數(shù)學試題

一、選擇題：本題共1。小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的.

1.下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）

2

A.-3B.oC.3D.石

2.據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產權組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球PCT（《專利合作

條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國.數(shù)據(jù)69610

用科學記數(shù)法表示為（）

34

A.6961x10B6961X10c6961X10D06961xltf

3.如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）

B.

4.在同一平面內，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（00_LOE）按如圖方式擺放，若

則4的大小為（）

c.60°D.乃。

A.//=/B,『-『二/D.?『一『=2

6.哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學家陳景澗在哥德巴赫

猜想的研究中取得了世界領先的成果.在質數(shù)2,3,5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是倡數(shù)的概率是

()

11￡2

A.4B.3C.TD.3

7.如圖，已知點48在o°上：44。3=7￥,直線與相切，切點為0,且C為的中

點，則乙4cM等于（）

N

A.18°B.30°C,36°D,72°

8.今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消防品零售總額

120327億元，比去年第一季度增長47%,求去年第一季度社會消費品零售總額.若將去年笫一季度社會

消費品零售總額設為二億元，則符合題意的方程是（）

.（l+47%）x=120327.（1-47%）x=120327

A?

---=120327---=120327

C.1+47%D.1-47%

9.小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中A048與都是等腰

三角形，且它們關于直線，對稱，點、E,尸分別是底邊月B,0。的中點，0E上OF.下列推斷錯誤的

B.40。=乙403

c.0B■OFD.ZSOC+ZJ4OZ)=180°

10.已知二次函數(shù)'二-""aS”m的圖象經(jīng)過I兩點，則下列判斷正確的

是

()

無論實數(shù)。取什么值，都有“>a

A.可以找到一個實數(shù)使得B.

c.可以找到一個實數(shù)a,使得K<°D.無論實數(shù)）取什么值，都有

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.因式分解：X2+X=.

12.不等式3、-2<1的解集是.

13.學校為了解學生的安全防范意識，隨機抽取了12名學生進行相關知識測試，將測試成績整理得到如圖

.如圖，正方形?鋁8的面積為點分別為邊的中點，則

144,E,F,G,HAB,BCtCD.4）

四邊形瓦式汨的面積為.

15.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)7的圖象與交于48兩點，且點48都在第

一象限.若則點R的坐標為.

16.無動力帆船是借助風力前行的.下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所

在直線的夾角N&M為70°,帆與航行方向的夾角/尸。。為30°,風對帆的作用力尸為400N.根據(jù)

物理

知混，尸可以分解為兩個力片與吊，其中與帆平行的力月不起作用，與帆垂直的力為儀可以分解為兩

個力力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；工與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動

力.在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學模型：尸=40=400,則

/2=CD=_____（單位：N）（參考數(shù)據(jù)：sin40°=0.64,cos400=077）

/|

h

（1）在兒4所在的平面內求作直線J,使得且/與4間的距離恰好等于7與4間的距離；（要

求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若4與4間的距離為2,點4員0分別在上，且為等腰直角三角

形，求的面積.

、J.bc

?jm+ns—,mna—

23.已知實數(shù)?》滿足。

（1）求證：9為非負數(shù)；

（2）若°?瓦°均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由.

24.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙一萌8,要求大家利用它制作一個底面為正方形

的禮品盒.小明按照圖2的方式裁剪（其中熊=E5）,恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成

一個禮品盒，如圖3所示.

B-------------CBj

圖I圖2圖3

AD

（1）直接寫出月B的值：

（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應選擇

A.B.

c.D.

(3)

卡紙型號型號I型號n型號HI

規(guī)格（單位：

30x4020x8080x80

cm）

單價（單位：元）3520

現(xiàn)以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調整AE,E尸的比例，制作棱長為10cm的正方

體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型號卡紙的

張數(shù)），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情

況），給出所用卡紙的總費用.

