2021北京高一(上)期中數(shù)學(xué)匯編

函數(shù)的基本性質(zhì)章節(jié)綜合

一、單選題

1.(2021?北京市第四十三中學(xué)高一期中)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是()

A.y=-x+\B.y=-x2+4x+5C.y=-D.>T=|X-2|

av+5,x<\

2.(2021?北京?景山學(xué)校高一期中)已知函數(shù)=41,是R卜的減函數(shù),則〃的范圍是()

―,x>\

.x

A.[-4,0)B.[-4,-KO)C.(f-4)D.S,0)

3.(2021.北京?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中)如果函數(shù)/(x)的定義域?yàn)榍?，且值域?yàn)閯t稱為

5x,0<x<1,

“c函數(shù)''.已知函數(shù)/")=2/?是“Q函數(shù)”，則用的取值范圍是()

x-4x+rn,1<x<4

A.[4,9]B.[5,9]

C.[d、+8)D.[5,+oo)

4.(2021?北京市第五十七中學(xué)高一期中)若函數(shù)/(x)=二t'一1是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范

2ar+1,x<l

圍是()

1「1、

A.(―,0)B,--,0C.(-oo,2]D.(-oo,0)

22

5.(2021?北京市第五十七中學(xué)高一期中)已知定義域?yàn)?。的函?shù)f(x),若對(duì)任意xcO,存在E數(shù)都有

|/(x)歸"成立，則稱函數(shù)/(“是定義域?yàn)?。上的“有界函?shù)”.已知下列函數(shù)：

(1)/(x)=77^；⑵f(r)=V4-x2；(3)f(x)=2_：~~r：⑷/(x)=x+V4-x.

■11人4人V人IJ

其中“有界函數(shù)”是

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)

二、雙空題

6.(2021?北京市第五十七中學(xué)高一期中)函數(shù)y=—『+2R+3的單調(diào)減區(qū)間是________,/(/(-?)=.

三、填空題

7.(2021?北京市第一二五中學(xué)高一期中)函數(shù)八幻=kl在卜2,2]上的值域?yàn)?

8.(2021?北京?東直門中學(xué)高一期中)若Vxe[l,4],?之/一4恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

9.(2021.北京鐵路二中高一期中)給出定義：若〃?+g(其中m為整數(shù)，則機(jī)叫做離實(shí)數(shù)x最近的整

數(shù),記作3,即｛1｝=〃?，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)〃幻=『一｛1｝的四個(gè)命題:

0/(0)=/(l)；

②點(diǎn)（&,o）是），=f（x）的圖像的對(duì)稱中心，其中AeZ；

③y=/（x）的定義域是兄值域是（一另；

④函數(shù)y=/（i）在卜另上是增函數(shù).

則上述命題中真命題的序號(hào)是_______________.

10.（2021.北京市第五十七中學(xué)高一期中）若定義在R上的二次函數(shù)貢幻=◎44外+6在區(qū)間［0.2］上是增函數(shù)，且

加〃）次））,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

四、解答題

II.（2021?北京市第四十三中學(xué)高一期中）已知函數(shù)/（幻=/+（2-〃k-2,〃，其中〃YR.

⑴當(dāng)旭=0時(shí),寫出/*）單調(diào)區(qū)間，并求/“）的最小值；

⑵若函數(shù)在區(qū)間（F，4］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

（3）求關(guān)于x的不等式/（A）<。的解集.

12.（2021?北京八中高一期中）已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)/（用的全體：存在非零常數(shù)7,對(duì)任意xwR,

有-7）=7/。）成立.

⑴判斷函數(shù)八幻=x是否屬于集合“，并說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)f（x）=a\a>0,。w1）的圖像與丁=1的圖像有公共點(diǎn)，證明：函數(shù)f（燈屬于集合M：

（3）是否存在實(shí)數(shù)〃，使得/（幻=劃］-。|屬于集合M?若存在，求出實(shí)數(shù)〃的取值范圍：若不存在，請(qǐng)說明理由.

13.（2021?北京廣渠門中學(xué)教育集團(tuán)高一期中）已知函數(shù)/（刈=一三.

