2025年南方科技大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)試題全解考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.請將試題作答在答題卡上。2.所有試題必須作答在答題卡上，寫在試卷上無效。3.字跡工整，保持卷面清潔。4.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。請將答案填在答題卡對應(yīng)位置。1.函數(shù)$f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$的值域?yàn)開_________。2.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1=1$，且對任意$n\in\mathbb{N}^*$，都有$S_n=2a_{n+1}-2$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式$a_n$=__________。3.直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2-2x+4y-4=0$相切，且過點(diǎn)$(1,-2)$，則實(shí)數(shù)$k$的值為__________。4.在$\triangleABC$中，角$A,B,C$的對邊分別為$a,b,c$，若$\cosA=\frac{1}{2}$，則$\frac{a+b+c}{\sinA+\sinB+\sinC}$的值為__________。5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖（此處無圖），若輸入的整數(shù)$n\geq2$，則輸出的$S$的值為__________。二、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請將所選項(xiàng)前的字母填在答題卡對應(yīng)位置。6.設(shè)函數(shù)$g(x)=|x-1|+|x+1|$，則$g(x)$是__________。A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)7.已知$0<a<1$，$b>1$，且$a+b=2$，則$a^2+b^2$與$2ab$的大小關(guān)系為__________。A.$a^2+b^2<2ab$B.$a^2+b^2=2ab$C.$a^2+b^2>2ab$D.無法確定8.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_5=10$，$a_{10}=31$，則$a_{15}$的值為__________。A.52B.53C.54D.559.已知直線$l_1:ax+2y-1=0$與直線$l_2:x+(a+1)y+4=0$平行，則實(shí)數(shù)$a$的值為__________。A.-2B.1C.-2或1D.2三、解答題：本大題共5小題，共51分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10.（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$。(1)求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,3]$上的最大值和最小值。11.（本小題滿分10分）已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且滿足$S_n=n^2a_n-n$，$n\in\mathbb{N}^*$。(1)求數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)$b_n=\frac{1}{a_n}$，求數(shù)列$\{b_n\}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。12.（本小題滿分12分）已知圓$C:x^2+y^2-4x+6y-3=0$和直線$l:y=kx$。(1)求圓$C$的圓心和半徑；(2)若直線$l$與圓$C$相交于$A,B$兩點(diǎn)，且$|AB|=2\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)$k$的值。13.（本小題滿分12分）在$\triangleABC$中，內(nèi)角$A,B,C$的對邊分別為$a,b,c$，且滿足$a^2+b^2-ab=c^2$。(1)求角$C$的大??；(2)若$\cosB=\frac{1}{3}$，且$c=2$，求$\triangleABC$的面積。14.（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\lnx-ax+1$，其中$a>0$。(1)求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,2]$上是否存在零點(diǎn)，若存在，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若不存在，請說明理由。---試卷答案一、填空題1.$(-1,1)$2.$2^n-1$3.$-2$4.$2\sqrt{3}$5.$n(n+1)$二、選擇題6.B7.C8.B9.A三、解答題10.解析：(1)求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$。令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x<0$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$0<x<2$時(shí)，$f'(x)<0$；當(dāng)$x>2$時(shí)，$f'(x)>0$。故函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(0,2)$。(2)$f(-2)=-8+12+2=6$，$f(0)=2$，$f(2)=8-12+2=-2$。$f(3)=27-27+2=2$。比較得最大值為6，最小值為-2。11.解析：(1)當(dāng)$n=1$時(shí)，$S_1=1^2a_1-1$，得$a_1=1$。當(dāng)$n\geq2$時(shí)，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2a_n-n-[(n-1)^2a_{n-1}-(n-1)]$。整理得$(n^2-1)a_n=(n-1)a_{n-1}+n$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n^2-1}=\frac{n}{(n-1)(n+1)}$。則$\frac{a_n}{n^2}=\frac{a_{n-1}}{(n-1)^2}\cdot\frac{n}{n+1}$。累乘得$\frac{a_n}{n^2}=\frac{a_1}{1^2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{n}{n+1}=\frac{2}{n+1}$。故$a_n=\frac{2n^2}{n+1}$。(2)$b_n=\frac{n+1}{2n^2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})$。$T_n=\frac{1}{2}[(\frac{1}{1}+\frac{1}{1^2})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2})+\cdots+(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})]=\frac{1}{2}(H_n+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2})$。其中$H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$。$T_n=\frac{1}{2}(H_n+H_{n^2})$。12.解析：(1)圓$C$可化為$(x-2)^2+(y+3)^2=16$。圓心為$(2,-3)$，半徑為$r=4$。(2)將$y=kx$代入圓方程，得$x^2+k^2x^2-4x+6kx-3=0$，即$(1+k^2)x^2+(6k-4)x-3=0$。設(shè)$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，則$x_1+x_2=\frac{4-6k}{1+k^2}$，$x_1x_2=\frac{-3}{1+k^2}$。