專題7.3空間直線、平面的平行(舉一反三講義)

【全國(guó)通用】

題型歸納

【題型I有關(guān)平行命題的判斷】........................................................................4

【題型2證明線線平行】...............................................................................5

【題型3線面平行的判定】............................................................................6

【題型4線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】.................................................................7

【題型5面面平行的判定】............................................................................9

【題型6面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】................................................................11

【題型7平行關(guān)系的綜合應(yīng)用】.......................................................................12

【題型8平行關(guān)系的探索性問題】....................................................................14

1、空間直線、平面的平行

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

空間直線、平面的平行是高考的

2023年新高考I卷：第18題，

重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)

12分

容之一,從近幾年的高考情況來(lái)看，主

(1)理解空間中直線與直線、直2024年新高考I卷：第17題，

要分兩方面進(jìn)行考查，一是空間中線

線與平面、平面與平面的平行15分

面平行關(guān)系的命題的真假判斷，常以

關(guān)系，并加以證明2024年北京卷：第17題，14分

選擇題、填空題的形式考查，難度較

(2)掌握直線與平面、平面與平2025年全國(guó)一卷：第9題，6分

易；二是空間線線、線面、面面平行

面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)2025年全國(guó)二卷：第17題，15

的證明，一般以解答題的其中一小問

單應(yīng)用分

的形式考查，難度中等；解題時(shí)要靈

2025年北京卷：第17題，14分

活運(yùn)用直線、平面的平行的判定與性

2025年上海卷：第18題，14分

質(zhì)，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

(1)判定定理

①自然語(yǔ)言

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.

②圖形語(yǔ)言

③符號(hào)語(yǔ)言

Q0a,b(ZaflaIIb=>aI/a.

該定理可簡(jiǎn)記為“若線線平行，則線面平行”.

(2)性質(zhì)定理

①自然語(yǔ)言

一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

②圖形語(yǔ)言

③符號(hào)語(yǔ)言

aIIafaU3aC\/3=b==>aHb.

該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則線線平行”.

(3)性質(zhì)定理的隹用

①作為證明線線平行的依據(jù).當(dāng)證明線線平行時(shí)，可以證明其中?條直線平行于?個(gè)平面，另一條直線是過

第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據(jù).如果一條直線平行于一個(gè)平面，要在平面內(nèi)畫一條直線與已知

直線平行，可以過已知直線作一個(gè)平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.

2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

(1)判定定理

①自然語(yǔ)言

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.

②圖形語(yǔ)言

③符號(hào)語(yǔ)伐

aCa,6Ca,aC\b=P>aH6///?=>a///?.

該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則面面平行”.

(2)判定定理的推論

①自然語(yǔ)言

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行.

②圖形語(yǔ)言

zr1

aCa,6Ca,aC\b=P,aC/?,b，U6,aOb=P'fa//a\b//b'=>a1//3.

(3)性質(zhì)定理

①自然語(yǔ)言

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.

③符號(hào)語(yǔ)言

a〃daA7=a?/3C\y=b=>a/lb.

該定理可簡(jiǎn)記為“若面面平行，則線線平行”.

(4)兩個(gè)平面平行的其他性質(zhì)

①兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面.

②平行直線被兩個(gè)平行平面所截的線段長(zhǎng)度相等.

③經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

④兩條直線同時(shí)被三個(gè)平行平面所截，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例.

⑤如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.

知識(shí)點(diǎn)2空間中的平行關(guān)系的判定方法

1.線線平行的證明方法

(1)定義法:即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩更線沒有公共點(diǎn)；

(2)利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；

(3)利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行；

(4)利用線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來(lái)判定線線平行.

2.線面平行的判定方法

(1)利用線面平行的定義：宜線與平面沒有公共點(diǎn)；

(2)利用線面平行的判定定理：如果平面外有?條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平

行(簡(jiǎn)記為“線線平行一線面平行”)：

(3)利用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)所有直線都平行于另一個(gè)平面.(簡(jiǎn)記為

“面面平行一線面平行”).

3.面面平行的判定方法

（1）面面平行的定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，常與反證法結(jié)合（不常用）：

（2）面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行C主要

方法）：

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（選擇、填空題可用）；

（4）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行（選擇、填空題可用）.

【方法技巧與總結(jié)】

1.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若。_La,a邛,則《/也

2.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若6例，則a〃y.

3.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,即若bJba,則

4.若a〃6，aCa＞則a/力.