⑴判斷函數(shù)/（幻的奇偶性，并用定義證明；

（2）用定義證明：八幻在口,”）上單調(diào)遞減；

⑶若實(shí)數(shù)〃滿足+求。的取值范圍.

14.（2021?北京?中關(guān)村中學(xué)高一期中）己知函數(shù)〃切=/-2工

（1）求證：對(duì)于任意的K?0,4］,總有2x-4K/（x）K2.r；

⑵記函數(shù)尸|〃"-21-/"在區(qū)間［0,4］的最大值為6（6），求G（陽(yáng)）的最小值.

15.（2021?北京市育英中學(xué)高一期中）已知二次函數(shù)/*）=/-2（〃-以+4.

⑴若"X）為偶函數(shù)，求r。）在［-1.3］上的值域：

（2）若/（#在區(qū)間（f,2］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

⑶若xe［l,2］時(shí)，/（幻的圖象恒在直線），=奴的上方，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

16.（2021?北京十五中高一期中）己知二次函數(shù)/（"=，謂+/狀+。.

⑴若」?1）=0,試判斷函數(shù)，（力零點(diǎn)個(gè)數(shù);

⑵是否存在a,b,ceR,使/（x）同時(shí)滿足以下條件

①當(dāng)尸?I時(shí)，函數(shù)/（X）有最小值0：

②對(duì)任意x￡R,都有制"）-1—

參考-+z答A^r案r?"*

1.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定正確選項(xiàng).

【詳解】

A,y=一元+1在（。，2）上遞減，不合題意.

B,y=-f+4x+5開口向下，對(duì)稱軸為x=2,所以在區(qū)間（。，2）上是增函數(shù)，正確.

C,丁=,化（0,2）上遞減，不合題意.

X

,?[x-2.x>2

D,產(chǎn)x-2=\、，在（0⑵上遞減，不合題意.

[2-x,x<2

故選：B

2.A

【解析】

分段函數(shù)是R上的減函數(shù)，不僅需要每一段是單調(diào)遞減的，還需要左邊一段的最低不高于右邊一段的最高，據(jù)此列

不等式求解即可.

【詳解】

ax+5,x41

1,是R上的減函數(shù)，

[a<0I

則，<、1，解得-4K”0

a+5Nl

故選：A.

3.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的新定義得到/（力.=/.）且/（63=/。），結(jié)合函數(shù)/（“和二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求

解.

【詳解】

由題意，函數(shù)“X）的定義域?yàn)閇〃/],且值域?yàn)?/p>

即函數(shù)/'（X）的最小值用（x）1nto=/（?），最大值為f（x）1rax=f?，

5x,0<x<l

又由函數(shù)/。）=〈

-4x+m,1<x<4

當(dāng)OWxWl時(shí)，W0<5x<5,

5>f(2)>09>/??>4

要是函數(shù)/（X）滿足新定義，則滿足?「，即「所以5《”區(qū)9,

/(4)>5w>5

所以實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是[5,9].

故選:B.

4.B

【解析】

因1

2

由題，得2。<0,解不等式組即可得到本題答案.

—1~+axl—3a41x2。+1

【詳解】

由時(shí)，/。)=「？+辦一3a是減函數(shù)，得。工2,由x<l時(shí)，函數(shù)/(x)=2ov+l是減函數(shù)，得“<0,由x=l時(shí)的

函數(shù)值應(yīng)滿足d+qxT心Ix2a+I,解得心-；，綜上，得

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍.

5.B

【解析】

分別求四個(gè)函數(shù)的值域，對(duì)照“有界函數(shù)''的概念即可判斷.

