2025-2026學年上學期高一數(shù)學北師大版期中必刷?？碱}之不等式

一.選擇題（共5小題）

I.（2025春?金安區(qū)校級月考）已知破。則a+黑的最小值為（）

Q+4

A.4B.5C.6D.7

2.（2025?鎮(zhèn)江開學）已知x>0,y>0,且2x+y=2xy,則x+.y的最小值為（）

35l3

A.-B.-C.2\/2D.-+<r2

422

3.（2025秋?豐順縣校級月考）已知〃>0,》>0,且岫-28+1=0,則工+9b的最小值是（）

a

A.4B.6C.7D.8

4.（2025秋?豐順縣校級月考）已知正實數(shù)x,y滿足盯+x+2y=4,則％+2），的最小值是（）

A.4V3-4B.4C.2V3-2D.2V3

5.（2025秋?廣西月考）關于基本不等式，下列選項正確的有（）

函數(shù)f（x）=J*

A.的最小值為2

+4

B.若x>（）,貝k+［最小值為2

C.若xV-1,則x+喜的最大值為?1

人IJL

D.），=x（4-3x）取得最大值為2

二.多選題（共3小題）

（多選）6.（2025?揚州開學）下列說法正確的是（）

A.若a<b,c<0,則一

ab

B.若a<b,c<0,則ac>0c

C.若;■V萬，則aVb

c2c2

r/+cb

D.若a>b>0,c>0,則--->—

a+ca

（多選）7.（2025秋?昌吉市校級月考）下列說法中正確的有（

A.不等式a+b>恒成立

B.存在實數(shù)a,使得不等式Q+：W2成立

ab

C.若a>0,b>0,則1+—22

ba

D.若x>0,y>0Kx+y=2,則工+工N2

%y

（多選）8.（2024秋?貴州校級期末）若實數(shù)x,y滿足（x+y）2='+3xy,貝U（）

A.xy<-^B.xy>\C.|x4-y|<V3D.|x+y|>2

三.填空題（共4小題）

9.12025?六合區(qū)校級開學）（1）已知實數(shù)"滿足.d+V+duZ,則冷空，z+xz的取值范圍是一

x18

（2）已知x>2），>0,-+-+——=10,求x的最大值是

“2yx-2y---------

10.（2025秋?朝陽區(qū)校級月考）若出（0,1）,則，（17）的最大值為

1a

II.（2025?楊浦區(qū)校級開學）已知。力>0,a+b=\,則一+工的取值范圍為.

ab

12.（2025?楊浦區(qū)校級開學）若直角三角形斜邊長等于4企c）〃，則直角三角形面積的最大值為

四.解答題（共3小題）

13.（2025秋?陜西月考）已知。>0,b>0,且2a+3b=3.

（1）求ab的最大值；

（2）求a-的最大值；

6b

23

（3）求一+7—的最小值.

a匕+1

14.（2024秋?吐魯番市期末）（1）已知41,求x+工的最小值.

X—1

（2）求Jx（10-x）的最大值.

（3）已知正數(shù)x,y滿足x+3）=l,求2+2的最小值.

%y

15.（2024秋?南昌縣校級期末）上知關于x的不等式/?妙?3Vo的解集為

（1）求m,n的值.

（2）若正實數(shù)a,5滿足“oh汕=1,求工+二;的最小值.

a2b

20252026學年上學期高一數(shù)學北師大版（2019）期中必刷?？碱}之不等

式

參考答案與試題解析

一,選擇題（共5小題）

題號12345

答案ADDAB

二,多選題（共3小題）

題號678

答案BCDBCDAC

一.選擇題（共5小題）

1.（2025春?金安區(qū)校級月考）已知則a+提的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

【考點】運用基本不等式求最值.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】A

【分析】原式可變?yōu)椋郏≦+4）+苛］—4,利用基本不等式求解.

【解答】解：當“X）時，由Q+=［（a+4）+-422J（a+4）X—4=4,

IXII,VVI1\vVI■

當且僅當Q+4==&時取等號，即。=0時取等號.

Q十4

故選：A.