舉一反三

【題型1有關(guān)平行命題的判斷】

【例1】（2025?河北唐山?二模）已知m為平面a外的一條直線，則下列命題中正確的是（）

A.存在直線m，使得九Im,n1aB.存在直線幾，使得n1m,n//a

C.存在直線九，使得九〃7九，n//aD.存在直線7i,使得n〃m,n1a

【變式1-1］（2025?廣東深圳一模）已知直線a1分別在兩個(gè)不同的平面a,0內(nèi)，則“直線a和直線b平行”是“平

面a和平面7?平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-2］（24-25高一下?福建龍巖?期中）已知直線a,b,c是三條不同的直線，平面a,p,y是三個(gè)不同

的平面，下列命題正確的是（）

A.若a//a,b//a,則a〃b

B.若a〃匕，a//a,則匕〃a

C.若QUa,bea,且a〃￡,b//p,則a〃夕

D.a,6,y三個(gè)平面最多可將空間分割成8個(gè)部分

【變式1?3】（24?25高一下?安徽合肥?期中）已知/,m,九是三條不同的直線，a,0,y是三個(gè)不同的平面,

則下列命題一定正確的是（）

A.若m〃a,n//p,a〃0,則m〃n

B.若mca,nca,m///?,n///?,則a///?

C.若，〃a,Ze/?,an/?=m,則

D.若mca,九ua,Ic/?,且小〃6，n//l,則。〃0

【題型2證明線線鉛亍】

【例2】（24-25高嚇?全國(guó)?課堂例題）如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E,F,G,"分別是棱SN,SP,MN,

的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交C.異面D.平行或異面

【變式2?1]（24?25高一?全國(guó)?課后作業(yè)）在正方體相。。一4自。出/中,E,1分別是側(cè)面?zhèn)让?/p>

CC。/。的中心，G,〃分別是線段/從8c的中點(diǎn)，則直線EF與直線G〃的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面C.平行D.垂直

【變式2-2]（24-25高一下?全國(guó)?課堂例題）已知正方體48co-力道1%。1中，E,尸分別是CC1的中

點(diǎn).求證：BF//EDX.

【變式2-3]（24-25高二上?云南大理期末）如圖,在棱長(zhǎng)為3的正方體中,P,Q分別為

棱BCCg的中點(diǎn).

（1）證明：AD1/PQ；

（2）求三棱錐4-8]QP的體積.

【題型3線面平行的判定】

【例3】(2025?山西晉城?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱柱4BCD-4iBiCiDi中，底面4BCD為平行四邊形，點(diǎn)M

是線段修〃1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，后、產(chǎn)分別是8C、CM的中點(diǎn).

⑴求證：EF〃平面BDD1%；

(2)若四棱柱48co-A/CWi的體積為24,求三棱錐C-8。F的體積P的值.

【變式3-1](2025?寧夏石嘴山?模擬預(yù)測(cè))如圖,在正方體一4BCD中,E是。〃的中點(diǎn).

(1)求證：&C"/平面力

(2)若幽=6,求點(diǎn)B到平面力EC的距離.

【變式3-2]（2024?四川,三模）正方體48。。-48?。1的棱長(zhǎng)為2,￡,F,G分別是CCi，BC,4D的中點(diǎn).

（I）求證：CG〃面OiEF；

（2）求點(diǎn)G到平面小"的距離.

【變式3-3]（2025?陜西渭南?三模）如圖，在四棱錐P—48CD中，底面4BCO是平行四邊形，P41平面"CQ,

4PA=4AB=3AD=12,瓦？?而=0,且M,N分別為尸Q,/1C的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面P8C；

（2）求三棱錐M-4CD的體積.

【題型4線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】

【例4】（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐P-48CD的底面是平行四邊形，E為4）的中點(diǎn)，F(xiàn)

在“上，且而=AAF,PC〃平面BEF,則人的值為（）

依…4c

AB

A.1B.|C.2D.3

【變式4-1](24-25高一下?山東濟(jì)南?期中)如圖，在四棱錐P-/1BCE中，四邊形力8CE是梯形，AB//CE,

PP

且=3CE,點(diǎn)尸在棱尸4上，且E?||平面P8C,則去()

【變式4-2](2024?河南?模擬預(yù)測(cè))如圖，三棱柱ABC-Ai/g各棱長(zhǎng)均相等，M為棱力。上一點(diǎn)，Q為棱

的中點(diǎn)，力Q〃平面

(1)求等的值；

(2)若平面4MBi將三棱柱ABC-印?分為兩部分，較小部分的體積為％,較大部分的體積為匕，求承

值.

