專題09點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系

全國各地競賽真題試題匯編

1.（2024九年級下?湖北黃岡?競賽）如圖，已知銳角44BC的頂點(diǎn)A到垂心〃的距離等于它的外接圓半徑,

C.60°D.64°

【答案】C

【分析KU力BC外接圓的半徑為R,連接80并延長交。。于點(diǎn)D,連接。C,AD,CD,CH.先證明ZBCD=90°,

根據(jù)垂線定義證明人HIICD,AD||CH,進(jìn)而證明四邊形力HC7）是平行四邊形，CO=A”=R,進(jìn)而證明aOCD

是等邊三角形，結(jié)合圓周角定理即可求出N84C=乙BDC=60°.

【詳解】解：如圖，設(shè)△力8c外接圓的半徑為R,連接8。并延長交。。于點(diǎn)。，連接0C,4D,CD,CH.

團(tuán)點(diǎn)。是△ABC的外心,

團(tuán)8D是。。的直徑，

0ZFCD=90°,

0CD1BC,

團(tuán)〃是AHBC的垂心，

勖1"1BC,

團(tuán)4HIICD,

同理：ADIICH,

回四邊形力HC。是平行四邊形，

團(tuán)CD=AH=Rt

團(tuán)點(diǎn)。是448c外接圓的圓心,

WC=OD=R,

團(tuán)0。=OD=CD=R,

團(tuán)△OCT）是等邊三角形，

回NBDC=60°,

^BAC=乙BDC=60°.

故選：C

2.（2024九年級下?湖南湘西?競賽）一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是12cm,若

^ACB=60°,則劣弧AB的長是cm.

【答案】87r

【分析】本題考查了弧長公式和切線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

利用切線的性質(zhì)和弧長公式解題艮J可.

【詳解】解：由題意得：CA和CB分別與O0相切于點(diǎn)4和點(diǎn)B,

團(tuán)0A1CA,OB1CB,

^Z-OAC=乙OBC=90°,

EUACB=60°,

團(tuán)4108=120°,

回劣弧的長為：12Qnx12=8n-cm.

180

故答案為：87r.

3.（2023九年級?北京朝陽?競賽）已知四邊形力BCD內(nèi)接于一圓.若乙BAD=Z.ABC=60°,AB=3,CD=1,

則該圓半徑的長為.

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理.，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，分別取AB、CD的中點(diǎn)尸、E,連段EF,過D作

DG148于G,過C作CH1AB于H,設(shè)圓心為0,連接。40D,OF,0E,由圓內(nèi)接四邊形和=乙ABC=

60。得到乙BCD=Z.ADC=120°,則48||。0,再根據(jù)垂徑定理得到OE1CD,OF1AB,AF=BF=-AB=

22

DE=CE=-CD=-,即可得到。E和OF是同一條直線，即。在EF上，再由四邊形CDGH、CEFH、DEG"都

22

是矩形，得到GF=FH=DE=CE=$GD=EF=CH=V3MG=BH=1,設(shè)OF=%,半徑。A=OD=r,

則OE=EF-OF=百一，在RtA/1O尸和RtaEOD中，由勾股定理得到N=（鄉(xiāng)之+（百_=（§2.,，

解方程計(jì)算即可.

【詳解】解：分別取為8、C。的中點(diǎn)尸、E,連接￡尸，過。作OG14?于G,過C作CHJ.A8于H,設(shè)圓心為0,連

接04,OD,OF,0E,

B

回四邊形4BCD內(nèi)接于一圓.

^BAD+乙BCD=180°,Z.ABC+LADC=180°,

團(tuán)乙BAD=Z.ABC=60°,

WCD=/.ADC=120°,

^ABC+乙BCD=180°,

團(tuán)481|CD,

回48、CD的中點(diǎn)尸、E,

WE1CD,OFLAB,AF=BF=^ABDE=CE=^CD=^,

2222

^ABWCD,

團(tuán)OE1AB,

(30E和。尸是同一條直線，即。在EF上，

WG1AB,CH1AB,ABKD,0E1AB,

團(tuán)四邊形CDGH、CEFH、OEG尸都是矩形，

回GF=FH=DE=CE=-,GD=EF=CH,

2

^FA-FG=FB-FH=---=1,

22

^AG=BH=1,

團(tuán)NB40=Z,ABC=60°,

團(tuán)乙IDG=30°,

^AD=2AG=2,DG=>JAD2-AG2=百，

^GD=EF=CH=W，

設(shè)OF=%,半徑o/=oo=r,則OE=EF-OW=g-x,

RtA40F中，AF2+OF2=OA2,則4-x2=r2,

RtAEOD中，DE2+OE2=OD2,則??+（百一％p=、，

0r2=Q）2+（V5-無>=（I?+x2,

解得》=當(dāng)，

6

吁皮工=腐而百

故答案為：”.

?5

4.（2023九年級上?浙江寧波?競賽）如圖，在。0中，48是一條不過圓心。的弦，點(diǎn)C,D是質(zhì)的三等分點(diǎn)，

直徑CE交4B于點(diǎn)F,連結(jié)4D交C/于點(diǎn)G,連結(jié)4C,過點(diǎn)C作CE的垂線交84的延長線于點(diǎn)H.連結(jié)BC交于

點(diǎn)、N,若。0的半徑為5,4〃=45,則△/1NB的周長為.

【答案】萼+g

【分析】根據(jù)題意可求得覺=第=的，再由勾股定理及相似三角形的性質(zhì)即可求解.