【點評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于基礎題，

2.（2025?鎮(zhèn)江開學）已知%>0,），>0,且2x+y="y,則x+y的最小值為（）

35l3

A.-B.-C.2\［2D.-+7r2

422

【考點】運用基本不等式求最值.

【專題】轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用：運算求解.

【答案】D

【解答】解：由沖+x+2)，=4,3，>0,可得戊=箝="第產(chǎn)=備一2,

所以％+2丫=*-2+2丫=券+28+1)—4工2/*'2。+1)—4=4百一4,

當且僅當一^=2(y+1),即尸-1時，等號成立，此時x+2y取得最小值46-4.

故選：A.

【點評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于基礎題，

5.(2025秋?廣西月考)關于基本不等式，下列選項正確的有()

A.函數(shù)/'(%)=子咨的最小值為2

、/+4

B.若x>0,則%+［最小值為2

C.若彳<-1,則不+擊的最大值為-1

D.)，=x(4-3x)取得最大值為2

【考點】運用基本不等式求最值.

【專題】轉化思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】B

【分析】由基本不等式即對勾函數(shù)的性質，逐一判斷所給命題的真假.

【解答】解：人中，函數(shù)fJ)=子注=華"1=回戰(zhàn):+十二，

J/+4J/+4按+4

令=+4N2,所以g(t)=汁4在［2,4-00)單調遞增，所以g(7)min=g(2)=2+1=楙，

BPf(x)的最小值為小所以A不正確；

3中，因為x>0,所以x+?N2、］m=2,當且僅當x=：,即x=l時取等號，所以的最小值為2,

所以B正確；

。中，因為XV-1,所以戈+1V0,所以-(x+l)>0,所以-("1)+曷F"卜無+1.-(3=2,

當且僅當-(A-+1)=z(7+T):即x=-2時取等號，

所以(x+1)+-^-<-2,所以4=x+l++工-2?11=-3,

人IJLIJL-IJLT

即X+擊的最大值為-3,所以。不正確；

人IX

D中,y=x(4-3x)=-3』+4x,開口向下,對稱軸為x=所以x=.時,ymax=-3(1)2+4x.=*

所以。不正確.

故選：B.

【點評】本題考查基本不等式的性質的應用及二次函數(shù)的性質的應用，屬于基礎題.

二.多選題(共3小題)

(多選)6.(2025?揚州開學)下列說法正確的是(〉

A.若a<b,c<(),則￡>￡

ab

B.若a<b,c<(),則ac>力c

ab

C.若于V-7,則。<力

b+cb

D.若a>b>0,c>0,則一>-

a+ca

【考點】等式與不等式的性質.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】BCD

【分析】根據(jù)反例可判斷A的正誤，根據(jù)不等式的性質可判斷8c的正誤，利用作差法結合不等式的性

質可判斷。的正誤.

【解答】解：對于A：取。=1,b=2,c=-1,A顯然錯誤.

選項3：因為aV/b而cVO,故ac>力c,故3正確.

選項C：由3V芻，可得c'o,

"c2

則不等式兩邊均乘以可得aVO,故C正確.

、年m八"Cba(b+c)-”Q+c)c(a-b)

選項D：-----=---------------=------

a+caa(a+c)a(a+c)

又〃>力>0,c>0,則>0,a+c>0,

則平V>o,則處￡>匕故。止確.

a(a+c)a+ca

故選：BCD.

【點評】本題主要考查了不等式性質的應用，屬于基礎題.

(多選)7.(2025秋?昌吉市校級月考)下列說法中正確的有()

A.不等式Q+bZ2而恒成立

B.存在實數(shù)小使得不等式Q+：W2成立

ab

C.若a>0,b>0,則一+—>2

ba

11

D.若x>0,)>()且x+y=2,則［+1之2

【考點】基本不等式及其應用.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解.

【答案】BCD

【分析】根據(jù)基本不等式”??正二定三相等“判斷A8C的正誤，用力”的代換判斷。的正誤.

