利用δ-函數(shù)求譜密度與自相關(guān)函數(shù)第5節(jié)平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度在工程中遇到的平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)一般有以下三種情況：（1）當(dāng)τ→∞時(shí)，RX(τ)→0，其傅立葉變換SX(ω)存在；（2）當(dāng)τ→∞時(shí)，RX(τ)→mX

，此時(shí)在ω=0處引入

-函數(shù)，可求出的傅立葉變換SX(ω)；（3）當(dāng)τ→∞時(shí)，RX(τ)呈振蕩形式，引入

函數(shù)，也可求出RX(τ)的付立葉變換SX(ω)。1、δ-函數(shù)的定義定義：

若函數(shù)為則稱(chēng)其為δ-函數(shù)。通常用單位有向線(xiàn)段來(lái)表示.

─函數(shù)常用來(lái)表示作用在一點(diǎn)的沖擊力或脈沖信號(hào)。當(dāng)沖擊力或脈沖發(fā)生在t0時(shí)刻，這時(shí)定義

─函數(shù)為據(jù)此可得：2、─函數(shù)的基本性質(zhì)：

據(jù)此，我們可得到

─函數(shù)的付立葉變換對(duì)：利用上面的兩式，求實(shí)際情況中三種自相關(guān)函數(shù)(功率譜)形式對(duì)應(yīng)的譜密度（自相關(guān)函數(shù)）。據(jù)此可得：據(jù)此，我們可得到

─函數(shù)的付立葉變換對(duì)：西南交通大學(xué)王沁例

白噪聲過(guò)程：通常稱(chēng)譜密度在整個(gè)頻率軸

上為非零常數(shù)，且均值為0的平穩(wěn)過(guò)程為白噪聲過(guò)程，簡(jiǎn)稱(chēng)白噪聲（由于白色光的光譜成分大體上是均勻的，白噪聲因此而得名），其功率譜密度為3.已知功率譜，利用δ-函數(shù)求自相關(guān)函數(shù)這表明白噪聲的平均功率是無(wú)限的，因此白噪聲只是一個(gè)理想的數(shù)學(xué)模型，是一個(gè)相對(duì)的概念。例

若平穩(wěn)過(guò)程X(t)的功率譜密度如下：求其對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)。

例已知隨機(jī)電報(bào)信號(hào)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為試求其功率譜密度。解：由于自相關(guān)函數(shù)存在直流分量，故在ω=0處引入

─函數(shù)，即可求出功率譜密度，即4、已知自相關(guān)函數(shù)，利用δ-函數(shù)求功率譜

例

已知一隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為試求其功率譜密度。解：由于此自相關(guān)函數(shù)既包括直流分量，又包括一個(gè)頻率為ω0的正弦分量，因此，分別在ω=0和ω=±ω0處引入

─函數(shù)，可得譜密度強(qiáng)調(diào)一下：白噪聲過(guò)程的概念(1)白噪聲過(guò)程：通常稱(chēng)譜密度在整個(gè)頻率軸

上為非零常數(shù)，且均值為0的平穩(wěn)過(guò)程為白噪聲過(guò)程，簡(jiǎn)稱(chēng)白噪聲。(2)設(shè)隨機(jī)過(guò)程{X(n),n=±1,±2,…}為實(shí)的互不相關(guān)隨機(jī)變量序列，且其自相關(guān)函數(shù)為易見(jiàn)此過(guò)程為一寬平穩(wěn)過(guò)程。這個(gè)平穩(wěn)序列稱(chēng)為離散白噪聲.例

若平穩(wěn)過(guò)程X(t)在有限頻率帶上的功率譜密度為常數(shù)，在此頻率帶之外為零，即稱(chēng)此過(guò)程為限帶白噪聲，對(duì)應(yīng)的自