專題05三角函數(shù)

目錄

明晰學(xué)考要求....................................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理....................................................................................2

考點精講講練....................................................................................6

考點：任意角..............................................................................6

考點二：弧度制與扇形.......................................................................7

考點三：任意角的三角函數(shù)...................................................................8

考點四：同角三角函數(shù)基本關(guān)系...............................................................9

考點五：誘導(dǎo)公式..........................................................................10

考點六：三角恒等變換......................................................................11

考點七：三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性和奇偶性.........................................12

考點八：三角函數(shù)的值域與最值..............................................................13

考點九：函數(shù)的圖象變換....................................................................14

考點十：求三角函數(shù)解析式..................................................................16

實戰(zhàn)能力訓(xùn)練...................................................................................19

i昭晰學(xué)考要求0

1、理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義：

2、能利用單位圓中的三角雨數(shù)線推導(dǎo)出兀士a的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出

2

y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象，/解三角函數(shù)的周期性；

3、理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間［0,2兀］的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值以及圖象與x軸的交點等）。

7T7E

理解正切函數(shù)在區(qū)間［一,一-J的單調(diào)性.

qinv

4、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=l,---=tanx

COSX

5、了解函數(shù)》=Asin（5+。）的物理意義甫目師出），=Asin（s+。）的圖象了解參數(shù)4,包。對函數(shù)圖象變

化的影響.

6、了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三用函數(shù)解決一些簡單實際問題.

02

一、角的有關(guān)概念

1.定義

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.

2.角的分類

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

按旋轉(zhuǎn)方向不同分類負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角：射線沒有旋轉(zhuǎn)

象限角：角的終邊在第幾象限，這

按終邊位置不同分類個角就是第幾象限先

釉線角：角的終邊落在坐標軸上

（3）終邊相同的角：所有與角々終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合

5=｛力|力=1+攵.360。,攵€2｝或｛/|〃=1+大2兀,左￡2｝

二、弧度制

1.弧度制的定義

把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.

2.弧度制下的有關(guān)公式

角a的弧度數(shù)公式M=;

弧度與角度的換算180°=7irad,Irad=f—V?57.3°J°=—rad

180

弧長公式/=\a\r

扇形的面積公式S=-lr=~\a\r2

2211

三、任意角的三角函數(shù)

1.定義設(shè)。是一個任意角，它的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，點尸（龍，），）是角a的終邊上

任意一點，P到原點的距離|0"=一（r〉0）,那么角a的正弦、余弦、正切分別是

.yx

sma=—,cosa=—,tana=注意：正切函數(shù)tana=?的定義域是《a|aHE+?1,Z￡Z,,正弦

rrXX

函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是R.

2.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號口訣：一全正、二正弦、三正切、叫余弦.3.特

殊角的三角函數(shù)值

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360。

ezxy

兀71JI兀2兀3兀5兀3北

0712兀

6432346

x/3石也J_

sina0正10-10

22TT22

cosa1正正0_1-101

222222

tana0正1G不存在-73-10不存在0

3

四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

平方關(guān)系sin2?+cos2a=1

sina

商的關(guān)系-----=tana

coser

公式—二三四五

TC7t

角2攵%+a(左￡Z)71+CL-an-a——a一+a

22

正弦sina-sina-sinasinacosacostz

余弦cosa一cosacosa-cosasina-s\na

正切tanatana-tana-tan(2

口訣奇變偶不變，符號看象限

五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)cos(a-P)—cosacosP4-sinasin/?；(2)cos(a+/?)=cosacos/y-sinasinp

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在［2k兀--,2kit+—］｛k€Z）上在［2Z兀-汽,2%兀］（攵GZ）

22

7T兀

是增函數(shù)；上是增函數(shù)；在（左?！呜?一）（攵￡Z）上

單調(diào)性22

在［2欠冗+］,2&兀+寺］（%eZ）

在［2%兀,2左兀+兀］（攵GZ）是增函數(shù).

上是減函數(shù).上是減函數(shù).

