2025.2026學(xué)年江蘇省南京市金陵中學(xué)高三（上）10月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.復(fù)數(shù)2（i為虛數(shù)單位）的共匏復(fù)數(shù)為5,則5的虛部是（）

A.1B.-1C.-iD.i

2.要得到函數(shù)y=sin（梟+勺的圖象，只需將函數(shù)y=sin?的圖象（）

A.向左平移J個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移J個(gè)單位長(zhǎng)度

?5J

C.向左平6個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移居個(gè)單位長(zhǎng)度

3.以雙曲線卷一g=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程是（）

A—4-=1B—+^-=1c—+—=1D—+—=1

16十925十9J25十16,1625

4.若二項(xiàng)式月的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64,那么該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-20B.-30C.15D.20

磴/貝噴=（）

5.已知等比數(shù)列｛5｝的前九項(xiàng)和為Sn，

A，7D.奈

6.若a＞網(wǎng)＞0,ceR,則下列結(jié)論一定成立的是（）

22^>-L33

A.ab>abB'ab2>a2bC.a<bD.a-c>c—b

7.已知直線y=kx-1與拋物線/=4y相切，則k=（）

A./2B.-1C.1D.±1

8.已知半徑為4的球。，被兩個(gè)平面截得圓01、。2，記兩圓的公共弦為A8,且。1。2=2,若二面角6-

48-。2的大小為:江，則四面體力83。2的體積的最大值為（）

A.8/3B.”C.172D

VVV

二、多選題：本題共3小題，共9分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知65表示向量G,而表示向量認(rèn)向量五二（1,2）,b=（3,1j,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論上確的是（）

A.若向量五+員與a垂直，則實(shí)數(shù)t的值為一1

B.已知點(diǎn)C(4,k),若4,B,C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為一2

C.五在B方向上的投影向量的模為年

D.若共(一1,如，G+3與加夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(一8片)

10.已知函數(shù)f(x)=|%2-1|%,則()

A.f(%)為奇函數(shù)B.f(%)在(-1,1)單調(diào)遞減

C./(%)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)D./(/(%))=0有5個(gè)實(shí)數(shù)解

11.已知點(diǎn)4(0,一4)，5(0,75),曲線C：4x|x|-y|y|+4=0f則下列說(shuō)法正確的是()

A.直線y=2%與曲線C無(wú)交點(diǎn)

B.曲線C上不存在點(diǎn)P,使得川=4

C.若過(guò)點(diǎn)(-2,0)的直線Z與曲線C有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線，的斜率的取值范圍是［綽，綽)

D.點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向直線y=2》與直線y=-2工作垂線，垂足分別為M,N,

則|QM|-|QN|=g

三、填空題：本題共3小題，每小題3分，共9分。

12.某校元旦文藝匯演中，有八位評(píng)委對(duì)一舞蹈節(jié)目評(píng)分，該節(jié)目得分依次為80,85,91,90,90,93,

92,95,則這組數(shù)據(jù)的第70百分為數(shù)為.

13.袋中有大小、形狀完全相同的8個(gè)白球、4個(gè)黑球，現(xiàn)從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，若每次

抽取后都不放回，設(shè)取到白球的個(gè)數(shù)是x,且y=2x+i,則y的數(shù)學(xué)期望E(y)=_____.

14.已知函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，且x20時(shí)，/(x)=e2x,若函數(shù)y=/(x)--1|一kx有且只有1個(gè)零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

四、解答題：本題共5小題，共58分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題10分)

記以力的內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.己知加切力=QCOS(8-*.

⑴求8；

(2)若4718c為銳角三角形，求sin2A+sin2B+sin2c的取值范圍.

16.(本小題12分)

已知數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為Sn,Sn=^an(neN*),且處=1.數(shù)列｛b｝為等比數(shù)列，b.=a3-4,月=

。5+L

⑴求3J和｛b｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè).=必,九GN*,求數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為

an+l

17.(本小題12分)

如圖，三棱柱ABC-ABiG中，4送1■平面ABC,/-ACB=90°,AC=CB=2,M,N分別是AB,&C的

中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面B81C1C；

(2)若平面CMN1平面B】MN,求直線A8與平面81MN所成角的正弦值

18.(本小題12分)

丫22J-7

已知橢圓￡?3+方v=1(。＞匕＞0)的右頂點(diǎn)為時(shí)，左、右焦點(diǎn)分別為Fi，尸2，離心率為芋,P為E上任意

一點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=4.

