2026年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之概率

一.選擇題（共10小題）

1.在一個不透明的袋中裝著3個紅球和1個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，隨機(jī)從袋中摸出2個小球，

兩球恰好是一個黃球和一個紅球的概率為（）

1111

A.-B.—C."D.一

2346

2.經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能左轉(zhuǎn)或者右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，則經(jīng)過這個

十字路口的兩輛汽車一輛左轉(zhuǎn)，一輛右轉(zhuǎn)的概率是（）

4421

A.-B.-C.一D.一

7999

3.小李馬小陳做猜拳游戲，規(guī)定每人每次至少要出一個手指，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)射小李獲勝，

41

C.一D.-

252

4.下列說法中，正確的是（）

A.不可能事件發(fā)生的概率為0

B.隨機(jī)事件發(fā)生的概率為1

C.概率很小的事件不可能發(fā)生

D.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)一定為50次

5.如圖是一次數(shù)學(xué)活動課制作的一個轉(zhuǎn)盤，盤面被等分成四個扇形區(qū)域，并分別標(biāo)有數(shù)字-1,0,h2.若

轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)盤停止后記錄指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字（當(dāng)指針恰好指在分界線上時，不計，重轉(zhuǎn)），

則記錄的兩個數(shù)字都是正數(shù)的概率為（）

6.一個盒子裝有除顏色外其它均相同的2個紅球和3個白球，現(xiàn)從中任取2個球，則取到的是一個紅球、

一個白球的概率為（）

2233

A.-B.-C.一D.一

53510

7.小紅上學(xué)要經(jīng)過兩個十字路口，每個路口遇到紅、綠燈的機(jī)會都相同，小紅希望上學(xué)時經(jīng)過每個路口

都是綠燈，但實際這樣的機(jī)會是（）

1113

A.—B.-C.~D.-

4324

8.在盒子里放有三張分別寫有整式。+1,67+2,2的卡片，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式

分別作為分子和分母，則能組成分式的概率是（）

1213

A.-B.-C.-D.—

3364

9.在?個不透明的布袋中裝有50個黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗

后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則布袋中白球可能有（）

A.15個B.20個C.30個D.35個

10.下列事件中，是必然事件的為（）

A.3天內(nèi)會下雨

B.打開電視機(jī)，正在播放廣告

C.367人中至少有2人公歷生日相同

D.某婦產(chǎn)醫(yī)院里，下一個出生的嬰兒是女孩

二,填空題（共5小題）

II一個學(xué)習(xí)興趣小組有4名女生，6名男生，現(xiàn)要從這10名學(xué)生中選出一人擔(dān)任組長，則女生當(dāng)選組長

的概率是?

12.一個僅裝有球的不透明布袋里共有4個球（只有編號不同），編號分別為1,2,3,5.從中任意摸出

一個球，記下編號后放回，攪勻，再任意摸出一個球，則兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的概率

是.

13.在一個不透明的布袋中裝有4個白球和〃個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同，若從中隨機(jī)摸出

一個球，摸到白球的概率是，則〃=.

14,如圖，若隨機(jī)閉合開關(guān)Si,S2,S3中的兩個，則只能讓一個燈泡發(fā)光的概率為.

15.如果〃?是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，〃是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，那么關(guān)于x

的一元二次方程A-2-2〃a+〃2=0有實數(shù)根的概率為.

三,解答題（共5小題）

16.紅花中學(xué)現(xiàn)要從甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生中，選派兩位同學(xué)分別作為①號選手和②號選手代

表學(xué)校參加全縣漢字聽寫大賽.

（1）請用樹狀圖或列表法列舉出各種可能選派的結(jié)果；

（2）求恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率.

17.一只不透明的箱子里共有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相同.

（1）從箱子中隨機(jī)摸出?個球是白球的概率是多少？

（2）從箱子中隨機(jī)摸出一個球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球，求兩次摸出的

球都是白球的概率，并畫出樹狀圖.

