第2課時(shí)簡(jiǎn)單的三角恒等變換

考點(diǎn)探究由題型突破

考點(diǎn)EI

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

fsin(2。+￡)

僅。化簡(jiǎn)：⑴"2cos(。+夕)；

【解】⑴原式>二-si-n--(-2-a--+-位---—--2-s-in--a-c-o-s--(-a-+-工夕)

sin[a+(a+夕)]—2sinacos(cc+4)

sina

sinacos(a+夕)+cosasin(a+￡)—2sinacos(a+￡)

sina

cosasin(a+6)-sinacos(a+￡)

sina

sin[(Q+P)一a]sin0

sinasina

a.a\/a\

cos2sin2.sinT

,sina2

(2)原式=1I?

.aacosaa

sin2coscos

2AV

必.Ma...a

cos~5—siir^cosacos5+sinasm5

.aaa

sin1cos2cos?cos2

a

ccos5個(gè)

2cosa22

sinaasina

cosacos5

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則

一看角二通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行

-"合理的拆分，從而正確使用公式

三

看二看二看函數(shù)名稱之問的差異，從而確定使用

原函數(shù)名標(biāo)?的公式，常見的有“切化弦”

則

:分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見

I的有“遇到分式要通分”“整式因式分

場(chǎng)和忖與解”“二次式配方”等

ra跟蹤訓(xùn)練

sin(18()。+2。)cos2a

1.等于（

1+cos2acos(900+a))

A.—sinaB.—cosa

C.sinu.D.cosa.

解析：選口?原式

—2sinacosacos2?

=~7:=cosa.

2cos~a(—sma)

2.(一題多解)化簡(jiǎn)：sin2asin2^+cos2acos2//—^cos2acos2/i.

解：方法一（從“角”入手，化復(fù)角為單角）:

原式=sin%sin2￡+cos%cos%一2a~l)(2cos2^-1)

=sin2asin2^—cos2?cos2^+cos%+cos2/?一；

=sin%sin2夕+cos2(zsin%+cos%-；

=sin2^+cos2/7-2=1-2=2,

方法二（從“名”入手，化異名為同名）:

原式=sin%sin2/?+(l—sin%)cos2,—geos2acos20

=cos2/^-sin2a(cos2/^—sin2/^)—^cos2acos24

=cos2^—sin2acos2/?—/cos2acos24

=cos%—cos2^fsin2a+^cos2a

1+cos201cos2￡=g.

22

考點(diǎn)2

三角函數(shù)式的求值

角度一給角求值

2cos10°—2v5cos(-100°)

筋②計(jì)算

71-sin10°

2cos100-2V3cos(-100°)

【解析】

yj1—sin10°

2cos10°+2V3sin10°

yj1-sin10°

4(\cos10。+坐sin10°l.

[22)4cos50。

^/l-2sin5°cos5°-cos5°-sin5°

=4cos500

V2cos50°Y

【答案】2^2

給角求值問題的解題策略

在三角函數(shù)的給角求值問題中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角與特殊

角總有一定關(guān)系.

［基本思路］觀察所給角與特殊角之間的關(guān)系，利用和、差、倍角公式等將

非特殊角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為：

g)—特殊角的三角函數(shù)值；

正、負(fù)相消的項(xiàng)和特殊角為三角函數(shù)值；

倉(cāng)—可約分的項(xiàng)和帶殊角的三備函數(shù)值等.

角度二給值求值

醐3］(1)(2020且仄巴蜀中學(xué)廟考適應(yīng)性月考)己知，5sina+cosa=半，則

B?18

88

c--

9D.9

始邊為X軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓。的交點(diǎn)分別為P,Q.已知點(diǎn)P的橫坐

標(biāo)為平，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為唔，則加一用的值為.

【解析】方法一：由已知可知cosa=4^,sin4=中￡

又a,￡為銳角，所以sina=^^~rcos夕

2

因此cos2a=2cosa-1=1,sin2a=2sinacosa=^~^f

所以sin(2a-^)=sin2acos夕一cos2asin夕=羋義居一;乂嚕=坐

因?yàn)閍為銳角，所以0<2。<兀.

7T

又cos2a>0,所以0V2aV/,

rrjr

又尸為銳角，所以一5<2a一

又sin(2a—￡)=彳,所以2a—￡=].

方法二：同方法一得，cossina=^^~.

因?yàn)閍,￡為銳角，所以a—￡￡(一熱，稱.

V21132^73^3^21

所以sin(?—^)=sinacos/?—cos?sinp=

714714-14,

所以sin(a一尸)>0,故a—￡￡(0,2

故cos(a—p)=^/l—sin2(?—/?)=

14

又a￡(0,2

,所以2a—￡=Q+(。一￡)￡((),71).

