第七節(jié)平穩(wěn)過程的譜分解1、平穩(wěn)過程的譜表示定理4.1

設(shè){X(t),-∞<t

<+∞}是零均值，且均方連續(xù)的復(fù)平穩(wěn)過程，其譜密度為SX(ω)，則X(t)可表示為1平穩(wěn)過程的譜表示稱為X(t)的隨機(jī)譜函數(shù)。隨機(jī)譜函數(shù)Z(ω)

具有以下性質(zhì)：2

{Z(ω),-∞<ω<+∞}是右連續(xù)的正交增量過程；3

對(duì)于任意的ω1<ω2稱為X(t)的譜分布函數(shù)，或稱功率譜函數(shù)，簡(jiǎn)稱譜函數(shù)。定理4.1表明一個(gè)平穩(wěn)過程可表示為隨機(jī)譜函數(shù)的傅立葉積分,而隨機(jī)譜函數(shù)的增量的二階矩可用譜密度函數(shù)來描述。

注意到X(t)為平穩(wěn)過程,而Z(ω)為X(t)的線性函數(shù)的均方積分,因而亦為一平穩(wěn)隨機(jī)過程,且為一正交增量過程。由X(t)的譜分解式可見

X(t)實(shí)際上是和式均方收斂的極限，換言之，我們可用Xn(t)來逼近X(t)，而Xn(t)的表達(dá)式表明，它就是頻率為ωj的具有隨機(jī)振幅[Z(ωj+1)-Z(ωj)]的隨機(jī)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，而Z(ω)是正交增量過程，故Xn(t)中的各隨機(jī)振幅[Z(ωj+1)-Z(ωj)]是互不相關(guān)的，如果對(duì)

的分割加密，再取極限，即得例3.14

設(shè)平穩(wěn)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為即平穩(wěn)過程X(t)的譜表示就是說明X(t)為無限多個(gè)各種不同頻率隨機(jī)振動(dòng)的疊加的一種數(shù)學(xué)描述。其中

、

是正數(shù)，試求X(t)的譜密度、譜函數(shù)。

解：由X(t)的自相關(guān)函數(shù)，利用付氏變換可得，其譜密度為推論4.1

設(shè)X(t)為零均值的均方連續(xù)正態(tài)平穩(wěn)過程的充要條件是它的譜分解式中的隨機(jī)譜函數(shù)為正態(tài)獨(dú)立增量過程。2實(shí)平穩(wěn)過程的譜分解定理定理4.2

設(shè){X(t),-∞<t<+∞}是零均值，且均方連續(xù)的實(shí)平穩(wěn)過程，其譜函數(shù)為FX(ω)，則X(t)可表示為隨機(jī)函數(shù)有以下性質(zhì)：2

對(duì)于任意不相重疊的區(qū)間：[ω1,ω2],[ω3,ω4]，有3

對(duì)于任意的ω1<ω2,有3復(fù)平穩(wěn)時(shí)間序列的譜分解定理4.3

設(shè){X(n),n=0,±1,±2,…}是零均值的復(fù)平穩(wěn)序列，其譜函數(shù)為FX(ω)，則X(n)可表示為

為X(t)的隨機(jī)譜函數(shù)，滿足以下性質(zhì)3

對(duì)于任意的ω1<ω2，有對(duì)于實(shí)平穩(wěn)序列,有相應(yīng)譜分解定理如下：

2

{Z(ω),-∞<ω<+∞}是右連續(xù)的正交增量過程；定理4.4

設(shè){X(n),n=0,±1,±2,…}是零均值的實(shí)平穩(wěn)序列，其譜函數(shù)為FX(ω)，則X(n)可表示為稱為X(n)的隨機(jī)譜函數(shù)，具有以下性質(zhì)：2

對(duì)于任意不相重疊的區(qū)間:3

對(duì)于任意的ω1<ω2，有[ω1,ω2],[ω3,ω4]，有

（1）試證明{Y(n),n=0,±1,±2,…}亦為平穩(wěn)過程，并求其隨機(jī)譜函數(shù)；例3.15

設(shè){X(n),n=0,±1,±2,…}為實(shí)平穩(wěn)序列，E[X(n)]=0，其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)譜函數(shù)為{ZX(ω),

-π<ω<π}，又設(shè){an,n=0,±1,±2,…}是實(shí)數(shù)列，滿足（2）若X(n)有譜密度函數(shù)SX(ω)，求