第1節(jié)正態(tài)過程1.定義；2.有限維分布函數(shù)；3.如何證明隨機過程是正態(tài)過程；正態(tài)過程設(shè)X(t)為隨機過程，若對任意的n及任意的t1,…,tn

，n維隨機變量(X(t1),…,X(tn))服從n維正態(tài)分布，即其概率密度為2.正態(tài)過程的n維分布函數(shù)3.正態(tài)過程的k維特征函數(shù)假設(shè)是k維正態(tài)隨機向量，則其特征函數(shù)為：4、如何證明一個隨機過程是正態(tài)隨機過程：

定理：n維隨機變量(X1,…,Xn)服從n維正態(tài)分布的充要條件是n個隨機變量X1,…,Xn的任意線性組合均服從一維正態(tài)分布.

易見，正態(tài)過程的有限維分布均為正態(tài)分布，n維正態(tài)分布由其協(xié)方差陣C唯一確定，故正態(tài)過程的有限維分布由X(t)的協(xié)方差函數(shù)

{CX(ti,tj),i,j=1,2,…,n}唯一確定。注意：X和Y的獨立性，不能少。3、定理

n維隨機變量(X1,…,Xn)服從n維正態(tài)分布的充要條件是n個隨機變量X1,…,Xn的任意線性組合均服從一維正態(tài)分布.

例3.4

試證隨機過程證由于A,B為相互獨立的正態(tài)隨機變量,故其線性組合亦服從正態(tài)分布.任取為一正態(tài)隨機過程,其中A,B為相互獨立同服從N(0,σ2)分布的隨機變量,ω為一實常數(shù)。

仍為A與B的線性變換,故服從一維正態(tài)分布,從而知n維隨機變量(X(t1),…,X(tn))服從n維正態(tài)分布,所以X(t)為正態(tài)過程.取任意常數(shù)則X(t1),…,X(tn)的線性組合定義3.6

設(shè)X(t)與Y(t)為實正態(tài)隨機過程，則稱Z(t)=X(t)+iY(t)為復(fù)正態(tài)隨機過程。

例3.5

復(fù)隨機過程其中Ak,k=1,2,…,n相互獨立，且均服從正態(tài)分布N(0,σ2),ωk,k=1,2,…,n為實常數(shù),則此復(fù)隨機過程Z(t)即為復(fù)正態(tài)隨機過程。（1）EX(t)X(t+1)=6exp(-1/2)試寫出次隨機過程種隨機變量X(t),X(t+1),X(t+2),X(t+3)的協(xié)方差矩陣C.（2）1、布朗運動的數(shù)學(xué)模型2、布朗運動的定義3、布朗運動的簡單性質(zhì)第2節(jié)布朗運動1、布朗運動的數(shù)學(xué)模型以W(t)表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標(biāo)，且設(shè)W(0)=0。由于微粒的運動是受到大量隨機的、相互獨立的分子碰撞的結(jié)果，于是:

粒子在時段(s,t]上的位移可看作是許多微小位移的 和，根據(jù)中心極限定理，假設(shè)位移W(t)-W(s)服從正 態(tài)分布是合理的。(2)由于粒子的運動完全由液體分子不規(guī)則碰撞而引起 的，這樣，在不相重疊的時間間隔內(nèi)，碰撞的次數(shù)、 大小和方向可假設(shè)相互獨立，即W(t)具有獨立增量， 同時W(t)的增量具有平穩(wěn)性。2、定義：設(shè)為一隨機過程，若滿足

(1)；

(2)是一齊次獨立增量過程；

(3)對任意的,

其中

>0為常數(shù)。則稱此隨機過程為布朗運動或維納過程，當(dāng)

=1時,稱為標(biāo)準(zhǔn)維納過程。3、布朗運動的簡單性質(zhì)(1)布朗運動的均值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)為(2)布朗運動是正態(tài)過程。證明：所以：布朗運動是正態(tài)過程。2、設(shè)B(t)為布朗運動，若對任意的n及任意的t1<t2<t3…,<tn

，n維隨機變量(B(t1),…,B(tn))服從n維正態(tài)分布，即其概率密度為例:

設(shè){B(t),t≥0}是以σ2

為參數(shù)的布朗運動,求下列過程的協(xié)方差函數(shù):解:(1)設(shè)Z(t)=B(t)+At,則(1)B(t)+At,(A為常數(shù));(2)B(t)+Xt,X為與{B(t),t≥0}相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量.(3)aB(t/a2),a

為正常數(shù).(2)設(shè)Z(t)=B(t)+At,則均值為其中，因為X

與B(t)獨立，所以(3)設(shè)Z(t)=aB(t/a2),則均值為第3節(jié)布朗運動的分布布朗運動的有限維分布函數(shù)布朗運動的條件分布布朗運動的均方微積分布朗運動的有限維分布函數(shù)1、布朗運動是正態(tài)過程。2、設(shè)B(t)為布朗運動，若對任意的n及任意的t1<t2<t3…,<tn