18.一個不透明的口袋中裝有4個分別標(biāo)有數(shù)字-1,-2,3,4的小球，它們的形狀、大小完全相同.小

紅先從口袋中隨機(jī)摸出一個小球記下數(shù)字為x；小穎在剩下的3個小球中隨機(jī)摸出一個小球記下數(shù)字為

>,?

（1）小紅摸出標(biāo)有數(shù)字3的小球的概率是；

（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由羽），確定的點(diǎn)P（x,y）所有可能的結(jié)果；

（3）若規(guī)定：點(diǎn)P（x,y）在第一象限或第三象限小紅獲勝；點(diǎn)P（x,y）在第二象限或第四象限則小

穎獲勝.靖分別求出兩人獲勝的概率.

19.某中學(xué)積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設(shè)“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以

提升課后服務(wù)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生全面健康發(fā)展為優(yōu)化師資配備，學(xué)校面向七年級參與課后服務(wù)的部分學(xué)生

開展了“你選修哪門課程（要求必須選修一門且只能選修一門）？''的隨機(jī)問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪

制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

請結(jié)合上述信息，解答下列問題：

（1）共有名學(xué)生參與了本次問卷調(diào)查；“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的圓心角是

度；

（2）補(bǔ)全調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計圖；

（3）小剛和小強(qiáng)分別從“禮儀”等五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選

到同一門課程的概率.

調(diào)查結(jié)果的條形統(tǒng)計圖

調(diào)查結(jié)果的扇形統(tǒng)計圖

20.為了解某縣建檔立卡貧困戶對精準(zhǔn)扶貧政策落實的滿意度，現(xiàn)從全縣建檔立卡貧困戶中隨機(jī)抽取了部

分貧困戶進(jìn)行了調(diào)查（把調(diào)查結(jié)果分為四個等級：A級：非常滿意；B級：滿意；。級：基本滿意；。

級：不滿意），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解決下列問題：

精準(zhǔn)扶莖滿意度各

等級戶數(shù)扇形圖

（1）本次抽樣調(diào)查測試的建檔立卡貧困戶的總戶數(shù)是.

（2）圖1中，Na的度數(shù)是,并把圖2條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整.

（3）某縣建檔立卡貧困戶有10000戶，如果全部參加這次滿意度調(diào)查，請估計非常滿意的人數(shù)約為多

少戶？

（4）調(diào)查人員想從5戶建檔立卡貧困戶（分別記為小b,c,d,e）中隨機(jī)選取兩戶，調(diào)查他們對精

準(zhǔn)扶貧政策落實的滿意度，請用列表或畫樹狀圖的方法求出選中貧困戶e的概率.

2026年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之概率（2025年10月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案ACAACCABDC

一.選擇題（共10小題）

1.在一個不透明的袋中裝著3個紅球和1個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，隨機(jī)從袋中摸出2個小球,

兩球恰好是一個黃球和一個紅球的概率為（）

1111

A.-B.-C.-D.—

2346

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩球恰好是一個黃球和一個

紅球的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖得:

/1\/N/1\A\

仃燈黃紅紅黃紅紅黃紅紅紅

???共有12種等可能的結(jié)果，兩球恰好是一個黃球和一個紅球的有6種情況,

???兩球恰好是一個黃球和一個紅球的為：

122

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

2.經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能左轉(zhuǎn)或者右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，則經(jīng)過這個

十字路口的兩輛汽車一輛左轉(zhuǎn)，一輛右轉(zhuǎn)的概率是（）

4421

A.-B.-C.-D.-

7999

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【答案】C

【分析】此題可以采用列表法或樹狀圖求解.可以得到共有9種情況，兩輛汽車輛左轉(zhuǎn)，輛右軌

的有2種情況，根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：畫"樹形圖''列舉這兩輛汽車行駛方向所有可能H勺結(jié)果如圖所示:

左直右左直右左百右

,這兩輛汽車行駛方向共有9種可能的結(jié)果；

由“樹形圖”知，兩輛汽車一輛左轉(zhuǎn)，一輛右轉(zhuǎn)的結(jié)果有2種，且所有結(jié)果的可能性相等，

:.P（兩輛汽車一輛左轉(zhuǎn)，一輛右轉(zhuǎn)）=1.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了樹狀圖法求概率.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖，再由概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比求解.

