2026年中考數(shù)學(xué)?？伎键c(diǎn)專題之概率

一,選擇題（共13小題）

1.（2025?東光縣二模）隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖的游戲轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針落在“8”所示區(qū)域內(nèi)的概率是

2.（2025?哈爾濱校級(jí)四模）中國象棋紅方棋子按兵種不同分布如下：1個(gè)帥，5個(gè)兵，“土、象、馬、車、

炮''各2個(gè)，將所有棋子反面朝上放在棋盤中，任取一個(gè)恰好是兵或帥的概率是（）

1535

A.——B.——C.-D.-

161688

3.（2025?浙江模擬）現(xiàn)有4張卡片，分別寫著數(shù)字2,0,2,5.若從中隨機(jī)抽取1張卡片，則該卡片上

的數(shù)字恰好是2的概率為（）

1113

A.-B.-C.-D.—

4324

4.（2025?河南一模）在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)Si,52,53中的兩個(gè)，能讓紅燈發(fā)光的概率是

5.（2025?瓊中縣一模）在一個(gè)不透明的口袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)紅球和5個(gè)黑球，它們除顏色外都相同,

從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則下列事件發(fā)生的概率為孑勺是（）

A.摸出白球B.摸出紅球

C.摸出黑球D.摸出白球或紅球

6.（2025?陽泉模擬）五臺(tái)山不僅是世界文化景觀遺產(chǎn)，還是國家地質(zhì)公園和國家森林公園.某興趣小組整

理了三個(gè)關(guān)于五臺(tái)山的研究主題：,,五臺(tái)山宗教歷史及文化研究”,,五臺(tái)山傳統(tǒng)文化和占建筑研究”“五臺(tái)

山地質(zhì)結(jié)構(gòu)和生態(tài)環(huán)境研究小新和小明分別從三個(gè)主題中隨機(jī)選擇一個(gè)，則在他們兩個(gè)選中的主題

中，至少有一個(gè)是“五臺(tái)山傳統(tǒng)文化和古建筑研究”的概率是（）

1245

A.-B.-C.-D.~

3399

7.（2025?沈陽模擬）如圖，正方形的邊長為2,在0?2范圍隨機(jī)生成兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，該點(diǎn)落

入園內(nèi)的概率約是（）

8.（2025?大渡口區(qū)模擬）在一個(gè)不透明的盒子中裝有〃個(gè)球，這些球除顏色外無其他差別，這〃個(gè)球中只

有3個(gè)紅球，若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)

現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則。的值約為（）

A.12B.15C.18D.20

9.（2025?海陵區(qū)校級(jí)三模）有一個(gè)經(jīng)過特殊處理的骰子，這個(gè)骰子擲出2,3,4,5的概率仍然是J但

6

擲出6的概率是擲出1的概率的兩倍，則他擲出6的概率是（）

1172

A.-B.-C.—D.-

46369

10.（2025?沈河區(qū)校級(jí)模擬）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽(yù)為“中國第五

大發(fā)明”.小杰購買了四張“二十四節(jié)氣”主題郵票，其中“夏至”有兩張，“雨水”和“驚蟄”各一張，從中隨

機(jī)抽取一張恰好抽至IJ“夏至”的概率是（）

1111

A.-R.—C.-D.一

424212

II.（2025?博羅縣一模）為激發(fā)學(xué)生對(duì)化學(xué)學(xué)科的研究興趣，王老師計(jì)劃在“空氣中氧氣含量的測定”“高缽

酸鉀制氧氣'“'電解水”“木炭還原氧化銅”四個(gè)實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)選一個(gè)在課堂上給學(xué)生演示，則“電解水''實(shí)驗(yàn)

