???三年（2023-2025）中考真題分類匯編

專題10圓綜合（6大考點34題）

考點（）1圓中的角度問題

1.（2023?湖北隨州?中考真題）如圖，在OO中，OA.LBC,ZAOB=60°,則NADC的度數(shù)為.

【答案】30。/30度

【分析】根據(jù)垂徑定理得到外8=充。，根據(jù)圓周角定理解答即可.

【詳解】解：???Q4_L8C,

用B=今。，

ZADC=-/AOB=30°,

2

故答案為：30°.

【點睛】本題考杳的是垂徑定理和圓周角定理，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?湖北黃岡?中考真題）如圖，在0。中，直徑A8與弦CO相交于點P,連接AC,AD,加＞,若NC=20。,

ZBPC=70°,則ZADC;()

B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】先根據(jù)圓周角定理得出N8=NC=20。，再由三角形外角和定理可知

ZBDP=ZBPC-=70°-20°=50°,再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即NAQ8=90。，然后利用

44O8=NADC+N80P進而可求出NADC.

【詳解】解:vZC=20°,

/.ZB=20°,

???ZBPC=70°,

/BDP=NBPC-ZB=70°-20°=50°，

又?「AB為直徑，即NAQ3=90。，

JZADC=ZADB-ZBDP=90°-50°=40°,

故選：D.

【點睛】此題主要考杳了圓周角定理，三角形外角和定理等知識，解題關(guān)鍵是熟知圓周角定理的相關(guān)知識.

3.（2023?湖北春陽?中考真撅）如圖，四功形A8CD內(nèi)接于點/?在CO的延長線匕若NA￡>￡=70。,

【答案】140

【分析】首先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得N8=NAOE=70。，再根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系即可得出/AOC

的度數(shù).

【詳解】解：:四邊形內(nèi)接于。0,ZAD￡=70°,

:.ZB+ZWC=180°,

又「ZADE+ZADC=\^°,

???/6=NADE=7（）c,

Z40C=2Z/J=I40°.

故答案為：140.

【點睛】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓心角與圓周角之間的關(guān)系，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的對

角互補，理解圓心角與圓周角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

4.（2023?湖北?中考真題）如圖，在V"C中，Z4C/?=70°,△/1忒?的內(nèi)切圓與A88c分別相切于

點O,E,連接"七，AO的延長線交DE于點尸，則NA/D=.

c

【答案】35答35度

【分析】如圖所示，連接OEOD,OB,設(shè)08、DE交于H,由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出

408=125。，再由切線長定理得到8。=8石，進而推山08是。石的垂直平分線，即NO”/=90。，則

ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°.

【詳解】解：如圖所示，連接OE,OD,OB,設(shè)03、DE交于H,

???。。是VA8C的內(nèi)切圓，

???。4、04分別是NC4&NCK4的角平分線，

：.ZOAB=-ZCAB,ZOBA=-ZCBA,

22

???ZACB=70°,

??.ZC4B+NCBA=180°-/ACB=110°,

.\^OAB+ZOBA=-ZCBA+-ZCAB=55°

22f

???NAOB=180°-ZOAB-NOBA=125°,

???0O與AB8c分別相切于點Q,E,

???BD=BE,

又,：OD=OE,

???。8是OE1的垂直平分線，

C.OBLDE,即NO”"=90°.

乙AFD=NAOH-NOHF=35°,

故答案為：35。.

【答案】c

【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，等邊對等角，圓周角定理的應用，由MN是的垂直平分線,

可得。4=Q8,可得N84O=NA8O=30。，再進一步求解即可.

【詳解】解：由作圖可得：是48的垂直平分線，

ADA=DB,而N8AC=30°,

???N34O=430=30°,

???Z4OE=2ZA/?D=60°,

故選：C

7.（2023?湖北武漢?中考真題）如圖，在四邊形A4C。中，AB//CD,AD1AB,以。為圓心，4。為半徑

AR1

的瓠恰好與相切，切點為E.若不=鼻，則sinC的值是（）

3

C.

4

【答案】B

【分析】作延長線于產(chǎn)點，連接?！?根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求

解在RlZXOEC和RtZ\8FC,最終得到DE,即“J根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解.

【詳解】解：如圖所示，作b_LA8延長線于尸點，連接OE.