3.小李與小陳做猜拳游戲，規(guī)定每人每次至少要出一個手指，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)時小李獲勝，

那么，小李獲勝的概率為（）

131241

A.-B.-C.-D.-

2525252

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應(yīng)用.

【答案】A

【分析】畫出樹狀圖，共有25個等可能的結(jié)果，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有13個，即可得

出答案.

【解答】解：畫樹狀圖如圖：

共有25個等可能的結(jié)果，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有13個，

13

??.小李獲勝的概率為至

故選：A.

12345

*****

【點(diǎn)評】本題考查了列表法勺樹狀圖法以及概率公式；根據(jù)題意畫出樹狀圖是解題的關(guān)犍.

4.下列說法中，正確的是（）

A.不可能事件發(fā)生的概率為0

B.隨機(jī)事件發(fā)生的概率為:

C.概率很小的事件不可能發(fā)生

D.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)一定為50次

【考點(diǎn)】概率的意義.

【答案】A

【分析】根據(jù)概率的意義和必然發(fā)生的事件的概率?（4）=1、不可能發(fā)生事件的概率尸（A）=0對4、

B、C進(jìn)行判定；根據(jù)頻率與概率的區(qū)別對。進(jìn)行判定.

【解答】解：A、不可能事件發(fā)生的概率為0,所以A選項正確；

從隨機(jī)事件發(fā)生的概率在。與1之間，所以3選項錯誤；

C、概率很小的事件不是不可能發(fā)生，而是發(fā)生的機(jī)會較小，所以C.選項錯誤；

。、投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)可能為50次，所以。選項錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了概率的意義：一般地，在大量重復(fù)實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率〃格會穩(wěn)定在某

個常數(shù)〃附近，那么這個常數(shù)〃就叫做事件A的概率，記為〃（A）=p；概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)

定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn).必然發(fā)生的事件的概率戶（A）=1；不可能發(fā)生事件的概

率P（A）=0.

5.如圖是一次數(shù)學(xué)活動課制作的一個轉(zhuǎn)盤，盤面被等分成四個扇形區(qū)域，并分別標(biāo)有數(shù)字-1,0,1，2.若

轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)盤停止后記錄指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字（當(dāng)指針恰好指在分界線上時，不計，重轉(zhuǎn)），

則記錄的兩個數(shù)字都是正數(shù)的概率為（）

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【答案】C

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩個數(shù)字都是正數(shù)的情況數(shù),

再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解:畫樹狀圖得:

開始

102-1102-1102-1102-1

???共有16種等可能的結(jié)果，兩個數(shù)字都是正數(shù)的有4種情況,

???兩個數(shù)字都是正數(shù)的概率是：—

164

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，解題時注意:

概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

6.一個盒子裝有除顏色外其它均相同的2個紅球和3個白球，現(xiàn)從中任取2個球，則取到的是一個紅球、

一個白球的概率為（）

2233

A.-B.-C.-D.—

53510

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【答案】C

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與取到的是一個紅球、一個向

球的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖得:

紅紅

/TVz/V

打■白白白紅白白白紅紅白白紅紅白白紅紅白白

；共：疔20種等可能的結(jié)果，取到的是一個紅球、一個白球的有12種情況,

123

???取到的是一個紅球、一個白球的概率為：—

4U。

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.注意此題是不放回實驗.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.小紅上學(xué)要經(jīng)過兩個十字路口，每個路口遇到紅、綠燈的機(jī)會都相同，小紅希望上學(xué)時經(jīng)過每個路口

都是綠燈，但實際這樣的機(jī)會是（)

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【答案】A

【分析】列舉出所有情況，看每個路口都是綠燈的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可.