【變式4?3】（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四楂錐P-A8CD中，底面A8C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，PDL

底面/BCD,列）=/lCZ）,點(diǎn)E在棱PC上，PA〃平面E8D.

（I）試確定點(diǎn)E的位置.，并說(shuō)明理由;

（2）是否存在實(shí)數(shù);I,使三棱錐E-8PD體積為（若存在，請(qǐng)求出具體值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型5面面平行的判定】

【例5】（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，正四棱錐尸-4鳳?。的底面為平行四邊形.M、N、Q分別為PC、

CD、力B的中點(diǎn).求證：平面MNQ〃平面PAD.

【變式5-1］（24-25高一下?福建龍巖?期中）如圖，梯形力是圓臺(tái)?！?。2的軸截面，E,尸分別在底面圓?！?

。2的圓周上，E77為圓臺(tái)的母線，乙DO止=60。,已知CD=4,.48=8,G,H分別為O2B,BF的中點(diǎn).

(1)證明：平面CG"〃平面。1。2/￡

(2)若三棱錐C-GBH的體積為竽，求圓臺(tái)6。2的側(cè)面積.

【變式5-2](2025陜西安康模擬預(yù)測(cè))如圖，在圓錐P。中，尸為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，四邊

形4BCD是底面的內(nèi)接正方形，E尸分別為PD,24的中點(diǎn)，過點(diǎn)￡凡。的平面為必

⑴證明：平面aII平面PBC；

(2)若圓錐的底面圓半徑為2,高為百，設(shè)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐P-M8C的體積.

【變式5-3](24-25高一下?廣東中山?階段練習(xí))如圖，正四棱錐P-A8C。的底面為平行四邊形.M、N、Q

分別為PC、CD、力8的中點(diǎn)，設(shè)平面P40與平面P8C的交線為2.

⑴求證：平面MNQ〃平面R4D；

(2)求證:BC//L

(3)若尸4=5,AB=4V2,求四棱錐P-48C。的體積.

【題型6面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】

【例6】(24-25高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))如圖，四棱柱48co-4/gDi中，四邊形ABCD為平行四

邊形，瓦尸分別在線段上，且血=薯=匕G在CCi上且平面AE尸II平面BD]G,則啜■=()

cort)i￡CLi

【變式6-1](24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè))如圖，四棱柱48。。一力道￡1。1中，四邊形48C。為平行四邊

形，E,廠分別在線段。外上，黑=。，G在Cg上且平面/EF〃平面BQ]G,則暮=()

CD￡CCl

ABD.

-I-Ic.I4

【變式6-2]（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-力BC中，E,F,G,〃分別是P6,PC,AE,

8戶的中點(diǎn).證明：直線GH〃平面ABC.

【變式6-3]（24-25高一下?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，四棱錐P-/BCO的底面為平行四邊形.設(shè)平面以。

與平面尸的交線為/,M、N、。分別為PC、CD、48的中點(diǎn).

⑴求證：MQ〃平面PAD；

（2）求證:BC//1.

【題型7平行關(guān)系的綜合應(yīng)用】

【例7】（24-25高一下?陜西漢中?期末）由正方體力BCD-斗道心。1截去三棱錐％-BiCDi后得到的幾何體

如圖所示，。為力C與的交點(diǎn).

⑴求證:。?！ㄆ矫鍮1CD1；

⑵求證：平面480〃平面勺。小.

【變式7-1](24-25高一下?江西上饒?期末)如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面48C0外一點(diǎn).已

知M,N分別是PC,AB的中點(diǎn)，在。M上取一點(diǎn)G,過G和/P作平面交平面B0M于HG.

(1)求證：MN〃平面P4D：

(2)求證:AP//HG.

【變式7-2](24-25高一下?吉林長(zhǎng)春期中)如圖，在正方體4慶：。一481。1。1中力8=2,.”為0。1的中點(diǎn).

(1)求證:b〃i〃平面AMG

(2)若N為eg的中點(diǎn)，求證：平面/MC〃平面BN。1；

(3)求三棱錐M-。與正方體A8CD-的外接球半徑之比.

【變式7-3](24-25高一下?河南駐馬店?階段練習(xí))如圖，在正方體力BCO—A/gDi中，E為的中點(diǎn).