（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不

要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用k紙的數(shù)量及總費用直接填在答題K的表格上；④本題將綜合考

慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費月最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供

作草稿用）

亡近,40..—d

■

V

30

2O

Illi上

皇號I型號H

k---------------80-----------------

9Mill

25.如圖，在。BC中，^BAC=90°,AB=ACf以＜6為直徑的。。交3。于點D,AE1OC,垂

足為的延長線交/D于點尸.

c

OE

（1）求/E的值：

（2）求證：△AEB—ABEC；

（3）求證：4D與E尸互相平分.

數(shù)學試題

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的.

1.下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.-3B.OC.3D.6

【答案】D

【解析】

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)

與分數(shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此即可判定選擇

項.

本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內學習的無理數(shù)有：及二斤等；開方開不盡的數(shù)；以及像

01010010001...,等數(shù).

【洋解】根據(jù)無理數(shù)的定義可得：無理數(shù)是

故選：D.

2.據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產權組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球FCT（《專利合作

條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國.數(shù)據(jù)69610

用科學記數(shù)法表示為（）

24s

A.6961x10B.6961X10c.6961xl0D.06961x10

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的定義解答，科學記數(shù)法的表示形式為。的形式，其中I，0為整

數(shù)，確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值＞1時，〃是正數(shù)：當原數(shù)的絕對值＜1時，”是負數(shù).

本題考查了科學記數(shù)法，熟悉科學記數(shù)法概念是解題P關鍵.

【詳解］69610=6.961?104

故選：c.

3.如圖是由長方體和圓柱組成的兒何體，其俯視圖是（）

A.B.

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【洋解】解：這個立體圖形的俯視圖是一個圓形，圓形內部中間是一個矩形.

故選：C.

4.在同一平面內，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CQ1OE）按如圖方式擺放，若

ABNCD,則N1的大小為（）

C

1方方1

A.30°B.45°C,60°D.乃。

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質，由加/C?？傻?：60°,即可求解.

【羊解】VABIICD,

ZCD5=60°,

???COLDE,則NCDE=90。，

.?./1=180°-ZCD5-Z.CDE=30°,

故選：A.

5.下列運算正確的是（）

/1<

3a9.12la\_2_

A.aa=aBa=ac.D.-a-a=~

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了同底數(shù)暴的乘法，同底數(shù)昂的除法，箱的乘方合并同類項，解題的關鍵是掌握同底

數(shù)帚的乘法，同底數(shù)哥的除法，累的乘方,合并同類項運算法則.

利用同底數(shù)累的乘法，同底數(shù)累的除法，哥的乘方，合并同類項計算后判斷正誤.

【洋解】解；'/=〃，A選項錯誤；

/一『二『，B選項正確；

(cf

'?I=a",c選項錯誤；

D選項錯誤；

故選:B.

6.哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學家陳景澗在哥德巴赫

猜想的研究中取得了世界領先的成果.在質數(shù)2,3,5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是倡數(shù)的概率是

()

11￡2

A.4B.3C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖，求和后利用概率公式計算即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

和S75878

由對狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數(shù)的共有2種情況，故和是偶數(shù)的概率是

21

63,

故選：B

7.如圖，已知點在上，乙=直線MM與相切，切點為C,且C為43的中

c.36。D.72°

)A

【解析】

【分析】本題考查了切線的性質，三角形內角和以及等腰三角形的性質，根據(jù)c為力8的中點，三角形內

LOCA=ix(180°-36°)=72°

角和可求出-,再根據(jù)切線的性質即可求解.

【詳解】=C為會的中點，

?-?乙4。。=36°

VOA=OC

乙。CA=梟(】8。。-36°)=72°

???

???直線與相切，

...ZOCA/=90°,

???LACM=乙OCM-ZOCA=18°

故選：A.

8.今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第?季度社會消費品零售總額

120327億元，比去年第一季度增長47%,求去年第一季度社會消費品零售總額.若將去年第一季度社會

消費品零售總額設為1億元，則符合題意的方程是()

人(l+47%)x=120327(1-47%)x=120327

A.BD.

=120327=120327

c.1+4.7%D.1-4.7%

]A

【解析】

【分析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關鍵是理解題意，找出等量關系，根據(jù)今年第一季度社

會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長47%,列出方程即可.

