微專題4帶電粒子在復(fù)合場中的運動

【命題規(guī)律】1.命題角度：⑴帶電粒子在組合場中的運動：（2）帶電粒了?在疊加場中的運動.

2.常用方法：分段分析法，建立運動模型3?？碱}型：計算題.

考點一帶電粒子在組合場中的運動

1.帶電粒子的“電偏轉(zhuǎn)”和“磁偏轉(zhuǎn)”的比較

垂直進入磁場（磁偏轉(zhuǎn)）垂直進入電場（電偏轉(zhuǎn)）

一上

???!

情景圖

產(chǎn)卡

FB=C/VQB,“8大小不變，方向變化，F(xiàn)E=C,E,FE大小、方向均不變，

受力

方向總指向圓心，F(xiàn)8為變力FE為恒力

類平拋運動

勻速圓周運動Eq

Vx=Vo,Vy=-^t

運動規(guī)律"Wolitni

r~Bq'T-Bq

戶。。3年景

2.常見運動及處理方法

牛頓運動定律、

運動學(xué)公式

帶電

粒廣

在分

離的

電場

磁場

中的

運動

I川周運動公式、牛頓運

動定律以及幾何知識

3.“5步”突破帶電粒子在組合場中的運動問題

（則呼＞一要清楚場的性質(zhì)、方向、強弱、他國等

啟高一帶電粒子依次通過不同場區(qū)時,由受力

”字—情況確定粒子?在不同區(qū)域的運動情況

重演—正確地畫出粒子的運動軌跡圖

二根據(jù)區(qū)域和運動規(guī)律的不同,將粒子

UP寓EA運動的過程劃分為幾個不同的階段,對

不同的階段選取不同的規(guī)律處理

入屋要明確帶電粒子通過不同場區(qū)的交界處

避述A?時速度大小和方向關(guān)系.上一個區(qū)域的

末速度往往是下?個區(qū)域的初速度

例1如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xQv的第1、IV象限內(nèi)有一半徑為尺的半圓弧，半圓弧

的圓心在坐標(biāo)原點。處，半圓弧內(nèi)有方向沿），軸正方向的勻強電場，半圓弧外足夠大的范圍

內(nèi)有磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強磁場.現(xiàn)從。點由靜止釋放一個

質(zhì)量為〃人電荷量為夕的帶正電粒子，粒子經(jīng)電場加速后進入磁場，并從半圓弧與x軸的交

點尸返回電場，不計粒子受到的重力.

⑴求勻強電場的電場強度大小E;

（2）求粒子從。點運動到P點的時間/；

（3）證明粒子經(jīng)過尸點后從），軸離開電場，并求粒子經(jīng)過尸點后離開電場時的速度大小火

解析（1）設(shè)粒子進入磁場時的速度大小為。o,根據(jù)動能定理有

粒子在磁場中做勻速圓周運動的枕跡如圖甲所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子的做圓周運動的

半徑為R

粒子在磁場運動的過程中，有q&B=”r^

聯(lián)立解得后=誓

⑵由⑴可得%=簪

設(shè)粒子第一次在電場中運動的時間為伍有R=*oh,解得人=相

粒子在磁場中做圓周運動的周期r=誓=?詈

的qii

3

粒子在磁場中運動的時間（2=jr

（4+3兀）加

義/=。+/2,解符?/=2^5~

(3)粒子經(jīng)過P點后在電場中做類平拋運動，假設(shè)粒子經(jīng)過P點后從)，軸離開電場，如圖乙所

示，

設(shè)粒子從P點運動到)，軸的時間為力，有R=VM3,解得「3=需

粒子在電場中運動的加速度大小4=華

該過程中，粒子沿y軸方向的位移大小y=1?/32

解得y=4R

由于)，＜R,因此假設(shè)成立，粒子經(jīng)過。點后從)，軸離開電場；

粒子從y軸離開電場時沿y軸方向的速度大小vy=at3,解得V尸喏

則合速度v=y[v^~v?

考點二帶電粒子在疊加場中的運動

1.三種典型情況

(1)若只有兩個場，所受合力為零，則表現(xiàn)為勻速直線運動或靜止?fàn)顟B(tài).例如電場與磁場疊加

滿足qE=qvB時，重力場與磁場疊加滿足mg=qvB時，重力場與電場疊加滿足時.

