2025-2026學年遼寧省遼西重點高中高二上學期10月聯(lián)考數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知正方體力8。0-4'8'。'0'的棱長為1,若同=d,AD=b,彳彳=乙則(@+另)?(加一？)=()

A.OB.1C.2D.4

2.在平行六面體48。。一48￡。1中，底面是邊長為1的正方形.若乙公43==60。，且人必=1,

則4cl的長為()

A.75B.2<2C./10D./15

3.在空間直角坐標系中，向量值=(2,1,m),b=(-2,1,2),下列結(jié)論正確的是()

A.若五//b,則m=2

B.若215,則m=

C.若〈乙力為銳角，則根>目

D.若G在3上的投影向量為：3,則m=i

64

4.如圖，在正三棱柱48。一力道￡中，AB=2,若48i_L〃G，則直線“當與平面BCG當所成角的正弦值

A.?B.苧C.浮D.學

5.已知平面a經(jīng)過點4(0,0,-1),記=(1,2,-2)為平面a的一個法向量，點P(x,y,z)是平面a內(nèi)異于點4的任

意一點，貝U()

A.x+2y-2z=-2B.%+2y-2z=2

C.x—2y-2z=2D.%—2y—2z=4

6.如圖1,正方形4BCD中，AE=EB,DF=FC,。是BD的中點.將△ABD沿BD折疊到△ABD的位置，使

得平面ABDI平面BCD(如圖2),則直線BZ)與平面EOr所成角的正弦值為()

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A門c?苧D.苧

ATBT

7.如圖，△S48是圓錐S。的軸截面，S4=是半圓弧Q的中點，。是線

段。8的中點，則異面直線54與CD所成角的余弦值是（）

AE

A'—

/io

*B?而

D.To-

8.在△力BC中，頂點A（2,3）,點8在直線心3%—丫+1=0上，點。在刀軸上，則△入8c周長的最小值為（）

2/10DW

A./13B二一C.2E

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列四個結(jié)論錯誤的是（）

A.任意向量G,b,若五i=0,則d=6或B=6或位，石）=]

B.若空間中點0,A,B,C滿足沆=《65+'3瓦則4B,C三點共線

JO

c.空間中任意向量d,5,5都滿足3j）亮二鼠（譏發(fā)

D.若五〃b//ct則勿浮

10.在四棱柱46C。一/4181cl5中，底面4SC0是平行四邊形，AD-AA1-2AB-2,且乙&A8—

444）=484。=?點「滿足瓦7=；1瓦萬，則下列說法正確的是（）

A.若入=/則瓦戶=?同一々荏一:赤

B.若則P,4,G，8四點共面

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C.直線4GL與直線。8所成角的余弦值為等

D.四棱柱4BCD-4出。也的體積為2M

11.若點力(一1,一4),8(3,0)到直線，：ax+Zjy+cnO9b工0)的距離相等，則下列結(jié)論可能成立的是()

A.i過原點

B.I過點(1,-2)

C.a手—Z)Hc=3b

D.直線3ax+2by+c=0可能過點(：,一1)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.兩條異面直線a,b所成的角為60。，在直線a,匕上分別取點4,E和4F,使4勿1a,"力_L"已知

A'E=2,AF=2,EF=5,則A"=.

13.在正四面體48co中，P是△/BC內(nèi)部或邊界上一點，滿足而=2而+〃而，且+〃設(shè)麗=

x^A+yDB+z方？，則/+y2+Z?的取值范圍是______.

14.已知實數(shù)％,y滿足x+y+l=0,則J*+<2一2y+1+，-2%+y?-4y+5最小值為____.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，已知正方體48。。一公816。1中，E為棱CG上的動點.

(1)求證：A1E1

(2)若平面1平面EBD,求證：E為CQ的中點.

16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P一力BC中，PAJ■平面ABC,Z-BAC=90°,AC=PA,AB=J1PA,點、N在AC上,且

CN=2M4,點M是線段48上的動點.