被選中的概率為（）

13

C.一D.-

44

12.（2025?寧波模擬）甲盒子里有2個(gè)白球，乙盒子中有3個(gè)白球，丙盒子中有3個(gè)白球和1個(gè)黑球，問

隨機(jī)選一個(gè)盒子，隨機(jī)摸一個(gè)球，摸出黑色小球的概率為（）

1111

A.—B.~C.-D.——

78912

13.（2025?金沙縣校級(jí)一模）2024年11月，中國蘋果產(chǎn)業(yè)協(xié)會(huì)和國家蘋果產(chǎn)業(yè)技術(shù)體系最新聯(lián)合發(fā)布，

截至目前，中國蘋果產(chǎn)量世界第一，當(dāng)前我國已培育自主產(chǎn)權(quán)蘋果新品種152個(gè).某科學(xué)研究院為研究

一類新品種蘋果樹的成活率，在同一條件下進(jìn)行移植試驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：

移植總502704007501500350070001000014000

數(shù)〃

成活總47235369682135932036398910212782

數(shù)m

成活率94.0%87.0%92.3%90.9%90.6%91.5%91.4%91.0%

m91.3%

n

估計(jì)這一類新品種蘋果樹成活的概率為（)

A.89%B.90%C.91%D.92%

二.填空題（共7小題）

14.（2025?湖北三模）在一個(gè)不透明的盒子里裝有三張無差別的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,5,現(xiàn)隨機(jī)抽

取一張卡片記下數(shù)字后放回，洗勻后再隨機(jī)抽取一張卡片，兩次抽取的卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率

為.

15.（2025?萊西市校級(jí)模擬）某大型商場組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍(lán)

三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有1個(gè)，黃球有2個(gè)，藍(lán)球有,〃個(gè)，每次搖勻后從中

隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到紅球獲一等獎(jiǎng)，摸到黃球獲二等獎(jiǎng)，摸到藍(lán)球獲三等獎(jiǎng).活動(dòng)后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示共

抽獎(jiǎng)人數(shù)10萬人，其中抽中一等獎(jiǎng)的有5000人，則籃球的數(shù)量相為

16.（2025?章丘區(qū)一模）如圖，小南向圖中4x4的正方形網(wǎng)格內(nèi)隨意放一枚棋子，使之落在陰影部分的概

17.（2025?寶豐縣一模）中國古代數(shù)學(xué)有著輝煌的成就，《周髀算經(jīng)》、《算學(xué)啟蒙》、《測圓海鏡》、《四元玉

鑒》是我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).某中學(xué)擬從這4部數(shù)學(xué)名著中選擇2部作為校本課程“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)

習(xí)內(nèi)容，恰好選中《周髀算經(jīng)》的概率為.

18.（2025?祁陽市校級(jí)一模）在一個(gè)暗箱里有加個(gè)除顏色外其他完全相同的球，其中紅球只有4個(gè)，每次

將球充分搖勻后，隨機(jī)從中摸出一球，記下顏色后放回.通過大量的重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率

為0.2.由此可以推算出機(jī)為.

19.（2025?中衛(wèi)校級(jí)二模）一只不透明的袋子中裝有若干個(gè)紅球和8個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，將

球搖勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一個(gè)球，記下顏色后放回袋中，通過大盤重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球

的頻率穩(wěn)定在0.4,則袋子中有紅球個(gè).

20.（2025?永城市模擬）河南是中原文化的發(fā)源地之一，擁有豐富的自然和人文旅游資源，現(xiàn)有三張正面

分別印有龍門石窟、殷墟遺址、登封“天地之中”歷史建筑群的卡片，它們除正面內(nèi)容不同外完全相同.把

這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，抽取的卡片是“龍門石窟”和“殷墟退址”的概率

為.

三,解答題（共5小題）

21.（2025?浙江模擬）某商場為吸引顧客，舉辦有獎(jiǎng)酬賓活動(dòng)：凡購物滿100元，均可得到一次摸球兌獎(jiǎng)

的機(jī)會(huì).在兩個(gè)不透明的箱子中均裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，它們除顏色外其余均相同.兌獎(jiǎng)?wù)咄瑫r(shí)從

兩個(gè)箱子里各摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出兩球的顏色完成一次兌獎(jiǎng)，兌獎(jiǎng)規(guī)則如下表所示.

