分式約分時(shí)分子、分母公因式的判斷方法：①當(dāng)分子、分母都是單項(xiàng)式時(shí)，找出

分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低次哥，把系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最

低次幕的積作為分子、分母的公因式。②當(dāng)分子、分母含有多項(xiàng)式，找公因式時(shí)，首先將各

多項(xiàng)式分解因式，然后找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同因式的最低次齊，把系數(shù)的最

大公約數(shù)和相同因式的最低次第的積作為分子、分母的公因式。

15.分式的加減法則：（1）問(wèn)分母的分式相加減，分母不變，分子相加減：（2）異分母的

分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算。

16.分式的乘除法則：（1）兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的

積作為積的分母（2）兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。

（四）函數(shù)

1.直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（X,y）,則有：

（i）x>0,y>0今點(diǎn)A在第一象限；

（2）x<0,y>0今點(diǎn)A在第二象限；

（3）x<0,y<0今點(diǎn)A在第三象限；

⑷x>0,y<0今點(diǎn)A在第四象限。

2..一次函數(shù)

（D定義：把形如y=kx+b（kwo）,這樣的函數(shù)稱為y是x的一次函數(shù)。當(dāng)b=o時(shí)，一

次函數(shù)y=kx也叫做正比例函數(shù)。

（2）性質(zhì)：⑴y=kx+b必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，,

⑵在一次函數(shù)y=kx+b中，當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y的

值隨x值的增大而減小。

（3）圖像：⑴一次函數(shù)的圖像是過(guò)6,方如兩點(diǎn)的一條直線；

（2）函數(shù)圖像與k、b的符號(hào)關(guān)系

①k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)一三象限；

②k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)二四象限；

③b>0時(shí)，圖像是經(jīng)過(guò)y軸的上半軸；

④b<0時(shí)，圖像是經(jīng)過(guò)y軸的下半軸。

3.反比例函數(shù)

k

(1)定義：把形如y二(kw0)這樣的函數(shù)稱為y是關(guān)于x的反比例函數(shù)。反比例函數(shù)

X

的另一種形式：y=kx-i(k^6)0

(2)性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨X值的增大而減?。寒?dāng)k<0時(shí)，y的隨x值的增大而增

大。

(3)圖像：反比例函數(shù)的圖像是兩條雙曲線，當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)一、三象限；當(dāng)k<0

時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)二、四象限。

圖象在坐

k的符

標(biāo)系中的圖象圖象特征增減性

號(hào)

位置

反比例函數(shù)圖像位置在每個(gè)象限

在每個(gè)象限內(nèi)從

一、三象J內(nèi)，y隨x增

k>0k

y=-x左到右下降

X(k#0)限1r大而減小

在每個(gè)象限

二、四象在每個(gè)象限內(nèi)從

k<0內(nèi)y隨x增大

限左到右上升

尸而增大

（4）反比例函數(shù)中N的幾何意義：

k

如果過(guò)反比例函數(shù)y二-圖象上任意一點(diǎn)P分別作X軸和y軸的垂線，那么它們與兩

X

Iki

條坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積就是

（5）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的比較：

一次函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx+b(k#0)y=k

X

自變量取值范圍全體實(shí)數(shù)xWO的實(shí)數(shù)

函數(shù)值取值范圍全體實(shí)數(shù)yWO的實(shí)數(shù)

函數(shù)圖象直線雙曲線

解析式的確定兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

k>0y隨x增大而增大同一象限內(nèi)y隨x增大而減小

增減性

K<0y隨x增大而減小同一象限內(nèi)y隨x增大而增大

圖象分k>0必過(guò)一、三象限分布在一、三象限

布情況

K<0必過(guò)二、四象限分布在二、四象限

4..二次函數(shù)

（D定義：形如y=ax2+bx+cQW0）的函數(shù)稱為二次函數(shù)。

（2）圖像與性質(zhì)：

①二次函數(shù)的圖像是對(duì).稱軸平行于y軸（或與y軸重合）的一條拋物線：對(duì)稱軸是

b（b4。。一。2）（\

x=--，頂點(diǎn)坐標(biāo)一丁,——----,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)1。，C）。