【解答】解：不等式。+622房只有在〃，力都為非負數(shù)的時候才恒成立，故A錯誤；

當〃=?1時，a+^=-2,故8正確：

若a,be(0,+co),

則由基本不等式得2+7^2-x^=2,

ab7ab

當且僅當一=71即a=〃時，等號成立，故C正確;

ab

因為x>0,y>0,且x+y=2,

xv

所以一+乙=1,

22

”「1111xy

所叫+lq+pq+5)=

vXXV

當且僅當/二r且：+3=1時取等號，即x=y=l時取等號，故。正確.

故選：BCD.

【點評】本題主要考查基本不等式的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

3

-

(多選)8.(2024秋?貴州校級期末)若實數(shù)長)，滿足(x+y)24

3一

A.xyB.xy>lC.\x+y\<V3D.|x+y|>2

【考點】運用基本不等式求最值.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】AC

【分析】根據(jù)常見不等式，結合題目中的等量關系，整理不等式，逐項檢驗，可得答案.

【解答】解：因為(％+/2=:+3盯24孫，所以刈工率所以A正確，8錯誤；

o33x+y23X+V2

<-+O

因為(％+y)?=4+3xy,又1+3%yW[+3(—^―),所以[X+y)2-43(2

所以(x+y)2<3,所以氏+訓工6，所以C正確，。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題.

三,填空題(共4小題)

9.(2025?六合區(qū)校級升學)(1)已知實數(shù)小戶z滿足了十)2乜2=2,則“十尸十位的取值范圍是

2］_.

%18

(2)己知x>2)>0,-+—+----=10,求x的最大值是18.

-2yx-2y------

【考點】運用基本不等式求最值.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】⑴［7,2］；

(2)18.

%2+丫2V2+Z2/+z2

【分析】(1)根據(jù)一-—>xy,--—>yz,--—>xz,得到xy+yz+xz<2,由完全平方公式可得

乙乙乙

x)>+yz+xz>-1,由此可得結論；

(2)由條件可得2+4%+氫q%+8=(10-軸，結合基本不等式證明工笠+三包N8,

x-2y2y2)x-2y2y

由此可得(10-6％218,解不等式可得x的范圍，由此可得結論.

32+y2

【解答】解：(1)因為當且僅當工=)，時等號成立，

y2+z2

--—>yz,當且僅當y=z時等號成立，

%2+z2

-~~：--->XZ,當且僅當x=zE寸等號成立，

所以2=:+>2+22行)，+)2+”當且僅當x=y=z時等號成立，

所以X)七⑶比2,當且僅當“=y=z=坐或t=y=z=-苧時等號成立，

又2Yy+2yz+2jiz=(x+y+z)2-(.P+V+z2)>-2,

所以xy+yz+xz>-1,當且僅當x+y+z=0,且A^+J^+Z2=2時等號成立，

所以外+yz+xz的取值范圍為［-1,21；

、一、，318

(2)因為一+-+-----=10,x>2y>0,

2yx-2y'

所以［2y+(x—2y)］確+不與)=(10一處,

所以2+圖+%經(jīng)+8=(10-萬％，

因為x>2y>0,所以二也>0,2(X-2y)>o,

x-2y2y

由基本不等式可得號+1N2I弩=8,

x-2y2yyjx-2y2y

當且僅當x=18,y=3或x=2,y=￡時等號成立，

所以(10-5)%=2+4^-+2/2y)+8N2+8+8,

所以(10-aN18,故f-20,計36W0,

所以2g18,

所以x的最大值為18,

故答案為：（I）［-1，2］；

（2）18.

【點評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于中檔題.

10.（2025秋嘲陽區(qū)校級月考）若任（0,1）,則/（1-/）的最大值為二

-4-

【考點】運用基本不等式求最值.

【專題】整體思想：綜合法；不等式；運算求解.

【答案】7-

4

【分析】根據(jù)均值不等式勤工（竽產(chǎn)，即可得答案.

【解答】解：因為0W1,

1

所以r(1-r)<（2）4一

當且僅當，=17,耽=劣時，等號成立.

1

故答案為：

4

【點評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于基礎題.