項(xiàng)目詼個(gè)紅球一紅一白兩個(gè)白球

兌獎(jiǎng)規(guī)則禮金券20元禮金券10元謝謝惠顧

若顧客只有一次摸球兌獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，請(qǐng)分別求出“獲得禮金券20元”“獲得禮金券10元”的概率.

22.（2025?揚(yáng)州）為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動(dòng)，現(xiàn)有4種體育類活動(dòng)供學(xué)生選

擇：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花樣跳繩，D踢犍子，每名學(xué)生只能選擇其中一種體育活動(dòng).

（1）若小明在這4種體育活動(dòng)中隨機(jī)選擇，則選中“乒乓球”的概率是:

（2）請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機(jī)選擇選到同?種體育活動(dòng)的概率.

23.（2025?騰沖市校級(jí)模擬）有三部影片在春節(jié)檔上映,分別是《哪吒2》,《唐探1900》,《熊出沒?重啟未

來》.小西和小名同學(xué)分別從三部電影中隨機(jī)選擇一部觀看，將《哪吒2》表示為八，《唐探1900》表示

為《熊出沒?重啟未來》表示為C.假設(shè)這兩名同學(xué)選擇觀看哪部電影不受任何因素影響，且每一部

電影被選到的可能性相等.記小西同學(xué)的選擇為x,小安同學(xué)的選擇為產(chǎn)

（1）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法求（4,），）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)：

（2）求小西和小安兩名同學(xué)恰好選擇觀看同一部電影的概率.

24.（2025?萊西市校級(jí)模擬）如圖，湖邊建有A,B,C,。共4座涼亭，某旅游團(tuán)計(jì)劃將這4座涼亭全部

參觀一遍，全體成員從入II處進(jìn)入，先在涼亭A集合，接下來根據(jù)地圖路線自由參觀，請(qǐng)用列表或畫

樹狀圖的方法，求成員小亮最后一次參觀的涼亭為涼亭。的概率.

25.（2025?濱湖區(qū)二模）明明和叉文周末相約到某植物園晨練，這個(gè)植物園有A,B,C,。四個(gè)入口，他

們可隨機(jī)選擇一個(gè)入口進(jìn)入植物園，假設(shè)選擇每個(gè)入口的可能性相同.

（I）他們其中一人進(jìn)入植物園時(shí)，從力入LI處進(jìn)入的概率為.

（2）用樹狀圖或列表法求她們兩人選擇相同入口進(jìn)入植物園的概率.

2026年中考數(shù)學(xué)常考考點(diǎn)專題之概率

參考答案與試題解析

一,選擇題（共13小題）

題號(hào)12345678910H

答案ACCABDCBDCC

題號(hào)1213

答案DC

一.選擇題（共13小題）

I.（2025?東光縣二模）隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖的游戲轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針落在所示區(qū)域內(nèi)的概率是

73

C.一D.-

124

【考點(diǎn)】概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】A

【分析】先求出8區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)，再利用概率公式求解即可.

【解答】解：由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，A區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為60。，C區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為30。，

D區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為150。，

：.B區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為360°-60°-30。-150。=120。，

12001

???當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針落在“8”所示區(qū)域內(nèi)的概率是「=

36003

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2025?哈爾濱校級(jí)四模）中國象棋紅方棋子按兵種不同分布如下：1個(gè)帥，5個(gè)兵，“士、象、馬、車、

炮”各2個(gè)，將所有棋子反面朝上放在棋盤中，任取一個(gè)恰好是兵或帥的概率是（

35

【考點(diǎn)】概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】C

【分析】根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：???中國象棋紅方棋了按兵種不同分布如下：I個(gè)帥，5個(gè)兵，“士、象、馬、牛、炮”各2