2a（2.4aJ

b44c—/?2

②當(dāng)a>0M,拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)x二一-時(shí)，函數(shù)值能取到最小值為一--

2a4。

在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大。當(dāng)a<0時(shí)，

b4〃c-bi

拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)X二一丁時(shí)，函數(shù)值能取到最大值為一;一，在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨

2a4。

x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小。

③拋物線y二ax2+bx+c<aW0x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則一元二次方程

ax2+bx+c=0(aW0)有兩個(gè)不等的實(shí)根；拋物線y=axa+bx+c(aW0)與x軸只有一

個(gè)公共點(diǎn)，則一元二次方程ax2+bx+c=0G,0)有兩個(gè)相等的實(shí)根；拋物線

y=ax2+bx+c(aW0)與x軸無(wú)交點(diǎn)，則一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)無(wú)實(shí)根

(3)二次函數(shù)的其他3種形式：

①y二ax2

I.二次函數(shù)y二ax2的圖象是一條拋物線，它的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,

0).

II.拋物線的開(kāi)口方向由a的符號(hào)決定，當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，拋物線在x軸上方(頂點(diǎn)在

x軸上)，并向上無(wú)限延伸；當(dāng)aVO時(shí)，開(kāi)口向下，拋物線在x軸下方(頂點(diǎn)在x軸上)并

向下無(wú)限延伸。

開(kāi)口頂點(diǎn)對(duì)稱最大(小)

函數(shù)函數(shù)變化

方向坐標(biāo)軸值

a>(0,0x>C時(shí)，y隨x增大而增大當(dāng)代時(shí)，

向I：y軸

y=ax2y=0

0)x<C時(shí)，y隨x增大而減小ML

a<(0,0x>0時(shí)，y隨x增大而減小當(dāng)x=0時(shí)

向下y軸

y=ax2x<C時(shí)，y隨x增大而增大y=0

0)最大

②y=ax2+k

二次函數(shù)y二ax§|卜曲圖象是由函數(shù)y;ax?的圖象上、下平移得到的，當(dāng)k>o時(shí)，拋物

線y=ax2向上平移一「柏了’個(gè)單位得到y(tǒng)=ax2+k的圖象；當(dāng)k<0時(shí)，拋物絲y=ax2向下平移|k

I個(gè)單位得到y(tǒng)=ax2+k的圖象.

注意：拋物組,乘y4k與拋物絲丫=&蜉形狀完全相同，開(kāi)口方向相同，對(duì)稱軸都是y軸，

但頂點(diǎn)位置不同/日足琳J(rèn)頂點(diǎn)是(0,0),y=ax?+k的頂點(diǎn)是(0,k),,頂點(diǎn)在y軸二.

(3)y=a(X-h)2

二次函數(shù)y=a(x-h)，的圖象可由拋物線y=ax2向左(或向右)平移向得到，當(dāng)h>0時(shí)，

拋物線y=ax2向右平稱|h|個(gè)單位，得到y(tǒng)=a(x—h)2的圖象：當(dāng)h<0時(shí)，拋物線y=ax^

向左平移Ih|個(gè)單位得到y(tǒng)=a(x—h)2的圖象.

注意：拋物線y=a(x-h)2與拋物線y=ax2的形狀完全相同，開(kāi)口相同只是在坐標(biāo)系中

的位置不同，拋物線y=a(x—h)2的對(duì)稱軸是x=h,頂點(diǎn)是(h,0),頂點(diǎn)在x軸上.

@y=a(x-h)2+k

I.二次函數(shù)y二a(x-h)2+k(aWO)與二次函數(shù)產(chǎn)ax2(aWO)的圖象都是拋物線，在

a相等的情況下，形狀相同，只是位置不同。拋物線y=a(x-h)2+k可由拋物線y=ax2向

上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個(gè)單位得到拋物線尸ax2+k,再把拋物線y=ax?+k向

左(h<0)或向右(h>0)平移Ih|個(gè)單位，就得到拋物線y=a(x-h)2+k.