VADJ.AB,AB//CD,

???AFAD=ZADC=ZF=90°,

???西邊形AOC尸為矩形，vAF=DC,AD=FC,

???A8為0。的切線，

由題怠，BE為。。的切線，

ADEIBC,AB=BE,

??任，

?——，

CD3

?,?設(shè)45=8E=〃，CD=3a,CE=x,

則=A尸-A/=CO-AB=〃，BC=BE+CE=a+x,

在RtZXOEC中，DE2=CD2-CE2=9a2-x2,

在為△8/7C中，F(xiàn)C2=BC2-BF1=（?+x）2—（加『,

???DE=DA=FC,

9a1-x2=（a+x1-（2〃y,

解得：x=%或x=-%（不合題意，舍去），

:.CE=2a,

「?DE=^CDr-CE2=49儲一4標=64，

..廠DEy/5a舊

??sinC=---=------=—>

DC3a3

故選:B.

【點睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強，熟練運

用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵.

考點02圓中的弧長問題

8.（2023?湖北荊州?中考真題）如缸一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（AC）,點。是這段弧所在圓的圓心,

。為AC上一點，O8JLAC于。.若AC=30（）Gm,BD=150m,則AC的長為（)

A.300^mB.200/rmC.150乃mD.IO()V3^m

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理求出A。長度，再根據(jù)勾股定理求出半徑長度，最后利用弧長公式即可求出答案.

【詳解】解：-OBLAC,點。是這段弧所在圓的圓心，

AD=CD,,

-OD=OD,OA=OC,

QDO^&DO、

/.ZAOD=ZCOD.

?/AC=3(X)x/3m,AD=CD,

AD=CD=150>/3m.

設(shè)tt4=OC=Q8=x,則DO=x-150,

在Rt^AOO中，X2=(X-I50)2+|150X/3)\

/.x=300m,

?/iAD150GG

/.sinZ.A0D=----=--------=——.

AO3002

.?"AOr>=60。，

...ZAOC=I20°,

故選：B.

【點睛】本題考查了圓的垂徑定理，弧長公式，解題的關(guān)鍵在于通過勾股定理求出半徑長度，從而求出所

求弧長所對應的圓心角度數(shù).

9.（2023?湖北十堰?中考真題）如圖，已知點C為圓錐母線S4的中點，AB為底面圓的直徑，SB=6,AI3=4,

一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從4點爬到C點,則螞蟻爬行的最短路程為（）

B.3GC.3&D.6x/3

【答案】B

【分析】連接48,先根據(jù)直徑求出底面周長，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長可求出圓銖的側(cè)面展開

后的圓心角，可得ASAB是等邊三角形，即可求解.

【詳解】解：連接AB,如圖所示,

?IAB為底面圓的直徑，AA=4,

設(shè)半徑為r,

底面周長=2仃=4萬，

設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的圓心角為“，

???圓錐母線S3=6,

根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長可得：4笈二黑提，

解得：72=120°,

???Z4SC=60。，

???半徑S4=S4,

???ASAA是等邊三角形，

在RtzMCS中，4C=SA-sin600=6x立=36，

2

???螞蟻爬行的最短路程為36，

故選：B.

【點睛】本題考查平面展開一最短路徑問題，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形。扇形的弧長等于圓錐底面周

長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，化曲面為平面，用三角函數(shù)求解.

10.（2023?湖北黃石?中考真題）“神舟?”十四號載人飛行任務是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務,

也是空間站在軌建造以來情況最復雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人匕行任務.如圖，

當，，神舟，，十四號運行到地球表面P點的正上方的〃點處時，從點”能直接看到的地球表面最遠的點記為Q

6400

點，已知PF^—km,ZFOC=20°,COS20°?0.9,則圓心角NPOQ所對的弧長約為km（結(jié)果保留兀）.

【分析】設(shè)OP=OQ=rkm,由尸。是OO的切線，可得cos/FOQ=笑，由此構(gòu)建方程求出r,再利用弧長

公式求解.

【詳解】解：設(shè)OP=OQ=/km,

由題意，尸。是O。的切線,

：,FQLOQ,

???cosN/OQ=黑，

0.9=

i%00

Ar=6400,

20x^x64006400

，。的長

1809

6400

故答案為:-------冗.

9

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程求解.

11.（2023?湖北宜昌?中考真題）2023年5月30FI,“神舟十六號”航天飛船成功發(fā)射.如圖，飛船在離地

球大約330km的圓形軌道上，當運行到地球表面P點的正上方F點時，從中直接看到地球表面一個最遠的

點是點Q.在RIZSQ2產(chǎn)中，OP=O(??64(M)km.

(參考數(shù)據(jù)：cos16°?0.96,cos18°?0.95,cos20°?0.94,cos22°?0.93,TI?3.14)

F

Q

o

圖1圖2

（1）求cosa的值（精確至IJ0.01）；

（2）在。。中，求PQ的長（結(jié)果取整數(shù)）.

