專題02分式（5知識&5題型）【清單01】平方根與算術(shù)平方根性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根.② 算術(shù)平方根：正數(shù)的正的平方根叫做的算術(shù)平方根，零的算數(shù)平方根是0.【清單02】立方根性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)；零的立方根是零；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).【清單03】無理數(shù)與實數(shù)① 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).② 實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).③ 實數(shù)與數(shù)軸：實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.④ 實數(shù)的分類：【清單04】二次根式定義及性質(zhì)② 二次根式的性質(zhì)：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值，用式子表示為【清單05】二次根式運算① 最簡二次根式：最簡二次根式滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含能開的盡的因數(shù)或因式；（2）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式.④ 同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式.⑤ 二次根式加減法運算：先把每個二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式【題型一】平方根與算術(shù)平方根【例1】64的平方根是()．A．±8 B．±4 C．±2 D．±【答案】A【分析】根據(jù)平方根的定義即可解答．∴64的平方根是8故選A【點睛】本題考查平方根的定義，注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)．【變式11】的平方根是．【分析】本題主要考查了平方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根定義．根據(jù)平方根定義求出結(jié)果即可．【答案】【分析】本題考查算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性質(zhì)，熟練掌握非負(fù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性質(zhì)求出，的值，再代入進(jìn)行計算即可．故答案為：．【答案】5225【分析】本題考查了平方根的定義．根據(jù)一個正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，可得出的值，再代入即可得出這個數(shù)．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．故這個數(shù)為225，故答案為：5，225．【例2】4的算術(shù)平方根是．【答案】2【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根定義，進(jìn)行求解即可．熟練掌握算術(shù)平方根定義，是解題的關(guān)鍵．∴4的算術(shù)平方根是2．故答案為：2．【答案】4【分析】該題考查了算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)求解即可．故答案為：4．【答案】【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．故答案為：．【變式23】先觀察下列等式，再回答問題：(2)請你用含n（n為正整數(shù)）的式子表示上面各等式的規(guī)律：______（直接寫出）；【答案】(1)【分析】本題考查了與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索，正確找到題中的規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中所給信息計算即可；（2）根據(jù)第一問的結(jié)果用字母代替數(shù)字即可；（3）根據(jù)規(guī)律將原式進(jìn)行正確變形求解．故答案為：；【變式24】小明用計算器求了一些正數(shù)的平方，記錄如下表．下面有四個推斷：②的算術(shù)平方根位于和這兩個連續(xù)的整數(shù)之間；③對于大于的兩個正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差大于其中正確的序號是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】本題考查算術(shù)平方根，平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)算術(shù)平方根，平方根的定義和性質(zhì)進(jìn)行判定即可求解；的算術(shù)平方根位于和這兩個連續(xù)的整數(shù)之間；故②正確；對于大于的兩個正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差大于，故③正確；之間有，，綜上所述：正確的序號是①②③④；故選：D【題型二】立方根【例1】的立方根是．【答案】【分析】本題考查立方根的定義，掌握定義是解決問題的關(guān)鍵．如果一個數(shù)的立方等于a，這個數(shù)叫做a的立方根，根據(jù)立方根的定義求解即可．故答案為：．【變式11】有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖：那么輸入的x為64時，輸出的y是．【答案】【分析】本題考查了立方根、算術(shù)平方根，根據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換器的原理，結(jié)合立方根、算術(shù)平方根的計算方法計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．故輸出的y是，故答案為：．【變式12】計算：【答案】(1)(2)【分析】本題考查了算術(shù)平方根、立方根，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）先計算算術(shù)平方根、乘方、立方根，再計算加減即可；（2）先計算算術(shù)平方根、立方根，再計算加減即可．【變式13】求下列各式中的x的值：【分析】本題考查了平方根，立方根，熟練掌握這兩個定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方根的定義解方程即可；（2）根據(jù)立方根的定義解方程即可．A．0.1333 B．0.02872C．0.2872 D．以上答案都不對【答案】C【分析】本題考查了立方根．利用立方根的性質(zhì)求解即可．故選：C【分析】根據(jù)題意列出算式進(jìn)行計算，最后將結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示即可．【詳解】解：正方體貯水池的棱長為：【答案】故答案為：．【答案】【分析】本題考查了立方根以及算術(shù)平方根的計算，熟練掌握立方根以及算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．本題根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義可得關(guān)于和的方程進(jìn)行求解即可．的值是.故答案為：.【答案】５【分析】本題主要考查了立方根、算術(shù)平方根、解二元一次方程組等知識點，熟練掌握立方根、算術(shù)平方根的定義以及解二元一次方程組是解決本題的關(guān)鍵．【變式22】下列說法正確的是．①負(fù)數(shù)沒有平方根；②一個實數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，因此任何數(shù)的平方根也是非負(fù)數(shù)；④平方根等于它本身的數(shù)是0和1．【答案】①【分析】本題考查了平方根和立方根，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．根據(jù)平方根的定義和立方根的定義即可求解．【詳解】解：負(fù)數(shù)沒有平方根，則①正確；一個實數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)或0，則②錯誤；負(fù)數(shù)沒有平方根，則③錯誤；平方根等于它本身的數(shù)是0，則④錯誤；綜上，正確的是①．故答案為：①．(1)求a、b、c的值；【分析】此題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．（1）直接利用算術(shù)平方根、立方根、互為相反數(shù)的定義得出，，的值；（2）結(jié)合平方根的定義以及（1）中所求，代入得出答案．【題型三】無理數(shù)與實數(shù)A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查了無理數(shù)的定義、求一個數(shù)的立方根，解題的關(guān)鍵是理解無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)．根據(jù)無理數(shù)的定義逐個判斷即可解答．故選：B．【答案】7【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，題目不難，是基礎(chǔ)題.先估算的大小，再得出結(jié)果.故答案為：7【變式12】介于與之間的整數(shù)是．【答案】3，4∴介于與之間的整數(shù)是3，4，故答案為：3，4．【變式14】下列說法正確的有（

