專題08排列與組合一、考情分析二、考點梳理【排列】1．排列的概念：從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0個元素的一個排列說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同2．排列數(shù)的定義：從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從SKIPIF1<0個元素中取出SKIPIF1<0元素的排列數(shù)，用符號SKIPIF1<0表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號SKIPIF1<0只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列3．排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由SKIPIF1<0的意義：假定有排好順序的2個空位，從SKIPIF1<0個元素SKIPIF1<0中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)SKIPIF1<0．由分步計數(shù)原理完成上述填空共有SKIPIF1<0種填法，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0由此，求SKIPIF1<0可以按依次填3個空位來考慮，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0以按依次填SKIPIF1<0個空位來考慮SKIPIF1<0，排列數(shù)公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是SKIPIF1<0，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0個因數(shù)；（2）全排列：當(dāng)SKIPIF1<0時即SKIPIF1<0個不同元素全部取出的一個排列全排列數(shù)：SKIPIF1<0（叫做n的階乘） 另外，我們規(guī)定0!=1.1組合的概念：一般地，從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0SKIPIF1<0個元素并成一組，叫做從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0個元素的一個組合說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同【組合】1．組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）從4個不同元素SKIPIF1<0中取出3個元素的組合數(shù)SKIPIF1<0是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)SKIPIF1<0可以求得，故我們可以考察一下SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關(guān)系，如下：組合排列SKIPIF1<0由此可知,每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)SKIPIF1<0，可以分如下兩步：①考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有SKIPIF1<0個；②對每一個組合的3個不同元素進(jìn)行全排列，各有SKIPIF1<0種方法．由分步計數(shù)原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．2.推廣：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)SKIPIF1<0，可以分如下兩步：①先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)SKIPIF1<0；②求每一個組合中m個元素全排列數(shù)SKIPIF1<0，根據(jù)分步計數(shù)原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3.組合數(shù)的公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0規(guī)定:SKIPIF1<0.

三、題型突破重難點題型突破1簡單的排列問題例1．某會議結(jié)束后，21個會議人員合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，A站在前排正中間位置，B，C兩人也站在前排并與A相鄰，如果對其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【變式訓(xùn)練1-1】甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________.（用數(shù)字作答）重難點題型突破2簡單的組合問題例2．從8名女生和4名男生中選出6名學(xué)生組成課外活動小組，則按性別分層抽樣組成課外活動小組的概率為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2-1】甲?乙?丙三人計劃參加學(xué)校趣味運動會中的千人迎面接力?五人踏板?足球射門?籃球投籃四個比賽項目，由于時間關(guān)系，每個人只能隨機(jī)選擇參加一個項目，則甲?乙?丙三人中恰好兩人參加同一個比賽項目的概率為（

）A． B． C． D．重難點題型突破3注意缺少“至多”或“最少”例3．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍(lán)色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（

）A．484 B．472C．252 D．232【變式訓(xùn)練3-1】將5名實習(xí)老師安排到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1人、至多2人，則不同的安排方法有（

）A．90種 B．120種 C．150種 D．180種重難點題型突破4特殊元素優(yōu)先處理例4．共五人站成一排，如果必須站在的右邊，那么不同的排法有___________種.【變式訓(xùn)練4-1】某班上午有五節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)課，要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數(shù)是___________．【變式訓(xùn)練4-2】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于201345的正整數(shù)有（

）個.A．478 B．479 C．480 D．481重難點題型突破5相鄰問題用捆綁與不相鄰問題用插空例5．某學(xué)校為高一年級排周一上午的課表，共5節(jié)課，需排語文?數(shù)學(xué)?英語?生物?地理各一節(jié)，要求語文?英語之間恰排1門其它學(xué)科，則不同的排法數(shù)是（

）A．18 B．26 C．36 D．48【變式訓(xùn)練5-1】甲、乙、丙三人站成一排，則甲、乙不相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練5-2】，，，，五個人站成一排，則和分別站在的兩邊（可以相鄰也可以不相鄰）的概率為（

）A． B． C． D．重難點題型突破6排列與組合中平均分問題例6．將4本不同的書本全部分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每位同學(xué)都分到書的分法有（

