第第頁惠州市正弘實驗學(xué)校2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高二期中檢測數(shù)學(xué)一．單選題（本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）。1．已知點，點，則線段中點坐標(biāo)為（

）A．B．C． D．2．已知直線l的一個方向向量為，則直線l的傾斜角（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的一個焦點為，則（

）A． B． C．3 D．54．若直線與直線平行，則（

）A．0 B．或0 C． D．15．已知是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量.若，則（

）A．2 B． C． D．6．已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．在唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．8．若圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對得部分分）。9．已知M是橢圓上一動點，，是其左右焦點，則下列選項中正確的是（

）A．橢圓的焦距為2 B．橢圓的離心率C．橢圓的短軸長為4 D．的面積的最大值是410．下列說法正確的是（

）A．若直線經(jīng)過第一?二?四象限，則點在第三象限B．直線過定點C．過點且斜率為的直線的點斜式方程為D．斜率為，在軸上的截距為的直線的方程為11．如圖，在棱長為的正方體中，，，，分別是，，，的中點，則下列說法正確的有（

）A．，，，四點共面B．與所成角的大小為C．在線段上存在點，使得平面D．在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）。12．已知直線l經(jīng)過原點，且經(jīng)過兩條直線的交點，則直線l的方程為.13．在棱長為1的正四面體ABCD中，E為AD的中點，則.14．正方形的四個頂點都在橢圓上，若橢圓的焦點在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是．解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）。（13分）求適合下列條件的曲線方程（1）已知點，，求以線段為直徑的圓的一般方程；（2）已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．16．（15分）已知空間中三點，，，設(shè)，.（1）求與的值；（2）已知向量與互相垂直，求k的值.17．（15分）如圖，平行六面體的底面是邊長為的菱形，.（1）求的長度；（2）求證：平面.18．（17分）已知圓，直線l過點.（1）當(dāng)直線l與圓C相切時，求直線l的方程；（2）設(shè)線段AB的端點B在圓C上運動，（i）求線段AB的中點M的軌跡方程；（ii）已知點，直線l與M的軌跡圖形相交于P、Q兩點，當(dāng)△NPQ面積的最大值時，求直線l的斜率.19．（17分）如圖1，在平行四邊形中，，E為的中點．將△ADE沿折起，連接與，如圖2．（1）當(dāng)=4時，證明：平面平面.（2）設(shè)，當(dāng)⊥時，是否存在實數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（3）當(dāng)三棱錐的體積最大時，請直接寫出此時三棱錐的內(nèi)切球的半徑．惠州市正弘實驗學(xué)校2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高二期中檢測數(shù)學(xué)（參考答案）一．單選題（本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）。1．已知點，點，則線段中點坐標(biāo)為（

）A．B．C． D．【答案】B教材P23第7題2．已知直線l的一個方向向量為，則直線l的傾斜角（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，因為直線l的一個方向向量為，所以l的斜率，又,所以，因為,所以教材P55第4題3．已知橢圓的一個焦點為，則（

）A． B． C．3 D．5【答案】D【詳解】由題意知焦點在軸上，由題意知：，解得：.教材P115第2題4．若直線與直線平行，則（

）A．0 B．或0 C． D．1【答案】C【詳解】由題意得,即,解得或.當(dāng)時，兩直線方程都為，兩直線重合，不合題意，舍去；當(dāng)時，兩直線方程分別為和，此時兩直線平行，符合題意.教材P102第2題5．已知是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量.若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】因為是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量.又因為，所以，則，解得.教材P33第1題6．已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】向量在向量上的投影向量為教參P70第5題7．在唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，設(shè)關(guān)于河岸線所在直線的對稱點為，根據(jù)題意，設(shè)軍營所在區(qū)域為以圓心為，半徑的圓上和圓內(nèi)所有點，為最短距離，先求出的坐標(biāo)，的中點為，，直線的斜率為1，則，解得，，，又，所以教材P103第12題8．若圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圓，圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，因為圓上的點到直線的距離為1的點有且僅有2個，所以，則，解得，即r的取值范圍是教材P99第13題多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對得部分分）。9．已知M是橢圓上一動點，，是其左右焦點，則下列選項中正確的是（

）A．橢圓的焦距為2 B．橢圓的離心率C．橢圓的短軸長為4 D．的面積的最大值是4【答案】BCD【詳解】解：因橢圓方程為，所以，所以橢圓的焦距為，離心率，短軸長為，故A錯誤，B,C正確；對于D，當(dāng)M為橢圓短軸的一個頂點時，以為底時的高最大，為2,此時的面積取最大為,故正確.10．下列說法正確的是（

）A．若直線經(jīng)過第一?二?四象限，則點在第三象限B．直線過定點C．過點且斜率為的直線的點斜式方程為D．斜率為，在軸上的截距為的直線的方程為【答案】BC【詳解】因為直線經(jīng)過第一?二?四象限，所以直線的斜率，截距.故點在第二象限，所以A中說法錯誤.由整理得.所以無論取何值，都滿足方程.所以B中說法正確.由點斜式方程可知，過點且斜率為的直線的方程為.所以C中說法正確.由斜截式方程可知，斜率為，在軸上的截距為的直線的方程為.所以D中說法錯誤.11．如圖，在棱長為的正方體中，，，，分別是，，，的中點，則下列說法正確的有（

）A．，，，四點共面B．與所成角的大小為C．在線段上存在點，使得平面D．在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值【答案】ABD【詳解】方法1：如圖，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，即，所以，解得，所以共面，又為公共始點，所以，，，四點共面，故A正確；，則，所以，所以與所成角的余弦值為，所以與所成角的大小為，故B正確；對于C，假設(shè)在線段上存在，可設(shè)，，則，，由，得由，得，即與垂直和與垂直不能同時成立，所以與平面不垂直，故C錯誤；，則，所以，又不共面，所以，又平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離即為點到平面的距離，為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.方法2：幾何法A選項正六邊形截面B平移C正方體體對角線與面對角線的關(guān)系D線面平行填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）。12．已知直線l經(jīng)過原點，且經(jīng)過兩條直線的交點，則直線l的方程為.