【答案】⑴0.95

（2）2010km

【分析】（1）在Rt^O回。中，利用余弦函數(shù)即可求解;

（2）先求得。的度數(shù)，再利用弧長公式即可求解.

【詳解】（I）解：由題意可知，PF=330km,

?.?OP=OQH6400kin,

OF=OP+PF=330+6400=6730km,

.?.在Rtz\。尸Q中，cos。==a0.95；

OF6730

(2)解：,.?cosau0.95,cosl80u0.95,

?二18。

18x兀x6400

PQ的長為/==640兀

180

。2009.6

?2010km.

【點睛】本題考查了求余弦函數(shù)的值，弧長公式的應用，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題.

考點03圓中的陰影圖形面積問題

12.（2023?湖北鄂州?中考真題）如圖，在V4BC中，ZAfiC=90°,NAC8=30。，A8=4,點0為8C的

中點，以。為圓心，08長為半徑作半圓，交AC于點。，則圖中陰影部分的面積是（）

A

D

B

O

A.5場與

B.573-4^C.56-2乃D.lOx/3-2^-

【答案】C

【分析】連接。。，BD,作OHJ.CD交。。于點”，首先根據(jù)勾股定理求出8c的長度，然后利用解直角

三角形求出4。、CO的長度，進而得到△08。是等邊三角形，NBOD=60。,然后根據(jù)30。角直角三角形的

性質(zhì)求出OH的長度，最后根據(jù)“影=5ACB_S：一$電形的進行計算即可.

【詳解】解：如圖所示，連接00，BD,作OH工CD交CD于點、H

???在VABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,AB=4,

ABAB4,rz

BC=------------=---------==4V3

tanZ.ACBtan30°V3

3

???點。為5C的中點，以。為圓心，。8長為半徑作半圓,

???BC是半圓的直徑,

???ZCZ?B=90°,

???ZAC8=30°,

JBD=；BC=26CD=BC.SS/BCD=46乂與=6,

又OB=OC=OD=LBC=26

2

：?OB=OD=BD,

:.M)BD是等邊三角形,

JZBOD=60°,

OHVCD,ZOCH=30°.

：.OH=-OC=^,

2

60萬X（2G

=2x4x4>/3--xV5x6-『

?S用影=S^CB~S&COD~S陶形008=50-2兀.

22360

故選：c.

【點睛】本題考查了30。角直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形面積，勾股

定理等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知以是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?湖北?中考真題）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的

圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點VA4C外接圓的一部分，小止方形邊長為1,圖中陰影部分的面積為

【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點作AB的垂直平分線MN,作BC的垂直平分線PQ,設(shè)MN與P。相交于點O,連

接Q4,OB,OC,則點。是V4BC外接圓的圓心，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△AOC是直角三角形，從

而可得^AOC=90°,然后根據(jù)S陰影=S附形人"-S-OC-S^BC，進行計算即可解答.

【詳解】解?：如圖：作A8的垂直平分線作BC的垂直平分線PQ,設(shè)MN與。。相交于點。，連接

OhOB,OC,則點。是V48C外接圓的圓心，

Q

由題意得：OA2=l2+22=5，OC2=l2+22=5,/IC2=i2+32=10,

-\OA2+OC2=AC2,

???ZSAOC是直角三角形,

???ZAOC=900.

VAO=OC=^,

S陰影=S艱形AOC-S^AOC-SfBC

90乃x（司

-OAOC--/\B\

36022

=--—x^/5x75-—x2xl

422

5乃5,

=------------1

42

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當

的輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.（2023?湖北恩施?中考真題）如圖，等圓O。和。。2相交于A,4兩點，OQ經(jīng)過。（心的圓心?！比鬛U=2,

則圖中陰影部分的面積為（）

42

A.27rB.-C.4D.—n

33

【答案】D

【分析1先證明△ACQgABCOz，再把陰影部分面積轉(zhuǎn)換為扇形面積，最后代入扇形面積公式即可.

【詳解】如圖，連接。28,。田,

A

OX-JO,卜等圓0。和O。?相交于A，8兩點

w，A8,AC=8C

?.?。?利o。?是等圓

：.01A=OQ?=01B=O]B

是等邊三角形

O

.-.ZO（O2B=60

ZACO,=ZBCO2=90。，AC=8C?A=O?4

:.gCO鼻BCO1

?S-S+S-S+S-S-60-2_@

??D_?AACQ十D圖形Beq_D/cq十》圖形就q一°扇形灰）。一一?