(1)求異面直線PN與8。所成角的余弦值；

(2)當M是48的中點時，求P4與平面PMN所成角的正弦值.

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17.(本小題15分)

據(jù)下列條件分別寫出宜線的方程，并化為一般式方程.

(1)經(jīng)過直線I］：2%-y+4=0與直線％-'+5=0的交點時，且與直線x-2y-1=0平行的直線的

方程：

(2)已知點做-2,-1),8(4,3).求線段的垂直平分線的方程；

(3)經(jīng)過點P(-2,3),并且在兩坐標軸上的截距相等.

18.(本小題17分)

在三棱錐A-8C。中，M,N分別是AB,CD的中點，且麗=%超+、彳？+2而.

(1)求％+y+z.

117

(2)已知=AD=2AC=2,cos/BAC=-,cosz.CAD=一二，cos乙BAD=

44o

①證明：MN_L平面/ICO.

②若P，Q分別是線段8C,CD上的一個動點，且BP?CD=BC-CQ,求而?雨的最大值.

19.(本小題17分)

在空間直角坐標系中，己知向星云=(a,hc)(abc不0),點Po(x(),yo，zo),點P(x,y,z),定義直線2經(jīng)過點力

且以過為方向向量，平面a經(jīng)過點Po且以Z為法向量.

(1)若P是平面a內(nèi)的任意一點，求證：a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0；

(2)另有平面a的方程為x-y+z-7=0,直線，是平面％+2y-3=0與％+z+1=0的交線，求直線/與

平面a所成角的余弦值：

(3)設(shè)點Q(%i，yi，Zi)是空間任意一點，記向量BO=v=(%!-xQ,yt-y0,zx-z°).求證：點Q到直線1的距

離心與點Q到平面a的距離底滿足關(guān)系式:di+dj=|v|2.

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答案解析

1.【答案】B

【蟀析】解：由題意，正方體校長為1,故五了7兩兩垂直且|五|二|同=|磯=1,

所以0+/>@—？)=2%—五々+=加一】逑

因dJ.B、a1c>51c,故G*B=O,a-c=0,5-c=0：

又G?b=|b/=1?=1,代入得：o-o+i-o=i.

故選：B.

2.【答案】A

【解析】解：由題意得|而|=|而|=1,|耐|=1,〈而，而)=90。,〈彳否，而)=〈而,麗*〉=60。，

因為福*=而+豆？+鬲=近+而+鞏，

所以宿2=(彳§+而+麗y

=/+爐+麗*2+2通而+2加稱+2荷?福

=l+l+l+2xlxlcos900+2x1xlcos60°+2x1xlcos60°

=5,

所以|AC11=V-5>

/G的長為公.

故選：A

3.【答案】C

【解析】解:對于4因為五=(2,1,m),1=(-2,1,2)且寸〃4,所以W=汴,

2=-2t

即l=t,方程組無解，故不存在m使得Q〃丸故A錯誤；

m=2t

對于8：若d_L則五?b=2x(-2)+1x1+2?n=0,得m=?,故8錯誤；

對于C：若扇B為銳角，d與B不可能共線，則五?b=2x(-2)+1x1+2m>0,得m>|,故C正確;

對于D：因為五在Lt的投影向量為《認

O

因為Q?另=2x(—2)+lxl+2m=2m—3,\b\=V(-2)2+I2+22=3,

即駕另=警人則笄=:，解得m=],故。錯誤.

\o\9964

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故選：c.

設(shè)己=1正得出方程組無解，即可判斷4,根據(jù)d?B=o判斷瓦根據(jù)判斷C,根據(jù)投影向量的定

義判斷0.

本題考查空間向量運算相關(guān)知識，屬于中檔題.