1a

11.（2025?楊浦區(qū)校級開學）已知岫＞0,a+b=\,則一+一的取值范圍為［3,+oo）

ab

【考點】運用基本不等式求最值.

【專題】轉化思想：綜合法；不等式的解法及應用：不等式；運算求解.

【答案】［3,十8）.

【分析】根據(jù)〃+8=1,將所求式化為1+A+小運用基本不等式求出該式的最小值，進而可得本題答

案.

【解答】解：由題意得工+~=~~+~=1+^+r>1+2?=3,

abababyjib

當且僅當。=力二；時，等號成立，

1a1a

由一+丁之3,可知一+丁的取值范圍為［3,-HTO）.

abab

故答案為：［3,+8）.

【點評】本題主要考查不等式的性質、運用基本不等式求最值等知識，屬于基礎題.

12.（2025?楊浦區(qū)校級開學）若直角三角形斜邊長等于4a5?，則直角三角形面積的最大值為_^_.

【考點】運用基本不等式求最值.

【專題】轉化思想；綜合法；解三角形；不等式；運算求解.

【答案】8.

【分析】設直角三角形43c的斜邊4B=c=4四,由勾股定理得/+廬=32,然后根據(jù)三角形的面枳公

式與基本不等式進行求解，即可得到本題的答案.

【解答】解：設RS48C中，C=90°,則c=迎2+爐=?、谒訫+廬=32,

由基本不等式，可得岫式包￡=16,當且僅當。=。=4時，等號成立，

所以△人區(qū)。的面積5=38,當且僅當。=8=4時，△ABC的面積最大值為8.

故答案為：8.

【點評】本題主要考行勾股定理、三角形的面積公式、運用基本不等式求最值等知識，屬于基礎題.

四.解答題（共3小題）

13.（2025秋?陜西月考）已知a>0,b>0,且2a+35=3.

（1）求ab的最大值；

（2）求。一義的最大值；

bo

23

（3）求一+「■的最小值.

ab+1

【考點】運用基本不等式求最值.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】⑴

8

【分析】(1)由基本不等式即可直接求解；

(2)由條件得到Q=,-，6,代入4,再由基本不等式即可求解;

(3)由條件得到加+3((+D=6,再由乘“1”法即可求解.

【解答】解：⑴由題意得2Q+3b=3之2遍樂得時工系

O

當且僅當2Q=3/)=',即。=,，匕=4時，等號成立，

3

故ab的最大值是工

8

04

(2)由2。+3b=3,得。=尹部>0,則OVbVL

則。一/=A眩b+春)VA2身』=\>

當且僅當=即a=l,匕=/時，等號成立.

26b3

故a-上的最大值是:7.

bu2

(3)由2。+3%=3,

r,2312316(b+l)6a16(b+l)6a

則—+----=-(-+----)[2a+3(b+1)]=-[13+------+----]>—[13+2------,----1=

ab+16'a匕+1八'7J6Lab+116La匕+1」

25

—->

6

當且僅當竺二3=詈，即b=等號成立.

ab+155

2325

故一+--的最小值為

ab+16

【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題.

14.(2024秋?吐魯番市期末)(1)已知x>l,求工+工的最小值.

X-L

(2)求Jx(lO-x)的最大值.

(3)己知正數(shù)x,y滿足x+3)=l,求工+白的最小值.

xy

【考點】運用基本不等式求最值.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】(1)3；(2)5；(3)7+2遍.

【分析】(1)配湊后根據(jù)基本不等式求最值；

(2)由基本不等式求積的最大值；

(3)利用“1”的變形及基本不等式求最值.

【解答】解：(1)因為x>l,

所以％+=%-1++1工2J(%—1)'+1=3，

當且僅當一L二%-1,即工=2時，等號成立，x+—彳的最小值3.

x-1

(2)由x(10-x)X)可得0球10,

當x=0或x=1()時，^/x(10-x)-0,

當OVxVIO時，由基本不等式可得，4(10_幻十嗎一』=5,當且僅當x=10-x,即x=5時等號

成立，

綜上Jx(10-x)的最大值為5.