故選：D.

【點睛】本題考查了相交弦定理，全等的判定及性質(zhì)，扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.

考點04圓中的線段長問題

15.（2023?湖北宜昌?中考真題）如圖，OA,OB,OC都是0。的半徑，AC,03交于點。.若

AD=CD=S,。。=6,則80的長為（）.

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OD^AC,根據(jù)勾股定理求出OC=10,進一步可求出30的長.

【詳解】解：???4。=。=8,

???點。為AC的中點，

,:AO=CO,

ZODIAC,

由勾股定理得，oc=JC￡>2+必=依+8?=10,

???03=10,

???BD=OB-OD=lO-6=4,

故選:B.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及圓的有關(guān)性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題

的關(guān)鍵

16.（2024.湖北武漢.中考真題）如圖，四邊形八8C。內(nèi)接于O。，ZABC=60°,/84C=NC4O=45。，

A.1B.也C.gD."

3322

【答案】A

【分析】延長AB至點凡使=連接B。，連接C。并延長交。O于點片連接AF,即可證得

△4）。也A￡BC（SAS）,進而可求得AC=cos45O-AE=拉，再利用圓周角定理得到NAFC=60。，結(jié)合三角

函數(shù)即可求解.

【詳解】解：延長A8至點E,使座=4）,連接B。，連接C0并延長交。。于點凡連接”,

???西邊形438內(nèi)接于。。,

???ZADC+ZABC=ZABC+Z.CBE=180°

/./ADC=4CBE

ZR4C=NC4P=45。

CBD=NCDB=45。,ZDAB=90°

:.B。是0。的直徑，

???ZDCB=90°

???△OC8是等腰直角三角形，

DC=BC

:BE=AD

???LADC^EBC（SAS）

/.ZACD=ZECB,AC=CE,

AB+AD=2

A,\B+BE=AE=2

乂；N3C8=90°

/.ZACE=90°

???AACE是等腰直角三角形

???AC=cos45°AE=0

???Z4^C=60°

???ZAFC=60°

ZE4C=90°

.“AC2x/6

sin6003

???OF=OC=-CF=—

23

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等

知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?湖北十堰?中考真題）如圖，。。是VA8C的外接圓，弦8。交AC于點E,AE=DE,BC=CE,

過點。作。尸J.AC于點月延長產(chǎn)。交的于點G,若DE=3,EG=2,則A8的長為（）

AD

A.4x/3B.7C.8D.4石

【答案】B

【分析】作曲0_LAC于點M,由題意可得出Va的VDEC,從而“J得出△￡?(7為等邊三角形，從而得到

NGM=60。，ZEGF=30°,再由已知得出E/L8c的長，進而得出CM,8W的長，再求出AA/的長，再

由勾股定理求出A8的長.

【詳解】解：作BM_LAC于點M,

ZA=ZD

，AE=ED,

ZAEB=/DEC

AAE^ADEC(ASA),

???EB=EC,

又「BC=CE,

???BE=CE=BC,

:,AEBC為等邊三角形,

：.ZGEF=6(r,BC=EC

：.NEG/7=30°,

VEG=2,OF±AC,NEG尸=30。

???EF=-EG=\,

2

XVAE=ED=3,OF±AC

：.CF=AF=AE+EF=4,

???AC=2A/=8,EC=EF+CF=5,

BC=EC=5,

???N6CM=60o,

???NM8C=30。，

CM=^,BM=ylBC2-CM2=—，

22

AM=AC-CM=—,

?*-AB='AMrBM?=7?

故選：B.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外接圓與外心、勾股定

理等知識點，綜合性較強，掌握基本圖形的性質(zhì)，熟練運用勾股定理是解題關(guān)鍵.

18.(2023?湖北武漢?中考真題)如圖，0A。氏。。都是。。的半徑，/j\CB=2ABAC.

(1)求證：ZAOB=2ZBOC；

(2)若A8=4.BC=行，求0。的半徑.

【答案】(1)見解析

嗚

【分析】(1)由圓周角定理得出，NACB=；NAOB,NBAC=；NB0C,再根據(jù)⑦=2N6億',即可得

出結(jié)論；

(2)過點。作半徑8_LA5于點E,根據(jù)垂徑定理得出=良證明/￡)08=N80C,

得出瓦＞=3C,在Rt△血必中根據(jù)勾股定理得出DE=dBD2—BE?=1，在RS80E中，根據(jù)勾股定理得出

OB2=(OB-I)2+22,求出08即可.