⑵若三場共存，所受合力為零時，粒子做勻速直線運動，其中洛倫茲力/的方向與速

度。垂直.

⑶若三場共存，粒子做勻速網(wǎng)周運動時，則有mg=qE,粒子在洛倫茲力作用下做勻速網(wǎng)周

_/

運動，即/8=〃rp

2.當(dāng)帶電粒子做復(fù)雜的曲線運動或有約束的變速直線運動時，一般用動能定理或能量守恒定

律求解.

3.分析

例2（多選）（2022?廣東卷8）如圖所示，磁控管內(nèi)局部區(qū)域分布有水平向右的勻強電場和垂直

紙面向里的勻強磁場.電子從/點由靜止釋放，沿圖中所示軌跡依次經(jīng)過N、P兩點.已知

“、P在同一等勢面上，下列說法正確的有（）

A.電子從N到P,電場力做正功

B.N點的電勢高于P點的電勢

C.電子從M到N,洛倫茲力不做功

D.電子在M點所受的合力大于在P點所受的合力

答案BC

解析由題可知電子所受電場力水平向左，電子從N到2的過程中電場力做負功，故A錯誤；

根據(jù)沿著電場線方向電勢逐漸降低可知，N點的電勢高于。點的電勢，故B正確；由于洛倫

茲力一直都和速度方向垂直，故電子從M到N,洛倫茲力都不做功，故C正確；由于M點

和P點在同一等勢面上，故從M點到P點電場力做功為0,而洛倫茲力不做功，M點速度為

0,根據(jù)動能定理可知電子在。點速度也為0,則電子在M點和。點都只受電場力作用，在

勻強也場中電子在這兩點所受包場力相等，即所受合力相等，故D錯誤.

例3（2022?廣東高州市二模）如圖所示，在區(qū)域I有與水平方向成45。角的勻強電場，電場方

向斜向左下方.在區(qū)域II有豎直向下的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場，電場強度大小

為反=臂，磁感應(yīng)強度大小為及質(zhì)量為加、電荷量為一q的粒子從區(qū)域I的左邊界尸點由靜

止釋放，粒子沿虛線水平向右運動，進入?yún)^(qū)域II,區(qū)域H的寬度為d.粒子從區(qū)域II右邊界的

。點離開，速度方向偏轉(zhuǎn)了60。.重力加速度大小為g.求：

B

⑴區(qū)域I的電場強度大小左；

(2)粒子進入?yún)^(qū)域II時的速度大??；

(3)粒子從P點運動到。點的時間.

答案(1戶尸⑵3m⑶3〃吆十3例

解析(1)粒子在區(qū)域I受重力和靜電力，做勻加速直線運動，〃=45。，如圖所示

故有sin。=汨

解得臼=丹=陛

qsm0q

(2)設(shè)粒子進入?yún)^(qū)域II的速度為。，粒子受豎直向下的重力和豎直向_L的靜電力，KqEi-rng

。2

則所受的洛倫茲力提供向心力，有qvB=rti—

速度方向偏轉(zhuǎn)了60。，則布應(yīng)圓心角為60°,

有sin6()o=9聯(lián)立解得。=當(dāng)警

(3)設(shè)粒子在區(qū)域I沿虛線水平加速的加速度大小為4,有。=二舊=&,由速度公式有。="1

uinu

可得加速時間為黑

粒子在區(qū)域n做勻速圓周運動的周期為

f2nr2nm

T=~=1B

則做勻速圓周運動的時間為，2=瑞^7'=寺1

則粒子從P點運動到Q點的時間為

2s“&/]

『八+，2=+『硒

高考預(yù)測

（2022.山西省一模）如圖所示，以兩豎直虛線M、N為邊界，中間區(qū)域I內(nèi)存在方向豎直向下

的勻強電場，電場強度大小為E,兩邊界M、N間距為d.N邊界右側(cè)區(qū)域H中存在磁感應(yīng)強

度大小為8、方向垂直于紙面向里的勻強磁場.M邊界左側(cè)區(qū)域川內(nèi)，存在垂直于紙面向外

的勻強磁場.邊界線M上的O點處有一離子源，水平向右發(fā)射同種正離子.已知初速度為

如的離子第一次回到邊界M時恰好到達。點，電場及兩磁場區(qū)域足夠大，不考慮離子的重

力和離子間的相互作用.