所以cos(2?—p)=cos[a+(a-fi)]=cosacos(a—/?)—sinasin(a—/?)=~

、,5巾回、]

14714~2'

所以2a—￡=5.

【答案】I

儂窗留

給值求角的原則

已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù);

若角的范圍是(0,選正、余弦皆可；若角的戒圍是(0,兀)，選余弦較好；若

角的范圍為(甘，外，選正弦較好.

跟蹤訓(xùn)練:

1.已知tan(a+：)=；，且a為第二象限角，若夕=去則§皿。一24)8$2八一

cos(?—2i9)sin2夕=()

33

--

A.-5B.5

解析：選D.tan(a+[)=沖魯”=1，所以tana=一,，又a為第二象限角，

\4，1—tana74

4

所以cosa=—7,所以sin?-2份-cos2/?—cos?-2夕)sin24=sin(a—4,6)=

4

選

故D

卬

2.(2()20?江西省分宜中學(xué)、玉山一中等九校4月模擬)已知銳角a的終邊.上

一點(diǎn)P(sin4()。，1+cos40°),則銳角a=()

A.80°B.70°

C.20°D.10°

解析：選B.由題意可知sin40°>0.1+cos40°>0,OP的斜率tana=

1+cos4001+2COS220°—1....

sin40°=2sin20°cos20°=tan70<>,由"為說南，可知a為70。.故1Z選B.

3.已知tan(a+：)=且一,VGV0,則2sin2a+sin2a

=()

A.-坐

5D.一10

jVibD*

c.10

斛析：選.A.因r為,頡(1+?第二ta^n^a研+二1己I所以tancc=-I，

因?yàn)閠an4=煞=一不si/a+cos2a=1,。＜一去°

—迎

所以

sina=―10-

2sin2a+sin2a2sina(sin?+cosa)

所以

=4sina(sinw+cosa)=2rn(-(\[w]

V2(sin?+cos?)^，=2啦X(—

=一攣故選A.

—知能提升?分層演練｝

[A級(jí)基礎(chǔ)練]

1.(多選)下列各式的值等于坐的是()

A.2sin67.5°cos67.5°B.2cos哈—1

2tan22.5。

C.l-2sin215°D，l-tan222.5°

解析：選BC.選項(xiàng)A,2sin67.5°cos67.50=sin135。=學(xué).選項(xiàng)B,2cos哈一1

=cos尹當(dāng)選項(xiàng)C,l-2sin215O=cos30。=當(dāng)選項(xiàng)D,需募=tan45。

=1.故選BC.

,兀

4tanp,

2.計(jì)算：----)

Stan2^—3

2^32s

A.

33

2s

D.

J99

22

兀

an一-X

解析：選D.原式=?63V3-

3.5lan((z+80o)=4sin420°,則tan(a+20。)的值為()

A—mB基

A-5比5

C近Dg

解析：選D.由lan(a+80°)=4sin420°=4sin60。=2小，得tan(a+20°)=lan[(a

.tan(a+80°)—tan60°2\(3—y[3小

o==

+80°)-60°]=1+tan(a+80°)tan601+2^3X^37?故二D.

4.若2\=小sin26,則sin20=()

cos(/+ej

A-3B-3

C--3D--3

3c,紅，A2(cos2^—sin2^)(-.

解析：選C.由越感知c°s。-sin。=<=20,

所以2(cos8+sinB)=小sin2仇

則4(1+sin2〃)=3sir?20,

2

解得sin20=—1或sin20=2(舍去).

5.己知角。的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在a

的始邊上有一點(diǎn)4,終邊上有一點(diǎn)8(一〃z,2/n)(/n>0),滿足|。川=|0同，若NQ4B

sin26>+2sin26>

=仇則)

1+cos20

A-2B.2

C.4D.1

解析：選D.因?yàn)镚的終邊上有一點(diǎn)8(—m,2〃7)(〃Z>0),所以tana=-2.由

三角形內(nèi)角和定理得。+2夕=兀,所以lan20=tan(;r—a)=_iana=2,即司可

sin20+2sir)2。2sinHeos9+2sin為

=2,整理得lan9+lai?0=l,所以=tan夕+

1+cos202cos%

tai?O=l.故選D.

4s則sin(a+野

6.(202()?全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷)已知cosfa+^j—sina=

5，

_JL1cos150+sin15°

7.化簡(jiǎn):

cos100sin1700)cos15°—sin15°

V5sin1()。-cos10。1+tan15°

解析原式

cos10°sin10°1-tan15°

2sin(10°-30°)tan450+tan15°

=—4tan(45°H-15°)=一4鏡.

|sin200-tan45Panl5。

答案：一4小

8.已知a,夕為銳角，且(1一小tana)(l-3lan0=4,則。+/?=

解析：因?yàn)?1—/tan夕)(1-小tan￡)=4,

所以1一小(tan?+tan/?)+3tan“tan4=4,

即一小(tana+tan夕)=3—3tanatan/，

則tana+tan/=一小(1-tanala”),

tana+tan/?—#(1—lanala”)

則tan(a+￡)==~y[3.