【詳解】解：將去年第一季度社會消費品零售總額設為1億元，根據(jù)題意得：

(l+4.7%?x=1203279

故選：A.

9.小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中與都是等腰

三角形，且它們關于直線，對稱，點尸分別是底邊45,CD的中點，OELOF.下列推斷錯誤的

A.OB1ODB,4。。=乙

C.0E-0FD,Z5OC+ZJ4OZ)=180°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了對稱的性質，等腰三角形的性質等：

A.由對稱的性質得乙4。3="。。，由等腰三角形的性質得2,

ZDOF=-ZDOC

,即可判斷；

B.N’BCC不一定等于N\4O3,即可判斷：

C.由對稱的性質得乙0月3由全等三角形的性質即可判斷；

D.過。作GM10月，可得Z.00D=Z.B0H,由對稱性質得/BOH=/C0H同理可證

ZA0M=ZA0H,即可判斷；

掌握性質是解題的關鍵.

【洋解】解：A.VOEIOF,

LBOE^ABOF=90°9

由對稱得40B=ZZ)0C,

■■~:,&OE=L&OB

???點E,尸分別是底邊46,CD的中點，aC與A°OC都是等腰三角形，

^DOF=-ZDOC

■

4。尸+ZD。尸=90。，

OBLCD,結論正確，故不符合題意；

B./BOC不一定等于2月°8,結論錯誤，故符合題意；

C.由對稱得&。蜴"DC,

二0F,結論正確，故不符合題意；

過。作GMLOH,

..NG3+NDOH=900

??,ZBOH+ZDOH=90。，

二LGOD=￡BOH,由對稱得/BOH=ZCOH,

■乙GOD=Z.COH,

同理可證"CM=UOH,

..Z^0Z）+Z50C=^AOD-^ZAOM+ADOG=180°,結論正確，故不符合題意；

故選:B.

10.已知二次函數(shù)F=x的圖象經(jīng)過I""3（知心）兩點,則下列判斷正確的

是（）

A.可以找到一個實數(shù)0,使得B.無論實數(shù)打取什么值，都有

C.可以找到一個實數(shù)0,使得D.無論實數(shù)0取什么值，都有

【答案】c

【解析】.

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為

-2a3

T-2頂點坐標為①"'再分情況討論，當。>0時，當。<0時，也心的大小情

況，即可解題.

【詳解】解：??,二次函數(shù)解析式為卜=’?""。（"°）,

-2a【

二二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為“■2頂點坐標為8'°-"）,

0A<—a<a

當。>0時，-,

,a>y>a-a2

x9

a八

a<一<0

當a<0時，2,

2

.a-a<yt<a

故A、B錯誤，不符合題意；

?.?當a>0時，0<a<2a<3a,

由二次函數(shù)對稱性可知，內>,>°,

當。<。時，3a<2a<a<0,由二次函數(shù)對稱性可知，>a,不一定大于°,

故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；

故選：C.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.因式分解：X2+X=.

?小心、（

【答案】X'x+l）

【解析】

【分析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出

來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式.因此，直接提取

公因式上即可.

［詳解］解：=

12.不等式31-2<1的解集是.

【答案】X<1

【解析】

【分析】本題考查的是解一元一次不等式，通過移項，未知數(shù)系數(shù)化為I,求解即可解.

【詳解】解：

3.x<3,

xvl,

故答案為：

13.學校為了解學生的安全防范意識，隨機抽取了12名學生進行相關知識測試，將測試成績整理得到如圖

所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學生測試成績的中位數(shù)是_____.（單位：分）

,人數(shù)

h

W）?59095100成績/分

【答案】90

【解析】

【分析】本題考查了中位數(shù)的知識，解題的關鍵是了解中位數(shù)的求法，難度小大.

根據(jù)中位數(shù)的定義（排序后，位于中間位置的數(shù)為中位數(shù)），結合圖中的數(shù)據(jù)進行計算即可;

【詳解】解：???共有12個數(shù)，

???中位數(shù)是第6和7個數(shù)的平均數(shù)，

??.中位數(shù)是（如'㈣

故答案為：90.