【解答】解：共4種情況，有I種情況每個路口都是綠燈，所以概率為

4

故選：A.

紅綠

【點(diǎn)評】考查概率的求法；用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比：得到每個路口都是綠

燈的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

8.在盒子里放有三張分別寫有整式。+1,。+2,2的卡片，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式

分別作為分子和分母，則能組成分式的概率是（）

1213

A.-B.-C.-D.-

3364

【考點(diǎn)】概率公式；分式的定義.

【專題】應(yīng)用題.

【答案】B

【分析1列舉出所有情況，看能組成分式的情況占所有情況的多少即為所求的概率.

【解答】解.：分母含有字母的式子是分式，整式。+1,〃+2,2中，抽到。+1,〃+2做分母時組成的都是

分式，共有3x2=6種情況，其中。+1,。+2為分母的情況有4種，所以能組成分式的概率=?=左

o3

故選：B.

【點(diǎn)評】用到的知識點(diǎn)為；概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

9.在一個不透明的布袋中裝有50個黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗

后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則布袋中白球可能有（）

A.15個B.20個C.30個D.35個

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】D

【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系

入手，設(shè)出未知數(shù)列出方程求解.

X

【解答】解：設(shè)袋中有黃球X個，由題意得77=0.3,

50

解得x=15,則白球可能有50?15=35個.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題利用了用大口試臉得到的頻率可以估計事件的概率.關(guān)鍵是利用黃球的概率公式列方程求

解得到黃球的個數(shù).

10.下列事件中，是必然事件的為（）

A.3天內(nèi)會下雨

B.打開電視機(jī)，正在播放廣告

C.367人中至少有2人公歷生日相同

D.某婦產(chǎn)醫(yī)院里，下一個出生的嬰兒是女孩

【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.

【答案】C

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件和必然事件的定義分別進(jìn)行判斷.

【解答】解：A、3天內(nèi)會下雨為隨機(jī)事件，所以4選項錯誤；

8、打開電視機(jī)，正在播放廣告，所以8選項錯誤：

C、367人中至少有2人公歷生日相同是必然事件，所以C選項正確；

。、某婦產(chǎn)醫(yī)院里，下一個出生的嬰兒是女孩是隨機(jī)事件，所以。選項錯誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.事件分

為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，

二,填空題（共5小題）

11.一個學(xué)習(xí)興趣小組有4名女生，6名男生，現(xiàn)要從這10名學(xué)生中選出一人擔(dān)任組長，則女生當(dāng)選組長

的概率是.

【考點(diǎn)】概率公式.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】隨機(jī)事件A的概率P（4）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù);所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，據(jù)此用女生

的人數(shù)除以這個學(xué)習(xí)興趣小組的總?cè)藬?shù)，求出女生當(dāng)選組長的概率是多少即可.

【解答】解：女生當(dāng)選組長的概率是：

42

4*°=而=引

故答案為:|.

【點(diǎn)評】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）隨機(jī)事件4

的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)?所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).（2）P（必然事件）=1.（3）產(chǎn)（不

可能事件）=0.

12,一個僅裝有球的不透明布袋里共有4個球（只有編號不同），編號分別為1,2,3,5.從中任意摸出

一個球，記下編號后放回，攪勻，再任意摸出一個球，則兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的概率是

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，

然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下:

開始

1235

/TV/TVs

1235123512351235

共有16種等情況數(shù)，其中兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的有10種，

105

則兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的概率是77=--

168

故答案為：

【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出小再從中選

出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目"?，求出概率.

13.在一個不透明的布袋中裝有4個白球和〃個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同，若從中隨機(jī)摸出

一個球，摸到白球的概率是；，則〃=8.

3----

【考點(diǎn)】概率公式.