回點(diǎn)C,。是腦的三等分點(diǎn)，

麗=6=孫

0C￡1AD,Z.FAG=LCAG,

又叵C〃_LCE,

團(tuán)NAGF=^AGC=乙HCF=90°,

團(tuán)4。IIHC,

0J4G=AG,

AGCWAAGF9

MG=CG,

①4。||HC,

喂吟=】

:.AH=AF,

???ZWCF=90°,

:.AC=AH=AF=同,

設(shè)CG二X,則FG=x,OG=5-x.

由勾股定理得4G2=力。2—。62=4C2-CG2,即25—（5—％）2=10-x2,

解得％=1，

:.AG=7sL-42=3,AD=6,

?：CD=敬,

:.Z.DAC=乙BCD,

vZ.CDN=Z.ADC,

CDN5匕ADC,

，”的

CDAD

.CD25...13

AROn=—^=大AN=—.

AD33

'：AD=LDAC,乙ABN=^ADC,

:.AANBACD,

C

^NB=C&ACDx梨=（6+2V10）X康=手+y-

即A4VB的周長為誓+g.

故答案為：誓+g.

5.（2024九年級上?江蘇南京?競賽）如圖，兩個(gè)同心圓O,小圓的半徑為1,大圓的半徑為遮，點(diǎn)力為

小圓上的動點(diǎn)，P、Q是大圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，且4Pl4Q,貝IJPQ的長的最大值是.

【答案】4

【詳解】解：如圖，取PQ中點(diǎn)M,連接OM,AM,OP,0A,則OP=花，OA=1,PM=^PQ,

回1PQ,

團(tuán)OP?=PM2+OM2,

團(tuán)（、虧J=gPQ）2+OM2,

回當(dāng)OM最小時(shí)，PQ最大，

SAP1AQ,PQ中點(diǎn)M,

（3AM=：PQ，

回力仞-OA<OM<AM+OA,

畤PQ-l<OM<^PQ+1,

團(tuán)當(dāng)力、。、M三點(diǎn)共線時(shí)，OM=：PQ—1最小，此時(shí)PQ最大，

0（^）2=QPQ）2+QP（2-I）2,

解得PQ=4或PQ=-2（舍去），

故答案為：4.

6.（2023九年級下?湖南湘西?競賽;如圖,4B是。。的直徑,C是。0上的一個(gè)動點(diǎn)，延長48至P,使BP=08,

8。垂直于弦8C,垂足為點(diǎn)8,點(diǎn)。在PC上.

⑴當(dāng)PC與。。相切時(shí)，求乙PC8的度數(shù)；

⑵當(dāng)D在PC上運(yùn)動時(shí)，3的比值是否為定值？若為定值，請求出定值；若不為定值，請說明理由.

O￡z

⑶設(shè)tanz_PC8=%,tanQzPOC）=y,求y與久之間的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】⑴30。

⑵為定值點(diǎn)理由見解析

⑶日

【分析】小題考查了直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理的推論、相似三角形的性質(zhì)、正切的定義，熟練掌握

以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)當(dāng)PC是。。的切線時(shí)，則0C1PC,再利用直角三角形斜力的中線等于斜邊的一半，得出8c=8P,

即可由等腰三角形的判定定理得出結(jié)論：

(2)連接AC,是。。的直徑，LACB=90°,證明4CII8D,△PDB⑦△PCA,進(jìn)而即可求解；

(3)連接AC,根據(jù)題意得出tan,力=能證明ABP/龍△4PC,因?yàn)?P=。力+。8+8P=38尸，代入即

可求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)PC是。。的切線時(shí)，則。C_LPC,

12UOCP=90°,

團(tuán)BP=OB,

⑦BC=BP,OP=2OB=2OC,

0ZP=Z-PCB,

0sinzP=-=

OP2

團(tuán)/PCB=ZP=30°：

(2)解：為定值5理由如下：

團(tuán)力B是0。的直徑,

^ACB=90°,

團(tuán)BD1BC,

血4cliBD,

0APDS0APCA,

率=竺，

PCPA

團(tuán)BP=OB,

則P4=3BPf

(3)解:

團(tuán)48是。。的直徑,

^z.ACB=90°,

BC

ratanz/l=彳，

團(tuán)/。=-^P0C,

2

0y=tanQzPOc)=隼,

團(tuán)BD1BC,

0ZCBD=90°,

0x=tanz.PCB=器，

cBCBDBD

r=—，

0XAJ=-A-C----B-C-AC

包乙CBD=Z.ACB=90°,

以4cliBD,

0ABPD^APC,

的",

ACAP

團(tuán)BP=OB=OA,

BAP=OA-^-OB+BP=3BP,

回邛=p

7.(2023九年級?江西贛州?競賽j如圖所不，直線I的解析式為y=：%-3,并且與％軸、y軸分別相交十點(diǎn)

A.B.

(1)求4、8兩點(diǎn)的坐標(biāo).

⑵一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為1的圓，以0.4個(gè)單位/每秒的速度向％軸正方向運(yùn)動，問什么時(shí)刻該圓與

直線，相切.

⑶在題(2)中，若在圓開始運(yùn)動的同時(shí)，一動點(diǎn)尸從〃點(diǎn)出發(fā)，沿B4方向以0.5個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動,

問在整個(gè)運(yùn)動的過程中，點(diǎn)P在動圓的圓面(圓上和圓的內(nèi)部)上一共運(yùn)動了多少時(shí)間？

【答案】⑴4(4,0),8(0,-3)

⑵I寸間為g秒和泉秒

噌秒

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到圓的距離，一次函數(shù)的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解決這類問

題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

(1)分別令y=0；x=0,即可求出4、8的坐標(biāo)；

(2)可設(shè)動圓的圓心在C處時(shí)與直線I相切，設(shè)切點(diǎn)為D,連接CD,貝IJCD1/1D,CD=1,得到Rt△力CD?