）A．12種 B．24種 C．32種 D．36種【變式訓(xùn)練6-1】為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某志愿者協(xié)會開展“黨史下鄉(xiāng)”宣講活動，準(zhǔn)備派遣10名志愿者去三個鄉(xiāng)村開展宣講，每名志愿者只去一個鄉(xiāng)村，每個鄉(xiāng)村至少安排3個志愿者，則不同的安排方法共有________種．（用數(shù)字作答）重難點題型突破8涂色問題例7．用四種顏色給下圖的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144【變式訓(xùn)練7-1】如圖，圖案共分9個區(qū)域，有6中不同顏色的涂料可供涂色，每個區(qū)域只能涂一種顏色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則涂色方法有A．360種 B．720種 C．780種 D．840種【變式訓(xùn)練7-2】如圖，節(jié)日花壇中有5個區(qū)域，現(xiàn)有四種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，則符合條件的種植方案有（

）種．A．36 B．48C．54 D．72專題08排列與組合A組基礎(chǔ)鞏固1．現(xiàn)需編制一個八位的序號，規(guī)定如下：序號由4個數(shù)字和2個x、1個y、1個z組成；2個x不能連續(xù)出現(xiàn)，且y在z的前面；數(shù)字在1，2，4，8之間選取，可重復(fù)選取，且四個數(shù)字之積為8，則符合條件的不同的序號種數(shù)為（

）A．12600 B．6300 C．5040 D．25202．天河區(qū)某校開展學(xué)農(nóng)活動時進(jìn)行勞動技能比賽，通過初選，選出甲?乙?丙?丁?戊共5名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對乙說“你當(dāng)然不是最差的”，試從這個回答中分析這5人的名次排列順序可能出現(xiàn)的種類有（

）A．54種 B．60種 C．72種 D．96種3．在2021中俄高加索聯(lián)合軍演的某一項演練中，中方參加演習(xí)的有4艘軍艦，5架飛機(jī)；俄方有3艘軍艦，6架飛機(jī).若從中、俄兩方中各選出2個單位（1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一個單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機(jī)兩兩不同），且選出的四個單位中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有（

）A．51種 B．168種 C．224種 D．336種4．第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行．現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．185．2021年1月10日，是我國設(shè)立的第一個“中國人民警察節(jié)”，2020年，某省人民群眾對公安機(jī)關(guān)的滿意度測評居首位．為感謝公安干警的辛勤付出，6名學(xué)生到甲、乙、丙、丁4個值勤崗?fù)ぷ鲋驹刚撸棵麑W(xué)生只去1個值勤崗?fù)?，且每個值勤崗?fù)ぞ兄驹刚咧登冢艏字登趰復(fù)ぐ才?名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．60種 B．96種 C．120種 D．240種6．為了落實五育并舉，全面發(fā)展學(xué)生素質(zhì)，學(xué)校準(zhǔn)備組建書法?音樂?美術(shù)?體育社團(tuán)，現(xiàn)將5名同學(xué)分配到這4個社團(tuán)進(jìn)行培訓(xùn)，每名同學(xué)只分配到1個社團(tuán)，每個社團(tuán)至少分配1名同學(xué)，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種7．某工程隊有卡車?挖掘機(jī)?吊車?混凝土攪拌車各一輛，將它們?nèi)颗赏?個工地進(jìn)行作業(yè)，每個工地至少派一輛，則不同的派法種數(shù)是（

）A．18 B．9 C．27 D．368．通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號，笫二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字與英文字母組成的序號．其中序號的編碼規(guī)則為：①由0，1，2，…，9這10個阿拉伯?dāng)?shù)字與除，之外的24個英文字母組成；②最多只能有2個位置是英文字母，如：粵，則采用5位序號編碼的粵牌照最多能發(fā)放的汽車號牌數(shù)為（

）A．586萬張 B．682萬張 C．696萬張 D．706萬張9．將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，則不同的分配方案有（

）A．30種 B．60種 C．90種 D．150種10．從1到10這十個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和為奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．11．現(xiàn)有甲?乙?丙?丁?戊五位同學(xué)，分別帶著A?B?C?D?E五個不同的禮物參加“抽盲盒”學(xué)游戲，先將五個禮物分別放入五個相同的盒子里，每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為（

）A． B． C． D．12．五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽.如果從這五個音階中任取三個音階，排成一個三個音階的音序，則這個音序中必含“徵”這個音階的概率為（