對稱中心

對稱中心（左兀,0）（&wZ）；

對稱中心（—,0）（kGZ）;

（^71+—,0）（/：GZ）;2

2

對稱軸x=k7r+］（&eZ）,無對稱軸，

對稱性

對稱軸冗=攵兀（攵wZ）,

既是中心對稱圖形又是軸對稱圖是中心對稱圖形但不是軸對稱

既是中心對稱圖形又是軸對

形.圖形.

稱圖形.

八、y=Asin（69x+e）的圖象變換

由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin（s+。）（A>0,（9>0）的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后

伸縮”與“先伸縮后平移”.如下圖.

考點精講精練0

考點一：任意角

（I）寫出與已知角終邊相同的角的方法：先求出與已知角終邊用同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式

求出2的值.

（2）求終邊落在直線上的角的集合的步驟

①寫出在0。?360。范圍內(nèi)相應(yīng)的角；②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；③根據(jù)條件能合并的一

定要合并，使結(jié)果簡潔.

【典型例題】

例I.（2024高二上.北京.學(xué)業(yè)考試）在平面直角坐標系xOy中，以。為頂點，3為始邊，終邊在y軸上的

角的集合為（）

A.{a\a=2kjt,kGZ}B.{a\a=/ai,keZ）

kn,~

C.aa=—+ht,kGZD.<aa=—(

22

例2.（2023高二上?福建?學(xué)業(yè)考試）已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合,

那么，下列各角與380。角終邊相同的是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

例3.（2022高二卜?安徽合肥?學(xué)業(yè)考試）下列各角中與437角的終邊相同的是（）

A.67B.77、C.1（）7D.137°

例4.（2021高二上.廣西.學(xué)業(yè)考試）下列選項中，角。是第一象限角的是（）

D.

【即時演練】

1.將885化為a+b360,eZ,cT（）,360））的形式是（）

A.165+2x360°

B.-1954-3x360°

C.165°+3x360°

D.195°+2x360°

2.如果。是銳角，那么2。是（）

A.第一象限的角B.第二象限的角

C.小于180。的正角D.鈍角

3.1860。的角屬于第象限.

4.-2030。角是第象限角.

考點二：弧度制與扇形

（1）弧度與角度的轉(zhuǎn)換：牢記18（）。=4比以，充分利用1。=」-&/和12d圖＞進行爽算.

1801花J

（2）涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活

運用扇形的弧長公式、面積公式直接求解或列方程（組）求解.

【典型例題】

例I.（2023高三上?廣西學(xué)業(yè)考試）將g弧度化為角度是（）

A.45°B.60°C.75°D.90°

例2.（2023高二?安徽?學(xué)業(yè)考試）角330。的弧度數(shù)為（）

1In-7冗-1E一57r

A.——B.——C.——D.—

66126

例3.（2024高二下?浙江?學(xué)業(yè)考試）已知半徑為1的扇形A08的圓心角為三，則扇形408的弧長等于（）

A.-B.兀C.-D.-

436

例4.（2023高二?湖北?學(xué)業(yè)考試）沈括的《夢溪筆談》是中國科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度

的“會圓術(shù)”.如圖，48是以。為圓心。A為半徑的圓弧，。是的中點，。在43上，且CO_LA8.記43

CD1

的弧長的近似值為s,“會圓術(shù)”給出了的一種計算公式：s=AB^—.若。4=1,404=90。，貝I」根據(jù)

OA

該公式計算s=.

D

【即時演練】

1.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記A8的長為/，CQ的長為

m,若/:〃?：AO=9:3:2,則扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為（）

A.3B.2C.—D,—

36

2.已知150’的圓心角所對的弧長為5兀，則這個扇形的面積為

3.已知一個扇形的圓心角為60。，所對的弧長為g,則該扇形的面積為

4.已知圓的半徑為2,則60”的圓心角的弧度數(shù)為______:所對的弧長為______

考點三：任意角的三角函數(shù)

若角夕的終邊上由一點（P與原點不重合），則先計算廣尸|OP|二產(chǎn)萬，最后利用

?yXV

sina=—,cosor=—?tancr=—0）求%值.

rrx

【典型例題】

例I.（2024高二上.新疆.學(xué)業(yè)考試）已知角夕的終邊與單位圓交于點尸（-；,#）,貝ijcosa=（）

A.一立B.--

22

C.-D.@

22

例2.（2024高二下?湖南?學(xué)業(yè)考試）已知sina>0,cosc>0,則a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

