2025年線性代數(shù)程序分析中的靜態(tài)分析試題一、填空題（每小題2分，共20分）設矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則(A)的伴隨矩陣(A^*=\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})。解析：伴隨矩陣(A^*)的元素由代數(shù)余子式構成，對于二階矩陣(A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix})，其伴隨矩陣為(\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix})，代入計算即可。已知向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,t)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)的秩為2，則(t=6)。解析：向量組的秩為2，說明三個向量線性相關，且存在非零系數(shù)(k_1,k_2,k_3)使得(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0)。通過矩陣初等行變換可得，當(t=6)時，第三列向量可由前兩列線性表示，秩為2。設(A)為3階矩陣，且(|A|=2)，則(|-2A|=-16)。解析：根據(jù)行列式性質，(|kA|=k^n|A|)（其中(n)為矩陣階數(shù)），故(|-2A|=(-2)^3\times2=-8\times2=-16)。齊次線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\2x_1+3x_2+4x_3=0\end{cases})的基礎解系中解向量的個數(shù)為1。解析：系數(shù)矩陣(A)為(2\times3)矩陣，秩(r(A)=2)，故解空間維數(shù)為(n-r(A)=3-2=1)。設(A)為正交矩陣，則(|A|=\pm1)。解析：正交矩陣滿足(A^TA=E)，兩邊取行列式得(|A^T||A|=|E|=1)，而(|A^T|=|A|)，故(|A|^2=1)，解得(|A|=\pm1)。二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2)的矩陣為(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix})。解析：二次型矩陣的對角線元素為平方項系數(shù)，非對角線元素(a_{ij})為交叉項系數(shù)的一半，故(x_1x_2)的系數(shù)4對應(a_{12}=a_{21}=2)。矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})的逆矩陣(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix})。解析：利用伴隨矩陣法，(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*)，其中(|A|=1\times4-2\times3=-2)，(A^*=\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})，故(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix})。設(\lambda=2)是矩陣(A)的特征值，則(A^2-3A+E)的一個特征值為-1。解析：若(\lambda)是(A)的特征值，則(f(\lambda))是(f(A))的特征值，故(2^2-3\times2+1=4-6+1=-1)。向量(\alpha=(1,2,3)^T)的(L_2)范數(shù)（歐氏范數(shù)）為(\sqrt{14})。解析：(L_2)范數(shù)定義為(|\alpha|=\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14})。設(A)與(B)相似，且(A)的特征值為1,2,3，則(|B|=6)。解析：相似矩陣特征值相同，行列式等于特征值乘積，故(|B|=1\times2\times3=6)。二、選擇題（每小題2分，共10分）設(A)為(n)階方陣，且(A^2=A)，則下列結論錯誤的是（）A.(A)的特征值只能是0或1B.(A+E)可逆C.(r(A)+r(A-E)=n)D.(A)必可對角化答案：D解析：冪等矩陣(A^2=A)的特征值為0或1，但未必可對角化（如(A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix})滿足(A^2=A)，但不可對角化）。若非齊次線性方程組(Ax=b)有唯一解，則（）A.(Ax=0)只有零解B.(Ax=0)有非零解C.(A)為方陣且(|A|\neq0)D.(A)的行向量組線性無關答案：A解析：(Ax=b)有唯一解等價于(r(A)=r(A,b)=n)（(n)為未知數(shù)個數(shù)），故(Ax=0)只有零解。選項C錯誤，因為(A)未必是方陣。設(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無關，則下列向量組線性相關的是（）A.(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2)B.(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2)C.(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1)D.(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1)答案：D解析：選項D中，((\alpha_1-\alpha_2)+(\alpha_2-\alpha_3)+(\alpha_3-\alpha_1)=0)，存在非零系數(shù)線性組合為零，故線性相關。設(A)為3階矩陣，特征值為1,-1,2，則(A^{-1})的特征值為（）A.1,-1,2B.-1,1,(\frac{1}{2})C.1,-1,(\frac{1}{2})D.