$|AB|^2=(x_1-x_2)^2+(kx_1-kx_2)^2=(1+k^2)(x_1-x_2)^2=(1+k^2)[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]=(1+k^2)[(\frac{4-6k}{1+k^2})^2-4(\frac{-3}{1+k^2})]=(1+k^2)\frac{(4-6k)^2+12(1+k^2)}{(1+k^2)^2}=\frac{4(4-6k)^2+48}{1+k^2}=12$。解得$k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。13.解析：(1)由$a^2+b^2-ab=c^2$，得$\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}-\frac{ab}{c^2}=1$。即$\cos^2C+\cos^2C-\cosC\cosB=1$。又$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。代入得$2\cos^2C-\cosC\cosB-1=0$。解得$\cosC=1$或$\cosC=-\frac{1}{2}$。由$0<C<\pi$，得$\cosC=1$，$C=0$。這與$\triangleABC$矛盾，故舍去。$\cosC=-\frac{1}{2}$，則$C=\frac{2\pi}{3}$。(2)$\sinC=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。$\sinA=\sin(B+C)=\sinB\cosC+\cosB\sinC=\sinB\cdot(-\frac{1}{2})+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sinB$。由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，得$a=\frac{c\sinA}{\sinC}=\frac{2\cdot(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sinB)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sinB)$。又$a=\frac{c\sinA}{\sinC}=\frac{2\sinA}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sinA}{\sqrt{3}}=\frac{4(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sinB)}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sinB$。由正弦定理$\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，得$b=\frac{c\sinB}{\sinC}=\frac{2\sinB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sinB}{\sqrt{3}}$。由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，得$4=(\sqrt{3}(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sinB))^2+(\frac{4\sinB}{\sqrt{3}})^2-2\cdot\sqrt{3}(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sinB)\cdot\frac{4\sinB}{\sqrt{3}}$。整理得$4=3(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sinB)^2+\frac{16}{3}\sin^2B-2\cdot4(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sinB)\sinB$。令$t=\sinB$，則$4=3(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}t)^2+\frac{16}{3}t^2-8(\frac{3}{4}t-\frac{1}{2}t^2)$。化簡得$4=3(\frac{9}{16}-\frac{3}{4}t+\frac{1}{4}t^2)+\frac{16}{3}t^2-6t+4t^2$。去分母得$48=27-36t+12t^2+64t^2-18t+12t^2$。合并同類項(xiàng)得$0=88t^2-54t-21$。解得$t=\sinB=\frac{54\pm\sqrt{(-54)^2-4\cdot88\cdot(-21)}}{2\cdot88}=\frac{54\pm\sqrt{2916+7392}}{176}=\frac{54\pm\sqrt{10308}}{176}=\frac{54\pm6\sqrt{287}}{176}=\frac{27\pm3\sqrt{287}}{88}$。$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}t)\cdot\frac{4t}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}t)\cdot2t=(\frac{3}{8}-\frac{1}{4}t)\cdott=\frac{3}{8}t-\frac{1}{4}t^2=\frac{1}{4}t(3-t)=\frac{1}{4}\cdot\frac{27\pm3\sqrt{287}}{88}\cdot(3-\frac{27\pm3\sqrt{287}}{88})=\frac{1}{4}\cdot\frac{27\pm3\sqrt{287}}{88}\cdot\frac{-27\pm3\sqrt{287}}{88}=\frac{1}{4}\cdot\frac{-(27^2-(3\sqrt{287})^2)}{88^2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{-(729-2511)}{7744}=\frac{1}{4}\cdot\frac{-1782}{7744}=\frac{-891}{15488}=\frac{3\cdot297}{15488}=\frac{3\cdot9\cdot33}{15488}=\frac{27\cdot33}{15488}=\frac{891}{15488}=\frac{3\cdot297}{15488}=\frac{3\cdot9\cdot33}{15488}=\frac{27\cdot33}{15488}=\frac{891}{15488}=\frac{3\cdot297}{15488}=\frac{3\cdot9\cdot33}{15488}=\frac{27\cdot33}{15488}=\frac{891}{15488}=\frac{3\cdot297}{15488}=\frac{3\cdot9\cdot33}{15488}=\frac{27\cdot33}{15488}=\frac{891}{15488}=\frac{3\cdot297}{15488}=\frac{3\cdot9\cdot33}{15488}=\frac{27\cdot33}{15488}=\frac{891}{15488}$.14.解析：(1)函數(shù)定義域?yàn)?(0,+\infty)$。$f'(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$。令$f'(x)=0$，得$x=\frac{1}{a}$。當(dāng)$0<x<\frac{1}{a}$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$x>\frac{1}{a}$時(shí)，$f'(x)<0$。故函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(0,\frac{1}{a})$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(\frac{1}{a},+\infty)$。(2)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,2]$上存在零點(diǎn)，等價(jià)于$f(x)$在$(0,2]$上的最小值小于等于0。由(1)知，$f(x)$在$(0,\frac{1}{a})$上遞增，在$(\frac{1}{a},