【詳解】(1)證明：:AB，

???^ACB=-^AOB,

2

VBC=BC，

.?.ABAC=-ZBOC,

2

ZACB=2/BAC,

ZAOB=2ABOC.

(2)解：過點0作半徑O￡>_LAB于點E,則ND08=1N40B,AE=BE,

2

Q?AOB2?HOC,

々DOB=NBOC,

:.BD=BC,

?:AB=4,BC=4^,

/.BE=2,DB<,

在RtZ\8QE中，QZDEfi=90°

DETBD'-BE?=1，

在RLAOE中，VZ0EB=9()0,

:.0B?=(OB—I)?+22,

【點睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握圓周角

定理.

19.（2023?湖北黃岡?中考真題）如圖，VABC中，以"為直徑的。。交8C于點/）,。￡是。。的切線,

且。上1AC',垂足為E,延長CA交。。于點尸.

I'

（1）求證：A8=AC；

（2）若八￡=3,。石=6,求AF的長.

【答案】（1）見解析

（2）AF=9

【分析】（I）連接AO,根據(jù)已知可得〃AC,則NC=NODB,又ZB=4ODB,等量代換得出NC=N8,

即可證明A3=AC；

AFIHF

（2）連接M,證明NAOE=NC,在中，tanZ/1DE=-=-=tanZC=—,求得EC=2及￡=12,

ED2EC

根據(jù)得出）=EC=12,進而可得8/=3尸。=12,根據(jù)=即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接AO,

???以A3為直徑的0。交4c于點D,OE是0O的切線,

IODIDE,

???DE1AC,

：,0D//AC,

???/C=/ODB,

又OB=OD,

???NB=NODB,

???NC=NB,

???AB=AC；

(2)解：連接BF,AD,如圖,

則AO_L8C,BD=CD,

???ZADC=ZADB=ZAED=90°，

???ADAE+ZADE=ND4C+ZC,

ZADE=NC,

在RSADE中，AE=3,DE=6,

Apir)p

???tanZADE=——=-=tanZC=——，

ED2EC

JEC=2DE=\2,

又是直徑，

/.BF工CF,

DE〃BF,

.ECCD

'''EF~~DB'

/.EF=EC=\2,

..tanC=----=-,

FC2

：,BF=-FC=12,

2

???AF=EF-AE=\2-3=9.

【點睛】本題考杳了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，平行線分線段成比例，正切的定義，熟練學

握以上知識是解題的關(guān)鍵.

20.(2025?湖北?中考真題)如圖，0。是VA4c的外接圓，Z^AC=45°.過點。作OF_LA8,垂足為E,

交AC于點。，交。。于點F.過點尸作。。的切線，交C4的延長線于點G.

(1)求證：FD=FG；

(2)若A6=12,”G=10,求。。的半徑.

【答案】（I）證明過程見詳解

（2）00的半徑號

【分析】（1）根據(jù)垂直，切線的性質(zhì)得到A8||G/，可得是等腰直角三角形，由此即可求解；

（2）根據(jù)垂徑定理得到AE=6,VA/汨是等腰宜角三角形，由（1）得到卜修=10,則￡尸=4,如圖

所示，連接04，設(shè)OE=x,則0/=0七+箱=1+4=。4,由比勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：VDFJ.AB,G尸是。。的切線，即。尸J_G/，

.?.AB\\GF,

ZA4C=ZG=45°,

/.ZFDG=90°-45°=45°,即是等腰直角三角形，

FD=FG；

（2）解：???DF±AB,

??.AE=BE」AB=6,

2

,?ZBAC=45°,

???44。石=90。-45。=45。，即V4）E是等腰直角三角形，

JEA=ED=6,

由（1）得/D=FG=10,

EF=DF-DE=10—6=4,

如圖所示，連接。A,設(shè)OE=x,則。/=OE+￡F=x+4=OA,

.??在^^AOE中，OA2=AE2+OE2,

A(X+4)2=62+X2,

解得，x=

2

OA=x+4=—+4=-,

22

???。。的半徑號.

【力、哨】本題主要考查園內(nèi)接二角形的綜合，掌握垂徑定理，勾股定埋，等腰二角形的判定和性質(zhì)，切線

的性質(zhì)等周四，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵.

21.(2023?湖北宜昌?中考真題)如圖1,已知是0。的直徑，依是0。的切線，小交0。于點C,

AB=4,PB=3.

(1)余空：NP8A的度數(shù)是_________,%的長為

(2)求VA3c的面積；

(3)如圖2,CD1AB,垂足為。.七是AC上一點，AE=5EC.延長4E，與OC,8P的延長線分別交于

干EF.