川.，I

O卜

⑴求離子的比荷；

（2）初速度為，的離子第二次回到邊界M時也能恰好到達。點，求區(qū)域m內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強

度大小.

答案（1對言（2）7

解析（1）由題可知，離子在區(qū)域【和II中的運動枕跡如圖所示，離子在區(qū)域【由O運動到A

過程中，水平方向以速度次做勻速直線運動，有d=VN

xn*

K

I

I

豎立方向做為加速直線運動，＜y\=2（lt2

又qE=nia

聯(lián)立可得y尸加?

設(shè)離子運動到A點時的速度方向與邊界N的夾角為0,則離子運動到A點速度為。=點

離子在區(qū)域II中做勻速圓周運動

由幾何關(guān)系可知AC=2rsin

qB

從c點運動到。點過程，豎直方向有

又AC=），i+y2

聯(lián)立可得*=牛\/1

(2)當(dāng)初速度為E時，離子運動枕跡如圖所示.

IIIIII

從。點射出到進入?yún)^(qū)域II中，豎直方向有yj=打2

水平方向有

可得=4州

設(shè)離子運動到A'點時的速度方向與邊界N的夾角為0',則運動到A點速度為

，在區(qū)域H中有B=~^,則/

乙…、1HV外Z/2q8sinO'

從進入?yún)^(qū)域II到射出區(qū)域II,弦長A'C=2/sin夕=笠

qB

再次進入?yún)^(qū)域I中，豎直分位移為

yi'=at'-t'+%/，2=2at，2=4”

所以y\1+丁2'=4(yi+丫2)=44C

在區(qū)域HI中的弦長。尸=21sin0"

又…，一度,1=套

由幾何關(guān)系可知+"'一人'C=今職

聯(lián)立解得8'=y.

專題強化練

1.（2022.山東省名校聯(lián)盟高三期末）如圖所示，在.rOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)存在沿1y軸負方向

的勻強電場，在第四象限內(nèi)存在垂直坐標(biāo)平面向里的勻強磁場.一質(zhì)量為，〃、電荷量為學(xué)的

帶正電粒子（粒子所受重力不計）從坐標(biāo)原點。射入磁場，其入射方向與x軸的夾角夕=30。，

第一次進入電場后，粒子到達坐標(biāo)為（2小L+L,L）的尸點處時的速度大小為“方向沿x軸

正方向.求：

⑴粒子從O點射入磁場時的速度大小如；

（2）電場的電場強度大小E以及磁場的磁感應(yīng)強度大小B；

⑶粒子從O點運動到P點的時間/.

s=t=2也mv22小mv，5〃兀+12）

答案⑴子⑵懣嗑［⑶'6。'

解析（1）由題意知，粒子的運動軌跡如圖所示，由于洛倫茲力不做功，粒子經(jīng)過Q點時的速

度大小也為如，根據(jù)對稱性，粒子經(jīng)過。點時的速度方句與x軸正方向的夾角也為。，粒子

進入第一象限后，沿工軸方向做勻速直線運動，沿），軸方向做勻減速直線運動，根據(jù)幾何關(guān)

系有三=cos8

解得6=手，

（2）對粒子從Q點運動到尸點的過程，根據(jù)動能定理有

-qEL=2ffn）2-%如o2

mV"

解得“麗

設(shè)粒子從。點運動到P點的時間為％有

O+uosin0

5力=L

解得，產(chǎn)率

粒子從Q點運動到P點的過程中沿x軸方向的位移大小為

XQP=Vt\

解得XQP=2^/3L

則OQ=2事L+L-XQP=L

設(shè)粒子在磁場中做圓周運動的半徑為R,

根據(jù)幾何關(guān)系有OQ=2Rsin0

解得R=L

2

根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qv（）B="玲

解得B=,

（3）粒子在磁場中做圓周運動的周期T=~^

根據(jù)幾何關(guān)系，在粒子從。點運動到。點的過程中，運動軌跡對應(yīng)的圓心角為90。一仇

90°-。

故粒子在該過程中運動的時間h=%而廣7

解得。書

又f=fi+f2

解得尸必鏟.