4.【答案】B

【解析】解：設(shè)正三棱柱4BC-4B1G的高為九，即8/=九，

由于力Bi=8汁1—BA,BCi=Big—B]B,AB11BCX>

則福.西=(西-甌.時-瓦初=0,

即西?瓦育一西?瓦^-瓦5?瓦1+福?掘=0,

則九2-2x2x^=0,所以h

取8c的中點。，連接4。，當。，

由于底面△ABC為等邊三角形，AB=2,

則4O1BC,AO=y/l,

由于叫1平面ABC,AB,AOu平面ABC,

所以40J.B81，AB工BBi，且力勺=J22+(72)2=/6,

由于BBiCBC=8,BBQBCu平面BCC/i，

所以4。平面3CG%,

所以"I%。為直線力學與平面BCG/所成角，

則sin〃B1°=粉=奈=拿

故選：B.

5.【答案】B

【解析】解：因為沆=(1,2,—2)是平面a的一個法向量,

所以彳？1沆，

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故4P?沆=(%y,z+1)?(1,2,-2)=x+2y—2z-2=0,

即x+2y-2z=2.

故選:B.

6.【答案】C

【解析】解：連接4。，CO,則A0JL80,CO1BD,

因為平面HBD_L平面BCD,平面4'BDn平面BCD=BD,A'Ou平面480,

所以4。1平面BCD,

又COu平面BCD,

所以AO1CO,

故以0為坐標原點，OB,OC,。4所在直線分別為％,y,z軸建立空間直角

坐標系，

設(shè)BD=2,則0(000).8(1,0,0).。(一1,0,0).C(0,l,0),

由題意知E,F分別為AB,CD的中點,

所以F(—0),

所以布=(1,0i),0F=(-1i,0),BD=(—2,0,0),

記?0E=卜+力=0

設(shè)平面EOF的法向量為論=Q,y,z),則《一22,

n-OF=--x4--y=0

令x=l,則y=l,z=-1,即元

設(shè)直線BD與平面EOF所成角為氏

前>|=翳=晟=苧,

'^ne=\C0S<n,

即直線與平面EOF所成角的正弦值為苧.

故選：C.

連接40,C0,由面面垂直的性質(zhì)定理可得A。1平面BCD,再以。為原點建系，利用向量法求線面角即

可.

本題考查空間中線面角的求法，熟練掌握線面、面面垂直的性質(zhì)定理，利用向量法求線面角是解題的關(guān)

鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

7.【答案】B

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【解析】解:因為ASAB是圓錐SO的軸截面,

SA=是半圓弧?的中點，0是線段。8的中點,

連接。C,則。C108,

又SOJ_平面力3C,所以。C,OB,OS兩兩垂直，

設(shè)48=4,所以SR=，1力8=4/1，所以SO=2/7，

則4(0,—2,0),C(2,0,0),0(0,1,0),S(0,0,2/7),

所以且=(0,-2,-2/7),CD=(-2,1,0)，

設(shè)異面直線SA與CO所成的角為仇

則cos9=\cos(SA,CD)\=哥徵=蓋1=嚼.

故選：B.

建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解異面直線S4與C。所成角的余弦值.

本題考查線線角的求解，屬中檔題.

8.【答案】C

【解?析】解：設(shè)力關(guān)于直線/的對稱點為P,關(guān)于％軸的對稱點為Q,

PQ與，的交點即為8,與工軸的交點即為C.

如圖，P,Q兩點之間線段最短可知，PQ的長即為△ABC周長的最小俏.

設(shè)P(m,n),由直線I：3%-y+1=0,

直線AP與直線，垂直，可得*=一1

m-23

又線段AP的中點在直線I上，可得駕④一殍+1=0,

解得m=Y，n=苛,即P(Y*)，

做2,3)關(guān)于x軸的對稱點為Q(2,-3),

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故^ABC周長的最小值為|PQ|=J(-|-2)2+(y+3)2=2/13.

故選：C.

利用對稱，將直線I：3x-y+l=O同側(cè)折線段化為直線異側(cè)兩定點間的折線段之和，由兩點之間線段最

短可知.

本題考杳點關(guān)于直線對稱的對稱點的求法，以及兩點的距離公式，考杳方程思想和運算能力，屬于中檔

題.

