第15頁（共15頁）2025-2026學年上學期初中數(shù)學北師大新版九年級期末必刷?？碱}之概率的進一步認識一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?沁源縣期末）物理課上，同學們做“讓小燈泡亮起來”的實驗．“智慧小組”的實驗電路圖如圖所示，其中S1，S2，S3，S4表示電路的開關(guān)，L表示小燈泡．當隨機閉合兩個開關(guān)時，燈泡發(fā)光的概率是（）A．12 B．13 C．14 2．（2025秋?神木市期中）一個不透明的盒子里有“中秋”主題和“國慶”主題的賀卡共30張，這些賀卡的外觀、大小、質(zhì)地完全相同，每次抽卡前先將盒子里的賀卡洗勻，任意抽出一張賀卡記下主題后再放回盒子，通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)，抽到“國慶”主題賀卡的頻率穩(wěn)定在0.4，則估計盒子中“中秋”主題賀卡有（）A．18張 B．12張 C．10張 D．8張3．（2024秋?海曙區(qū)期末）數(shù)學家皮爾遜為了研究概率問題，進行了大量重復拋硬幣試驗，并用頻率來估計概率．當他把一枚硬幣拋擲24000次時，則下列正面朝上的次數(shù)與該實驗結(jié)果比較符合的是（）A．11011 B．12012 C．13013 D．140144．（2025秋?富錦市期中）一個不透明的袋子中有紅球、白球共10個，除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個球，記錄顏色后放回，重復100次，發(fā)現(xiàn)摸到紅球60次，則估計袋中紅球約有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個5．（2024秋?莒南縣期末）如圖，是用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒灥慕Y(jié)果，下面是根據(jù)實驗結(jié)果所作出的四個推斷，其中合理的是（）A．當投擲次數(shù)是1000時，“釘尖向上”的次數(shù)是620 B．當投擲第1000次時，“釘尖向上”的概率是0.620 C．隨著實驗次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率趨近于0.618，故可以估計其概率是0.618 D．若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率一定是0.6206．（2025秋?昌圖縣期中）在學習了“用頻率估計概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計算器進行模擬試驗來探究“8個人中有2個人同月過生日的概率”，他們將試驗中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：試驗次數(shù)50100150200250…“有2個人同月過生日”的次數(shù)4795143191238…“有2個人同月過生日”的頻率0.940.950.9530.9550.952…通過試驗，該小組估計“8個人中有2個人同月過生日”的概率（精確到0.01）大約是（）A．0.94 B．0.95 C．0.96 D．0.977．（2025秋?酒泉期中）為了估計魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者先從魚塘中捕獲30條魚，在每一條魚身上做好標記后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈魚，通過多次重復試驗后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚中有做記號的頻率穩(wěn)定在2.5%左右，則估計魚塘中魚的條數(shù)為（）A．600條 B．1000條 C．1200條 D．2200條8．（2025秋?懷寧縣期中）一個不透明的口袋中裝有10個紅球和若干個黃球，這些球除顏色外都相同，從口袋中隨機摸出1個球記下它的顏色后，放回搖勻，記為一次摸球試驗，經(jīng)過大量試驗發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則口袋中黃球大約有（）個A．15 B．8 C．16 D．18二．填空題（共5小題）9．（2024秋?安?？h期末）一個不透明口袋中有紅色、黃色、藍色玻璃球共200個，小明通過大量摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率為30%，則估計紅球的個數(shù)約為個．10．（2025秋?北鎮(zhèn)市期中）在一個不透明的袋子中裝有若干個紅球和4個白球，這些球除顏色外都相同．搖勻后每次隨機從袋子中摸出一個球，記下顏色后放回袋子中，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中紅球的個數(shù)約為．11．（2025秋?白銀期中）下表記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：移植的棵數(shù)200500800200012000成活的棵數(shù)187446730179010836由此可以估計這種蘋果樹苗移植成活的概率為（精確到0.1）．12．（2025秋?凌海市期中）在一個不透明的盒子中裝有3個紅球和若干個白球，這些球除顏色外均相同，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則這個盒子中大約有個白球．13．（2024秋?花都區(qū)期末）一個不透明的箱子里裝有4個紅球和若干個白球，每個球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的球搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.8，估計箱子里白球的個數(shù)為個．三．解答題（共2小題）14．（2025秋?邯鄲期中）將如圖所示的牌面數(shù)字分別是2，3，4，5的四張撲克牌背面朝上，洗勻后放在桌面上．