2025?2026學年上海市普陀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.在心△A8C中，ZC=9O°,BC=3,AB=5,那么taM的值是?）

3153

A.B.C.D.

I335

2.如果點（-2,），i）、（」,”）、（2,”）在反比例函數(shù)y-的圖象上，那么（）

T

A.V1>.V2>^B.j2>y>yyC.y\>y2D.)/>yi>.vi

3.如圖，在△ABC中，點。、E分別在△ABC的邊人8、4c上，如果添加下列其中之

一的條件，不一定能使△A。石與△48C相似，那么這個條件是（）

A.LAED=Z-B

B.LADE=Z-C

「ADAh：

ACAH

n\DDK

D.二

AHHC

4.如果〃?+1=了，<1*-77=37?,且TN竊，下列結(jié)論正確的是()

A.|（f|=|B.（r+2h'=0C.1與,；方向相同D.〃?與,；方向相反

5.在同一直角坐標系中，一次函數(shù)產(chǎn)依+護與二次函數(shù)的圖象可能是（）

6.如圖，在△ABC中，點。、E、尸分別為邊A3、BC、AC的中點，分別聯(lián)結(jié)

DE、EF、DF、AE,點。是AE與。尸的交點，下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是

（）

①△￡>￡/的周長是△A/3C周長的一半；

②4E與05互相平分；

③如果/氏4。=90°,那么點。到四邊形ADE/四個頂點的距離相等:

④如果AB=AC,那么點。到四邊形A。三尸四條邊的距離相等.

A.I個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：本題共12小題，每小題4分，共48分。

7.已知線段A4=4厘米，點P是線段A6的黃金分割點(AP>BP),那么線段8P=—厘米.

8.兩個相似三角形的面積比為4：9,其中較小三角形的周長為4,則較大三角形的周長為

9.如果函數(shù)產(chǎn)F如的圖象向左平移2個單位后經(jīng)過原點，那么〃尸____.

10.如果拋物線產(chǎn)2+〃?+1的對稱軸是直線―1,那么它的頂點坐標為.

11.已知點4(-4,〃?)在反比例函數(shù)y-上的圖象上，點A關(guān)于)，軸的對稱點Al恰好在直線y上,

那么々的值為

12.如圖，某水庫水壩的壩高為24米，如果迎水坡44的坡度為1：0.75,那

么該水庫迎水坡AB的長度為

13.如圖，AGWBC,如果AF：FB=3：5,BC：CD=3：2,那么人E：EC=

14.如圖，在△ABC中，點。為A8邊上一點，且A。：08=3：4,QE||AC交3c

于點E,那么以8/圮：5小￡。的值為___.

B

15.如圖，將一個裝有水的杯子傾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一個寬3c=6厘米，長CQ=16厘

米的矩形.當水面觸到杯口邊緣時，邊CQ恰有一半露出水面，那么此時水面高度是厘米.

16.如圖，已知uABC。的對角線交于點。，點E為邊A。的中點，CE交BD于

點G,設(shè)片―石，用。、〃表示㈤二一.

17.對于任意三角形，如果存在一個菱形，使得這個菱形的一條邊與三角

形的一條邊重合，且三角形的這條邊所對的頂點在菱形的這條邊的對邊

上，那么稱這個菱形為該三角形的“最優(yōu)覆蓋菱形”.

問題：如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=4,且△ABC的面積為機如果

2ABC存在“最優(yōu)覆蓋菱形”為菱形BCMM那么〃?的取值范圍.

18.如圖，四個白色全等直角三角形與四個黑色全等三角形按如圖所示方式擺放成“風車”型，且黑色三

角形的頂點￡、F、G、”分別在白色直角三角形的斜邊上，已知乙480=90。，OB=3,A8=4,若點A、

E、。在同一直線上，則OE的長為.

三、計算題：本大題共1小題，共10分。

2MH5.

19.計算：4sin450+cos2300—~~京.

fu〃的一v2

四、解答題：本題共6小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

20.（本小題10分）

在平面直角坐標系xQv中，直線產(chǎn)-1x+l與雙曲線產(chǎn)，儀是常數(shù)，且寸0）交于點A（6,W.

（1）求&與機的值；

（2）直線y=，x+l與x軸交于點8,過點B作y軸的平行線，交雙曲線產(chǎn)”于點C,求△ABC的面枳.

2jr

O

21.（本小題10分）

如圖，已知，在QaABC中，ZC=9O°,AB=4,BG2,點。是AC的中點，聯(lián)結(jié)BO并延長至點E,使

乙E二乙BAC.

（1）求sin乙48E的值；

（2）求點上到直線3c的距離.

22.（本小題10分）

如圖是某地下車庫的剖面圖，某綜合實踐小組將無人機放在坡道起點八處，讓無人機飛到點。處，AO與

底板8R平行，測得人。=11.6米，此時在點。處又測得坡道人8上的點C的俯角為26.6°.接著讓無人機飛

到點E處，DELAD,。石與底板8R平行，測得。七二1.8米.

（1）求坡道八8的坡度;

（2）已知地面。4、地下車庫的頂板/G都與底板平行且它們到底板的距離相等，無人機從點A飛

到點P處，APIA。，測得A尸=16.4米，此時在點P處測得點尸的俯角為45°,在不考慮其他因素的前提

卜，有一輛高度為3米的貨車能否進入該地下車庫？請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：sin26.6°-0.45,8s26.6°=0.89,tan26.6020.5)

P.