9.【答案】CD

【蟀析】解：對于4，已知任意向量G,若五,B=0,

又W-b=\a\■\b|cos位,b),

若益不=0,則|五|=0或|9|=0或cos位,1)=0,

即5=6或3=6或=],故A正確；

對于B,若空間中點。，A,B,C滿足沆=：65+|礪，

因為g+|=1時，4B,。三點關(guān)線，故B正確；

對于C,因為兩個向量的數(shù)量積是實數(shù)，故伍5是與不共線的向量，

五?④?寺是與2共線的向量，所以伍?B)?1=五?(B?引未必成立，故c錯誤：

對于。，當3=6時，對任意向量ada//b,都成立，但可"未必成立，故。錯誤.

故選：CD.

根據(jù)向量數(shù)量積的概念判斷力。的真假；根據(jù)三點共線的有關(guān)結(jié)論判斷8的真假；舉特例說明。錯誤.

本題考查向量數(shù)量積的概念以及三點共線的有關(guān)結(jié)論相關(guān)知識，屬于中檔題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對于選項4,由題意四棱柱48co-48]C]D]中，底面ABCD是平行四邊形，AD=AA.=

2A8=2,且力B=4力遇。=4=%點P滿足瓦萬=/1瓦方，

由空間向量的線性運算法則可知瓦萬=AD-AB^=AD-(AB^AA1)=AD-AB-麗*,

若4=；,則暗后瓦方而一;而舊麗\故選項A正確；

對于選項B,由題意知瓦萬=京+瓦瓦+瓦月，若入=§則庭=:瓦方=?瓦布+＜瓦瓦+；瓦石，

由空間向量的線性運算法則可得用-瓦瓦=(電-百F)+(瓦百-帝)，

即用=兩+而，由空間向量共面定理的推論可得P,A],G，8四點共面，故選項B正確；

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對于選項C,因為而?而=1而1"而|COS^=1X2X：=1,AB-AAi=1,AD-AA^=2,

222

JAB+AD+標+2AB-AD+2AB-AA^+2AD-AA^

=VI24-22+22+2X1X1+2X1X1+2X1X2=Jl+4+4+2x(l+l+2)=/17,

所以4G?DB=(48+40+A41),(48-AD)=AB-AD+ABAAi-AD-AAr=1-4+1-2=

ACyPB_4

所以cosVAC；,而>=

際|畫|一71x717一一~51

升任認、生

即宜線4G與百線。B所成角的余弦值為AI_4/等5T,故選T項?C錯誤；

對于選項D,記點必在平甌48CD內(nèi)的投影為4,設(shè)啟=/1通+〃施，

所以(AAB+fiAD-AA^yAB=AAB2+^AD-AB-AAl-AB=A+^-l=0,

府?而=(2而+4而-甌)?而二；1而?荷+〃而2一河?通=入+4〃-2=0,

解得入=|，〃='所以腦R=|正+；而_麗\

所以|彳酉|=冶而+［而-標/=借1+4+1(_:=竽即四棱柱的高為

所以四棱柱48CD-力道IGDI的體積為1x2singx警=2/2,故選項D正確.

故選：ABD.

根據(jù)空間向量運算求解判斷4根據(jù)空間向量共面定理判斷&根據(jù)異面直線所成角的向量求法求解判斷

C,根據(jù)向量法求得點為到平面A3CD的距離，代入柱體體積公式求解判斷D.

本題考查了利用空間向量解決立體幾何綜合問題，是中檔題.

11.【答案】ABD

【蟀析】解：由題意可得心8=1，直線力B的方程為y-0=1x(%-3),

即y=%-3?