，n維隨機變量(B(t1),…,B(tn))服從n維正態(tài)分布，即其概率密度為布朗運動的條件分布1.正態(tài)隨機變量序列的均方極限仍為正態(tài)隨機變量。2k維正態(tài)隨機向量序列的均方極限仍為k維正態(tài)隨機向量3正態(tài)隨機過程的均方導(dǎo)數(shù)過程亦為正態(tài)隨機過程4正態(tài)隨機過程的均方積分過程亦為正態(tài)隨機過程1.復(fù)習(xí)：正態(tài)過程的均分微積分性質(zhì)：布朗運動的均方微積分布朗運動是參數(shù)空間連續(xù)，狀態(tài)空間連續(xù)的馬爾可夫過程。數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系Black-Scholes-Merton期權(quán)定價模型西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin一、Black-Scholes-Merton期權(quán)定價模型基本思路我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價，必須先了解股票本身的走。因為股票期權(quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票價格是影響期權(quán)價格的最根本因素。因此要研究期權(quán)的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律在了解了股票價格的現(xiàn)律后，我們試圖通過股票末復(fù)制期權(quán)并以此為儂據(jù)給期權(quán)定價。后面我們會用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價的思想。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin二、布朗運動1.標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的兩大特征1）（正態(tài)分布）2）對任何兩個不同時間間隔，的值相互獨立。（獨立增量）2.維納過程1）也是正態(tài)分布2）均值為03）方差為4）標(biāo)準(zhǔn)差等于5）方差可加性西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin為何使用布朗運動？正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗事實證明，股票價格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學(xué)上可以證明，

具備特征1

和特征2的維納過程是一個馬爾可夫隨機過程維納過程在數(shù)學(xué)上對時間處處不可導(dǎo)和二次變分(Quadratic

Variation

)不為零的性質(zhì)，

與股票收益率在時間上存在轉(zhuǎn)折尖點等性質(zhì)也是相符的西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin三、伊藤過程與伊藤引理1.伊藤過程普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量

的漂移率和方差率當(dāng)作變量和時間的函數(shù)，就可以得到此過程稱為伊藤過程（ItoProcess）其中，是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，是變量和的函數(shù)，變量漂移率為，方差率為。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin2.伊藤引理在伊藤過程的K.Ito進一步推導(dǎo)出，若變量遵循伊藤過程，則變量和的函數(shù)將遵循如下過程：其中，是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin

隨機游動積分泰勒展開忽略比高階的項將代入上式，則在常微分中得到：隨機微分中得到：西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin由于，則，方差和同階，因此將代入，則伊藤引理的運用如果知道

遵循的隨機過程，

通過伊藤引理

可以推導(dǎo)出

遵循的隨機過程。由于衍生產(chǎn)品價格是標(biāo)的資產(chǎn)價格和時間的函數(shù)，因此隨機過程在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin三、預(yù)期收益率和波動率西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin四、衍生品價格服從的隨機過程當(dāng)股票價格服從幾何布朗運動時，由于衍生證券價格是標(biāo)的證券價格和時間的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格應(yīng)遵循如下過程：衍生證券的價格和股票價格都受同一個不確定性來源的影響，這點對推導(dǎo)衍生品證券定價公式很重要。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin五、Black-Scholes-Merton期權(quán)定價模型假設(shè)：1）證券價格遵循幾何布朗運動，即

和

為常數(shù)2）允許賣空標(biāo)的證券3）沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的4）衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付5）不存在無風(fēng)險套利機會6）證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的7）行生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率

為常數(shù)。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin由于證券價格

遵循幾何布朗運動，因此有其在一個小的時間間隔

中，

的變化值

為:

設(shè)

是依賴于

的衍生證券的價格，則

一定是

和

的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：在一個小的時間間隔中，

的變化值

為西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin為了消除風(fēng)險源

，可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和

單位標(biāo)的證券多頭的組合。令

代表該投資組合的價值，則：在時間后，該投資組合的價值變化

為：代入和可得中不含任何風(fēng)險源，因此組合必須獲得無風(fēng)險收益，即，代入上式有：，化簡有：這就是著名的Black-Scholes微分方程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券定價。受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著無論風(fēng)險收益偏好如何，都不會對

的值產(chǎn)生影響。因此可以簡化假設(shè):在對衍生證券定價時，所有投資者對于

所蘊涵的風(fēng)險都是風(fēng)險中性的。在所有投資者對dz都是風(fēng)險中性的條件下，所有風(fēng)險源為

的證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率，因為風(fēng)險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險。在風(fēng)險中性條件下，所有風(fēng)險源為

的現(xiàn)金流都應(yīng)該使用無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系WangQ