(3)因為正數(shù)x,y滿足x+3j=l,

由基本不等式可得，一+—=(3+3y)(—+—)=74--4-->7+2—*—=74-2ylii,

xyxyxy'xy

當且僅當?=票且x+3,y=1,即y=唁，工=暫時等號成立.

12「

即一+一的最小值為2乃+7.

%y

【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題.

15.(2024秋?南昌縣校級期末)已知關于x的不等式7-心-3<0的解集為｛R-

(1)求in,n的值.

(2)若正實數(shù)a,b滿足na+mb=1,求工+三的最小值.

【考點】運用基本不等式求最值；解一元二次不等式.

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；不等式；運算求解.

【答案】(1)〃?=2,〃=3；

(2)4+2V3.

【分析】(I)由題意得-1,〃是方程/-〃〃--3=0的兩根，再利用韋達定理即可求解.

(2)由(1)得正實數(shù)小一滿足%+2b=1,再利用“1的代換”即可求解.

【解答】解：(1)關于x的不等式』-爾-3Vo的解集為(川-IVx<〃)

是方程x2-mx-3=0的兩根，

則｛二;曹：二解得機=2,〃=3；

(2)由(1)得正實數(shù)小人滿足3〃+2。=1,

“「I1113a2b3a2b

所以一+—=(3a+2b)(—+—)=3+—+—+1>4+2/—?—=4+2Vr3,

a2ba2b2bay2ba

(3—6

3a2b|Q=-z-

當且僅當二二一，且3a+28=1,即《/-時等號成立，

2ba屋6-1

Vb=-

所以二+々的最小值為4+2V3.

a2b

【點評】本題主要考查了二次不等式與二次方程轉化關系的應用，還考查了基本不等式在最值求解中的

應用，屬于中檔題.

考點卡片

1.等式與不等式的性質

【知識點的認識】

1.不等式的基本性質

(I)對于任意兩個實數(shù)小b,有且只有以下三種情況之一成立：

①4~/?>0；

②a〈boa-/?<0；

?a=b<=>a-b=0.

<2)不等式的基本性質

①對稱性：4bob<a；

②傳遞性:a>b,b>c=a>c；

③可加性：a>b=>a+c>b+c.

④司向可加性：a>b,c>d=a+c>b+d；

⑤可積性：a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；

⑥司向整數(shù)可乘性：a>b>0,c>d>O=>ac>b(h

⑦平方法則:a>b>O=>an>lf(nEN,且QI)；

⑧開方法則：a>b>O=>tVa>Vb(?GN,且〃>1).

2.基本不等式及其應用

【知識點的認識】

基本不等式主要應用r求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或

等于它們的算術平均數(shù).公式為：誓之疝(應。，以))，變形為〃后(早)2或者。+生2面.常常

用于求最值和值域.

實例解析

例1：下列結論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是.

A：a,b均為負數(shù),則改+—>2.B：XrZ^->2.C：sinx+-^->4.D：aGR+,(3-a)(l<0.

b2aVx2+1a7

解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、。均滿足條件.

對于C選項中siiu￥±2,

不滿足“相等”的條件，

再者sinx可以取到負值.

故選：c.

A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式了?為正數(shù)，而不是式子當中的某一個組成元素；8分了其實可以寫成

『+1+1,然后除以分母就可換成基本不等式.這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=/立的最值？當OVxVl時，如何求、=五當?shù)淖畲笾?

解：當人=0時，>=0>

當時’、二品=不'

用基本不等式

若上>0時，ov)s￥，

若xVO時,<y<0,

綜上得，可以得出一寸0￡半

這是基本不等式在函數(shù)中的應用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0,沒有明確表示的話就需要討

論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素(函數(shù))相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；

最后套用基本不等式定理直接求的結果.

【辯題方法點撥】

基本不等式的應用

1、求最值

例1：求下列函數(shù)的值域.