【專題】常規(guī)題型；概率及其應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)白球的概率公式工=:列出方程求解即可.

n+43

【解答】解：不透明的布袋中的球除顏色不同外，其余均相同，共有（〃+4）個球，其中向球4個，

根據(jù)古典型概率公式知：P（白球）=-^=1

解得：〃=8,

故答案為:8.

【點(diǎn)評】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，--般方法為：如果--個事件有〃種可能，而且這些事件的可

能性相同，其中事件4出現(xiàn)〃i種可能，那么事件A的概率P（A）

1

14.如圖，若隨機(jī)閉合開關(guān)Si,S2,S3中的兩個，則只能讓一個燈泡發(fā)光的概率為

-3~

【專題】概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用樹狀圖列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，進(jìn)而求出概率.

【解答】解：用樹狀圖表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有:

第1個第2個

S2不能

s,

/S3能

//S,不能

開始（一s2^Cs

\b3不能

\Vs!能

S2不能

???能讓燈泡發(fā)光的概率：

故答案為：

【點(diǎn)評】考查用樹狀圖或列表法求等可能事件的概率，方法是用樹狀圖或列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的

結(jié)果總數(shù)，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示即可，注意每種情況發(fā)生的可能性相等.

15.如果m是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，〃是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，那么關(guān)于x

3

的一元二次方程/-2〃?x+〃2=o有實數(shù)根的概率為二.

【考點(diǎn)】概率公式；根的判別式.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】從0,1，2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)則共有12種結(jié)果，

且每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會相同，關(guān)丁人的元二次方程』-2〃小十〃2=o有實數(shù)根的條件是：4(〃/-,?)>0,

在上面得到的數(shù)對中共有9個滿足.

【解答】解：從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)則共有：4x3

=12種結(jié)果，

?滿足關(guān)于A的一元二次方程x2-2mx+n2=0有實數(shù)根，則A=(-2m)2-4n2=4(/n2-n2)>0,符

合的有9個，

〃2=O,/i=O；m=1,〃=0；/n=1,n=1；m=2,〃=0；m=2,n=1：m=2,n=2；in—3,n=O：m

=3,n=1；=3,〃=2；

3

???關(guān)于x的一元二次方程/-2〃3+〃2=0有實數(shù)根的概率為；.

4

【點(diǎn)評】本題是概率與一元二次方程的根的判別式相結(jié)合的題目.正確理解列舉法求概率的條件以及一

元二次方程有根的條件是關(guān)鍵.

三,解答題(共5小題)

16.紅花中學(xué)現(xiàn)要從甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生中，選派兩位同學(xué)分別作為①號選手和②號選手代

表學(xué)校參加全縣漢字聽寫大賽.

(1)請用樹狀圖或列表法列舉出各種可能選派的結(jié)果；

(2)求恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】常規(guī)題型.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；

(2)由(1)可求得恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況，然后利用概率公式求解即可求得答

案.

【解答】解：(1)畫樹狀圖得:

開始

甲乙丙丁

/N/N/1\/4\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

則共有12種等可能的結(jié)果;

（2）???恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況，

g2

???恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率為：—

123

【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識

點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

17.一只不透明的箱子里共有3個球，其中2個白球，I個紅球，它們除顏色外均相同.

（1）從箱子中隨機(jī)摸出一個球是白球的概率是多少？

（2）從箱子中隨機(jī)摸出一個球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球，求兩次摸出的

球都是向球的概率，并畫出樹狀圖.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】壓軸題；圖表型.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)概率的意義列式即可；

（2）畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式列式計算即可得解.

【解答】解：（1）???共有3個球，2個白球，

???隨機(jī)摸出一個球是白球的概率為“

（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖如下:

一共有6種等可能的情況，兩次摸出的球都是白球的情況有2種,

所以，P(兩次摸川的坤都是門球)=^=2*

【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

18.一個不透明的口袋中裝有4個分別標(biāo)有數(shù)字?1,-2,3,4的小球，它們的形狀、大小完全相同.小

紅先從口袋中隨機(jī)摸出一個小球記下數(shù)字為x；小穎在剩下的3個小球中隨機(jī)摸出一個小球記下數(shù)字為

>,?