）①無限小數(shù)都是無理數(shù)；②無理數(shù)都是無限小數(shù)；③帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；④兩個無理數(shù)的和還是無理數(shù)；⑤數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】利用有理數(shù)，無理數(shù)，數(shù)軸的相關(guān)概念對每個選項進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：無限的不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，無理數(shù)是無限的不循環(huán)小數(shù)，都是無限小數(shù)，帶根號且開不盡放方的數(shù)都是無理數(shù)，兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，故選：A．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的概念，實數(shù)的運算，數(shù)軸的相關(guān)性質(zhì)，利用有理數(shù)，無理數(shù)，數(shù)軸的相關(guān)概念對每個選項進(jìn)行逐一判斷是解題的關(guān)鍵．【答案】故答案為：．【變式21】下列說法正確的是（

）【答案】C【分析】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)：實數(shù)的絕對值與相反數(shù)，與有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)的意義相同；根據(jù)絕對值與相反數(shù)的意義逐項解答即可．故選：C．【變式23】如圖，數(shù)軸上表示2，的點分別為點C，點B，點C是線段的中點，則點A表示的數(shù)（

）【答案】D【詳解】解：∵點C是線段的中點，故選：D．【答案】D∵A點表示的數(shù)為1，故選：D．【分析】本題考查了實數(shù)的運算，先根據(jù)零指數(shù)冪、算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值的性質(zhì)計算，再合并即可．【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，先進(jìn)行乘方，開方，去絕對值運算，再進(jìn)行加減運算即可．其中所有正確推斷的序號是（

）【答案】D根據(jù)定義，分別計算等號的左邊和等號的右邊，即可判斷，得出答案．故選：D．【變式31】閱讀下面文字，解答問題．參考小明的做法解答：【答案】(1)8(2)【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，實數(shù)的運算：的整數(shù)部分為，故答案為：8；，故答案為：．(2)寫出第個數(shù)為__________（用含n的代數(shù)式表示）；(3)【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，實數(shù)的運算，分式的混合計算：（1）先把小括號內(nèi)的式子通分，再根據(jù)分式乘法計算法則求解即可；（2）觀察可知，這一列的數(shù)的被開方數(shù)是序號的平方加1，據(jù)此規(guī)律求解即可；……，（3）解：∵是這列數(shù)的第2024個數(shù)，【變式33】定義：任意兩個數(shù)a、b，按規(guī)則c=a+b－ab擴充得到一個新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”.（1）若a=2，b=－3，直接寫出a、b的“如意數(shù)”c；（2）若a=2，b=x2+1，求a、b的“如意數(shù)”c，并比較b與c的大??；（3）已知a=x21，且a、b的“如意數(shù)”c=x3+3x2－1，則b=（用含x的式子表示）【答案】（1）5；（2）b>c；（3）x+2【分析】（1）根據(jù)“如意數(shù)”的定義即可判斷；（2）根據(jù)“如意數(shù)”的定義即可判斷；（3）根據(jù)“如意數(shù)”的定義，構(gòu)建方程求出b即可；（2）根據(jù)題意有c=2+x2+12×（x2+1）=x2+1b=x2+1，x2≥0∴b>c（3）由題意得x3+3x21=（x21）b+（x21）+b，∴x2b=x3+2x2，∵x≠0，∴b=x+2．故答案為（1）5；（2）b>c；（3）x+2．【點睛】本題考查新定義下的實數(shù)運算，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．【題型四】二次根式定義及性質(zhì)【例1】下列式子一定是二次根式的是（