個(gè)，

???共有16種等可能的結(jié)果，其中恰好是兵或帥的結(jié)果有6種，

63

???任取一個(gè)恰好是兵或帥的概率是N

168

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?浙江模擬）現(xiàn)有4張卡片，分別寫著數(shù)字2,0,2,5.若從中隨機(jī)抽取1張卡片，則該卡片上

的數(shù)字恰好是2的概率為（）

1113

A.-B.-C.-D.—

4324

【考點(diǎn)】概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】C

【分析】直接根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：???4張卡片，分別寫著數(shù)字2,0,2,5,其中數(shù)字2有兩張，

???該卡片上的數(shù)字恰好是2的概率為1=3,

42

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?河南一模）在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)51,52,53中的兩個(gè)，能讓紅燈發(fā)光的概率是

（）

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】A

【分析】列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有.可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件,

樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.首先根據(jù)題意畫出

樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能讓紅燈發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答

案.

【解答】解：畫樹狀圖得：

開始

???共有6種等可能的結(jié)果，能讓紅燈發(fā)光的有2種情況，

???能讓紅燈發(fā)光的概率為:=7.

63

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是掌握概率公式.

5.（2025?瓊中縣一模）在一個(gè)不透明的口袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)紅球和5個(gè)黑球，它們除顏色外都相同,

從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則下列事件發(fā)生的概率為孑勺是（）

A.摸出白球B.摸出紅球

C.摸出黑球D.摸出白球或紅球

【考點(diǎn)】概率的意義；概率公式：隨機(jī)事件.

【專題】概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】利用概率的計(jì)算公式解答即可.

【解答】解：???袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)紅球和5個(gè)黑球，

???袋中共有12個(gè)球,

3I

???摸出白球的概率為不=二:

124

摸出紅球的概率為三=：；

123

摸出黑球的概率為三；

12

7

摸出白球或紅球的概率為不.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了概率的意義，隨機(jī)事件，概率的公式，熟練掌握概率的意義和概率的公式是解

題的關(guān)鍵.

6.(2025?陽泉模擬)五臺(tái)山不僅是世界文化景觀遺產(chǎn)，還是國家地質(zhì)公園和國家森林公園.某興趣小組整

理了三個(gè)關(guān)于五臺(tái)山的研究主題：“五臺(tái)山宗教歷史及文化研究”“五臺(tái)山傳統(tǒng)文化和古建筑研究”“五臺(tái)

山地質(zhì)結(jié)構(gòu)和生態(tài)環(huán)境研究”.小新和小明分別從三個(gè)主題中隨機(jī)選擇一個(gè)，則在他們兩個(gè)選中的主題

中，至少有一個(gè)是“五臺(tái)山傳統(tǒng)義化和古建筑研究”的概率是()

1245

A.-B.-C.-D.一

3399

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】D

【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及至少有一個(gè)是“五臺(tái)山傳統(tǒng)文化和古建筑研究”的結(jié)果數(shù),

再利用概率公式可得出答案.

【解答】解：將三個(gè)主題分別記為A,B,C,

列表如F：

ABC

A(A,4)(A,B)(A,C)

B(8,A)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

共有9種等可能的結(jié)果，其中至少有一個(gè)是“五臺(tái)山傳統(tǒng)文化和古建筑研究”的結(jié)果有：(A,A),

(B,B),(B,C),(C,B),共5種，

???至少有一個(gè)是“五臺(tái)山傳統(tǒng)文化和古建筑研究”的概率為.

9

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關(guān)鍵.

7.（2025?沈陽模擬）如圖，正方形的邊長為2,在0?2范圍隨機(jī)生成兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，該點(diǎn)落

【考點(diǎn)】幾何概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】C

【分析】利用圖形得到圓為正方形的內(nèi)切圓，且正方形的邊長為2,圓的半徑為1,然后用圓的面積與

正方形的面積比表示該點(diǎn)落入圓內(nèi)的概率.

2

【解答】解：根據(jù)題意，該點(diǎn)落入圓內(nèi)的概率=嗎-

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概率：某事件的概率=這個(gè)事件所占有的面積與總面積之比.