(I)小紅摸出標(biāo)有數(shù)字3的個球的概率是:；

(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由X,)，確定的點(diǎn)。(A-,)，)所有可能的結(jié)果；

(3)若規(guī)定：點(diǎn)P(x,y)在第一象限或第三象限小紅獲勝；點(diǎn)P(x,y)在第二象限或第四象限則小

穎獲勝.請分別求出兩人獲勝的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)直接根據(jù)概率公式求解；

(2)通過列表展示所有12種等可能性的結(jié)果數(shù)；

(3)找出在第一象限或第三象限的結(jié)果數(shù)和第二象限或第四象限的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算兩

人獲勝的概率.

【解答】解：(1)小紅摸出標(biāo)有數(shù)字3的小球的概率是3

4

故答案為3

4

(2)列表如下:

-1-234

-I(-1,-(-I,(-1,

2)3)4)

-2(-2,-(-2,(-2,

1)3)4)

3(3,-1)(3,-2)(3,4)

4(4,-1)(4,-2)(4,3)

(3)從上面的表格可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中點(diǎn)

(x>>')在第一象限或第三象限的結(jié)果有4種，第二象限或第四象限的結(jié)果有8種，

所以小紅獲勝的概率=3=全小穎獲勝的概率=點(diǎn)=*

【點(diǎn)評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出小再從中

選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)H機(jī)，然后根據(jù)概率公式求出事件4或8的概率.

19.某中學(xué)積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設(shè)“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以

提升課后服務(wù)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生全面健康發(fā)展為優(yōu)化師資配備，學(xué)校面向七年級參與課后服務(wù)的部分學(xué)生

開展了“你選修哪門課程（要求必須選修?門且只能選修匚）？”的隨機(jī)問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪

制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

請結(jié)合上述信息，解答下列問題：

（1）共有120名學(xué)生參與了本次問卷調(diào)查；“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的圓心角是99度;

（2）補(bǔ)全調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計圖；

（3）小剛和小強(qiáng)分別從“禮儀，等五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選

到同一門課程的概率.

調(diào)查結(jié)果的條形統(tǒng)計圖

調(diào)查結(jié)果的扇形統(tǒng)計圖

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖.

【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）120,99；

（2）圖形見解析；

1

（3）一.

5

【分析】（1）由選修“禮儀”的學(xué)生人數(shù)除以所占百分比得出參與了本次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，即可解決

問題；

（2）求出選修“廚藝”和“園藝”的學(xué)生人數(shù)，即可解決問題；

（3）畫樹狀圖，共有25種等可能的結(jié)果，其中小剛和小強(qiáng)兩人恰好選到同一門課程的結(jié)果有5種，再

由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）參與了本次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：30?25%=120（名），

則“陶之”在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的圓心角為：360°x蓋=99。，

故答案為：120,99；

（2）條形統(tǒng)計圖中，選修“廚藝”的學(xué)生人數(shù)為：120X募=18（名），

則選修“園藝”的學(xué)生人數(shù)為：120-30-33-18-15=24（名），

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下：

調(diào)查結(jié)果的條形統(tǒng)計圖

（3）把“禮儀”“陶藝”“園藝、廚藝”及“編程”等五門校本課程分別記為A、B、C、D、E,

畫樹狀圖如下:

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

共有25種等可能的結(jié)果，其中小剛和小強(qiáng)兩人恰好選到同?門課程的結(jié)果有5種，

???小剛和小強(qiáng)兩人恰好選到同一門課程的概率為怖=

【點(diǎn)評】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的

列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況

數(shù)之比.