點、F,G,求而1的Vl值.

【答案】(1)90°,5；

r96

⑵三

⑶5

【分析】(1)根據(jù)切線性質(zhì)和勾股定理分別求解即可;

12

(2)由面積法求出8C=《，再利用勾股定理求4。，則V4BC的面積可求;

ArApFC

⑶先證明?SdAG'得到前=左=后利用但"，分別得到GP=I,止BG進而計算

AG=4夜，4/；=如旦，在分別求出歷了G則問題可解;

25

【詳解】(1)解：TAB是。。的直徑，依是0。的切線,

???/PR4的度數(shù)是90。；

VAB=4,尸8=3,

,PA=ylAB2+PB2=742+32=5：

故答案為:90。，5；

(2)如圖，

p

?IAB是。。的直徑，

???ZACB=/PCB=90。,

?.?48=4,PB=3,尸4=5,

由面積法-ABPB=-APBC.

：.AC=《AB2一BC?=『

，…二更的=竺

25525

(3)方法一：如圖，

由乙4。3=乙鉆2=90。

???ZAPB=ZABC

???NFEC=ZABC

???乙FEC=4FB

：.ZAEC=ZAPG

ZEAC=ZPAG

：,^EAC^PAG

.ACAEEC

AGAPGP

設(shè)EC=x,AE=5.v

VAP=5

\GP=1

:.BG=BP+PG=3+\=4

：.AB=BG

「.△A8G是等腰直角三角形，AG=442

，

A“C=一16

5

2^2

X=-----

5

：.AE=5x=2叵

ZGAB=45°

.飛E4Z）是等腰直角三角形

?-4。=任=任

ACAB

16

絲二

164

y

.dn_64

25

八廠64&

二.A卜=---

25

.j-..r.145/2

7.EF=AF-AE=------,

25

SACAC36尤

25

，史」萬生必工

FG252518

方法二：如圖

由N4a=N4￡>C=90。

.\ZACD=ZABC

NFEC=AABC

：.ZFEC=ZACD

ZAEC=^ACF

-ZEAC=ZCAF

/.△EAC^ACAF

.ACAEEC

AF-AC-FC

設(shè)EC=x,4E=5x

：.FC=

----

/.AD=DF

.?.△ADF是等腰直角三角形，AF=Mg

4J

2V2

A=-----

/.AE=5x=2>/2

25

?.?ZE4D=45°

「.△GAB是等腰直角三角形，AG=4夜,

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)條件證明三角形相似,

再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答問題.

考點05圓中的切線證明

22.（2023?湖北隨州?中考真題）如圖，48是。。的直徑，點、E,C在0。上，點C是BE的中點，AE垂

直干過C點的直線。C，垂足為。，A8的延長線交直線。。于點F.

⑴求證：是0。的切線；

（2）若AE=2,sinZ/lFD=1,①求。。的半徑；②求線段OE的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）03；②2

【分析】（1）根據(jù)等弧所對的圓周角相等和等邊對等角的性質(zhì)，得到NC4E=ZACO,推出4）〃OC,進

而得到OC_LDC,再利用圓的切線的判定定理即可.證明結(jié)論：

（2）①連接用3根據(jù)直徑所對的圓周角是直角和平行線的判定，得到3E〃力凡進而得到NAFD=NABE,

再利用銳角三角函數(shù)，求得A5=6,即可求出。。的半徑；

②利用銳角三角函數(shù)，分別求出M和A。的長，即可得到線段DE的長.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OC,

??,點。是8K的中點，

ZCAE=ZC4B,

-OA=OC,

NCAB=ZACO,

:.ZCAE=^ACO,

AD〃0C,

VADLDC,

:.0CLDC,

?.PC'是。。的半徑,

0c是。。的切線;

（2）解：①如圖，連接班:,

?.?四是直徑,

ZAEB=90°,

7.BEJLAD，

?/AD1DF,

:.BE//DF,

：.ZAFD=ZABE,

,：sinZ.AFD=-,

3

.-.sinZABE=-=-,

AB3

AE=2,

AB=6,

00的半徑為3；

②由（I）可知，OC1DF,

sinZ4FD=—=-

OF3

,：0C=3,OF=OB+BF=3+BF,

3_

3+M=3

BF=6,

再尸=45+6尸=6+6=12,

ADA.DF,

sinZAFD=—=—=-

AF123

AD=4,

AE=2,

DE=AD—AE=4—2=2.