RtAMO,利用相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比，可得*即;=呼，求出AC的值，即可得到此時(shí)OC

BOAB35

的值，利用UC的長度結(jié)合速度即可求出時(shí)間：根據(jù)對稱性，圓C還可能在直線/的右側(cè)，與直線!相切，此時(shí)

0C=4+J=?,t=-=Y；

33v3-0-4=-6

(3)可設(shè)在t秒時(shí)，動圓的圓心在F點(diǎn)處，動點(diǎn)在P處，此時(shí)。F=0.43BP=0.5t,F點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.4￡,0),

連接PF,當(dāng)PF=1時(shí)，P點(diǎn)在動圓上，當(dāng)0WPFV1時(shí)，P點(diǎn)在動圓內(nèi)，而當(dāng)PF=1時(shí)，由對稱性可知，有

兩種情況：①當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，PF=-(0.3t-3)=l,解之可得t的值，②當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，PF=

0.31—3=1,解之得t的另一個(gè)值，進(jìn)而可得到當(dāng)日工￡工三時(shí)，0WPFW1,并且此時(shí)點(diǎn)P在動圓的圓面

上，所經(jīng)過的時(shí)間為與一日=零

【詳解】(1)解：在y=：x-3中，令x=0,得y=-3：

令),=0,得％=4,

故得4、8兩的坐標(biāo)為4(4,0),5(0,-3)；

(2)解：若動圓的圓心在。處時(shí)與直線I相切，設(shè)切點(diǎn)為D,如圖所示，連接CO,則CD140.

Z.CAD=Z.BAO,Z.CDA=/.BOA=90°,

Rt△ACD?ABO,

...絲="，即工=任，

EOAB35

則

此時(shí)OC=4-1=p

t=3=g+64=/(秒).

根據(jù)對稱性，圓。還可能在直線，的右側(cè)，與直線，相切,

此時(shí)OC=4+|=y.

t=-=—4-0.4=—(秒).

V367

綜上，自秒時(shí)或千秒時(shí)該圓與直線!相切；

OO

(3)解：設(shè)在￡秒時(shí)，動圓的圓心在F點(diǎn)處，動點(diǎn)在P處，此時(shí)。尸=0.4￡,BP=0.5t,尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.4t,0),

連接PF，

.竺_絲

“而一~BA"

Z.FAP=Z-OAB,

FAPOAB

???PF1OA,

P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為04t,

???尸點(diǎn)在直線4B上，

???P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.3￡-3,

可見：當(dāng)尸尸=1時(shí)，P點(diǎn)在動圓上，當(dāng)04PFVI時(shí)，P點(diǎn)在動圓內(nèi).

當(dāng)P尸=1時(shí)，由對稱性可知，有兩種情況：

①當(dāng)P點(diǎn)在%軸下方時(shí)，PF=-(0.3t-3)=l,解之得：￡=g；

②當(dāng)P點(diǎn)在％軸上方時(shí)，PF=0.3t-3=1,解之得：￡=弓.

...當(dāng)時(shí)日工￡工日時(shí)，OWPRWI,此時(shí)點(diǎn)P在動圓的圓面上，所經(jīng)過的時(shí)間為弓一g=

8.(2023九年級下?福建龍巖?競賽)如圖，為。。的直徑，四邊形A8C。內(nèi)接丁。。，BD交丁點(diǎn)、E,。。的

切線4F交80的延長線于點(diǎn)心且匕C4O=乙ABD.

(2)若AB=4,BF=5,求sin4BDC的值.

【答案】(1)詳見解析

【分析】(1)利用同弧所對的圓周角相等可得乙48。二乙4CD,由乙。4。=得240)=/&4D,根據(jù)

等角對等邊可得結(jié)論；

(2)先證明NE4D=乙4BC,/-CAD=Z-FAD,由ASA證明△ADE三△4。/,^AE=AF,ED=FD；再求

力。='BE=%,再證明△8EC?△AED得8C=等利用4BDC=/84C可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：在。0中，回乙48。與乙4c。都是心所對的圓周角，

^Z.ABD=Z.ACD,

0ZMD=乙ABD,

0Z/1CD=Z.CAD.

^AD=CD.

(2)解：①4/是O。的切線，48是。。的直徑，

^LFAB=Z.ACB=Z.ADB=Z.ADF=90°.

0ZF/1D+乙BAD=90°,乙ABD+乙BAD=90°,

0ZF/1D=Z-ABD.

^Z.ABD=乙CAD,

^CAD=乙FAD.

mAD=AD

^ADE三△4。尸(ASA),

^AE=AF,ED=FD.

在Rtz\B4F中，^AB=4,BF=5,

^AF=3,即4E=3.

^AB-AF=^BF-AD,

(MD=y.

在Rt△力DP中，F(xiàn)D=>JAF2-AD2=

q7

團(tuán)B￡=5-gx2=；.

DD

(21ZFFC=Z/1FD,B.Z.ECB=/.EDA,

!?!△BEC—△AED,

嚶嗡，即8C=,.

團(tuán)乙BDC與乙區(qū)4c都是此所對的圓周角，

0ZFDC=Z.BAC.