8.（2025?大渡口區(qū)模擬）在一個(gè)不透明的盒子中裝有〃個(gè)球，這些球除顏色外無其他差別，這〃個(gè)球中只

有3個(gè)紅球，若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)

現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則。的值約為（）

A.12B.15C.18D.20

【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系

入手，列出方程求解.

【解答】解：根據(jù)題意得：

3

-=0.2,

解得：4=15,

經(jīng)檢驗(yàn)：4=15是原分式方程的解.，

答：。的值約為15；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用頻率估計(jì)概率，正確列出方程是本題關(guān)健.

9.（2025?海陵區(qū)校級(jí)三模）有一個(gè)經(jīng)過特殊處理的骰子，這個(gè)骰子擲出2,3,4,5的概率仍然是力，但

6

擲出6的概率是擲出1的概率的兩倍，則他擲出6的概率是（）

1172

A.-B.-C.-D.-

46369

【考點(diǎn)】概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】D

【分析】根據(jù)這個(gè)骰子擲出2,3,4,5的概率仍然是；，可得擲出1和6的概率之和，即可求解.

6

【解答】解：???這個(gè)微子擲出2,3,4,5的概率仍然是；，

???這個(gè)骰子擲出I和6的概率之和為1一射4=1一標(biāo)點(diǎn)

???擲出6的概率是擲出1的概率的兩倍，

12122

,他擲出6的概率是二x---=-x-=

31+2339

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式以及無理數(shù)，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

10.（2025?沈河區(qū)校級(jí)模擬）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽(yù)為“中國第五

大發(fā)明”.小杰購買了四張“二十四節(jié)氣”主題郵票，其中“夏至”有兩張，“雨水”和“驚蟄”各一張，從中隨

機(jī)抽取一張恰好抽到“夏至”的概率是（）

1111

A.-B.—C.-D.—

424212

【考點(diǎn)】概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：從中隨機(jī)抽取一張，有四種等可能的情況，

?「夏至”有兩張，“雨水”和“驚蟄'咯一張,

工抽至U“夏至”有兩種等可能的情況,

21

???從中隨機(jī)抽取一張恰好抽到“夏至”的概率是一=

42

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

II.（2025?博羅縣?模）為激發(fā)學(xué)生對(duì)化學(xué)學(xué)科的研究興趣，王老師計(jì)劃在“空氣中氧氣含量的測定”“高缽

酸鉀制氧氣'“'電解水”“木炭還原氧化銅”四個(gè)實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)選一個(gè)在課堂上給學(xué)生演示，則“電解水''實(shí)驗(yàn)

被選中的概率為（）

1113

A.—B.-C.一D.一

2344

【考點(diǎn)】概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)概率的計(jì)算方法：一般的，如果在一次試驗(yàn)中，有〃種等可能的結(jié)果，事件A包含其中

的有〃，種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率尸（力）=5,即可得到答案.

【解答】解：???共有四種實(shí)驗(yàn)，“電解水”實(shí)驗(yàn)只有1種,

，“電解水”實(shí)驗(yàn)被選中的概率足：7.

4

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式，熟練掌握概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?寧波模擬）甲盒子里有2個(gè)白球，乙盒子中有3個(gè)白球，丙盒子中有3個(gè)白球和1個(gè)黑球，問

隨機(jī)選一個(gè)盒子，隨機(jī)摸一個(gè)球，摸出黑色小球的概率為（）

1111

A.—B.一C.-D.一

78912

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】。

【分析】計(jì)算出選中丙盒子的概率和從丙盒子中摸出黑色小球的概率，再求乘積即可.