）A． B． C． D．13．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（

）A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；14．六個人排隊，甲乙不能排一起，丙必須排在前兩位的概率為（

）A． B． C． D．15．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戌5人參加社區(qū)志愿者服務(wù)活動，每人從事團(tuán)購、體溫測量、進(jìn)出人員信息登記、司機(jī)四項工作之一，每項工作至少有一人參加.若甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戌都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是（

）A．234 B．152 C．126 D．10816．某校迎新晚會上有個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起．則該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有A．種 B．種 C．種 D．種17．某電影院的一個放映室前3排的位置如圖所示，甲和乙各自買了一張同一個場次的電影票，已知他們買的票的座位都在前3排，則他們觀影時座位不相鄰（相鄰包括左右相鄰和前后相鄰）的概率約為（）A．0.87 B．0.89 C．0.91 D．0.9218．某校為慶祝建黨一百周年，要安排一場共11個節(jié)目的文藝晚會，除第1個節(jié)目和最后一個節(jié)目已經(jīng)確定外，3個音樂節(jié)目要求排在2，6，9的位置，3個舞蹈節(jié)目必須相鄰，3個曲藝節(jié)目沒有要求，共有不同的演出順序（

）種A．144 B．192 C．216 D．32419．某班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會的3個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，3個音樂節(jié)目恰有兩個節(jié)目連排，則不同排法的種數(shù)是（

）A．240 B．188 C．432 D．28820．某公司計劃舉辦一場晚會，節(jié)目有1個朗誦，1個武術(shù)表演，2個話劇表演，3個歌舞表演，要求第一個節(jié)目為歌舞表演，最后一個節(jié)目為話劇表演，且相同種類的節(jié)目不相鄰，則不同的節(jié)目演出順序的種數(shù)為（

）A．432 B．252 C．192 D．18021．將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是（

）A． B．120 C．240 D．72022．如圖，一塊長方形花圃，計劃在A、B、C、D四個區(qū)域分別種上3種不同顏色鮮花中的某一種，允許同一種顏色的鮮花使用多次，但相鄰區(qū)域必須種不同顏色的鮮花，不同的種植方案有（

）A．9種 B．8種 C．7種 D．6種23．如圖，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種（

）A．280 B．180 C．96 D．60B組能力提升24．將2個2021，3個2019，4個2020填入如圖的九宮格中，使得每行數(shù)字之和、每列數(shù)字之和都為奇數(shù)，不同的填法有___________種.（用數(shù)字回答）25．由數(shù)字1，3，4，6，五個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，所有這些五位數(shù)各位數(shù)字之和為2640，則______．26．某九位數(shù)的各個數(shù)位由數(shù)字1，2，3組成，其中每個數(shù)字各出現(xiàn)3次，且數(shù)字1和數(shù)字2不能相鄰，則符合條件的不同九位數(shù)的個數(shù)是___．（用數(shù)字作答）27．某外語組9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，則不同的選法有________種．28．某地區(qū)有3個疫苗接種定點醫(yī)院，現(xiàn)有10名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個醫(yī)院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.29．5名志愿者進(jìn)入3個不同的場館參加工作，則每個場館至少有一名志愿者的概率為______．30．習(xí)近平總書記在湖南省湘西州花垣縣十八洞村考察時，首次提出“精準(zhǔn)扶貧”概念，“精準(zhǔn)扶貧”已成為我國脫貧攻堅的基本方略.為配合國家“精準(zhǔn)扶貧”戰(zhàn)略，某省農(nóng)業(yè)廳派出6名農(nóng)業(yè)技術(shù)專家（4男2女）分成兩組，到該省兩個貧困縣參加扶貧工作，若要求女專家不單獨成組，且每組至多4人，則不同的選派方案共有__________種.31．甲、乙、丙3個公司承包5項不同工程，甲、乙公司均承包2項，丙公司承包1項，則共有______種承包方式．32．將5名北京冬奧會志愿者全部分配到花樣滑冰?短道速滑?高山滑雪3個項目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到一個項目，每個項目至少分配一名志愿者，并且甲?乙兩名志愿者必須分配在一起，則共有種不同的分配方式___________.33．新年音樂會安排了2個唱歌?3個樂器和2個舞蹈共7個節(jié)目，則2個唱