(1)求證：8D]〃平面4EC：

(2)取C的中點(diǎn)/，求證：平面4EC〃平面

(3)求異面直線4E與D]B所成角的余弦值.

【題型8平行關(guān)系的探索性問題】

【例8】(24?25高一下?青海海南?期末)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AiFCiDi中,E,F,G分別是棱面丁當(dāng)出當(dāng)

的中點(diǎn).

(2)在棱力%上是否存在點(diǎn)H,使得平面GGH〃平面CEF?若存在，求出警的值；若不存在，靖說(shuō)明理由.

【變式8-1](2025高一?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在四棱錐P-48co中，底面四邊形4BCO是平行四邊形，E

是側(cè)棱PC上一點(diǎn)，且PE=2EC.

(1)試確定側(cè)棱PC上一點(diǎn)Q的位置，使4Q〃平面BDE.

(2)在側(cè)棱PB上是否存在一點(diǎn)R,使力R〃平面BDE?若存在，求出北的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式8-2](24?25高一下?甘肅白銀?期末)如圖，已知在正方體4BCD-48￡Di中,P,。分別為對(duì)角

線B。，血上的點(diǎn)，^=^=/l(0<A<1).

(1)求證:，Q〃平面

(2)若R是上的點(diǎn)，當(dāng)啜的值為多少時(shí)(用/I表示)，能使平面PQRII平面請(qǐng)給出證明.

［變式8-31(24-25高一下?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí))如圖所示正四棱錐S-ABCD,SA=SB=SC=SD=4,AB=

2V2,。為側(cè)棱SO上的點(diǎn)，且SP=3PD,求：

(1)王四棱錐S-ABCD的外接球表面積：

(2)若必為S4的中點(diǎn)，求證:SC〃平面8MD；

(3)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)后使得BE〃平面P4C.若存在，求替的值；若不存在，試說(shuō)明理由.

過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2025?福建寧德?三模）設(shè)a,?是兩個(gè)不同平面，7九,九是平面W內(nèi)的兩條不同直線.甲：m//a,n//a,

乙：a//B，則（）

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

2.（24-25高二下?北京?期中）已知直線a,b,平面a,給出下列四個(gè)命題：

①若a〃b,bua,則Q//a；

②若Q〃a,b11a,則a//h；

③若Q〃b,bIIa,則Q〃a：

④若Q〃a,bua,則Q〃b.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

3.（2024全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)中,,i是兩條相交直線，a,。是兩個(gè)互相平行的平面，且n〃夕，則。n〃a”是〃/T

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2025?海南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱力8。一4%。1中，點(diǎn)。在棱上，且BD=M,E分別是

棱力14,人力1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱eg上，若MN〃平面CQE,則箸=（）

5.（2024?山東?一模）如圖所示，在四棱錐中，M,N分別為P&4C上的點(diǎn)，且MN〃平面PAD,則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

6.（2025,河南?二模）如圖,已知正方體ABCD-A/iCiDi的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是棱4D,Big的中點(diǎn),

若P為側(cè)面力。54內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且B]P〃平面8EF則BiP的最小值為（）

二

AB

A86n2煩

A-5B-5C.V5D.2V2

7.（2025?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)48、C、M、N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不

滿足直線MNII平面ABC的是（）

g*

A.-----------可B.C

?&

C.——D.LI_____14/

8.（24-25高一下?海南?期末）如圖所示是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中以下四個(gè)命題中，真

命題的序號(hào)是（）

①BM〃平面力DE；

②CN〃平面

③平面BOM〃平面;IFN；

④平面80E〃平面NCR

A.①②③④B.①②③C.???D.②③④

二、多選題

9.（2025?全國(guó)一卷?高考真題）在正三棱柱力8。一為當(dāng)。1中，。為8c的中點(diǎn)，則（)

A.AD1AXCB.BiCi1平面力AiD

C.AD"A\BiD.CCi〃平面441。

10.（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)48,C,M,N是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則下列各圖中滿足

MN〃平面4BC的是（）

11.（2025?浙江溫州?二模）在四棱錐PABCD^,E,尸分別是AP,BC上的點(diǎn)，爺=，則下列條件可以

確定“〃平面PCD的是（）

A.AD//BCB.AB//CD

C.BC〃平面24。D.CD〃平面H48

三、填空題

12.（2024?上海徐匯一模）已知m,n為空間中兩條不同的直線，a,0為兩個(gè)不同的平面，若mua,a