例3.（2024高三上?廣東?學(xué)業(yè)考試）已知角a的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，終邊過點（3,4）,

則角a的正切值為（）

A-1B-?c-1D-i

例4.（2024高二下?云南?學(xué)業(yè)考試）已知尸（1,2）是角。終邊上的一點，則角。的正切值是一

【即時演練】

1.已知。是第四象限的角，為其終邊上的一點，且cosa=42,則，〃=（）

4

A.-4B.±4C.-x/14D.土4立

2.己知。是第二象限的角，P（K2）為其終邊上的一點，且sina=g,則1=（）

A.-4B.±4C.±472D.-45/2

3.已知角a的終邊上有一點P（-1,2）,則cosa=

4.若角。滿足3na>0,且則角a屬于第象限.

考點四：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

sinct

(1)已知正弦（余弦），利用si/a+cosZnl先求得余弦（正弦）,然后利用tana=^—-求正切;

cosa

sin2a+cos2a=1

已知正切，聯(lián)立公式〈sina，可直接求得正余弦

tana=--------

cosa

【典型例題】

4

例I.（2024高二下?福建?學(xué)業(yè)考試）已知。是第一象限角,sina=—則cosa為（)

5

4

BCD.

A.1-1-?3

-,-...2sma+cosa/

例2.（2024高二下.湖北?學(xué)業(yè)考試）已知tana=3,W>J-----------------()

sina-2cosa

A.1B.3C.5D.7

例3.（2022高二下?河北?學(xué)業(yè)考試）已知。是第三象限角,若tana=42?則sina=()

A甘「出73

L?----D.

"-T33

例4.（2024高二下?云南?學(xué)業(yè)考試）已知sina=5coscz，則tana=()

A.3B.5C.7D.9

【即時演練】

1.若sin。=cos。，則sin〃(sinO+cos〃)=()

A.-1B.0C.1D.2

3

2.已知8$。=1,。是第四象限角，則tana=________.

3.已知sina=3cosa,則tana=.

4.在平面直角坐標系'Ox中，點P（3,-4）在角。的終邊上.

⑴求tana的值;

小、4sina+cosa任

（2）求77-----------的1v值l.

zsina-cosa

考點五：誘導(dǎo)公式

利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問題的步驟：

①“負化正”：用公式一或三將負角轉(zhuǎn)化為正角；②“大化小”：用公式一將角化為（）。到36（）。間的角

③“小化銳”：用公式二或四將大于90。的角轉(zhuǎn)化為銳角；④“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值

【典型例題】

例1.（2024高二上?北京?學(xué)業(yè)考試）在下列各數(shù)中，與8S10。相等的是（）

A.sin80°B.cos80°C.sin170°D.cos170°

例2.（2024高二下.福建.學(xué)業(yè)考試）sin(27i+a)=()

A.sinaB.cosaC.-sinaD._cosa

若sina=g,則sin(-a)=(

例3.（2023高三上?廣西?學(xué)業(yè)考試）)

￡B-4

AC.-D.1

25

例4.（2024高二下?天津河?xùn)|?學(xué)業(yè)考試）sin210°=（）

_V2B-4r73

A.~~2X_z.-----D.-1

2

【即時演練】

1.已知lan（3兀-a）=3,且a是第二象限角，貝Usina等于（）

A.晅B..巫35/io3x/10

C.D.

1010丁1()

2.則，.c'—=()

2sina-3cosa

131

A.-1B.1C.D.—或——

4242

3.若sin20=〃？，則tan160=()

加mx/1-〃/-m2

c.D.

mm

4.若ian(]+a)=5，貝iJsin2a+sin(-^+asin(7r-a)=

考點六：三角恒等變換

對非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，

則整體變形，否則進行各局部的變形.一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，或化為正負相

消的項并消項求值，將分子、分母形式進行約分求值.要善于逆用或變用公式.