在Rt△4C8中，/.ACB=90°,

^sin^BAC=-=-,即sin^BOC=

AB2525

9.(2024九年級卜.?江蘇無錫?競賽)如圖，在RtZk/lBC中，4B4c=90。，AC=6,AB=8.點(diǎn)。是BC邊

上一點(diǎn)，且滿足CD:BD=2:3.若點(diǎn)E在4c上運(yùn)動，過點(diǎn)D作DF1DE交AB邊于點(diǎn)E

A

(1)證明：△OEF的形狀不變；

(2)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動的過程中，求邊E/7的中點(diǎn)M的運(yùn)動路徑長.

【答案】(1)證明過程詳見解答

修

''8

【分析】(1)連接40,作。G_L.4c于G,可求得CG和DG長，進(jìn)而得出乙￡4。的正切值，可得出4,F,D,E共

圓，從而得出NOFE=4D4C,進(jìn)一步得出結(jié)論；

(2)以8c所在的直線為％軸，過點(diǎn)。與8c垂直的直線為y軸建立坐標(biāo)系，作EV1BC于V,作尸卬18c于勿，

可得出一△OFIV,從而得出霽二等=案=￡可設(shè)￡V=4k,S=3k,從而得出E(4-3k,4￡),進(jìn)

而得出F坐標(biāo)，從而求得M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)M在一條線段上運(yùn)動，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接力。，作DG_LAC于G,

vDF1DE,

AEDF=90°,

vZ.BAC=90°,

:.Z.BAC+Z.EDF=180°,Z.BAC=乙CGD,

二點(diǎn)4F,D,E共圓,

Z.DFE=乙CAD,

,:乙C=LC,

CDGsbCBA?

CGDCCD

...—=--=--,

ACABBC

CD2

=一,

BD3

CD2

:.—=

BC5

?_C_G—_D_G_—_2

?,C_8_S，

...CG="G若，

4G=AC-CG=6

16

???tanzDFF=tanz.CAD=器=備='

T

團(tuán)AOEF的形狀不變;

(2)解：如圖2,以BC所在的直線為乃軸，以點(diǎn)。為兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)，過點(diǎn)。與BC垂直的直線為y軸建立坐標(biāo)

系，作EV18C于V,作FW18C于W,

Z.FWD=LEVD=90°,

二Z.WFD+LFDW=90°,

vZ.EDF=90°,

Z.FDW+Z.EDV=90°,

???Z.WFD=Z.EDV,

：.LEDV?

FW_IVD_DF_9

DV~EV~DE~8

vZ.BAC=90。,4B=8tAC=6,

二BC=10,

vCD:BD=2:3,

CD=4,BD=6,

???C(4,0),

“cEVAB4

???tanz^CF=-=-=?

.?.設(shè)￡V=4/<,CV=3k,

DV=CD-CV=4-3k,

E(4-3k,4k),

...FW=lDV=^k>DW=lEV=^t

，/(一2一祠，

設(shè)M(”),

2x=4-3k—^k

2y=4k+:9

1,29

無+—,

???y,=----1-212

(3點(diǎn)M運(yùn)動路線是一條線段,

當(dāng)點(diǎn)E在C處時(shí)，k=0,

當(dāng)點(diǎn)在力處時(shí)，作4718c于T,

???8="sinC="嚼=6X3=V

即4k=y,

:.k=9,

rQT不可T

回EF的中點(diǎn)M的運(yùn)動路徑長為：—^―?

10.（2023九年級?浙江寧波?競賽）如圖所示，力B為半圓。的直徑，C在力8延長線上，P是半圓。上的一個(gè)

動點(diǎn)，以PC為底邊作等腰直角三角形PCQ（P、C、Q逆時(shí)針排列），已知48=4,BC=2；

⑴若APOB為正三角形，求QB的長；

（2）求四邊形POCQ面積的最大值.

【答案】（1）1十四；

（2）472+5.

【分析】本題考查了勾股定理、等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握基本知識點(diǎn)并能靈活應(yīng)用是解

答本題的關(guān)鍵.

（1）連接BP、BQ交PC于點(diǎn)、D,AP08為正三角形，aPOQ為等腰直角三角形，利用BQ=+Z）Q計(jì)算即

可；

⑵過點(diǎn)P作PM148交于M點(diǎn)，設(shè)PM=y,M0=，則/+y2=4,則四邊形S四邊形2吶=^POc+5APQC

即可計(jì)算.

【詳解】（1）解：連接BP、BQ交PC于點(diǎn)D,

BP=BC=2,Z-OPC=90°,

APC=273,

???等腰直角三角形PCQ,

???8Q垂直平分尸C,

BD=^OP=1,APOQ為等腰直角三角形,

DQ=PD=-PC=

2

???fi（2=1+V3.

（2）解：過點(diǎn)P作PM148交于時(shí)點(diǎn)，

設(shè)PM=y,M0=x,^lx2+y2=4,

?e?S四邊形POCQ=S“oc+SMQC=^x4xy+i[y2+(x+4)2]=54-2(x+y)<54-4vL

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，四邊形POCQ的面積最大，最大值為5+4企.

11.(2024九年級下?湖北黃岡?競賽)如圖，A/IBC的邊長為Q,00為△力8c的外接圓，點(diǎn)8為柄。的中點(diǎn),

點(diǎn)M為加上一點(diǎn)，連接4M,且44W8=60°,連接8M交AC于D點(diǎn)，過M點(diǎn)作。。的切線交AC延長線于E點(diǎn).