【答案】（注：填寫y=2x也可以）【詳解】方法1：聯(lián)立，解得，所以兩直線的交點為，所以直線l的斜率為，則直線l的方程為；方法2：設(shè)所求直線l的方程為，因為直線l經(jīng)過原點，所以，解得；所以直線l的方程為.教材P72第3題13．在棱長為1的正四面體ABCD中，E為AD的中點，則.【答案】【詳解】，注：本題也可以采用建系的方式，注意正方體的棱長應(yīng)該設(shè)為教材P9第4題正方形的四個頂點都在橢圓上，若橢圓的焦點在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是．【答案】【詳解】如圖，根據(jù)橢圓的對稱性知點在直線上，可得，因為焦點在正方形的內(nèi)部，所以，即，即，可得，又，所以，所以，又，解得．解答題（本大題共5小題，共73分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）。（13分）求適合下列條件的曲線方程（1）已知點，，求以線段為直徑的圓的一般方程；（6分）（2）已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（7分）【詳解】（1）因為點，，所以圓心為，………………1分半徑………………1分所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為………………2分所以圓的一般方程為…………2分（沒寫成一般式該點不得分）教材P85第3題方法2：設(shè)圓上的動點，用向量法（2）由于橢圓的交點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為……1分由橢圓的定義知，……1分,所以，…………2分所以……2分所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……1分教材P107例1

16．（15分）已知空間中三點，，，設(shè)，.（1）求與的值；（8分）（2）已知向量與互相垂直，求k的值.（7分）【詳解】（1）因為，，，所以，，…………2分所以，…………3分…………3分（注：沒有寫公式扣1分，沒有運算過程扣1分）（2），…………2分因為向量與互相垂直，所以，…………3分解得．所以的值是5．…………2分17．（15分）如圖，平行六面體的底面是邊長為的菱形，.（1）求的長度；（7分）（2）求證：平面.（8分）【詳解】（1）設(shè)，，，由于四邊形為菱形，則，即，所以，同理可得，…………1分由題意可得，…………2分所以；…………4分（注：體現(xiàn)“平方法”即可得1分，沒有過程直接得答案扣2分，沒有開方扣1分）（2）因為，所以，…………1分所以，…………2分因為，計算：，所以，…………2分又因為，、平面．（細(xì)節(jié)條件）所以平面.…………2分（細(xì)節(jié)條件缺少扣1分，都沒寫該點不得分）教材P15第6題18．（17分）已知圓，直線l過點.（1）當(dāng)直線l與圓C相切時，求直線l的方程；（5分）（2）設(shè)線段AB的端點B在圓C上運動，（i）求線段AB的中點M的軌跡方程；（6分）教材P87例5（ii）已知點，直線l與M的軌跡圖形相交于P、Q兩點，當(dāng)△NPQ面積的最大值時，求此時直線l的斜率.（6分）【詳解】（1）已知圓C的圓心是，半徑是2，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，符合題意;…………1分當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即，…………1分則圓心O到直線l的距離為=2，解得…………2分，故直線l的方程為.…………1分綜上，直線l的方程為或.（上述過程全正確但“綜上”沒寫扣1分，否則不扣分）（2i）設(shè)點，則由點M是線段AB的中點得，…………1分所以①，…………2分因為點B在圓C上運動，所以②，將①代入②得，…………2分化簡得點M的軌跡方程是.…………1分(2ii)由（i）知為圓M的圓心，所以N到直線l的距離，………1分△NPQ的面積…………2分（面積公式正確即可得1分，可用其他面積公式，）當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，兩邊同時平方得，…………2分解得…………1分19．（17分）如圖1，在平行四邊形中，，E為的中點．將△ADE沿折起，連接與，如圖2．（1）當(dāng)=4時，證明：平面平面.（5分）（2）設(shè)，當(dāng)⊥時，是否存在實數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（9分）（3）當(dāng)三棱錐的體積最大時，請直接寫出此時三棱錐的內(nèi)切球的半徑．（3分）【詳解】（1）連接，由題意得，，則△ADE為等邊三角形，，在中，，由余弦定理得，所以，由，則，故.…………1分時，由，則，所以，…………1分又，平面，所以平面，…………2分（細(xì)節(jié)條件沒寫扣1分）又平面，所以平面平面，…………1分（細(xì)節(jié)條件沒寫扣1分）（2）由（1）知，，則平面平面.在平面內(nèi)過作，由平面平面，平面，則平面，平面，則.如圖，以點為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，…………2分（注：直接建系不得分）則，故，由，……1分因為軸垂直平面，故可取平面的一個法向量為，…………1分設(shè)直線與平面所