【詳解】

(1)〃"=泮=7+--，由于1一0°，所以/(x)HO,(刈>。不滿足題意；

(2)令)，=4一12,)亞。，則/(x)=4

因?yàn)閥=4-Y,y之0,當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù))，=4-/,)，20的鼓大值為％”=4

所以yw[0,4],即f(x)e[0,2],，(到42,為有界函數(shù);

(3)令)，=2/-4￥+3,(丁工0),當(dāng)工二一^^^時(shí)，函數(shù)y=2d-4x+3,(yw0)有最小值2x『-4xl+3=l,即

乙X乙

2X2-4X+3>1,所以0VL4-？0=5,所以|/(x)歸5

2x-4x+31

故函數(shù)/(力==4-為有界函數(shù)；

2.r-4.r+3

(4)令/=J4-2。,則x=4-產(chǎn)，即"“=一/+/+4,r>0

1/1\-]]*717

當(dāng)/=]時(shí)，/(x)nm=--+-+4=—,無最小值，即此時(shí)不存在正數(shù)M，都有|/(x)|KM成立，

2\,2/244

故該函數(shù)不是有界函數(shù).

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)值域的求法，屬于中檔題.

6.(1,+oo)和(—1,0)-5

【解析】

寫出〃幻的分段函數(shù)形式，利用各分段上二次函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)減區(qū)間，再求/(-1),進(jìn)而求/(/(-I))的值.

【詳解】

當(dāng)工20時(shí)，/(x)=-x2+2.r+3=-(x-1)2+4,

當(dāng)x<0時(shí)，/(.r)=-x2-2x+3=-(x+I)2+4,

,.—(x+1)+4,x<0,\、

A/W-l'\,易如：/⑺在(1,18)、(1,0)上遞減.

+4,x>0

又/(-1)=4,則/(/(-1))=/(4)=一5.

故答案為：(1,*°)和(-1,0),—5.

7.10,2]

把函數(shù)f(x)化成分段函數(shù)，再求出每一段上的函數(shù)值集合，然后求并集即可.

【詳解】

-x,-2<x<0

依題意，xw[-2,2]時(shí),/*)=兇=，

x,0<x<2

則當(dāng)一24<0時(shí)，,/)=—是單調(diào)遞減的，即/(0)</(、)W/(-2),段)值集合為(0,2],

當(dāng)0W2時(shí)，/*)=x是單調(diào)遞增的，即〃0)4/0)工/(2),段)，立集合為[0,2],

所以函數(shù)=1xI在[-2,2]上的值域?yàn)椤?].

故答案為：[0,2]

8.[3,+co)

【解析】

4(4、

參變分離可得-對(duì)Txw[l，4]恒成立，即〃之X—,xe[l,4],再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，

XImax

即可得解；

【詳解】

解：因?yàn)閂xw[l,4],orNd—4恒成立，所以Tx?l,4],立土二二X一3恒成立，所以北工一一，-ve[l,4],

XXV)max

因?yàn)楹瘮?shù)=在[1,4]上單調(diào)遞增，所以〃XL="4)=4—：=3,所以即

故答案為：[3,包)

9.?@

【解析】

依據(jù)函數(shù)定義，得到，。）=1-{燈￡（-5,3],再對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)驗(yàn)證后，即可得到答案.

【詳解】

由定義可得八。）=/⑴=。，故①正確；

由于心Z,f（k）=kTk}=k-k=O,但由于/*）=x_*}￡（_:』，故函數(shù)圖象不是中心對(duì)稱圖形，故②錯(cuò)誤;

f（2的定義域?yàn)镽,/（X）=X-{A-}G（-11],故③正確；

當(dāng)時(shí),/(x)=x-O=x,當(dāng)時(shí)，f(x)=x-1

\乙乙

所以/⑴在（-：1=1],（：|3，力上是增函數(shù)，但在區(qū)間（―1-3力上不是增函數(shù)，故命題④錯(cuò).

222222

故答案為：①③

10.[0,4]

【解析】

可先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=-F=2,再根據(jù)函數(shù)的增減性及對(duì)稱性可求得m的取值范圍.

-2a

【詳解】

一4〃

二次函數(shù)的時(shí)稱軸X二一一二2,??r€（0,2）時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，.?.av。，二次函數(shù)開口向下，??.xe（2,4）函數(shù)單調(diào)遞

-2a

減，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，八。）=/（4）,./（⑼決）），二?〃回0,4]

【點(diǎn)睛】

二次函數(shù)是對(duì)稱函數(shù)，解題時(shí)，一定要根據(jù)對(duì)?稱性來解題，防止漏解錯(cuò)解.