14.加圖，正方形?鋁CO的面積為4,點E,p,G,H分別為邊43,BC,CD,4）的中點，則

四邊形EFGH的面積為.

H

BFC

【答案】2

【蟀析】

【分析】本題考查正方形性質，線段中點的性質，根據(jù)正方形性質和線段中點的性質得到

HD=DG=\,進而得到S.R，同理可得$3"e，2,最后利用四邊形EFGH的面

積;正方形打5。。的面積一4個小三角形面積求解，即可解題.

【詳解】解：??,正方形458的面積為4,

:,AB=BC=CD=AD=),“=90°,

?.?點E,F,G,，分別為邊/IE,BC,CD,4D的中點，

..HD=DG=\,

四邊形EFGH的面積為

故答案為：2.

15.如圖，在平面直角坐標系TC呈中，反比例函數(shù).?'的圖象與交于48兩點，且點48都在第

【答案】11)

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質以及勾股定理，完全平方公式的應用，先根據(jù)40二)得出

Z=2,設3(”'卬，則〃巾=左=2,結合完全平方公式的變形與應用得出

=3?m3-3w+2=(wj-l)(m-2)=0

巾，結合則。J，即可作答.

二反比例函數(shù)的圖象與交于4I兩點，且

1

設8(小附)，則〃巾=七=2

?.?。8?。4=JT+1■"

.=(有/=5

??

則(加+”\=m2+力'+Imn=5+4=9

???點B在第一象限

M+〃=3

,、m+—=3*ma-3m+2=(m-l)(m-2)=O

把"巾=上=2代入得用

.力I=1.=2

經(jīng)檢驗：m1=「飛=:都是原方程的解

...4(L2)

,3(11)

故答案為：(?/1

16.無動力帆船是借助風力前行的.卜圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所

在直線的夾角NPNM為70°,帆與航行方向的夾角/尸0。為30°,風對帆的作用力尸為400N.根據(jù)

物理知識，尸可以分解為兩個力耳與招，其中與帆平行的力耳不起作用，與帆垂直的力吊儀可以分解

為兩個力力與?4,4與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；工:與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動

力.在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學模型：斤=40=400,則

h=.（單位：N）（參考數(shù)據(jù)：sin40°=0.64,cos40°=077）

【答案】128

【解析】

【分析】此題考查了解直角三角形的應用，求出二/=由數(shù)〃。得到

Z5AZ）=ZAZ）（2=40o求出E=3O=XPsnN3AD=256,求出40c=90。_/]=60°在

RtaSCD中，根據(jù)-4=CD=3DC8/B00即可求出答案

【詳解】解:如圖,

???帆船航行方向與風向所在直線的夾角為70°,帆與航行方向的夾角々°。為30°,

...ZADQ=/.PDA-4DQ=70°-30。=40。，Zl=APDQ=30\

,,AB//QDt

,匈25=乙g=40。

在Rt-?）中，尸=心=400,工4^0=90、

■F=BD=ADsinZ&W=400xsin400=400x064=256

由題意可知，SD-i-

...ZBDC+Z1=9O°,

...Z5DC=90°-Zl=60°

在"ABCD中，5Z）=256,Z5CZ）=90\

f、=CD=BDcos乙BDC=256xCos60°=256xi=128

故答案為：128

三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.計算：(-爐+卜5卜/

【答案】4

【解析】

【分析】本小題考查零指數(shù)毒、絕對值、算術平方根等基礎知識，考查運算能力.

根據(jù)零指數(shù)凝、絕對值、算術平方根分別計算即可；

【詳解】解：原式=1+5-?=4.

18.如圖，在菱形.鋁CD中，點3、斤分別在BC、CO邊上，ZAEB=ZAFD,求證：BE=DF.

【解析】

【分析】本題考查菱形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答的關

鍵.根據(jù)菱形的性質證得凡？二必，&=-D,再根據(jù)全等三角形的判定證明

-A^E^-ADFIAAS)「

即rln可.

【詳解】證明：??,四邊形35'。是菱形，

:AB=ADt4=H

?.?乙1助?乙ITO,

:AABE皿ADRIAA?