-1,1,-2答案：C解析：若(\lambda)是(A)的特征值，則(\frac{1}{\lambda})是(A^{-1})的特征值，故(A^{-1})的特征值為(1,-1,\frac{1}{2})。二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2)為正定二次型的充分必要條件是（）A.系數(shù)全為正數(shù)B.矩陣的各階順序主子式全大于0C.矩陣的特征值全為非負數(shù)D.矩陣的秩為2答案：B解析：正定二次型的等價條件包括矩陣的各階順序主子式全大于0。選項A錯誤，例如(f=x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2)系數(shù)全正但非正定；選項C錯誤，特征值需全為正數(shù)而非非負數(shù)。三、計算題（共60分）1.（10分）計算行列式(D=\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix})。解：通過初等行變換，將第二行減去第一行的4倍，第三行減去第一行的7倍：[D=\begin{vmatrix}1&2&3\0&-3&-6\0&-6&-12\end{vmatrix}]第三行減去第二行的2倍：[D=\begin{vmatrix}1&2&3\0&-3&-6\0&0&0\end{vmatrix}=1\times(-3)\times0=0]2.（12分）設矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&4\3&4&1\end{pmatrix})，求(A^{-1})。解：構造增廣矩陣((A|E))并進行初等行變換：[\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\2&1&4&0&1&0\3&4&1&0&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{r_2-2r_1,r_3-3r_1}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\0&-3&-2&-2&1&0\0&-2&-8&-3&0&1\end{array}\right)]繼續(xù)化簡可得：[A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}-15&10&5\-10&-8&2\5&2&-3\end{pmatrix}]3.（14分）設線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+ax_3=2\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases})，討論(a)為何值時方程組有唯一解、無窮多解或無解，并在有解時求通解。解：增廣矩陣(\overline{A})為：[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\1&2&a&2\1&4&a^2&4\end{array}\right)\xrightarrow{r_2-r_1,r_3-r_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\0&1&a-1&1\0&3&a^2-1&3\end{array}\right)\xrightarrow{r_3-3r_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\0&1&a-1&1\0&0&(a-1)(a-2)&0\end{array}\right)]唯一解：當((a-1)(a-2)\neq0)，即(a\neq1)且(a\neq2)時，(r(A)=r(\overline{A})=3)，解為(x_1=0)，(x_2=1)，(x_3=0)。無窮多解：當(a=1)時，(r(A)=r(\overline{A})=2)，通解為(x=(0,1,0)^T+k(0,-1,1)^T)（(k\in\mathbb{R})）。無解：當(a=2)時，(r(A)=2)，(r(\overline{A})=3)，方程組無解。4.（14分）設矩陣(A=\begin{pmatrix}2&-1\-1&2\end{pmatrix})，求正交矩陣(P)和對角矩陣(\Lambda)，使得(P^{-1}AP=\Lambda)。解：求特征值：特征方程(|A-\lambdaE|=(\lambda-1)(\lambda-3)=0)，特征值(\lambda_1=1)，(\lambda_2=3)。求特征向量：(\lambda_1=1)時，(A-E=\begin{pmatrix}1&-1\-1&1\end{pmatrix})，特征向量(\alpha_1=(1,1)^T)，單位化得(p_1=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T)。(\lambda_2=3)時，(A-3E=\begin{pmatrix}-1&-1\-1&-1\end{pmatrix})，特征向量(\alpha_2=(1,-1)^T)，單位化得(p_2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T)。構造正交矩陣：(P=(p_1,p_2)=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix})，對角矩陣(\Lambda=\begin{pmatrix}1&0\0&3\end{pmatrix})。5.（10分）證明：若向量組(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無關，則向量組(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2)，(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3)，(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1)也線性無關。證明：設(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0)，即：[(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0]因