【典型例題】

例I.（2024高二上?北京?學(xué)業(yè)考試）cos2y-sin2（）

例2.（2022高二下.河北.學(xué)業(yè)考試）若cos/a+0=立，則8s2」二（）

I4）2sina+cosa

A.近B.-V2C.1D.-1

例3.(2022高二下?河北?學(xué)業(yè)考試)tanl°5-1=()

tan105+1

A.―6B,—立C.立

D.73

33

例4.（2024高二上.江蘇揚州?學(xué)業(yè)考試）化簡cos430cos二0+sin430sinl3。,得（)

A.1B.立C.顯

D.cos56°

222

【即時演練】

1.計算：cos7.5cos52.5-sin7.5sin52.5。等于()

A.-B.且C.凡_巨

D.

2222

2.已知角。終邊上一點P（3,T）,則sin2a的值為（）

4「3-2424

A.—B.-C.—D.

552525

3.已知lan+=i,則sin2a=_______.

4.已知cosa=-g,ctG（O,TC）,則tan2a=.

考點七：三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性和奇偶性

在求形如y=Asin（s+0）（A>O,o>O）的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)采用“換元法”整體代換，將“必+（p”

看作一個整體“z”，即通過求），二Asinz的單調(diào)區(qū)間和對稱中心（fill）而求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對稱中

心（軸）.

【典型例題】

例I.（2022高二下.河北.學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)〃x）=cos2x+asinx-4,當。=0時，函數(shù)/（x）的最小正周

期是（）

A.￡B.4C.兀D.2兀

42

例2.（2022高二下?河北?學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)〃x）=（2'+a-27）cosx為R上的奇函數(shù)，則實數(shù)。=（）

A.-1B.1C.-2D.2

函數(shù)），=2sin（2x+^j的圖象的一條對稱軸是（）

例3.（2024高二下?安徽?學(xué)業(yè)考試）

兀

A.x=——B.x=?

62

2兀

C.x=—D、..r=5——幾

36

例4.（2021高二上?新疆?學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)=l+cos2x.

⑴求/。）的最小正周期；

⑵求/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間.

【即時演練】

1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期為1的函數(shù)為（）

A.y=cos（;rx）B.y=tan（;rx）

C.y=sin（/rx）D.y=|sin（＞rx）|

2.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+。）（―§＜夕＜§）的圖象關(guān)于對稱，則。=（）

乙乙，

n71

A.B-?D-i

~6c."I

）的單調(diào)遞增區(qū)間是（

3.函數(shù)/(x)=tan2尤」)

3

knJikn5JI'knJIkn.5n'

A.(丘Z)B.(S

y~V2^+~i2_了―;，萬+丘\

/

C.kn+^kn+^Y^(keZ)D.kit-----,E+—(丘z)

1212J

4.已知函數(shù)/（x）=l+cos2K.

⑴求/（X）的最小正周期：

⑵求/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間.

考點八：三角函數(shù)的值域與最值

形如），=Asin（GX+0）+仇或），=Acos（s+o）+Z?）型，可先由定義域求得①x+（p的范圍，然后求得

sin（ox+。）（或cos（5+。））的范圍，最后求得最值.

【典型例題】

例I.（2023高二上?黑龍江?學(xué)業(yè)考試）函數(shù)/（x）=sinx+2（》eR）的最大值為.

例2.（2022高三下.廣東.學(xué)業(yè)考試）函數(shù)y=2sin3x-5的最大值與最小值分別是（）

A.最大值是-3,最小值是-8B.最大值是2,最小值是-2

C.最大值是-3,最小值是-7D.最大值是2,最小值是-7

例3.（2023高二下?北京?學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)〃x）=2sin（2x+1

⑴求了（力的最小正周期；

⑵求〃“在區(qū)間］上的最大值及相應(yīng)K的值.

JU

例4.（2023高三?新疆?學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（x）=2cos（*斗1.

⑴求函數(shù)/（X）的最小正周期：

⑵求函數(shù)/（X）的最大值和最小值以及取得最大值和最小值時X的集合.

【即時演練】

1.sinM+7）的最大值是（）

A.0B.1C.-D.7

7

2.函數(shù)y=2-3sinx,當工=時，V取最小值為:當工=時，了取

最大值為.