:,BE=DF.

19.解方程：x+?x一二

【答案】x=l0.

【解析】

【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解

題.

3.x

------+1=------

【詳解】解：?'+?X-?,

AIAAXX

方程兩邊都乘3i-2+(+2H-2)=(+2)

去括號得：3.T-6+X3-4=X2+2X,

解得工=10.

經(jīng)檢驗，工=1°是原方程的根.

20.已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學校.在一次普通高中學業(yè)水平考試中，A地甲類學校有

考生3000人，數(shù)學平均分為90分：乙類學校有考生2000人，數(shù)學平均分為80分.

(1)求A地考生的數(shù)學平均分：

(2)若B地甲類學校數(shù)學平均分為94分，乙類學校數(shù)學平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學

平均分一定比A地考生數(shù)學平均分高？若能，請給予證明：若不能，請舉例說明.

【岑案】(1)86；(2)不能，舉例見解析.

【解^5]

【分析】本小題考查加權平均數(shù)等基礎知識，

(1)根據(jù)平均數(shù)的概念求解即可；

(2)根據(jù)平均數(shù)的意義求解即可.

【小問1詳解】

—x(90x3000+80x2000)=86

由題意，得A地考生的數(shù)學平均分為5000

【小問2詳解】

不能.

舉例如下：如B地甲類學校有考生1000人，乙類學校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學平均分為

-3-x(94xl000+82x3000)=85

4000

因為S5<S6,

所以不能判斷B地考生數(shù)學平均分一定比A地考生數(shù)學平均分高.

21.如圖，已知二次函數(shù)>'=l+bT+c的圖象與1軸交于48兩點，與J軸交于點C,其中

X|-2.0).C(0-2)

(1)求二次函數(shù)的表達式;

(2)若尸是二次函數(shù)圖象上的一點，且點P在第二象限，線段F。交'軸于點0?△產的面積是

△CDB的面積的2倍，求點P的坐標.

【答案】⑴尸—+

②㈠.旬

【解析】

【分析】本小題考查二次函數(shù)表達式、二次函數(shù)的圖象與性質二元一次方程組、一元二次方程、三角形面

積等基礎知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀等，考查數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉

化思想等.

(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)設尸(加M,因為點P在第二象限，所以巾＜0?"°.依題意，得Sg,即可得出

—=2,

C。,求出花=?C0=4,由析+m-1=4,求出即可求出點尸的坐標.

【小問1詳解】

解：將代入戶F+6K+C,

4-?+c=0

得I,

b=I

解得k=T,

所以，二次函數(shù)的表達式為F=」+x-2.

【小問2詳解】

設因為點尸在第二象跟，所以

-BDn

?^2_____=2

彳一=2三BDCO—

依題意，得.3，即2，所以.

由已知，得0°=2,

所以“=2。。=4.

由用‘+巾-2=4,

解得叫=-3.啊=2(舍去)，

所以點P坐標為.34).

22.如圖，已知直線4/4.

/1

-------------------------------h

（1）在所在的平面內求作直線，，使得且/與4間的距離恰好等于，與4間的距離；（要

求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若4與4間的距離為2,點4?員C分別在’44上，且為等腰直角三角

形，求的面積.

【答案】（1）見解析：

5

（2）d鋁C的面積為1或？.

【解析】

【分析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質，全等三角形的判定以及分類討論思想：

（1）先作出與兒4垂直的垂線，再作出夾在兒4間垂線段的垂直平分線即可；

（2）分皿。=90。,抬=4?；ZABC=9O°.B71=5C：乙4cB=90℃月二C3三種情況，結合三

角形面積公式求解即可

【小問I詳解】

解：如圖，

直線，就是所求作的直線.

【小問2詳解】

①當?C=900,48=時，

7NkNk,直線4與4間的距離為2,且/與4間的距離等于/與4間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可

知：BC=2,

AB=AC-

=4C=1

②當—ASC=90°,BA=BC時，

分另IJ過點4c作直線4的垂線，垂足為時”

乙必四=4M7=90。.