乂點力、B到直線八ax+by+c=O(QbWO)的距離相等，

對于4,取。=-6=1,c=0,則I：%-y=0過原點和y=x-3平行，滿足點A(-1,一4),B(3,0)到直線

I：ox+by+c=O(ab=0)的距離相等，A正確；

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對于8,當直線4B與直線Z：Q%+by+c=O(abHO)相交時，

因為點4(-1,-4),8(3,0)到直線1：ax+by+c=0(abH0)的距離相等，

所以4,8的中點(1,一2)在直線I：ax+by+c=0(ab*0)±,B正確；

對千C,當QH-b時，即用工1,此時直線與直線八Qx+by+c=0(QbW0)相交，

由B可知：Q-2b+c=0,若c=3匕，則Q=-b,前后矛盾，C錯誤；

對于0,當直線4B與直線/：Qx+by+c=0(abH0)相交時，

由B可得Q—2b+c=0,即3QX,+2bx(—1)+c=0,

即直線3QX+2by+c=0可.能過點G，—1)，。正確.

故選：ABD.

通過直線AB與直線Z：Qx+by+c=0(abH0)平行或相交，通過特殊值逐個判斷即可.

本題考查了點到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】YI5或，五

pja

【解析】解：已知異面直線a,匕所成的角為60。，A'E=2,AF=2,EF=5,

???豆=前+羔+而，/

???\EF\2=而y+(府2+(確2+2南.襦+2襦.而+2而?裾___/

vA'A1a,A'A1b,AFb

.?.前?襦=0,襦?萬=0，

又4E=2,AF=2,EF=5,

:.25=4+(麗2+4+2前.Q=8+(就?尸+2x2x2xcos(前，麗，

???異面直線a,匕所成的角為60。，

???向量的夾角<EA'.AF>=60?；?20。，

當《麗120。時，cos<EA',~AF>=-1,

25=8+(前5)2—4，得|彳，|二/21：

當V麗，而>=60°時，cos<EAr,AF>=1,

???25=8+(襦7+4，得|襦|=/13；

則4'力=，^或，15.

故答案為：，五或，記.

根據(jù)空間向量的線性運算法則，可得而=ER+/5+獷，左右同時平方，結(jié)合題意，整理可得25=8+

第11頁，共20頁

(篇)2+2x2x2xcos(及而)，根據(jù)異面直線Q，b所成的角為60。，可得V耳］，而＞=60瞰120。，代

入即可得答案.

本題考杳空間向量數(shù)量積相關(guān)知識，屬于中檔題.

13.【答案】烷］

【蟀析】解：由題意有;

由/=AAB+詼有而-DA=A(DB-萬5)+n(DC-DA),

所以前=DA+ADB+nDC-^+n)DA=l'DA+A'DB+nDC,

2

所以x=-,y=X,z="，

所以/+y2+名2=!+M+*=J+於+(；Q2=2於一算+'=2(/1—8N0Mzi工3,

當；I=：時，/+y2+/取最小值為今當"0時，/+y2+z2取最大值為小

所以M+y2+z2的取值范圍為序|］.

故答案為：靛］.

由得加=:方+49+〃配，進而得％=:,?=4,z=〃，BP%2+y2+z2=2A2-^A+

I,最后利用二次函數(shù)即可求解.

本題考查了空間向量基本定理，屬于中檔題.

14.【答案】3/2

【解析】解：因為J避+戶―2y+1+J避_2x+y2_4y+5=yjx2+(y-I)2+

V(x-l)2+(y-2)2,

所以問題可以轉(zhuǎn)化為直線x+y+1=0上一動點P(%y)到點4(0,1),8(1,2)的距離之和最小，

如圖所示，設(shè)直線％+y+1=0與％、y軸分別交于D、C點，則;1。=。。=0C=1,

易知△ADC是等腰直角三角形，

設(shè)4關(guān)于直線％+y+1=0的對稱點為4,連接4C',

第12頁，共20頁

則大、4、。三點共線，易知△A3C也是等腰直角三角形，所以川（一2,-1）,

故|P川+\PB\=\PA'\+\PB\>\ArB\=V（-2-l）2+（-l-2）2=3/2,

當且僅當尸、。重合時取得最小值.

故答案為：3y/~2-

利用兩點距離公式，轉(zhuǎn)化問題式為動點到兩定點距離之和的最小值，根據(jù)將軍飲馬模型計算即可.