(1)求E的方程.

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)7(30)的直線1與E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)/,9(均不與點(diǎn)M重合).以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M,求t

的值;

(3)由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果橢圓Ci的“特征

三角形”為4,橢圓C2的“特征三角形"為』2,若4s42,則稱橢圓Cl與C2“相似”，并將4與4的相似

2=1(。＞8＞0)相似.若橢圓6與

比稱為橢圓G與。2的相似此.己知橢圓G：v4I+y=I與橢圓。2：

橢圓C2的相似比為;1(4＞0),設(shè)P為C2上異于其左、右頂點(diǎn)A1，%的一點(diǎn).當(dāng)人=苧時(shí)，過(guò)P分別作橢圓G的

兩條切線P名,尸4，切點(diǎn)分別為名，設(shè)直線P/,的斜率為自，k2,證明：自心為定值?

19.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(%)=x-Inx-2.

(1)求曲線y=/(X)在x=1處的切線方程；

(2)若a>0,g(K)=Inx+ax2-(2a+l)x,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

參考答案

\.A

2.A

3.B

4.4

5.B

6.B

7.D

8.C

9.AC

\O.ACD

W.ABD

12.92

13.5

14bl,3]

15.解：(1)在△48C中，由正弦定理「\二1p可得加切力=asinB,

si7b4sinB

又由bsinA=acos{B-勺，

得csinB=acos{B-7),即si九8=cos(8-7),

66

進(jìn)而有=宇cosB+]s出8,即sinB=yJ-3cosB,

可得￡a〃8=A/3,

乂因?yàn)锽E(0,TT),可得B=全

(2)sin2/l+sin2B+sin2c=14--cos2A4-1-cos2C)—(cos2A+cos2C)-[cos2A+

cos2(y-A)]=:一"(；cos2力-^■sin2A')=(+"sin(2A-，

fo<71

由題意得《2汗rr，解得\VAVJ

l0<T-^<262

所以*V2A—

ooo

所以：<sin(2/l-f)<l,則2<：+Jsin(24-^)<p

4O■O

故siM力+sin2F+sin2c的取值范圍為（2，］.

16.⑴已知數(shù)列｛aj的前ri項(xiàng)和為Sn,Sn=^an(n€N*),且為=1,

當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn-Sn.1=^an-^an_1,

可得W?=巖（,之2），

n+1_n(n+l)

-2~

上式對(duì)n=1也成立，則即=幾GN‘；

｛b｝為公比設(shè)為q的等比數(shù)列，仇=%-4,b4=as+1,

可得%=6—4=2,/=15+1=16,則q3=8,即q=2,

所以b=2九，nEN\

綜上可得，5=嗎工，bn=2\nWN*；

n+1n+2n+l

⑵_nhn_n-2_22

⑷。=-=(n+i)(n+2)=^+2-萬(wàn)T

Q3,4Q3QH+2QH+1^n+2

數(shù)列｛。｝的前幾項(xiàng)和為"=---y+l--7+…^~~T7---TT=-77-2.

'713243n+2n+1n+2

17.(1)證明：連接4?i，BG，則N€4Ci且N為4cl的中點(diǎn)，

又"M為的中點(diǎn)，???MN〃8G，

又8clu平面B81GC,MN仁平面8B1GC,

故MN〃平面BBiGC...（4分）

（2）解：由平面48C,得4C1CQ,BC1CQ.

以C為原點(diǎn)，分別以。氏eg,以所在直線為x軸，y軸，2軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)CG=設(shè)（4＞。）,

則N(O,/l,l),Bi(2,240),由=(1,0,1)，麗=(-1,40)，西=(2,4-1).