(2)如果8C平分乙E8M；

①用含a的式子表示4M-8E的值;

②求證：士-3=L

=CDCEa

【答案】⑴見解析；

⑵①AM.8E=a2；②專一專=今

【分析】(1)證明△48C是等邊三角形；進(jìn)一步得到乙4C8=LBAC=乙BMC=60°,證明/OM￡=SIDE,

即可得到結(jié)論；

(2)①證明ABCE?MMC,則。=器,得到4M?BE=AC?8C=a2；②證明襄=1⑴.器=M(“).由

AMACBDCDnDAn

(I)(II)得:進(jìn)一步整理即可得到結(jié)論.

CDAu

【詳解】(1)證明：?.?點(diǎn)B為枷的中點(diǎn)，

AB=^C,

???AB=BC.

AB=AB,

:.Z.AMB=Z.ACB=60°.

vAB=BC,Z.ACB=60%

???△48C是等邊三角形；

連接CM.乙MDE=+乙BCA,Z.DME=Z.DMC+Z.EMC,

???EM是O。的切線

￡EMC=乙MBC.

???乙ACB=Z.BAC=乙BMC=60%

:.Z.DME=Z.MDE,

???EM=ED；

(2)①???BC平分"BM,

:.Z.EBC=乙CBM.

???CM=CM,

Z.EBC=乙CBM=/.CAM,

???四邊形力BCM是。。的內(nèi)接四邊形，

Z.ABC4-Z-AMC=180°.

???乙BCE+Z-BCA=180°,月/48c=Z.BCA=60°,

:.Z.AMC=Z.BCE=120°.

vZ.EBC=Z.CAM,

???△BCEAMC,

.BC_BE

：?

AMAC

AM-BE=ACBC=a2；

②；BC平分NEBM,

團(tuán)點(diǎn)C到BE、8。的距離相等,

*3DC_CD_BD

S&3ECCEBE

，些=竺（1）.

BDCD

???Z.EBC=“AM,（ABC=乙ACB=60°,

:.Z.ABD=Z.AEB.

vZ.BAC=Z.BAC>

???△ABDAEB,

譚若⑺?

由⑴⑺得:青=祭

anCECE+ACCEY

即：——CD=--A-B--=-A-B--Fl.

等式兩邊除以CE得：/親

即：2___L=L

CDCEa

12.（2023九年級上?河北邯鄲?競賽）已知上MPN的兩邊分別與圓。相切于點(diǎn)4,B,圓。的半徑為r.

（2）如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動，當(dāng)PC最大時(shí)，要使四邊形4PBe為菱形，乙4PB的度數(shù)應(yīng)為多少？請說明理由.

【答案】⑴50。；

⑵當(dāng)乙力P8=60。時(shí)，四邊形4PBe為菱形，理由見解析.

【分析】（1）連接。力、OB,根據(jù)切線的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理可得乙4。8+乙4P8=180。，然后結(jié)合

已知求得乙4。氏最后根據(jù)圓周角定理即可解答；

（2）連接。小。B,先觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)/4PB=60。時(shí)，四邊形力P8C可能為菱形；然后利用N4PB=60。結(jié)合（1）

的解答過程可得乙4c8=乙4PB=60。，再根據(jù)點(diǎn)C運(yùn)動到PC最大，即PC經(jīng)過圓心：再說明四邊形71PBe為

軸對稱圖形結(jié)合已知條件得到P4=PB=CA=CB,即可得到四邊形4PBe為菱形.

【詳解】（1）解：如圖1,連接04、OB

I3PA,P8為。。的切線，

團(tuán)4P力。=乙PBO=90°,

由乙AOB+乙MPN=180°,

（3ZWPN=80°,

^AOB=180°-乙MPN=100°,

團(tuán)“8=2。8=50。；

M

(2)解.：當(dāng)乙AP3=60。時(shí)，四邊形AP8C為菱形,

理由如下：

如圖2：連接。4、OB

由(1)可知4408+乙4PB=180°,

^APB=60°,

^Z-AOB=120°,

團(tuán)乙1CB=6O0=乙4P8,

回點(diǎn)。運(yùn)動到PC最大，

團(tuán)PC經(jīng)過圓心，

13P機(jī)P8為。。的切線,

回四邊形AP8C為軸對稱圖形，

團(tuán)PA=PB,CA=CB,PC平分4&P8和4力

0Z/1PP="CB=60°,

團(tuán)4APO=乙BPO=Z.ACP=乙BCP=30°,

^PA=PB=CA=CB,

.全國聯(lián)賽真題試題匯編「

1.（2024九年級?全國?競賽）等腰直角三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值為（）.

A.x/2-1B.V2+1C.—D.—

22

【答案】A

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓與外接圓，熟悉直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩

條直角邊的和與斜邊的差的一半；直角三角形外按圓的半徑是斜邊的一半.

設(shè)等腰直角三角形的直角邊是1,則其斜邊是或.根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓半徑是兩條直角邊的和與斜邊

的差的一半，得其內(nèi)切圓半徑；其外接圓半徑是斜邊的一半，得其外接圓半徑，即可求解.

【詳解】解：設(shè)等腰直角三角形的直角邊是1,則其斜邊是企，

團(tuán)等腰直角三角形的內(nèi)切圓半徑是與叵，外接圓半徑是停，

2--

團(tuán)所以它們的比為舌=V2-1.

故選:A.

2.（2024九年級?全國?競賽）下列結(jié)論正確的是（）

A.同一個(gè)平面內(nèi)的三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.三角形三條角平分線的交點(diǎn)是三角形的外心

C.一個(gè)圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形，一個(gè)三角形有無數(shù)個(gè)外接圓D.三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離

相等

【答案】D

【分析】本題考查了圓的有關(guān)的概念,屬于基礎(chǔ)知識,熟記圓的有關(guān)的概念是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)確定

圓的條件及三角形與其外心之間的關(guān)系解答即可.