本題考查兩點間的距離以及距離和最短問題，屬于中檔題.

15.【答案】如圖,

以D為坐標原點，以。4DC,所在直線分別為無軸，y軸，2軸，建立空間直角坐標系,

設(shè)正方體的棱長為Q,則4(a,0,0).B(Q,Q,O),C(O,a,O),

A1(a,0,a),G(O,a,a),

設(shè)E(O,a,e)(OWeWQ),BD=AtE=(—a,a,e—a),

22

則麗?AXE=a—a+(e—a)-0=0?

所以前1否瓦即BD1&E；

設(shè)平面和平面EBD的法向量分別為后=Qi，%,Zi),nJ=(x2ty2^2)?

因為。8=(a,a,0),DAX=(a,0,a\DE=(0,Q,e)，

所

以等一，8|Jlax+-0,令必=1，則y=z=-l,則/=(1,一1,一1),

￡M]—0十—u

I

n一2

jU,即管：獸21；,令%1=1,則y=—l,z=%(1,-1,;),

s1

O=n2十匕-us廿

因為平面A/D1平面EBD,所以虱_L布，

則說?底=2-*0,即e=5，

所以當E為CG的中點時，平面4BDJL平面E80

第13頁，共20頁

【解析】證明：(1)如圖,

以D為坐標原點，以。4DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)正方體的棱長為Q,則A(a,O,O)：8(Q,Q,0),C(O,a,O),

A}(a,0,a),Cx(0,a,a),

設(shè)E(0,a,e)(0WeWa),=(-a,-a,0)，砧=(-a,a,e—a)，

22

則麗?AXE=a—a+(e—a)-0=0?

所以而_L舉，即BDlAiE；

(2)設(shè)平面和平面EBO的法向量分別為蘇=Oi，%,Zi),nJ=(x2,y2^2)?

因為麗=(a,a,0),￡M；=(a,O,cz),DE=(0,a,e)，

K

所

以簿一，瞰煞修二1令4=1,則y=z=-l,則/=(1,一1,一1),

g

J而

一

￡2U，即容2言;2：；,令%1=1,則y=-l,z=l則荻=(1,-吟,

J麗

1

SO—0十廿22一Uee

因為平面1平面EBD,所以話*1布，

則正底=2-30,即e=5，

所以當E為CG的中點時，平面4BD1平面EBD.

(1)以。為原點，DA.DC、DDi為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，計算下?前二0，即可證明;

(2)求出面4BO與面的法向量，根據(jù)法向量垂直計算即可.

本題主要考查空間向吊法證明異面直線垂直以及面面垂直，屬于中檔題.

16.【答案】啜；

g

~6

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【解析】(1)證明：設(shè)AC=P4=1.建立如圖所示的空間直角坐標系,

則人(0,0,0),N(0$,0),P(0,0,l),B(/2,0,0),C(0,l,0).

PN=(0,i-l),5C=1,0).

9甌的=磊=晶=得

*5

???異面在線PN與BC所成角的余弦值為啜.

(2)當M是力8的中點時，M(苧,0,0)，則兩=(苧,0,—1)，

設(shè)平面PMN的法向量為了=(Xo，yo，Zo),

fl

那電=°，??￡°f

匕.PM=0y%o—zo=0

令Xo=O，.??五=(/I,3,l)，PA=(0,0,-1)

設(shè)尸4與平面PMN所成角為仇

同的_

則。=G

sin|cos(a,Pj4)|=|3||PX|=~

???PA與平面PMN所成角的正弦值為卓

6

(1)假設(shè)力C=/M=l,建立合適的空間直角坐標系，求出相關(guān)向量的坐標即可求得答案;

(2)求出平面PMN的法向量，再利用線面角的空間向量求法即可得到答案.

本題考查向量法求空間角，屬于中檔題.