（1）從中隨機抽出一張牌，牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是；（2）先隨機抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后將該牌放回并重新洗勻，再隨機抽出一張，將牌面數(shù)字作為個位上的數(shù)字，請用畫樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數(shù)恰好是4的倍數(shù)的概率．15．（2025?前郭縣三模）剪紙傳承的視覺形象和造型格式，蘊涵了豐富的文化歷史信息，表達了廣大民眾的社會認知、道德觀念等．剪紙藝術(shù)遺產(chǎn)先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．為體驗和傳承剪紙藝術(shù)，小華利用假期去學習了剪紙藝術(shù)，在老師的幫助下小華剪了如圖所示的“A．鹿鶴同春、B．連年有余、C．龍騰盛世、D．喜鵲登梅”四幅剪紙，他把這四幅剪紙分別裝在四個相同的不透明的袋子里．（B、C是圓形剪紙，A、D不是圓形剪紙）（1）小華從四個袋子中隨機抽取一個，抽到C．龍騰盛世的概率是；（2）小華從四個袋子中隨機抽取一個，不放回，再從剩下的三個袋子中隨機抽取一個，請用畫樹狀圖或列表法，求小華抽到的均是圓形剪紙的概率．

2025-2026學年上學期初中數(shù)學北師大新版九年級期末必刷常考題之概率的進一步認識參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案AABCCBCA一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?沁源縣期末）物理課上，同學們做“讓小燈泡亮起來”的實驗．“智慧小組”的實驗電路圖如圖所示，其中S1，S2，S3，S4表示電路的開關(guān)，L表示小燈泡．當隨機閉合兩個開關(guān)時，燈泡發(fā)光的概率是（）A．12 B．13 C．14 【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】A【分析】列表得出共有12種等可能的結(jié)果，其中燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：S1S2S3S4S1﹣（S1，S2）（S1，S3）（S1，S4）S2（S2，S1）﹣（S2，S3）（S2，S4）S3（S3，S1）（S3，S2）﹣（S3，S4）S4（S4，S1）（S4，S2）（S4，S3）﹣由表可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，∴燈泡發(fā)光的概率為=6故選：A．【點評】此題考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情況，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2025秋?神木市期中）一個不透明的盒子里有“中秋”主題和“國慶”主題的賀卡共30張，這些賀卡的外觀、大小、質(zhì)地完全相同，每次抽卡前先將盒子里的賀卡洗勻，任意抽出一張賀卡記下主題后再放回盒子，通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)，抽到“國慶”主題賀卡的頻率穩(wěn)定在0.4，則估計盒子中“中秋”主題賀卡有（）A．18張 B．12張 C．10張 D．8張【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；運算能力．【答案】A【分析】利用抽到“中秋”主題賀卡的頻率估計抽到“中秋”的概率，再根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)進行計算即可．【解答】解：30×（1﹣0.4）＝18（張），故選：A．【點評】本題考查利用頻率估計概率，掌握頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)是正確解答的關(guān)鍵．3．（2024秋?海曙區(qū)期末）數(shù)學家皮爾遜為了研究概率問題，進行了大量重復拋硬幣試驗，并用頻率來估計概率．當他把一枚硬幣拋擲24000次時，則下列正面朝上的次數(shù)與該實驗結(jié)果比較符合的是（）A．11011 B．12012 C．13013 D．14014【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】B【分析】根據(jù)拋硬幣正面朝上的概率和總拋擲次數(shù)確定答案即可．【解答】解：∵拋擲硬幣實驗中，正面朝上的概率為12∴拋擲硬幣24000次時，正面朝上約為24000×12只有B選項最接近，故選：B．【點評】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的概率．4．（2025秋?富錦市期中）一個不透明的袋子中有紅球、白球共10個，除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個球，記錄顏色后放回，重復100次，發(fā)現(xiàn)摸到紅球60次，則估計袋中紅球約有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，求出摸到紅球的概率，然后根據(jù)概率進行計算即可．【解答】解：∵共試驗100次，其中有60次摸到紅球，∴紅球所占的比例為：60100∴10×35∴袋中紅球的個數(shù)約為6個．故選：C．【點評】本題考查利用頻率估計概率，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．5．（2024秋?莒南縣期末）如圖，是用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒灥慕Y(jié)果，下面是根據(jù)實驗結(jié)果所作出的四個推斷，其中合理的是（）A．當投擲次數(shù)是1000時，“釘尖向上”的次數(shù)是620 B．當投擲第1000次時，“釘尖向上”的概率是0.620 C．隨著實驗次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率趨近于0.618，故可以估計其概率是0.618 D．若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率一定是0.620【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；幾何直觀．