【詳解】解：同一個(gè)平面不在同一條直線上的三點(diǎn)才能確定一個(gè)圓，所以A錯(cuò)；

三角形三條角平分線的交點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，所以B錯(cuò)；

一個(gè)圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形，但只有一個(gè)外接圓，所以C錯(cuò)；

三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以D正確.

故選：D

3.（2024九年級?全國?競賽）已知△ABC為。。的外切三角形，點(diǎn)。、E、產(chǎn)分另4是AB、BC、4。與00的切

點(diǎn)，如果乙4=70。，那么.

A.70°B.60°C.55°D.50°

【答案】C

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理.連接。。、OF,利用切線的性質(zhì)求得乙40。=乙4F。=90。，

根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求得N。。尸的度數(shù)，再利用圓周角中位線定理即可求解.

【詳解】解：連接。0、OF,

回點(diǎn)0、尸分別是48、AC與。0的切點(diǎn)，

0Z/WO=Z.AF0=90°,

⑦乙D0F=360°-90°-70°-90°=110°,

0ZDFF="2zDOF=55°,

故選：C.

4.(2024九年級?全國?競賽)如圖，兩半圓的圓心點(diǎn)。1、。2分別在直角△A8C的兩直角邊AB、AC±,宜徑

分別為48、CD,如果兩半圓相外切，且==6cm,那么圖中陰影部分的面積為().

A.(7-7r)cm2B.(5-7r)cm2C.7cm2D.5cm2

【答案】D

【分析】本題考查求圖形面積，不規(guī)則圖形的面積一般要轉(zhuǎn)化為一些規(guī)則圖形的面積的和差來求解.利用

勾股定理求出。。2的半徑，證明弓形工=52,弓形S3=54,利用割補(bǔ)法將陰影部分面積轉(zhuǎn)化成S陰影=

^AABC~^AABF~即可求解?

【詳解】解：

F

如圖，連接OE,AF,。1。2，

設(shè)。。2半徑為rem,則02c=rem,

???△48C是等腰直角三角形，AB=AC=6cm

二A02=(6—r)cm,A01=3cm,

???兩半圓相外切，

0102=(3+r)cm,

在RtAAROz中，由勾股定理得，32+(6-r)2=(3+r)2

解得：r=2,

???LABC=/-ACB=45°,DC、4B為兩半圓直徑，

???乙DEC=LAFB=90°,

:.CE=DE,AF=BE,

???弓形Si=S2，弓形S3=S4，

'S陰影=-SXABF-S^DEC

111

=-x6x6——x6x3——x2x2x2

222

=5cm2.

故答案為：D.

5.（2024九年級?全國?競賽）如圖，有一個(gè)圓桶，里面裝有兩個(gè)不變形的球體，其中大球的半徑為R=30cm,

小球的半徑為r=20cm,兩球頂部到桶的頂部的距離分別為a=40cm,b=20cm,那么桶的內(nèi)部直徑x為

A.60cmB.70cmC.80cmD.90cm

【答案】D

【分析】本題考查了兩圓相切，勾股定理.先求得。1。2和4。2的長，再利用勾股定理求得4。1的長，進(jìn)一步

計(jì)算即可求解.

【詳解】解：由題意得。1。2=R+r=50(cm)?AO2=a+R—(b+r)=30cm,

且，。送。2=90°,

由勾股定理得40i=V502-302=40(cm),

0x=AO】+R+r=90(cm),

故選:D.

6.(2024九年級?全國?競賽)如圖，點(diǎn)。為矩形力BCD的中心，=8,8C=6Q8的半徑為2,點(diǎn)P是08上

一個(gè)動點(diǎn)，則aAOP面積的最小值為()

A.9B.8C.7.2D.7

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，三角形面積，直線與圓的位置關(guān)系等知識，得到AAOP面積最

小時(shí)點(diǎn)P的位置是解答的關(guān)鍵.

連接4C,過8作8,1AC于〃，交OB于G,過G作QIL4C,由勾股定理及面積相等可求得GH的長；當(dāng)點(diǎn)P

到的距離最短時(shí)，AAOP面積最小，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合，進(jìn)而求得△力。P面積的最小值.

【詳解】解：如圖，連接AC，過8作于〃，交。8于G,過G作直線Q||4C,

團(tuán)點(diǎn)。為矩形力BCD的中心，

西C必過點(diǎn)O,

由勾股定理得：AC=V62+82=10；

團(tuán)四邊形4RCD是矩形，

團(tuán)0。=-AC=5

2

團(tuán)s“8c=?BC=-AC?BH,

ccr,ABBC24

團(tuán)BH=----=—;

AC5

團(tuán)a\\AC,

回直線a是OB的切線，

06/7=BH-BG=g

當(dāng)點(diǎn)P到4C的距離最短時(shí)，即最每距離為GH的長時(shí)，A/IOP面積最小，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合,

團(tuán)△40P面積的最小值為3x5x￡=7.

故選：D.

7.（2024九年級?全國?競賽）已知。。為△4BC的外接圓，且圓心。在△ABC的內(nèi)部，分別過點(diǎn)。作OO_L

AB^ELAC,垂足分別為點(diǎn)。、E,若。E=8cm,則BC=cm.

【答案】16

【分析】本題考查了三角形外心的性質(zhì)，三角形的中位線等，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵;

由點(diǎn)。是ZiABC的外心,。。_L4B,0E14C得到DE是△48C的中位線，根據(jù)三角形中位線定理即可求得8c.