17.【答案】x-2y+11=0；

3x+2y—5=0；

3x+2y=0或％+y-1=0

【解析】(1)根據(jù)《二臉箕。，解得仁二"可知直線匕、L交于點M(l,6).

若一條直線經(jīng)過點且與％-2y-1=0平行，

則該直線的方程為(x-l)-2(y-6)=0,即x-2y+ll=0.

(2)根據(jù)4(-2,-1)、0(4,3),可得43的中點為。(芋,羊)，即C(l,l),

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由48的斜率k=注興=可得48的垂直平分線的斜率的=-：=一素

所以線段48的垂直平分線方程為y-1二一,(工一1),即3%+27-5=0.

(3)①當直線過原點時，在兩坐標軸上的截距相等，都為0,

此時直線的斜率攵=一弓，方程為y=-'x,即3x+2y=0；

②當直線不過原點時，

根據(jù)宜?線在兩坐標軸上的截距相等，可知直線的斜率k=-1,

所以直線的方程為y-3=-(％+2),即X+y-l=0.

綜上所述，滿足條件的直線方程為3%+2y=0或％+y-1=0.

(1)聯(lián)立直線匕、0方程求得交點乂坐標，根據(jù)兩條直線平行與方程的關(guān)系求出經(jīng)過點M,且與直線

2y-1=0平行的直線方程；

(2)求出自線4F的斜率與線段4F的中點坐標,結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)求出答案：

(3)按照直線是否經(jīng)過原點加以討論，根據(jù)直線在兩坐標軸上截距相等建立關(guān)系式，求出滿足條件的直線

方程，即可得到本題的答案.

本題主要考查直線的基本量與基本形式，考查了計算能力、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案以；

①證明：由題意AB=AD=2AC=2,cosz.BAC=(,COSNG4D=-\,CGSZ-BAD=1

可得而AC=\AB\\AC\cosZ-BAC=^,AB-AD=\AB\\AD\cos^BAD=1,ACAD=

\AC\\AD\cos^CAD=

MW-AD=(4超+次+觀).而=*一屈.而+而.而+爐)

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171

=2X(-2-2+4)=0,

~MN-AC=(-^AB+^AC+jAD)-AC=^-AB^AC+AC2+AD-AC)

即MN_L710,MN工AC,

因為力Cn40=4,AC,ADa^ACD,所以MNJ?平面/C。；

②或

【解析】(1)由題意三棱錐A—BCD中，M,N分別是AB,CD的中點，且麗=工松+ym+z而,

可得而=AN-AM=AC+CN-^AB=AC+1cD-|A6=J?+-AC)-^AB=-^AB+

^AC+^AD,

所以x__gy_z_g，所以x+y+z_T+T一看

(2)①證明:由題意4B=AD=2AC=2,cos2止AC=(cos/CAD=-^cosZ-BAD=

可得彳目-AC=\AB\\AC\cos￡BAC=^,AB-AD=\AB\\AD\COS^BAD=%,ACAD=

\AC\\AD\cos^CAD="1,

A

則而?而=(-^AB+^AC+^ADyAD=^-AB-AD+ADAC+AD2)

=；xW+4)=0,

~MN-AC=(-^1AB+1^1+^AD)-AC=12AB-AC+AC2ADAC)

乙乙乙乙

=^x(-1+1-今=O'

即MNLAD,MNA.AC,

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因為AC,ADu平面ACD,所以MN1平面4CD；

②由題意P,Q分別是線段BC,CD上的一個動點，且BPCD=BCCQ,

可嶗=黑，設(shè)費=黑=兒。?！?，

得麗=MA+AQ=-^AB+AAD+(1-A)AC,

同理而=麗+鉀=；同+/就=；而+4(前一而)=("一Q而+義前，

則而?麗=[(^-X)AB+XAC]^[-^AB+AAD+(1-X)AC]

11—Q1-,—、,1—，一1―，一

=—5—X)AB+兀(5—A)AB,AD+(1—A)(5—X)AB-AC-XAB,AC

2

+^AC-AD+A(1-A)7C

17111119

=-2(2一