II.拋物線y=a(x—h)2+k(a=#=O)的特點(diǎn):

i.a>0時(shí)開(kāi)口向上，aVO的開(kāi)口向下；

ii.對(duì)稱軸是直線x二h；

道.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k).

(五)方程(組)與不等式(組)

1.一元一次方程

(1)定義：在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1(次)的整式

方程為一元一次方程。

(2)解一元一次方程的步驟：

①去分母；方程兩邊的每一項(xiàng)都要乘以各分母的最小公倍數(shù)，注意事項(xiàng)；不要漏乘不含分母

的項(xiàng)；去分母后，若分子是多項(xiàng)式，分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用，應(yīng)該將分子添上括號(hào)；

②去括號(hào)：如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，去括號(hào)后，原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)要改變符號(hào)；如果

括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)時(shí)，去括號(hào)后，原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)不變號(hào)：乘數(shù)與括號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式相乘

時(shí)，乘數(shù)應(yīng)乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)，不要漏乘。

③移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的?邊，常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的另一邊。注意事項(xiàng)：移項(xiàng)時(shí)

所要移的項(xiàng)要變號(hào)，不移的項(xiàng)不變號(hào)；不要漏項(xiàng)

④合并同類項(xiàng)：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。

⑤系數(shù)化為1：方程的兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)。

2.二元一次方程(組)

(1)二元一次方程

①定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程為二元一次

方程。

②二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的一組值，口L做二

元一次方程的解。注意：一般地，二元一次方程的解有無(wú)數(shù)個(gè)，且每一個(gè)解都是指一對(duì)數(shù)值，

而不是指單獨(dú)的一個(gè)未知數(shù)的值；二元一次方程的一個(gè)解是指使方程左右兩邊相等的一對(duì)未

知數(shù)的值；反過(guò)來(lái)，如果?組數(shù)值能使二元?次方程左石兩邊相等，那么這一組數(shù)值就是方

程的解；

(2)二元一次方程組

①定義：由兩個(gè)二元一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。其實(shí)，只要

兩個(gè)結(jié)合在一起的共含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程也可稱為二元一次方程。

②二元一次方程組的解：二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的

解。

（3）二元一次方程組的解法

①代入消元法：將方程組中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出

來(lái)，代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，最后求得方程組的解.這

種解方程組的方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法.

代入法解二元一次方程組的步驟：I選取一個(gè)系數(shù)較簡(jiǎn)單的二元一次方程變形，用含

有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)；

U將變形后的方程代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程（在代

入時(shí)，要注意不能代入原方程，只能代入另一個(gè)沒(méi)有變形的方程中，以達(dá)到消元的目的.）：

m解這個(gè)一元一次方程，求出未知數(shù)的值；

W將求得的未知數(shù)的值代人①中變形后的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

v用聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解.；

VI最后檢驗(yàn)求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進(jìn)行檢驗(yàn)，方程是否滿足左邊=右

邊）.

②加減消元法：當(dāng)方程組中兩個(gè)方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，把這兩

個(gè)方程的兩邊相加或相減來(lái)消去這個(gè)未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后

求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.

加減法解二元一次方程組的步驟：I利用等式的基本性質(zhì)，將原方程組中某個(gè)未知數(shù)

的系數(shù)化成相等或相反數(shù)的形式（就是先找各個(gè)系數(shù)的最小公倍數(shù)，一定要將方程的兩邊都

乘以同一個(gè)數(shù)，切忌只乘以一邊）；

n再利用等式的基本性質(zhì)將變形后的兩個(gè)方程相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)

一元一次方程（若未知數(shù)系數(shù)相等則用減法，若未知數(shù)系數(shù)互為相反數(shù)，則用加法）；

m解這個(gè)一元一次方程，求出未知數(shù)的值；

w將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任何一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

v用聯(lián)立兩個(gè)未婦數(shù)的值，就是方程組的解；

VI最后檢驗(yàn)求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進(jìn)行檢驗(yàn)，方程是否滿足左邊=右

邊）.