⑴y=3x?+*⑵y=x+3

解:⑴y=3x?+擊22y3x噎=a.二值域為[加，《)

⑵當x>0時，v=x+；>2\/x-J=2j

當x<0時，y=x+：=-(-)工-2yxi=-2

???值域為(-oo,-2]U[2,-KX))

2、利用基本不等式證明不等式

例2：已知a、b、ceR~,且a+b+c=l。求證：；，一1）；:一],。一"28

分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又

1_1=匕￡=三之也，可由此變形入手。

aaaa

..,一0?,,,1.1,\-ab-t-c2-Jbc閂,困1,2^/ac1?、24sl

y^-:.a、b、ccRfa+b+c=l。..——1=-----=------之-----?同土里一一12--------,——12--------。

aaaabbcc

上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

V&-1卜乎?平.8。當且僅當a=b=C=；時取等號。

3、基本不等式與恒成立問題

10

例3：已知x>0j>0且一+-=1,求使不等式x+yN加恒成立的實數(shù)冽的取值范圍。

*y

5A19,x+v9x+9v,10v9x1

解：令x+y=￡;x>0Aj>0A：-+-=l,——-+=1.—4--=1

xykxkykkxky

in3

:A-->2--o/.Jt>16>me(-oo,16]

kk

4、均值定理在比較大小中的應用

例4：若a>6>LP=Jlga/gb，2=：（lg4+lgb）,&=lg（4）,則尸，。小的大小關系是

分析:a>>>1lga>0,lg1>0

Q=~(1ga?1g6)>Jiga」gb=p

R=lg("；0)>lg4ab=gigab=Q.'.R>O>P?

【命題方向】

技巧一：湊項

例1：已知x<H求函數(shù)v=4x-2+—!—的最大值。

4"4x-5

解：因44-5<0,所以首先要?調答符號，又（以-2）?二一不是常累，所以對44-2要進行拆、湊項,

4x-5

vx<y,.\5-4x>0>/.v=4x-2+—!—=一|5—4x+—5—]+34-2+3=1

4J4x-5I5-4x）

當且僅當5-4x=」一,即x=l時，上式等號成立，故當x=l時，刈3s=1。

點評：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其枳為定值.

技巧二：湊系數(shù)

例2：當0VxV4時，求y=x(8?2t)的最大值.

解析：由0VxV4知，8-2x>0,利用基本不等式求最值，必找和為定值或積為定值，此題為兩個式子積

的形式，但其和不是定值.注意到2葉(8-2K)=8為定值，故只需將y=x(8-22湊上一個系數(shù)即可.

1、12x+8-2xn

y=x(8-2x)=皿?(8-2.r)J<4(------------)2=8

?2122

當2AU8-2X,即x=2時取等號，當x=2時，y=x(8-x2)的最大值為8.

評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值.

技巧三：分離

例3：求)，=:普：1°(%>一1)的值域.

解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有G-+1)的項，再將其分離.

X2+7X+10_(X+1)2+5(X+1)+4_4

尸m--市-+申+5,

當人>-1,即人+1>0時，十1)k擊十5=9(當且僅當人=1時取“=”號)

技巧四：換元

對于上面例3,可先換元，令/="1,化簡原式在分離求最值.

技巧五：結合函數(shù)/(x)=x+/的單調性.

2

X4-5

例4：求函數(shù)y=j【4的值域。

解：令夕+4=仆2),則廣尸=、,江工，二——^」一)

{X'+4Jr+41

因=但”;解得"±1不在區(qū)間口+8),故等號不成立，考慮單調性。

因為y=r+；在區(qū)間［L+8)單調遞增，所以在其子區(qū)間［2+8)為單調遞增函數(shù)，故y之

所以，所求函數(shù)的值域為工田：。

技巧六：整體代換

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例5：已知x>0,y>0,且±+'=1,求x+y的最小值。

xy

錯好：x>0,y>0,且工+2=1,x+j,=j1.+2：(x+7)之=12故(x+J'ZtjUl?o

錯因：解法中兩次連用基本不等式，在x+N22歷等號成立條件是x=y,在]，+222區(qū)等號成立條

xyN盯

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件是4=3即>.=9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出等

%y

號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢蛉轉換是否有誤的一種方法。

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