【詳解】解：如圖,

,OD1AB,OE1AC,

???AD=BD,AE=CE,

???DE為△ABC的中位線,

二BC=2DE=16cm.

故答案為：16

8.（2024九年級?全國?競賽）如圖，以RtaABC的斜邊48為直徑作。。，/為△/1"的內(nèi)心，點(diǎn)P為。。上

一個(gè)動點(diǎn)，N為/P的中點(diǎn)，若718=10,AC=6,則AN的最大值為.

【分析】此題考查了三角形的內(nèi)切圓和外接圓，連接/。，AI,0P,取/。中點(diǎn)M,連接MN,過/作于

點(diǎn)開，則點(diǎn)N在以點(diǎn)M為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)4、M、M三點(diǎn)共線時(shí)，4/V最大值為4M+MN,

然后由勾股定理求出4M的值即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線長定理，三角形中位線性質(zhì)定理和勾股定理

的應(yīng)用.

【詳解】解：如圖，連接/O,AI,0P,取/。中點(diǎn)M,連接MN,過/作/H_L/1B于點(diǎn)”，

回由勾股定理得：BC=y/AB2-AC2=V102-62=8,

回N為/P的中點(diǎn)，

0M/V=-0P=-,

22

則點(diǎn)N在以點(diǎn)M為圓心，MN為半徑的圓上運(yùn)動，

當(dāng)點(diǎn)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，AN最大,為4M+MN的值，

團(tuán)/為△力8。的內(nèi)心，過/作/A_L4C于點(diǎn)A,IL工BC于點(diǎn)L

(3四邊形為正方形，

由直角三角形的內(nèi)切圓半徑為七U=2,即=/￡=//?=2,

團(tuán)CR=1R=IH=2,

取0〃的中點(diǎn)G,連接MG,

(3MG=-1H=1,AH=AR=4,

2

團(tuán)。。=OB=5,

0OH=1,

WG=GO=-2OH=-2,

團(tuán)力G=/H+HG=4+；=；,

22

在RtaAMG中，由勾股定理得:

AM=7AG?+MG2=J?)+/=苧,

瘀

斯N最大值為4M+MN=+5

2

故答案為：序.

9.(2024九年級?全國?競賽)如圖，4B為半圓的直徑，點(diǎn)。為圓心，點(diǎn)。為半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)。為48延長線

上一點(diǎn)，且Nl=，2.

⑴求證：CO為0。的切線；

(2)過點(diǎn)力作。。的切線4E交DC的延長線于點(diǎn)E,若。。的半徑為3cm,BD=2cm,求CE的長度.

【答案】(1)見解析

(2)6cm

【分析】(1)連接0C,根據(jù)為半圓的直徑，得出z/CB=90。，證明42+24=90。，從而可以證明結(jié)論;

(2)根據(jù)已知條件先求出力0=2x3+2=8(cm),00=3+2=5(cm),根據(jù)勾股定理求出。9=

VOD2-OC2=4(cm),設(shè)/E=CE=x,根據(jù)勾股定理得出/+8?=(%+4＞，求出x的值即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接0C,

0A=0C,

???zl=43,

vZ1=z2>

z2=z3,

???AB為半圓的直徑，

:.Z.ACB=90°,

:.Z3+Z4=9。"，

Z2+Z4=90°,即OCJ.C。，

???CD為。。的切線.

(2)解：:。。的半徑為3cm,80=2cm,

???/ID=2x3+2=8(cm),

OD=3+2=5(cm),

CD=>JOD2-OC2=4(cm),

AE.CE都為切線，

???AE=CE,/.DAE=90°,

設(shè)WE=CE=x,

則根據(jù)勾股定理得：/+82=(%+4)2,

解得％=6,

13CE的長度為6cm.

10.(2024九年級?全國?競賽)如圖，四邊形4BCD為正方形，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn),連接HE,交8。于

點(diǎn)兒交CD于點(diǎn)、G,連接CF.

⑴求證：。戶與aCEG的外接圓相切；

⑵當(dāng)CE=C9時(shí)，判斷CG和E尸有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

⑶在(2)的條件下，求DG與CG的比值.

【答案】(1)見解析

(2)EF=3CG,理由見解析

喏=等

【分析】本題主要考查切線的判定，全等石匠判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識：

(1)證明△力。/三△COF得乙ZMF=42,由力。||8E得42=乙￡=ZJMF,取EG的中點(diǎn)[H,連接CH,證明

42+44=90。即可得出結(jié)論；

(2)證明zE=30。，得出EG=2CG,進(jìn)一步得出結(jié)論；

(3)設(shè)CG=x,可求出力G=(V5+1)X,DG=超產(chǎn)，從而可得結(jié)論.

???四邊形48。。為正方形,

AD=CD./.ADF=乙CDF,

又"=DF,

:心ADF三3CDF,

???Z.DAF=z.2,

vAD||BE,

:.Z.DAF=乙E,

???Z2=Z.E,

取EG的中點(diǎn)H,連接CH,

則CH=EH=GH為〉CEG外接圓的半徑,

zl=Z.E,z4=z5,

:.zl=z2,

vZl+Z4=90°,

Z2+Z4=9O%

:.CF1CH,

所以。F與4CEG的外接圓相切.

(2)解：EF=3CG.理由如下:

???CE=CF,

???z3=Z-E=zl=2,z5=2/-E,

而45+z_E=90°,

.??ZF=30°,

:.EG=2CG,

EF=3CG.