11.⑴單調(diào)遞增區(qū)間[-1，田）；單調(diào)遞減區(qū)間最小值-1

⑵U0,欣）

（3）答案不唯一，具體見解析

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)/（x）的對(duì)稱軸和開口方向求得單調(diào)區(qū)間以及最小值.

（2）根據(jù)/（x）在區(qū)間（F,4]上的單調(diào)性列不等式，由此求得，”的取值范圍.

（3）對(duì)“進(jìn)行分類討論，由此求得不等式/（幻工。的解集.

（1）

當(dāng)〃?=。時(shí)，f（x）=x2+2x=（x+\）2-\.

開口向上，對(duì)稱軸工=-1,

單調(diào)遞增區(qū)間1-1,+◎,

單調(diào)遞減區(qū)間（y,T],

所以，當(dāng)x=T時(shí)，/（幻取得最小值T.

⑵

拋物線開口向上，對(duì)稱軸"=-三”

因?yàn)?(X)在(-8,4]上是減函數(shù)，

〃210,

所以，〃的取值范圍是10,包).

(3)

/(x)<0g[J(x+2)(x-/w)^0.

①當(dāng)〃〉一2時(shí)，的解集為“|一2$工4加｝;

②當(dāng),”=—2時(shí)，的解集為｛x|x=-2｝：

③當(dāng)〃?<-2時(shí),的解集為｛x\m<x<-2｝.

12.(l)/(x)=x任M,理由見解析

⑵證明見解析

(3)不存在實(shí)數(shù)。，使得/(x)=xb-〃l屬于集合M

【解析】

(1)將fM=x代入定義/J+7)=Tf(x)驗(yàn)證知函數(shù)f(x)=x不屬于集合M.

(2)由題意存在xwR使得由新定義知存在非零常數(shù)7使得/=7,將函數(shù)關(guān)系式代入/(x+T)=H〃x)驗(yàn)

x

證知f[x｝=aGM.

7=1

(3)先假設(shè)存在，則由新定義有7L,方程組無解，故不存在

1=-1

(1)

f(x)=x^M,

理由如下：

若f(x)=x,

貝Ijf(x-T)=x+T,TJ(A)=7A-,

3x=a/a+7')=7'^o,w)=o,

所以=；

(2)

函數(shù)fH)-cJ(a>0,aq1)的圖像與y-"的圖像有公共點(diǎn)，

v=ax

所以方程組：f有解，消去>得a'=x,

y=x

顯然工=0不是方程的解，

所以存在非零常數(shù)丁，使/=r.

于是對(duì)于/(X)=4,有f｛x+T)=a"'=a"a1=Th'=Tf(x),

故/(xi=ax；

(3)

若/(x)eM,則當(dāng)x=0時(shí)，/(x+T)=7'|T-?|，W)=0,

所以中-4=0,得7=%

貝IJf{x-T)=(A-+T)H，7f(x)=TX\X-T\t

當(dāng)x>0且x>7,/(x+T)=X2+TxJf{xj=Tx2-T2x,

T=\

所以丁丁2,方程組無解，

i=-I

故不存在實(shí)數(shù)〃，使得/(x)=x|x-al屬于集合M

13.(1)奇函數(shù)，證明見解析

⑵證明見解析

(3)。>1或av-1

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義法證明；

(3)利用單調(diào)性解不等式即可.

(1)

函數(shù)/(*)是奇函數(shù).

函數(shù)/5)==一的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

x2+\

/(T)=--=__A-=-f(x),

(一X廠+1x2+\

?.?函數(shù)/“)是奇函數(shù).

(2)

設(shè)且內(nèi)<々，

f(r)二XW二百(一+1)-1(內(nèi)2+1)二(土一王)(1725)

“I八、-M+i/+廣*；+1).(石+1)—(一+1).(考+1).

因?yàn)锳，.C[l，+8)且不<々，

所以西一吃<。,％W>1』一為X2<Ot

所以/(內(nèi))一/(9)>0,/(芭)>/伍)，

所以M在[1,+8)上單調(diào)遞減.