【答案】C【分析】根據(jù)圖形和各個選項的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：當投擲次數(shù)是1000時，此次計算機記錄“釘尖向上”的頻率是0.620，故此次次數(shù)約是1000×0.620＝620，選項A符合題意；當投擲次數(shù)是1000時，此時“釘尖向上”的頻率是0.620，但“釘尖向上”的概率不一定是0.620，選項B不合題意；隨著實驗次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“釘尖向上”的概率是0.618．選項C符合題意；若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率可能是0.620，但不一定是0.620，選項D不符合題意．故選：C．【點評】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6．（2025秋?昌圖縣期中）在學習了“用頻率估計概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計算器進行模擬試驗來探究“8個人中有2個人同月過生日的概率”，他們將試驗中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：試驗次數(shù)50100150200250…“有2個人同月過生日”的次數(shù)4795143191238…“有2個人同月過生日”的頻率0.940.950.9530.9550.952…通過試驗，該小組估計“8個人中有2個人同月過生日”的概率（精確到0.01）大約是（）A．0.94 B．0.95 C．0.96 D．0.97【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用．【答案】B【分析】當試驗次數(shù)大量增加時，頻率穩(wěn)定在概率附近，從表格數(shù)據(jù)看，頻率在0.95附近波動，因此估計概率為0.95．【解答】解：根據(jù)題意得：試驗次數(shù)增加時，“有2個人同月過生日”的頻率穩(wěn)定在0.95附近，∴估計該概率為0.95，故選：B．【點評】該題考查了用頻率估計概率，掌握其相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．7．（2025秋?酒泉期中）為了估計魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者先從魚塘中捕獲30條魚，在每一條魚身上做好標記后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈魚，通過多次重復試驗后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚中有做記號的頻率穩(wěn)定在2.5%左右，則估計魚塘中魚的條數(shù)為（）A．600條 B．1000條 C．1200條 D．2200條【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】由題意已知魚塘中有記號的魚所占的比例，用樣本中的魚除以魚塘中有記號的魚所占的比例，即可求得魚的總條數(shù)．【解答】解：30÷2.5%＝1200（條）．答：估計魚塘中魚的條數(shù)為1200條；故選：C．【點評】本題考查統(tǒng)計中用樣本估計總體的思想，熟練掌握并利用樣本總量除以所求量占樣本的比例即可估計總量．8．（2025秋?懷寧縣期中）一個不透明的口袋中裝有10個紅球和若干個黃球，這些球除顏色外都相同，從口袋中隨機摸出1個球記下它的顏色后，放回搖勻，記為一次摸球試驗，經(jīng)過大量試驗發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則口袋中黃球大約有（）個A．15 B．8 C．16 D．18【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用．【答案】A【分析】設(shè)袋子中黃球約有x個，根據(jù)題意可知從袋子中隨機摸出一個紅球的概率為0.4，由此根據(jù)概率公式建立方程求解即可．【解答】解：設(shè)袋子中黃球約有x個，∵通過多次重復試驗發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，∴從袋子中隨機摸出一個紅球的概率為0.4，∴10x解得x＝15，經(jīng)檢驗，x＝15是原方程的解，∴袋子中黃球約有15個，故選：A．【點評】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數(shù)量問題，熟知大量反復試驗下頻率的穩(wěn)定值即概率值是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）9．（2024秋?安?？h期末）一個不透明口袋中有紅色、黃色、藍色玻璃球共200個，小明通過大量摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率為30%，則估計紅球的個數(shù)約為60個．【考點】利用頻率估計概率．【專題】統(tǒng)計與概率；運算能力．【答案】60．【分析】根據(jù)部分的具體數(shù)目＝總體數(shù)目×相應(yīng)頻率直接計算即可求解．【解答】解：估計紅球的個數(shù)約為200×30%＝60個，故答案為：60．【點評】本題考查了利用頻率估計概率，理解實驗次數(shù)較大時，事件發(fā)生的頻率即為事件發(fā)生的概率是解題的關(guān)鍵．10．（2025秋?北鎮(zhèn)市期中）在一個不透明的袋子中裝有若干個紅球和4個白球，這些球除顏色外都相同．搖勻后每次隨機從袋子中摸出一個球，記下顏色后放回袋子中，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中紅球的個數(shù)約為6．【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】6．【分析】先用白球的個數(shù)除以摸到白球的頻率穩(wěn)定值求出球的總個數(shù)，繼而可得答案．