3.函數(shù)人+3的最大值為.

4.函數(shù)產(chǎn)CQSX,xjf,當?shù)闹庇驗?/p>

_44

考點九：函數(shù)的圖象變換

利用指數(shù)第的運算性質(zhì)化簡求值的方法：進行指數(shù)累的運算時，一般化負指數(shù)為止指數(shù)，化根式為分數(shù)指

數(shù)基，化小數(shù)為分數(shù)，同時兼顧運算的順序.

【典型例題】

例I.（2022高二下?河北?學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)），=2sin（2.嗚）的圖象向左平移奈個單位長度，得到函數(shù)丫=

/G)的圖象,則()

A./(x)=2cos2xB./(x)=2cos^2.r+^

C./(x)=2sin2xD./(x)=2sin2x+g

kJ

例2.（2022高二下?河北.學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)），=siru-Gcosx的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)

6

y=/（x）的圖象，則（）

n

A./(x)=-2cosxB./(x)=2sinx——

3

兀

C./(A)=2COSXD./(x)=2sinx——

6

1+2的圖象，只需將函數(shù)y=c?！钡膱D象上所有

例3.（2023高三上?廣西?學(xué)業(yè)考試）為了得到函數(shù)y=8s|

的點（)

A.向左平移夕個單位長度B.向右平移］個單位長度

6

C.向左平移2個單位長度D.向右平移方個單位長度

O

例4.（2024高二下?湖南?學(xué)業(yè)考試）為了得到函數(shù)），=sinx+^的圖象，只需把）=siru?圖象上所有的點（）

A.向左平移g個單位B.向左平移5個單位

6

C.向右平移？個單位D.向右平移三個單位

6

【即時演練】

1.為了得到丁二⑥心尤工6口的圖象，只需把正弦曲線），=4取上所有點的（）

A.橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變

B.橫坐標縮短到原來的J,縱坐標不變

C.縱坐標伸長到原來的3倍，橫坐標不變

D.縱坐標縮短到原來的!，橫坐標不變

2.為得到函數(shù)g@）=sin（2x-1）的圖象，只需將函數(shù)/（x）=sin（x-§）圖象上所有的點（）

63

A.橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移得個單位

B.橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移;個單位

c.橫坐標縮短到原來的;倍，再向左平移］個單位

D.橫坐標縮短到原來的1倍，再向左平移7個單位

26

3.若將函數(shù)/（4）=加（m+"的圖象向左平移:個單位，得到函數(shù)圖象解析式是（）

A.y=sinB.y=-sin-x

C.y=cosD.y=-cos

4.將函數(shù)戶sin4工的圖象向左平移3個單位長度，得到函數(shù)產(chǎn)sin（4x+0）（（K*<7T）的圖象，則。的值為

考點十：求三角函數(shù)解析式

【典型例題】

例1.（2023高三下?湖南邵陽?學(xué)業(yè)考試）已知f（x）=Asin（s+0（A>0M>0,陶</的部分圖象如圖所示,

則的解析式為（）

2n

A./(x)=sin(2x+令B./(x)=sin(2x+^)

C./(A)=sin(A+-^)

例2.（2023高三?新疆?學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)"r）=4sin（@r+8）（A>^co>^\（p\<^）的最小正周期為今,

最小值是-3,且圖象經(jīng)過點（2,0）,求該函數(shù)的解析式并求其單調(diào)遞增區(qū)間.

18

例3.（2023高二?山西?學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（x）=Asin（5+Q）（A>0e>0,財<兀）的部分圖像如圖示，且

，⑼"傳｝戊卜

（1）求函數(shù)/（X）的解析式；

（2）若xw。弓，求“X）的最大值和最小值.

例4.（20202已知函數(shù)4x）=4sm（s+e）4>0,3>0,冏的部分圖象如圖所示,則函數(shù)/（X）的解析

2sinfL

B./'(x)=

(26；

D./（A-）=2sin（2v+^

【即時演練】

i.若函數(shù)丁=水巾（公T+°）的部分圖象如圖所示，則其解析式可以是（）

171B.y=3sin(gx+^)

A.y=-3sin—X+一

212

c?(C兀

C.y-3sin2x+