20.為了解某縣建檔立卡貧困戶對精準(zhǔn)扶貧政策落實的滿意度，現(xiàn)從全縣建檔立?卜貧困戶中隨機(jī)抽取了部

分貧困戶進(jìn)行了調(diào)查（把調(diào)查結(jié)果分為四個等級：A級：非常滿意；B級：滿意；。級：基本滿意；。

級：不滿意），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解決下列問題：

精準(zhǔn)扶貧滿意度各

等級戶數(shù)扇形圖

（1）本次抽樣調(diào)查測試的建檔立卡貧困戶的總戶數(shù)是601戶）.

（2）圖1中，Na的度數(shù)是一54。,并把圖2條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整.

（3）某縣建檔立卡貧困戶有10000戶，如果全部參加這次滿意度調(diào)查，請估計非常滿意的人數(shù)約為多

少戶？

（4）調(diào)查人員想從5戶建檔立卡貧困戶（分別記為小b,c,d,e）中隨機(jī)選取兩戶，調(diào)查他們對精

準(zhǔn)扶貧政策落實的滿意度，請用列表或畫樹狀圖的方法求出選中貧困戶e的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖.

【專題】應(yīng)用題；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由3級別戶數(shù)及其對應(yīng)百分比可得答案；

（2）求出入級乂寸應(yīng)百分比可得Na的度數(shù)，再求出。級戶數(shù)即可把圖2條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

（3）利用樣本估計總體思想求解可得；

（4）畫樹狀圖或列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來，利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）由圖表信息可知本次抽樣調(diào)查測試的建檔立卡貧困戶的總戶數(shù)=2"35%=60（戶）

故答案為：60（戶）

q

（2）圖1中，Na的度數(shù)=菰乂360。=54。；C級戶數(shù)為：60-9-21-9=21（戶），

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如圖2所示:

精準(zhǔn)扶貧滿意度各

等級戶數(shù)條形圖

故答案為：54。；

9

（3）估計非常滿意的人數(shù)約為一X10000=1500（戶）；

60

（4）由題可列如下樹狀圖：

開始

選中e的結(jié)果有8種

:.P（選中e）=^=§*

【點(diǎn)評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖以及用列表法或畫樹形圖法求隨機(jī)事件的概率的綜合運(yùn)

用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每

個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

考點(diǎn)卡片

1.分式的定義

A

（I）分式的概念：一般地，如果A,8表示兩個整式，并且8中含有字母，那么式子方叫做分式.

（2）因為0不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0.

（3）分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號，還兼有括

號的作用.

A

（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是三的形式，從本

質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡.

（5）分式是一種表達(dá)形式，如+2是分式，如果形式都不是3的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）

+：x+2）,它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次基表示的某些代數(shù)式如（。+/力

.2,曠1,則為分式，因為a="僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式.

2.根的判別式

利川一元二次方程根的判別式（A=02-40C）判斷方程的根的情況.

一?元二次方程ax1+bx+c=0（d/0）的根與△=tr-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)4>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當(dāng)△=（）時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當(dāng)AVO時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

3.全面調(diào)查與抽樣調(diào)查

1、統(tǒng)計調(diào)查的方法有全面調(diào)查（即普查）和抽樣調(diào)查.

2、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點(diǎn)：①全面調(diào)查收集的到數(shù)據(jù)全面、準(zhǔn)確，但一般花費(fèi)多、耗時長，而且

某些調(diào)查不宜用全面調(diào)查.②抽樣調(diào)查具有花費(fèi)少、省時的特點(diǎn)，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)

系到對總體估計的準(zhǔn)確程度.

3、如何選擇調(diào)查方法要根據(jù)具體情況而定.一般來講：通過普查可以直接得到較為全面、可靠的信息，

但花費(fèi)的時間較長，耗費(fèi)大，且一些調(diào)查項目并不適合普查.其一，調(diào)查者能力有限，不能進(jìn)行普查.如：

個體調(diào)查者無法對全國中小學(xué)生身高情況進(jìn)行普查.其二，調(diào)查過程帶有破壞性.如：調(diào)杳一批燈泡的使

用壽命就只能采取抽樣調(diào)查，而不能將整批燈泡全部用于實驗.其三