⑶

22

因?yàn)?⑵二藥方

所以/(/+1)</(2),

rh(2)知函數(shù)/(幻在口,+oo)上單調(diào)遞減，

所以片+1>2,

解得或”-1.

14.(1)證明見解析

(2)2

【解析】

⑴根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)煎x)=/(x)-2.r,求出函數(shù)g(x)在x?0,4］的值域即可得解.

⑵令/(x)-2x=r,函數(shù)y=|.f(.i)-2..N=|一問，再按,〃值分類討論即可求解作答.

(1)

依題意，令g(x)=/(x)-2x,xe［o,4］,則當(dāng)xc［0,4］時(shí)，=/-4x=(x-2)2-4,

顯然g(x)在02］上單調(diào)遞減，在241上單調(diào)遞增，8*)*=第2)=-4,g(x)1a=以0)=以4)=0,

于是得對(duì)任意的x40,4］,總有TWg(x)W0,^-4<f(x)-2x<0f亦即2x-4K/(x)K2x,

所以對(duì)于任意的xe［()，4］,總有21—4W/(x)?2x.

⑵

令f(x)-2x=f,由(1)知，當(dāng)工￡［。,4］時(shí)，-4</<0,則函數(shù)丁=|/(工)一2］一同，xe［0,4］可化為函數(shù)

h(t)=\l-m\,-4<r<0,

當(dāng)〃?WY時(shí)、力(/)=/一6在，e［-4,0］上單調(diào)遞增，〃⑺3=〃(0)=一⑶，

當(dāng)〃S0時(shí)，，?(/)=T+6在/引-4,0］上單調(diào)遞減，/?(Omax=/2(-4)=4+/?,

T+m—4</</zz

當(dāng)Tv/〃vO時(shí)，〃(/)=〈'_，a⑺在［-4,〃?］上遞減，在(m,0］上遞增，

由力(-4)一萬(0)=4+2〃叱0得，m>-2,即當(dāng)-2W/〃<0時(shí)，/z(^)>/z(O),則力()皿=力(-4)=4+,

由力(-4)-/?(0)=4+2"7<0得，m<一2,即當(dāng)-4<〃?<一2時(shí)，力(-4)</?(0),則/?⑺…=〃(0)=一帆，

綜上得：當(dāng)，〃v-2時(shí)，=，〃，當(dāng)m之一2時(shí)，=4I，〃，

一/幾m<—2

于是得G(⑼=,…G(m)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在［-2,一)上單調(diào)遞增，G(Mmin=G*2)=2,

所以G(〃?)的最小值為2.

15.(1)［4J3］

⑵R”)

⑶(Y，2)

【解析】

(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義/0)=/(—X),即可求出。的值：

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到對(duì)稱軸犬=。-122,從而可求出實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

⑶根據(jù)題意得出2(〃-1?+4>仆在區(qū)間［⑶內(nèi)恒成立，然后通過分離參數(shù)得到3a-2<0+3,xe［l,2］,

VX)inin

從而只需根據(jù)基本不等式求x+士的最小值即可.

(1)

易知函數(shù)/(制的定義域?yàn)镽,若八幻為偶函數(shù)，則對(duì)DxwR,有/(X)=/(T),

即對(duì)V.r€R,(-X)2-2(〃一I)(-X)+4=/一2(。-l)x+4成立，

所以對(duì)VxeR,4(a—l)x=0成立，所以a=l,所以/(x)=V+4,

當(dāng)時(shí)，f(x)m=/(0)=4,/(1)^=/(3)=3:+4=13,

所以/⑴在11,3］上的值域?yàn)椋?,13］.

⑵

易知二次函數(shù)/(幻=胃-2(〃-1口+4的對(duì)稱軸為x=a-l,

所以若/⑴在區(qū)間(,,2］上是減函數(shù)，則4-IN2,即g3,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［3,芹)；

(3)

若xe［l,2］時(shí)，/(幻的圖像恒在直線了=仆的上方，則/。)＞公在區(qū)間［1.2］內(nèi)恒成立,

4

即V-2(a-l)x+4＞or在區(qū)間［1,2］