【解答】解：???有甲、乙、丙三個(gè)盒子，且丙盒子中有3個(gè)白球和1個(gè)黑球，

???選中丙盒子的概率為；，從丙盒子中摸出黑色小球的概率為:，

34

，隨機(jī)選一個(gè)盒子，隨機(jī)摸一個(gè)球，摸出黑色小球的概率為:X：=[.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

13.（2025?金沙縣校級(jí)?模）2024年11月，中國蘋果產(chǎn)業(yè)協(xié)會(huì)和國家蘋果產(chǎn)業(yè)技術(shù)體系最新聯(lián)合發(fā)布，

截至目前，中國蘋果產(chǎn)量世界第一，當(dāng)前我國已培育自主產(chǎn)權(quán)蘋果新品種152個(gè).某科學(xué)研究院為研究

?類新品種蘋果樹的成活率，在同?條件下進(jìn)行移植試驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：

移植總502704007501500350070001000014000

數(shù)〃

成活總47235369682135932036398910212782

數(shù)m

成活率94.0%87.0%923%90.9%90.6%91.5%91.4%91.0%

m91.3%

n

估計(jì)這一類新品種蘋果樹成活的概率為（）

A.89%B.90%C.91%D.92%

【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)表格頻率接近91.0%,即可求解.

【解答】解：由表格可知，這一類新品種蘋果樹成活的概率為91%,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，熟知概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概

率的估計(jì)值是解題的關(guān)鍵.

二,填空題（共7小題）

14.（2025?湖北三模）在一個(gè)不透明的盒子里裝有三張無差別的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字I,2,5,現(xiàn)隨機(jī)抽

取一張卡片記下數(shù)字后放I可，洗勻后再隨機(jī)抽取一張卡片，兩次抽取的卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為

5

9--

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】

【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次抽取的卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率

公式可得出答案.

【解答】解：列表如下：

125

1(1,1)(1,2)(1,5)

2(2,1)(2,2)(2,5)

5(5,1)(5,2)(5,5)

共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果有：(1,1),(1,5),(2,2),

(5,I),(5,5),共5種，

???兩次抽取的卡片卜數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為1.

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關(guān)鍵.

15.(2025?萊西市校級(jí)模擬)某大型商場組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍(lán)

三種顏色的球(除顏色外其余都相同)，其中紅球有1個(gè)，黃球有2個(gè)，藍(lán)球有機(jī)個(gè)，每次搖勻后從中

隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到紅球獲一等獎(jiǎng)，摸到黃球獲二等獎(jiǎng)，摸到藍(lán)球獲三等獎(jiǎng).活動(dòng)后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示共

抽獎(jiǎng)人數(shù)10萬人，其中抽中一等獎(jiǎng)的有5000人，則籃球的數(shù)量〃，為17.

【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率.

【專題】概率及其應(yīng)用：應(yīng)用意識(shí).

【答案】17.

【分析】根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論.

【解答】解:根據(jù)題意得，100。。。'』=5。。。，

解得

故答案為：17.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

16.(2025?章丘區(qū)一模)如圖，小南向圖中4x4的正方形網(wǎng)格內(nèi)隨意放一枚棋子，使之落在陰影部分的概

率為工?

【考點(diǎn)】幾何概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用面積公式分別表示出陰影部分和大正方形的面積，再利用面積比求概率即可.

【解答】解：陰影部分的面積為22+22=8,

正方形面積為4x4=16,

O]

故該棋子落在陰影部分的概率是一=

162

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

17.（2025?寶豐縣一模）中國古代數(shù)學(xué)有著輝煌的成就，《周髀算經(jīng)》、《算學(xué)啟蒙》、《測圓海鏡》、《四元玉

鑒》是我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).某中學(xué)擬從這4部數(shù)學(xué)名著中選擇2部作為校本課程“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)

習(xí)內(nèi)容，恰好選中《周髀算經(jīng)》的概率為:.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用畫樹狀圖法解答即可.

【解答】解；《周髀算經(jīng)》、《算學(xué)啟蒙》、《測圓海鏡》、《四元玉鑒》分別用A、仄C、。表示，

畫樹狀圖如下：

開始

由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中《周髀算經(jīng)》的有6種,

???恰好選中《周髀算經(jīng)》的概率三="

122

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，熟練掌握畫樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵.