）【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的定義，理解二次根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．故選：C．【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件；因此此題可根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)”求解．【答案】C【分析】本題考查二次根式及分式有意義的條件，以及解一元一次不等式組，根據(jù)分式有意義分母不為0及二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)建立不等式組求解，即可解題．故選：C．【答案】5故答案為：5．【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求解即可．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可得解，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．故選：B．【答案】b【分析】本題主要考查了數(shù)軸、絕對值的化簡、二次根式的性質(zhì)等知識點，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先由數(shù)軸確定a、b的符號，進(jìn)而確定絕對值里面的代數(shù)式的符號，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)化簡，最后運用整式的加減運算法則計算即可．【例3】閱讀材料：善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：請你參考小明的方法探索并解決下列問題：【分析】本題考查二次根式的化簡、完全平方公式，理解題中計算方法，利用類比思想求解是解答的關(guān)鍵．∵，都是整數(shù)，【變式31】閱讀下面的文字后，回答問題：(1)你認(rèn)為的解答是錯誤的；(2)錯誤的解答在于未能正確運用二次根式的性質(zhì)；【答案】(1)甲(3)2【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，即可求解．，∴甲的解答是錯誤的；故選：甲；【答案】6或/或6【分析】本題考查了新定義和解方程，理解和應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義，列方程，解答即可．故答案為：6或．【變式33】數(shù)軸上表示a，b兩個數(shù)的點的位置如圖所示：【答案】2．【變式34】閱讀材料，解答下列問題：小云同學(xué)是這樣解答的：【答案】(1)1(2)2【分析】（1）利用例題的解題思路進(jìn)行計算，即可解答；本題考查了二次根式的化簡求值，加減消元法，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．，【答案】3（答案不唯一）【分析】先根據(jù)被開方數(shù)不小于零的條件求出n的取值范圍，再根據(jù)題意求取n的值即可．本題考查二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)不小于零的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題可知，則n可取3．故答案為：3（答案不唯一）．【題型五】二次根式的運算【例1】下列各式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了最簡二次根式的知識，熟練掌握最簡二次根式的定義是解答本題的關(guān)鍵．最簡二次根式必須滿足兩個條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，據(jù)此作答即可．【詳解】解：A．是最簡二次根式，符合題意；故選：A．【變式11】下列各式是最簡二次根式的是（

）【答案】C【分析】本題主要考查了最簡二次根式的識別，化簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行求解即可：被開方數(shù)不含能開的盡的因數(shù)或因式；被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式是二次根式叫做最簡二次根式．C、，是最簡二次根式，符合題意；故選：C．【變式12】下列二次根式為最簡二次根式的是（

）【答案】C【分析】直接利用最簡二次根式需要滿足的兩個條件逐項分析即可．B、是分?jǐn)?shù)，故不是最簡二次根式，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查最簡二次根式的判定條件：①被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；②被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式．【答案】4本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握運算是解題的關(guān)鍵．故答案為：4．【答案】3【分析】本題主要考查了二次根式乘法運算，根據(jù)二次根式乘法運算法則進(jìn)行計算即可．故答案為：3．【變式22】下列二次根式中，與的積是無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查二次根式的乘法．根據(jù)二次根式的乘法進(jìn)行計算逐一判斷即可．故選：B．【答案】2【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可故答案為：2【點睛】本題考查了二次根式的乘法和平方差公式，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵(2)請再寫出1個具有“穿墻”性質(zhì)的數(shù)______；【分析】（1）根據(jù)已知等式的規(guī)律寫出結(jié)論，再根據(jù)二次根式的乘法法則驗證即可；（2）根據(jù)已知等式的規(guī)律寫出一個符合題意的數(shù)即可；（3）根據(jù)已知等式找出規(guī)律，總結(jié)歸納得到公式即可．【點睛】本題主要考查的是探索規(guī)律題，找到規(guī)律并歸納公式、掌握二次根式的乘法法則是解決此題的關(guān)鍵．【答案】【分析】本題考查了二次根式的除法運算，利用二次根式的除法運算法則計算即可，掌握二次根式的除法運算法則是解題的關(guān)鍵．故答案為：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的除法，二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的除法計算法則進(jìn)行計算即可，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．故答案為：．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式乘除混合運算法則．根據(jù)二次根式乘除混合運算法則進(jìn)行計算即可．．(1)若與是關(guān)于的和諧二次根式，求；【分析】（）利用二次根式的新定義運算解答即可求解（）利用二次根式的新定義運算解答即可求解本題考查了二次根式的新定義運算，掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【答案】6【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則計算即可．．【點睛】本題考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，將的值代入計算即可求出值．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則．【例4】下列二次根式中與是同類二次根式的是（

）【答案】A【分析】本題考查同類二次根式，判斷是否為同類二次根式，需將各選項化簡為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式．故選：A．【分析】此題主要考查了同類二次根式的定義，即化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)同類二次根式與最簡二次根式的定義，列出方程解答即可．【答案】1根據(jù)同類二次根式可知，兩個二次根式內(nèi)的式子相等，從而得出a的值．故答案為：1．【分析】本題考查二次根式的加減，先化簡各項，再合并同類二次根式即