取平面CMN的一個(gè)法向量為沆=\x,y,z),

由麗.沅=0,而?沆=0得：｛：：：元°=0，令y=i，得記=(/UT),

同理可得平面8]MN的一個(gè)法向量為五=(A,1,3/1),

???平面CMN1平面々MN,.?.沅?元=乃+1-3M=0,

解得;I=苧，得記=(苧,1,苧)，又而=(2,0,—2)，

設(shè)直線48與平面%MN所成角為仇則sin。=|cos<n.AB>\=看翳=乎.

所以，直線48與平面當(dāng)MN所成角的正弦值是學(xué).

6

18.(1)設(shè)橢圓的半焦距為c(c>0),

因?yàn)镻為E上任意一點(diǎn),且|PP|+|P曰|=4,

所以2a=4,

解得a=2,

因?yàn)闄E圓的高心率為學(xué)，

所以c=>n,

又叢=Q2—c2,

解得/=2,

則樹圓的方程為1+4=1；

42

(2)設(shè)直線1的方程為□=my+34(孫％),8(必/2)，

聯(lián)立｛；2+彳：1」4=0,消去%并整理得(山2+2)y2+2my+t2-4=0,

此時(shí)d=(2m)2-40n2+2)(t2-4)=8(2m2-t2+4)>0,

由韋達(dá)定理得力+y?=-舞，力及=導(dǎo)攝，

所以與+x2=m(yi+y2)+2t=

XiX2=(m%4-t)(my2+t)=m2yly2+巾可必+力)+產(chǎn)

2242

=m2yly2++及)+t2=普,

因?yàn)橐跃€段力B為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)歷(2,0),

所以而彳?麗=0，

即（右一2）（&-2）+y/2=0，

所以不必-2（%1+?。?4+yxy2=0,

Ri|2t2-4m24tt2-4

卬*『2><昕+4+痂=0，

解得t=，或t=2（舍去），

當(dāng)亡=:時(shí)，滿足4>0,

所以"全

（3）證明：易知橢圓G：1+、2=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2心，短軸長(zhǎng)為2,焦距為2,

橢圓Cz：務(wù)￡=1（"力>°）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2。，短軸長(zhǎng)為彷，焦距為2A/溟—一2,

/I2Vl

由相似比可知，

22

2yla-b

解瞰:力，

所以橢圓。2：35=1,

“42

設(shè)PQo,y。），

此時(shí)直線PBi的方程為y-%=k.Cx-Xo）,

即y=kjx+y0-kx0,

記￡=丫0-2%（），

所以PBi的方程為y=/qx+3

y=kxx+t

聯(lián)立史2=1，消去y并整理得（2脛+l）x2+4匕以+2t2-2=0,

*2

因?yàn)橹本€PB1與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以4=（4自￡）2-4（2居+l）（2t2-2）=0,

即2幅一d+i=0,

將￡=yo-kx()代入上式，

整理得(詔-2)好-2xoyoZc1+y衣-1=0,

同理得(以-2)妖-2xoyQk2+光-1=0,

2

所以自，&為關(guān)于攵的方程(詔-2)/c-2xoyok+yl-1=0的兩根,

所以=史

X。一乙

因?yàn)辄c(diǎn)PQo，yo)在橢圓G：9+9=1上，

所以。2：,+4=1，

“42

即羽=2-爭(zhēng)

故A■也為定值，定值為一會(huì)

19.解：(1)由于導(dǎo)函數(shù)/'(%)=1-：，因此切線斜率為尸(1)=0,

乂/(I)=-1,切點(diǎn)為(1,—1),因此切線方程為y=-1；

(2)因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)g'Q)=：+2g一(2Q+1)=2ax2—(2;+l)x+l,&>0)

當(dāng)G=o時(shí)，導(dǎo)函數(shù)g'(%)=9減區(qū)間為(l,+8),增區(qū)間為(0,1),

①當(dāng)/=1,即Q=g時(shí)，g'Q)=q￡>0,增區(qū)間為(0,+8).

②當(dāng)/VI,即Q*時(shí)，令"(x)>0得，0<%</或%>1；令g'(x)vo得，^<x<1.

減區(qū)間為(《,1);增區(qū)間為(0,《),(1,+8)；

③當(dāng);>1,即0<Q<；時(shí)，g，(x)=(l)Ql)