(3)解：設(shè)CG=x,MFG=xtCE=CF=AF=y/3x,

47=(V34-l)x,

由(2)知NZMF=々E=30。,

(V3+l)x

:.DG=24G=

2'

M-DG=-、叵--+1

CG2

11.(2024九年級?全國?競賽)如圖，點(diǎn)。為等腰直角A/BC斜邊BC的中點(diǎn)，O。與/8、4C分別相切于點(diǎn)。、E,

交OC于點(diǎn)凡0戶的延長線交AC的延長線于點(diǎn)G,已知48=8cm.

A

B

OF

G

⑴求"的長；

(2)求證：乙CFG=cCGF；

⑶求由DG、EG和處所圍成的圖形(陰影部分)的面積.

【答案】(l)2ncm

⑵見解析

⑶(8或+4n-8)cm2

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、求弧長、扇形面積公式、

圓周角定理、三角形外角的定義及性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)連接。0、0E,由題意得出001力氏0ELAC,且0。=?！?半徑r,證明四邊形4D0E為正方形，

得出40OE=9O。，AD=0D=BD=r=^AB=4cm,再由弧長公式計(jì)算即可得出答案；

(2)證明。0||4G得出乙B。。=乙4CB,由圓周角定理結(jié)合對頂角相等得出41c8=2"FG,由三角形外角

的定義及性質(zhì)得出乙1C8=乙CFG+ZCGF,即可得證；

(3)由(1)(2)可得CE=0E=0F=r=4cm,求出0C=472cm,CF=CG=4或一4(cm),EG=CE+

CG=4&cm,連接DE,再由陰影部分的面積為+S扇形-計(jì)算即可得出答案.

【詳解】(1)解：如圖，連接0。、0E,

???ODLAB,0ELAC,且0。=OE=半徑r,

???8c為等腰直角△48c的斜邊，

:.Z.A=90°,乙B=45°,

四邊形/W0E為正方形，

???乙DOE=90°,AD=OD=BD=r=-AB=4cm,

2

90。1

,"=痂X2nr=-nr=2n(cm)；

(2)解：vOD1AB,44=90°,

OD||AG,

Z.BOD=Z.ACB,

而，BOD=2乙BFD,

二Z.ACB=2Z.BFD,

???NBFO=Z.CFG,

???Z.ACB=2乙CFG?

又乙ACB=^CFG+乙CGF,

:./.CFG="GF：

(3)解：由上述結(jié)論可知，CE=0E=OF=r=4cm,

OC=4V2cm,

CF=CG=4V2—4(cm),

EG=CE+CG=4V2cm,

連接DE.

22

則SADEG=|XFGXOE=1X4V2x4=8V2(cm),S扇形=券'nx4?=4n(cm),S^D0E=1x4x

4=8(cm2)

陰影部分的面積為SADEG+S扇物)砥一S4DOE=8企+4TT—8(cm2).

12.(2024九年級?全國?競賽)如組，已知48為。。的直徑，將A8繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到AC,交。。

于點(diǎn)。，連接BC,交O0尸點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF_L/1C,垂足為點(diǎn)用

⑴求證：EF為。。的切線；

(2)連接。E、BD,若DE=匹cm,AB=5cm,求△力8。的面枳.

【答案】(1)見解析；

(2)6cm2.

【分析】此題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理和中位線的性質(zhì)，

(1)連接力E、OE,由圓周角定理得,AEB=90。，通過48=4。則/IE垂直平分8C,再根據(jù)中位線性質(zhì)即

可求證；

(2)由A8=AC,4E垂直平分BC,可得乙BAE=4CAE,則師=位，故有OE垂直平分BO,且BE=DE=

V5cm,再通過勾股定理即可求解；

解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)的應(yīng)用.

【詳解】(1)證明：如圖，連接AE、OE,

A

西B為O。的直徑,

^AEB=90%

^AB=AC,

西E垂直平分8C,

WA=OB,

團(tuán)OE是△力BC的中外￡線，

回。EMC,

EEF1AC,

0EF1OE,

團(tuán)￡7為。。的切線；

(2)^AB=AC,/IE垂直平分8C,

圖/BAE=Z.CAE,

團(tuán)/元=ETE,

團(tuán)0E垂直平分8。，且8E=Z）E=\^cm,

^AD=20G,

設(shè)0E與8。相交于點(diǎn)G,則0勿-0G2=BE2-(OE-OG)2,

即0~OG2=(A/5)—G—OG),解得OG=gcm,

^BG=y/OB2-OG2=j(^r=2(cm),AD=20G=3cm,

0FD=2BG=4cm,

團(tuán)48為OO的直徑，

^LADB=90°,

回A/1BD的面積為gxADxBD=6cm2.

13.（2024九年級?全國?競賽）如圖1,48為。。的直徑，弦CD垂直平分。8,在48的延長線上取一點(diǎn)E,

使得BE=BC.

⑴求證：CE是O。的切線；

(2)如圖2,若BC=2,點(diǎn)/在。0上，且aBCF的內(nèi)心是CD上的點(diǎn)G,求線段DG的長度.

【答案】(1)見解析

(2)2

【分析】(1)連接0C,根據(jù)弦CO垂直平分。8,可得。8=0C=EC,再證△0C8為等邊三角形，推出“B。=

60°,結(jié)合8E=BC和三角形外角的性質(zhì)可得/E=30。，進(jìn)而推出/OCE=+/BCE=90。，即可證明

G?是0。的切線：

(2)先證點(diǎn)C、。、F共線，推出CF為。。的宜徑，Z.CBF=903,再根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式計(jì)算

出0G的半徑，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出C