1—tanwtanp1—tan?tanp

因?yàn)閍,4為銳角，所以O(shè)Va+SV兀，則a+4=￡.

J

答案:y

若，冗,蚱(

9.己知tana=-cos￡=a0,求tan(a+/?)的值,

5'

并求出a+4的值.

解：由cos￡=康,￡￡(09

2R

得,tan6=2.

tana+tan￡

所以tan(a+/0=

1-tanatanB

2

-

3

兀

所以a+片學(xué)5

10.已知sina+cosa￡(0,?助-泊，昨停,9

⑴求sin2a和tan2a的值;

⑵求cos(a+2￡)的值.

9

解：⑴由題意得(sina+cosa)2=4,

J

94

即1+sin2a=g,所以sin2a=亍

又2a￡(0,5),所以cos2。=yj1—sin22?=1,

sin2a4

所以tan2a=

cos2a13

兀

4一

z34

r

又sI*nb-=---

Mv55

于是sin2（尸一^尸20間夕―?85|/一］尸玄.

（424

又sin2^—l=~cos2在，所以cos2尸一三,

又2夕若，，，所以加24=看

,1+cosla4，八TC\

又cosr=2=彳a￡(°，引，

所以cosa=半，sin。=殺

所以cos(a+2/?)=cosacos24一sinasin24

11小

__25■

［B級(jí)綜合練］

11.設(shè)一40,勤同0,習(xí)，且tan用則（

)

兀

A.3a-/?=]B.2a一夕=5

C.30+夕=3D.2Q+6=^

解析：選B.因?yàn)閠an所以S""='即sinacos0=cosa

cosp*cosacosp，產(chǎn)

+cosasin夕，所以sinacos夕一cosasinB=cosa,即sin(a-P)=sin(^-al,又a,

“均為銳角，且尸sinx在(一去習(xí)上單調(diào)遞增，所以。一￡=尹a,即2a一夕

=?,故選B.

12.已知0V夕VaV，，cos(a一份=斗^,sin(?+^)=^,則logstan?/?—log小

tana=.

解析：log5tan%—log小tan?=21og5tan21og5tana

=21og5黑g.因?yàn)?</?<a<^,所以0<a—

又因?yàn)閏os(a—￡)=斗N所以sin(?—^)=T,

JJ

因?yàn)閟in((z4-//)=y,所以sin(a+^)=sinacos夕+cos?sin6=；,

又因?yàn)閟in(a-/?)=sinacos/?—cosasin4=；,

“f上,上?八5在上,a—.介1,cosasinB1

所以兩式相加付=不，兩式相減付￡=方，則ia立=不

sinacosp1幺cosasm1幺7si-n--c--t-c-o-s。o

分子、分母同時(shí)除以cos"cosa,得曇駛=1，

i<in(ZD

所以logstan%-log^tana=21og5：：：，=-2.

答案：一2

13.如圖，有一塊以點(diǎn)。為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個(gè)

內(nèi)接矩形A5CO開辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn)6,C落

在半圓的圓周上.已知半圓的半徑長(zhǎng)為20m,如何選擇關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱的點(diǎn)4,D

的位置，可以使矩形力8co的面積最大，最大值是多少？

解：連接OB(圖略)，設(shè)NAO3=9,

則A8=O3sin9=2()sin仇OA=O氏os9=20cos仇且。e(0,習(xí).

因?yàn)锳,。關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，

所以AO=2OA="cos6.

設(shè)矩形A8CO的面積為S,則

S=AZ)A8=40cos^-20sin^=400sin23.

因?yàn)橄Α?0,胃，所以當(dāng)sin20=l,

即。=割寸，Smax=400(m2).

此時(shí)40=。。=

故當(dāng)點(diǎn)4,。到隨心。的距離為16及m時(shí)，矩形ABC。的面積最大，其

最大面積是400m2.

14.已知函數(shù)./W=Acos《

犬￡R,且

（1）求A的值;

_30Q

(2)設(shè)a,^e|0,]-17,=5，求cos(a+4)的值.

坐4=啦，所以4=2.

解：⑴因?yàn)榫忠?|_ZL_L51_A匹兀_

一Acosl12'6)—AcoS1q4一

2cos[?+^+^j=2cosfc(+兀^j=-2sina=—30

⑵由

217'

得sina=羽，又0,

2，

所以cosa=

7C8

由=2cos(￡—d+a)=2cosS=q,

得cos8=之,又尸￡[0,手,所以sin夕=|,

所以cos(a+/?)=cosacos^-sinasin夕

_A4__153__13

-17XV517XV5-85-

[C級(jí)創(chuàng)新練]

15.（2020?河南、江