18.（2025?祁陽市校級(jí)一模）在一個(gè)暗箱里有，〃個(gè)除顏色外其他完全相同的球，其中紅球只有4個(gè)，每次

將球充分搖勻后，隨機(jī)從中摸出一球，記下顏色后放回.通過大量的重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率

為0.2.由此可以推算出加為20.

【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】20.

【分析】由題意得出摸到紅球的概率為02從而得到〃?=4X）.2,計(jì)算即可得解.

【解答】解：???通過大量的重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率為0.2,

工摸到紅球的概率為0.2,

???暗箱里有m個(gè)除顏色外其他完全相同的球，其中紅球只有4個(gè)，

/.=4:0.2=20,

故答案為：20.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，解題的關(guān)鍵是掌握利用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概

率.

19.（2025?中衛(wèi)校級(jí)二模）一只不透明的袋子中裝有若干個(gè)紅球和8個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，將

球搖勻后每次隨機(jī)從袋中摸出?個(gè)球，記下顏色后放回袋中，通過大盤重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球

的頻率穩(wěn)定在0.4,則袋子中有紅球12個(gè).

【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先用白球的個(gè)數(shù)除以摸到白球的頻率穩(wěn)定值求出球的總個(gè)數(shù)，繼而可得答案.

【解答】解：由題意知，袋中球的總個(gè)數(shù)約為8:0.4=20（個(gè)），

所以袋子中有紅球球?8=12（個(gè)），

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定

位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅變?cè)絹碓叫?，根?jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概

率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.

20.（2025?永城市模擬）河南是中原文化的發(fā)源地之一，擁有豐富的自然和人文旅游資源，現(xiàn)有三張正面

分別印有龍門石窟、殷墟遺址、登封“天地之中”歷史建筑群的卡片，它們除正面內(nèi)容不同外完全相同.把

這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，抽取的卡片是“龍門石窟”和“殷墟遺址”的概率為二_.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案4

【分析】根據(jù)題意列出所有的可能情況，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：設(shè)龍門石窟、殷墟遺址、登封“天地之中”歷史建筑群三張卡片分別為A、B、C,

列表如下：

ABC

4(A,A)(A,B)(A,C)

B(B,A)(B,B)(8,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

共有9種等可能的結(jié)果，其中抽到A8的情況有1種，

1

所以概率為￡

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題

的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

21.（2025?浙江模擬）某商場為吸引顧客，舉辦有獎(jiǎng)酬賓活動(dòng)：凡購物滿100元，均可得到一次摸球兌獎(jiǎng)

的機(jī)會(huì).在兩個(gè)不透明的箱子中均裝有I個(gè)紅球,2個(gè)白球,它們除顏色外其余均相同.用獎(jiǎng)?wù)咄瑫r(shí)從

兩個(gè)箱子里各摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出兩球的顏色完成一次兌獎(jiǎng)，兌獎(jiǎng)規(guī)則如下表所示.

項(xiàng)目兩個(gè)紅球一紅一白兩個(gè)白球

兌獎(jiǎng)規(guī)則禮金券20元禮金券10元謝謝惠顧

若顧客只有一次摸球兌獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，請(qǐng)分別求出“獲得禮金券20元”“獲得禮金券10元”的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】“獲得禮金券20元”的概率為"“獲得禮金券10元”的概率為"

99

【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及摸出兩個(gè)紅球的結(jié)果數(shù)、摸出一紅一白的結(jié)果數(shù)，再利用

概率公式可得出答案.

【解答】解：列表如下：

紅白白

紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）

白（白，紅）（白，白）（白，白）

白（白，紅）（白，白）（白，白）

共有9種等可能的結(jié)果，其中摸出兩個(gè)紅球的結(jié)果有1種，摸出一紅一白的結(jié)果有4種，

???“獲得禮金券20元”的概率為"“獲得禮金券10元”的概率為之

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹伏圖法是解答本題的關(guān)鍵.