【點睛】本題是圓和三角形綜合題，考查了圓的切線的判定定理，圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三

角函數(shù)等知識，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)，靈活運用正弦值求邊長是解題關(guān)鍵.

23.（2023?湖北荊州?中考真題）如圖，在菱形48C。中，DH上AB于H,以?！睘橹睆降?。。分別交AO,

BD于點、E,F,連接￡7"

（1）求證：

①CO是的切線：

②ADEF'DBA：

（2）若A3=5,DB=6,求sinNOHE.

【答案】（1）①見解析，②見解析

C24

⑵一

25

【分析】（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出A6〃CO,根據(jù)OHJ.A8,可得CO_L。。，進而即可得證；

②連接〃”，根據(jù)等弧所對的圓底角相等得出NO所=根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出

NDFH=90。,進而可得〃〃/=/。84=/。石戶，結(jié)合/EDF=/BDA，即可得證：

（2）連接AC交8?！窯.根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理求得AG=4,AC=8,進而根據(jù)等面積法求得DH,

由QEF'DBA得:/DFE=/DAH,在中，即可求解.

【詳解】（1）證明：①???四邊形A8C￡＞是菱形，

AB//CD

DH工AB,

/.ZCDH=ZDHA=90,則CD1OD

又?.?。為0。的半徑的外端點，

.?.CD是的切線.

②連接“八

D

,?*DF=DF

力EF=/DHF

???O”為0。直徑，

.-.ZDF/7=90°,

而ZD〃8=90。

/./DHF=NDRA=NDEF,

又'"DFu/BDA

:.4DEFS4DBA.

(2)解：連接AC交8D于G.

.?菱形A/3CO,BD=6,

B

:.AClfiD,AG=GC,DG=GB=3,

??在RtZXAGB中,AG=X/AB?-BG?=4,

...AC=2AG=8,

S^ABCD=-ACBD=ABDH,

1124

/.DH=-x6x8xl=—,

255

由^DEFs^DBA得:QFE=ADAH，

24

sin/DFE=sin4DAH=—.

25

【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求角

的正弦值，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

24.（2023?湖北十堰?中考真題）如圖，在RtZ\A8C中，NC=90。,4c=8C,點。在上，以。為圓心,

OA為半徑的半圓分別交AC,8C,AB于點D,E」"且點E是弧。尸的中點.

（1）求證：8c是。。的切線；

（2）若=求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留乃）.

【答案】（1）證明見解析

（2）2-1

【分析】（1）連接OE、OD,記出0E_L2C,即可得出結(jié)論;

（2）根據(jù)S陰影=S&EB-S&OEF，分別求I11S&和S（HOEF即問得;11答案.

【詳解】（1）連接OE、OD,

???ZC=90°,AC=BC,

\-OA=OD,

Q

：.ZOAD=ZADO=45t

ZAOD=90°,

??,點E是弧。戶的中點,

/.NDOE=ZEOF=-ZDOF=45°,

2

/.Z.OEB=180°-NEOF-N3=900,

OEA.bC,

???0E為半徑，

BC是。。的切線；

（2）vOE1BC,N8=45。，

??.”）歷為等腰直角三角形，

設(shè)BE=OE=x,則08=\[2x，

/.AB=x+>j2x，

-AB=y/2BC,

「./+夜x=&（拒+x）,

:.x=2,

.cC_145°^x22_71

一J陰影一~、MOEF_2XZXZ_一Z一弓.

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定定理、扇形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握切線的判定定理.

25.(2023?湖北鄂州?中考真題)如圖，A8為0。的直徑，E為0。上一點，點C為的中點，過點C作

CDLAE,交AE的延長線于點。，延長。C交A8的延長線于點F.

(1)求證：CQ是。。的切線；

(2)若OE=1,DC=2,求00的半徑長.

【答案】(1)證明見解析

(2)1

【分析】(1)連接OC,根據(jù)弦、弧、圓周角的關(guān)系可證NDAC=NC4/，根據(jù)圓的性質(zhì)得N。4c=NOC4,

證明OC〃AO,得到NOb=ND=90°,根據(jù)切線的判定定理證明：

(2)連接4C,CE,根據(jù)勾股定理得到。上二石的長，根據(jù)等弧對等弦得到EC=C8=括，杈據(jù)圓內(nèi)接四

邊形對角互補得NA8C+NAEC=180°,推出NOEC=/48C,證明△OECs.cRA,利用相似三角形的性質(zhì)

即可求解.