【解答】解：∵摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，∴摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，由題意知，袋中球的總個數(shù)約為4÷0.4＝10（個），所以袋子中有紅球10﹣4＝6（個）．故答案為：6．【點評】此題主要考查了利用頻率估計隨機事件的概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．11．（2025秋?白銀期中）下表記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：移植的棵數(shù)200500800200012000成活的棵數(shù)187446730179010836由此可以估計這種蘋果樹苗移植成活的概率為0.9（精確到0.1）．【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】0.9．【分析】利用表格中數(shù)據(jù)估算這種幼樹移植成活率的概率即可得出答案．【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，187200=0.935，446500=0.892，730800=0.9125，∴這種樹苗移植成活的概率穩(wěn)定在0.9左右，故這種蘋果樹苗移植成活的概率為0.9．故答案為：0.9．【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．12．（2025秋?凌海市期中）在一個不透明的盒子中裝有3個紅球和若干個白球，這些球除顏色外均相同，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則這個盒子中大約有12個白球．【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】用紅球個數(shù)除以紅球的頻率求出球的總個數(shù)，繼而可得答案．【解答】解：由題意知，盒子中球的總個數(shù)約為3÷0.2＝15（個），則盒子種白球個數(shù)約為15﹣3＝12（個），故答案為：12．【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．13．（2024秋?花都區(qū)期末）一個不透明的箱子里裝有4個紅球和若干個白球，每個球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的球搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.8，估計箱子里白球的個數(shù)為16個．【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)白球有x個，利用概率公式列出關(guān)于x的分式方程，解分式方程即可求解．【解答】解：∵通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.8，∴發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.8，設(shè)白球的個數(shù)有x個，根據(jù)題意，得：xx+4解得x＝16，經(jīng)檢驗x＝16是分式方程的解，∴估計箱子里白球的個數(shù)為16．故答案為：16．【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，熟知大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）14．（2025秋?邯鄲期中）將如圖所示的牌面數(shù)字分別是2，3，4，5的四張撲克牌背面朝上，洗勻后放在桌面上．（1）從中隨機抽出一張牌，牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是12（2）先隨機抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后將該牌放回并重新洗勻，再隨機抽出一張，將牌面數(shù)字作為個位上的數(shù)字，請用畫樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數(shù)恰好是4的倍數(shù)的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】（1）12（2）14【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率即可．【解答】解：（1）從中隨機抽出一張牌，牌面數(shù)字所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有4種，且它們出現(xiàn)的可能性相等，其中出現(xiàn)偶數(shù)的情況有2種，∴P（牌面是偶數(shù)）=2故答案為：12（2）先隨機抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后將該牌放回并重新洗勻，再隨機抽出一張，將牌面數(shù)字作為個位上的數(shù)字，作樹狀圖如下：由圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中恰好是4的倍數(shù)的為：24，32，44，52，共有4種，∴P(4【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，概率公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求法：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15．（2025?前郭縣三模）剪紙傳承的視覺形象和造型格式，蘊涵了豐富的文化歷史信息，表達了廣大民眾的社會認知、道德觀念等．剪紙藝術(shù)遺產(chǎn)先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．為體驗和傳承剪紙藝術(shù)，小華利用假期去學習了剪紙藝術(shù)，在老師的幫助下小華剪了如圖所示的“A．鹿鶴同春、B．連年有余、C．龍騰盛世、D．喜鵲登梅”四幅剪紙，他把這四幅剪紙分別裝在四個相同的不透明的袋子里．（B、C是圓形剪紙，A、D不是圓形剪紙）（1）小華從四個袋子中隨機抽取一個，抽到C．