23.（本小題12分）

己知：如圖，在菱形ABC。中，AELBC,AF1CD,垂足分別為反F,射線EF交的延長線于點G.

（1）求證：CE=CF；

1rAP

(2)如果/G2=AGQG,求證：

AE~BE

24.（本小題12分）

如圖，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過A（-2,5）和點B（-5,p）,平行四邊形ABC。的頂點C、。分別在），軸的負

半軸、x軸的正半軸上，對角線AC、8。交于點立二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、C、D.

（1）求點仄C、。的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）如果點E在第四象限的二次函數(shù)圖象上，且乙DCE=4BDO,求點石的坐標.

25.（本小題14分）

如圖，在R/Z\ABC與中，48=90°，AB?=BC?BD,AB=3,過點A作AE_L8。，垂足為

點、E,延長AE、CB交于點F,連接。尺

(1)求證：AE=AC；

(2)設(shè)BC=x,求），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;

/.I

當AABC與△OEf'相似時，求邊8c的長.

FBC

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】(62-5)

8.【答案】6

9.【答案】4

10.【答案】(1,2)

11.【答案】-8

12.【答案】30

13.【答案】3：2

14.【答案】16：21

15.【答案】9.6

16.【答案】Jai石

66

17.【答案】4\'?W〃忘8

18.【答案】:;

19.【答案】解：原式=4X?2+(⑹)2.

22

=2v2+1-2(4+6)

*1

=?2』.

4

20.【答案】k=-12,w=-2；12.

21.【答案】解：（1）過。作QFL44于凡如圖:

.?.AC=\8(=2\s，si叱8AC=：,

.?2BAC=30°,

?:點。是AC的中點，

：.AD=CD=v3，

-BD=、笈-.(廿二\；，

Rt/\ADF中，DF=AD*sin^BAC=V-，

r)p.9*

RtABDF中,sin乙ABE=二'；

BDH

(2)過人作/V71BE于〃，過E作EGIIAC交BC延長線于G,如圖:

:ABCDsAAHD,

BCBDCD

'AH-ADTH)"

,；BC=2,CD=AD=、&,BD=、：,

-6、/32v213v7

1〃3〃/)，解得小〒，心〒，

上8=4/MC'=3U0,

,4,

:.HE:

/。〃30

：.BE=BD+DH+HE="''',

vEG||AC,

:.乙BDC=zJ3EG,

而，C'8￡>=，G8E,

:.ACBDSAGBE,

EGBEnnEG單

DCBD《小

“16v3

.-.EG=7.

22.【答案】解：（1）作C”L4D則

C/1=DE=\.^/n,"?,

DH2

：.DH=3.6m,

：.AH=\1.6-3.6=87n,

_底板

BR

.?.坡道AB的坡度為；(；

(2)???人。=16.4〃?,4總卜=90°,尸=45°,

'.AF=16Arn,

作FI1AB,

9

?.,taizG4H=，

!?

/.sinzCAH=1?,

9

.'.FI=AFHi.3.

41

???貨車可以進入該車庫.

23.【答案】證明：（1）?.?四邊形ABC。是菱形,

'.Z.B=Z-ADF,AB=AD,BC=DCf

"及L4C,AF1CD,

止乙4a）=90°,

在Z\A8上和〃中,

ZB-LADF

一""一1FD,

AB?AD

石也△AO廠(AAS),

:.BE;DF,

:.BC-BE=DC-DF,

：.CE=CF；

(2)???RT2:AG?QG,

FGDG

'AG~Tei"

,：Z.DGF=Z.FGA,

:ADGFSNGA,

:.乙GFD=^GAF,

由(I)知：△ABEgZXAOF,

:.BE;DF,AE=AF,

：.￡AEF=￡AFE,

vzAF￡>=90o,

.-.zGAF+zADF=90°,乙4尸￡+NGFQ=90°,

:.乙\DF=L\FE,

:.￡ADF=Z.AEF,

AFAG

,.,tanzL4DF=,tanzAEF=%,

DFAE

AFAG

?**----=-----,

DFAE

AFAG

：'~BE-而‘

即受-竺.

AERE

24.【答案】B(-5,2),C(0,-3)、D(3,0)

次函數(shù)的解析式為)=/-2r-3；

36

目5'25)

25.【答案】解:(1)證明：?.?4屏=6。?8。,

ADBC

AB2BC2

二加，

AB2BC2

'?麗

?.Z.ACB=Z.DAB=9O0,

AB2_DC2

匚小二心’

ABBC

AD~ACf

vzC=zBAD=90°,

:.△ABCs^DBA,

:&DB=乙BAC,

?.2必。=90°,

.?&DB+"BD=90°,

'.AE1BD,

.?.^E8=90°,

."48+乙48D=90°,

:.乙BAE=zADB,

.?.乙BAE二乙BAC,

?.?乙4E8=z_C=90°,AB=AB

:ABAE-ABAC(A45),

：,AE=AC；

(2)如圖1,

作AGIIBE交8c的延長線于點G,作G41AB交4B于點H,

:.△FBESXFGA,叢BE=4AG,

AF_AG

~EF詼，

由(I)△AA￡-Z\AAC(A43)得，乙EA8=^8AC,BC=BE,乙A8X=^