22.（2025?揚(yáng)州）為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動(dòng)，現(xiàn)有4種體育類活動(dòng)供學(xué)生選

擇：4.羽毛球，B.乒乓球，C.花樣跳繩，D.踢健子，每名學(xué)生只能選擇其中一種體育活動(dòng).

（1）若小明在這4種體育活動(dòng)中隨機(jī)選擇，則選中“乒乓球”的概率是:；

（2）請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機(jī)選擇選到同一種體育活動(dòng)的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

11

【答案】（1）（2）

44

【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到小明在這4種體育活動(dòng)中隨機(jī)選擇，選中“乒乓球”

的概率；

（2）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后求出相應(yīng)的概率即可.

【解答】解：（1）由題意可得，

小明在這4種體育活動(dòng)中隨機(jī)選擇，則選中“乒乓球”的概率是士

4

故答案為：!

4

（2）樹狀圖如下所示:

開始

八小心八

小聰ABeDABCDABCDABCD

由上可得，一共有16種等可能性，其中小明和小聰隨機(jī)選搭選到同一種體育活動(dòng)的可能性有4種，

41

，小明和小聰隨機(jī)選擇選到同一種體育活動(dòng)的概率為==T-

164

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的樹狀圖.

23.（2025?騰沖市校級(jí)模擬）有三部影片在春節(jié)檔上映，分別是《哪吒2》,《唐探1900》，《熊出沒?重啟未

來》.小西和小名同學(xué)分別從三部電影中隨機(jī)選擇一部觀看，將《哪吒2》表示為A,《唐探1900》表示

為比《熊出沒?重啟未來》表示為C.假設(shè)這兩名同學(xué)選擇觀看哪部電影不受任何因素影響，且每一部

電影被選到的可能性相等.記小西同學(xué)的選擇為x,小安同學(xué)的選擇為y

（1）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法求（工，y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；

（2）求小西和小安兩名同學(xué)恰好選擇觀看同一部電影的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】統(tǒng)計(jì)與概率；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】（1）9種；

、1

（2）

3

【分析】（1）列表得出所有等可能的情況數(shù)即可；

（2）根據(jù)表格列出恰好選擇觀看同一部電影的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案.

【解答】解：（1）列表如下，

(x,y)ABC

A(A,A)(4,A)(C,4)

B(A,B)(4,B)(C,B)

C(A,C)(8,C)(C,C)

，由表可知，（x,>-）可能出現(xiàn)的結(jié)果為:（A,A）、（B,A）、（C,/4)、(A,B)、(B,B)、(C,B)、(A,

C）、（從C）、（C,C）,它們出現(xiàn)的可能性相等，一洪有9種.

答：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種；

（2）由表可以看出，小西和小安兩名同學(xué)選擇觀看同一電影的情況有3種,

即(A,4)、(B,B)、(C,C).

??.概率p=1=1.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.熟練掌握列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能

的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.

24,（2025?萊西市校級(jí)模擬）如圖，湖邊建有A,B,C,。共4座涼亭，某旅游團(tuán)計(jì)劃將這4座涼亭全部

參觀?遍，全體成員從入口處進(jìn)入，先在涼亭八集合，接下來根據(jù)地圖路線自由參觀，靖用列表或畫

樹狀圖的方法，求成員小亮最后一次參觀的涼亭為涼亭。的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案

【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及成員小亮最后一次參觀的涼亭為涼亭D的結(jié)果數(shù)，再利

用概率公式可得出答案.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

共有4種等可能的結(jié)果，其中成員小亮最后一次參觀的涼亭為涼亭。的結(jié)果有2種,

???成員小亮最后一次參觀的涼亭為涼亭D的概率為|=

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題

的關(guān)鍵.

25.（2025?濱湖區(qū)二模）明明和叉文周末相約到某植物園晨練，這個(gè)植物園有4,