3.一元二次方程

（1）定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次

方程。一般形式：ax2+bx+c=0（aW。）

（2）一元二次方程的解法：

①直接開(kāi)平方法：形如：（x-m）2=n（n20）

②配方法解ax2+bx+c=。(a^o)的步驟：i先將常數(shù)項(xiàng)c移到方程的兩邊，即

bc

ax2+bx=-c；ii將二次項(xiàng)系數(shù)化為i即X2+-x=--：iii方程兩邊分別加上一次項(xiàng)

aa

系數(shù)的一半的平方即iv方程左邊成為一個(gè)完全平方式

2

E,Jb\4ac-Z?2

rd4a

③公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后判斷△二b2-4ac的值，當(dāng)

-b±^b2-4ac

b2-4ac>0時(shí),就可以用x=

④因式分解法：把方程變形為一邊是零，另一邊的二次三項(xiàng)式可以采用十字相乘

法(或完全平方式)分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，

得到兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。

十字相乘法：十字左邊相乘等于一次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交又相乘再相加

等于一次項(xiàng)系數(shù)。

(3)根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)：一元二次方程ax2+bx+c=0QW0),設(shè)x,x是方

12

bc

程的兩根，則有x+x=--,xx=-

12a12a

⑷一元二次方程根的情況

△=b2-4ac

當(dāng)△>()時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=()時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△<()時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

4.分式方程

(D定義：分母中含有未知數(shù)的方程為分式方程。

⑵解分式方程的步驟

①去分母：

方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母,將分式方程化為整式方程；若遇到互為相反數(shù)時(shí).不要忘了改

變符號(hào)。

②按解整式方程的步驟：

I.去分母；H.去括號(hào)；ID.移項(xiàng)；IV.合并同類項(xiàng)；V.系數(shù)化為1

根：

求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根，因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取

值范圍，可能產(chǎn)生增根.

驗(yàn)根時(shí)把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母等于0,這個(gè)根就是增根。否則這

個(gè)根就是原分式方程的根，若解出的根是增根，則原方程無(wú)解"

⑶解分式方程的方法：

1.一般法：去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后解整式方程。如

4x,2x

x+3x-3X2-9

.2

2.換元法：X2+X+1=-----

X2+X

11

3.分組結(jié)合法：X+-=C+-

XC

X2+3x+2_2x2+3x+l

4.因式分解法:

Y2-3r+?.?.r2-4-1

5.配方法：先把分式方程中的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，進(jìn)而

可以用直接開(kāi)平方法求解

》2+絲—26=0

Y2

5.不等式（組）

⑴不等式

①定義：用不等號(hào)連接的式子叫做不等式。不等號(hào)有：”二，2,W,

②基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變；

基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；

基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

③不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

⑵一元一次不等式

①定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式稱為一元一次不等式。

②一元一次不等式的解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當(dāng)不等式的兩邊乘以（或

除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向改變。

⑶一元一次不等式組

①定義：把幾個(gè)含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合在一起就組成一個(gè)一元一次不等式組。

②一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做一元

一次不等式組的解集。

不等式組解集的確定方法:

若2<b,則有：

x<ax>a

x<b解集是x<a,即“小小取小”x>b|解集是x>b，即“大大取大”

x>a

x<b解集是a<x<b,即“大小小大取中間”

Cx<a

[x>b解集是空集，即“大大小小無(wú)解”

（六）統(tǒng)計(jì)與概率

1.總體、個(gè)體、樣本和樣本數(shù)據(jù)

總體是指考察對(duì)象的全體，總體中的每一個(gè)對(duì)象稱為個(gè)體，樣本是指從總體中抽取一部分

個(gè)體，樣本的數(shù)量稱為樣本容量。

2.中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、極差、方差

⑴中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)必須把這組數(shù)據(jù)按大小順序進(jìn)行排列，若數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，中位數(shù)

為中間的那個(gè)數(shù)據(jù)，若數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)，則是中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

⑵眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)為眾數(shù)。

一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的個(gè)數(shù)可能不止一個(gè).

⑶平均數(shù)

①算術(shù)平均數(shù)：一般地對(duì)亍n個(gè)數(shù)X],…X把:&+X+…+X）叫做這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平

1n