【詳解】（I）證明：連接0C,

???EC=CB，

???ZZMC=ZC4F,

???OA=OC,

???^OAC=ZOCA

A?DAC?COA

：.OC//AD,

???ZOCF=ZD=90°,

???。。為半徑，

???DC為。。切線；

/.?￡>90?,

VDE=\,DC=2,

JCE=ylcif+DE2=+f=芯，

???。是AC的中點，

??EC=CB，

???EC=CB=4i,

???AB為00的直徑，

???ZACB=90°,

???/DEC+ZAEC=180°,ZABC+ZAEC=180°,

???ADEC=ZABC.

.**ADECs4CBA,

.DECE

??二,

BCAB

.1—舊

??忑一謫

：,AB=5,

A0=-AB=-

22

:.。。的半徑長為g.

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出軾助線是解題

的關(guān)鍵.

26.（2023?湖北恩施?中考真題）如圖，VABC是等腰直角三角形，NACB=90。，點O為的中點，連接

CO交。0于點E,0O與4C相切于點。.

（1）求證：4c是。。的切線；

（2）延長CO交。。于點G,連接AG交。。于點尸，若4c=4及，求陽的長.

【答案】（1）見解析

⑵乎

3

【分析】（I）連接O。，過點。作OP_LBC于點P,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NOC￡>=NOCP=45。，推

出。。=OP,即可得到結(jié)論：

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出04,OO的長，勾股定理求出AG,連接。尸，過。作而_LAG于

點%利用面積法求出o〃，勾股定理求出/￡,即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出心的長.

【詳解】（1）證明：連接0。，過點。作OP工BC于點P,

。。與AC相切廣點Q.

ZODIAC,

???VAAC是等腰直角三角形，NAC4=90。，點O為A8的中點,

JZOCD=ZOCP=45°,

：?OD=OP,即OP是0。的半徑,

???BC是0。的切線:

（2）解：???4C=4夜，AB=AC,ZACB=90°,

AB=6AC=8,OC1AB,

???點。為A8的中點,

???OC=OA=-AB=4

2t

'：ODLAC

???OD=-AC=2y/2,

2

在Rt△人OG中，AG=y/OA2+OG2=,+（2&『=276

連接0廠，過。作OH_LAGJ二點從

.cqOAOG4x2近46

??OH=-----------

AG2763

JHG=yJOG2-OH2

?：OF=OG,

，F(xiàn)G=2HG=

3

AF

G

CPB

【點睛】此題考查了判定直線是圓的切線，切線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌

握各知識點是解題的關(guān)鍵.

27.（2024.湖北?中考真題）如圖，在中，NACB=90。，點E在AC上，以CE為直徑的00經(jīng)過力B

上的點。，與08交于點尸，且瓦>=8C.

（1）求證：是0。的切線;

（2）若人O=J5,AE=\,求的長.

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）連接0。，可得△。￡出四AOCWSSS）,得至ljNOZ）B=NOC8=90°,即得OD_L/W,即可求證；

（2）設(shè)。。的半徑為L則。4=r+l,在RSQAO中由勾股定理得（/+1）2=（6丫+汽可得廠引，即得

ADL

tan乙40。=潦=75,得到/4。。=60。，進而得到N8O￡>=4OC=60。，最后利用弧長公式即可求解.

【詳解】（I）證明：連接0D,則

.A。。的△OCB（SSS）,

:"ODB=NOCB=琳，

：.OD±AB.

???。。是0。的半徑，

八4是0O的切線；

（2）解：設(shè)。。的半徑為，，則。4=，?十1,

,/NOD8=90。，

???ZOZ>4=180o-90o=90o,

在RtZ\QA。中，OA2=AD2+OD',

.?.（「+1）2=（扃+/，

解得r=l，

tan乙40。=處=6,

OD

.\ZAOD=60°,

.1.ZDOC=120°

?;AOD瞄AOCB,

:.NBOD=/BOC="。,

，JI，6OX7txlit

ACF^__=_.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)及弧長公式，求出

ZBOD=ZBOC=60。是解題的關(guān)犍.

28.（2023?湖北黃石?中考真題）如圖，A8為。。的直徑，D4和。。相交于點RAC平分/D48,點C

在。。上，且CO_LD4,AC交M于點P.

⑴求證：C"是。。的切線;

(2)求證：ACPC=BC2i

4F

⑶已知8C2=3"P.。C，求F的值.

AB

【答案】（I）見解析

（2）見解析

【分析】（1）連接OC,由等腰三角形的性質(zhì)得NQ4C=NOCA,再證NA4C=NOC4,則。1〃OC,然

后證OCJ.C。，即可得出結(jié)論;

(2)由圓周角定理得NAC8=90。，/DAC=/P