7"kNk,直線4與4間的距離為2,且J與4間的距離等于J與。間的距離,

:.CW=2,AW=1

???ZA^+ZXW=90。，ZNBC+ZABM=90。,

￡MAB=￡NBC^AMB92BNC,

BM=CN=1.

在RadBM中，由勾股定理得趨'=

AB■器

6

C

5

綜上所述，/°沱面積為1或2.

-bc

.3力+￡?=-.加力=一

23.己知實數(shù)明瓦加切/滿足aa.

（1）求證：9-1”為非負數(shù)；

（2）若°?瓦°均為奇數(shù)，","是否可以都為整數(shù)？說明你的理由.

【答案】（1）證明見解析：

（2）.,"不可能都為整數(shù),理由見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意得出b=進而計算9-lie,根據(jù)非負數(shù)的性質，即可求

解；

（2）分情況討論，①用”都為奇數(shù)；②用.為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù).

【小問1詳解】

2.bc

解：因為Q。，

g”6:aIMi+〃I,c=amn

所以.

則-12ac=（^（Sm+n））3-12a2mn

=a2（9m3+6WJ+n3i-12o:mn

=a2（9m3—6mn+n31

=a"（3rn-n）*

因為am”是實數(shù)，所以/（3*〃）%0,

所以9一1”為非負數(shù).

【小問2詳解】

""不可能都為整數(shù).

理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①力，力都為奇數(shù)；②巾潭為整數(shù)，且其中至少有一個為偶

數(shù).

①當"?力都為奇數(shù)時，則3m+〃必為偶數(shù).

又珈+"='所以—吐

因為。為奇數(shù)，所以‘‘?+叫必為偶數(shù)，這與6為奇數(shù)矛盾.

②當切.為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則巾正必為偶數(shù).

又因為。，所以c二。皿.

因為a為奇數(shù)，所以。兩勿必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾.

綜上所述，制/不可能都為整數(shù).

【點睛】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質等基礎知識：考查運算能力、推理能力、創(chuàng)新意

識等，考查綜合應用所學知識分析、解決問題的能力：考查化歸與轉化思想、分類與整合思想等.

24.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙一萌8,要求大家利用它制作一個底面為正方形

的禮品盒.小明按照圖2的方式裁剪（其中依=煙），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成

一個禮品盒，如圖3所示.

B-------------CBj

圖1圖2圖3

AD

（1）直接寫出月8的值；

（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別卬有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應選擇

的紙盒展開圖圖樣是（）

圖4

(3)

卡紙型號型號I型號n型號HI

規(guī)格（單位：

30x4020x8080x80

cm）

單價（單位：元）3520

現(xiàn)以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調整43,E尸的比例，制作棱長為10cm的正方

體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型號卡紙的

張數(shù)），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情

況），給出所用卡紙的總費用.

（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不

要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用k紙的數(shù)量及總費用直接填在答題R的表格上；④本題將綜合考

慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費月最低的才能得滿分：⑤試卷上的卡紙僅供

作草稿用）

F號I型號H

」-----------so.-------------_4

一號m

【答案】（1）2；（2）C：

（3）見解析.

【解析】

【分析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等知識，掌握相關

知;只是解題的關鍵.

（1）由折疊和題意可知，GH=AE+FB,AH-DH,四邊形笈瓦6』是正方形，得到=E尸，

即即可求解；

（2）根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；

（3）由題意可得，每張型號川卡紙可制作10個正方體，每張型號H卡紙可制作2個正方體，每張型號

1卡紙可制作1個正方體，即可求解.

【小問I詳解】

解：如圖：

由折疊和題意可知，GH=AE+FB,AH=DH,

???四邊形麗M是正方形，

:.RM=EF,即4。~3月，

；.GH+47=AE+FB+EF,即AH-AB,

?:AH=DH,

AD_AH+DH/

?-?'AB~~AB-".9

AD

??.Q的值為：2.

【小問2詳解】

解：根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應面上，“祥”和“意”在對應面上，而對應面上的

字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，

???C選項符合題意，

故選：C.

【小問3詳解】

解：

型號

卡紙型號型號H