2.（2022?河北唐山市高三期末）如圖，頂角為30。的“V”字形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的

勻強磁場.OM上方存在電場強度大小為E的勻強電場，方向豎直向上.在OM上距離O點

3L處有一點4,在電場中距離A為d的位置由靜止釋放一個質(zhì)量為〃?、電荷量為q的帶負電

的粒子，經(jīng)電場加速后該粒子以一定速度從A點射入磁場后，第一次恰好不從ON邊界射出.不

計粒子的重力.求：

(I)粒子運動到八點時的速率加；

(2)勻強磁場磁感應(yīng)強度大小E；

(3)粒子從釋放到第2次離開磁場的總時間.

答案°典Q舊⑶3怎+管保

解析⑴帶電粒子由靜止開始到達A點時，由動能定理5r得qEd=；mvj

(2)根據(jù)題意作出粒子在磁場中完整的運動軌跡圖如圖所示

N

粒子在磁場中的運動就跡的圓心為0],枕跡與ON邊界用切于。點，設(shè)軌跡半徑為由幾

何關(guān)系可得sm3“七

解得r=L

設(shè)勻強磁場磁感應(yīng)強度大小為伍由洛倫茲力提供向心力可得Bqv(尸平

聯(lián)立解得“等=田

(3)帶電粒子從繇止加速到A點所用時間為

2d[2^d

n=-

帶電粒子在磁場中運動的周期

帶電粒子第一次在磁場中運動時間為尬=5

帶也粒子再次進入電場再返回磁場所用時間d=2fl

再次返回磁場由幾何關(guān)系可知，以O(shè)點為圓心繼續(xù)做圓周運動至ON邊界離開，則再次做圓

30°T

周運動的時間為由=36007=五

所以總時間為

/=匕+/2+，3+/4=3,

6\]2qEd

3.（2022.河北張家口市一模）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)Qy的第一象限存在垂直于xOy平

面向里的勻強磁場，第二象限存在沿x軸正方向的勻強電場，電場強度大小為E—質(zhì)量為加、

電荷量為q的帶正電粒子在x軸上的八（一H0）點沿），軸正方向射入電場區(qū)域，粒子第一次經(jīng)

過>'軸時的速度方向與y軸正方向的夾角為60。，之后每相鄰兩次經(jīng)過y軸時的位置間距相

等.不計粒子重力.求：

（1）粒子的初速度的大小的：

（2）勻強磁場磁感應(yīng)強度的大小B；

⑶粒子從A點運動到第〃次經(jīng)過,y軸的時間.

答案O'/嚅（2假⑶見解析

Fa

解析（1）粒子進入電場后做類平拋運動，沿X軸方向的加速度大小。=常

從八點第一'次運動到y(tǒng)軸的過程，x軸方向有

第一次經(jīng)過y軸時有tan600=竦

聯(lián)立解得處=\隔

（2）粒子第一次經(jīng)過y軸時的速度大小。=益兩

ol11UU

粒子在磁場中運動，由洛倫茲力提供向心力有

7

）

qvB=ni-

由幾何關(guān)系可知，粒子每次進入磁場到離開磁場的過程中沿量軸方向運動的距離

L=2rsin600

之后粒子每次從），軸進入巳場到離開電場，運動的時間6=

〃）時間內(nèi)，粒子沿軸方向運動的距離為y=uo（o

由題意可知.v=L

聯(lián)立解得B=

（3）設(shè)粒子從A點第一次運動到y(tǒng)軸的時間為/）,則有:所2=〃

解得力=

粒子第一次經(jīng)過），軸到第二次經(jīng)過），軸，在磁場中做勻速圓周運動，由幾何關(guān)系可知粒子在

磁場中運動的時間為

T

粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期

粒子第二次經(jīng)過y軸到第三次經(jīng)過y軸，在電場中運動的時間

2%今

『丁=2=2;1

即粒子從A點運動到第三次經(jīng)過y軸時的時間為/3+/2+八=311+及

所以粒子從4點運動到第〃次經(jīng)過），軸時的時間

小(〃一］)兀鬻(〃=1,3,5,7,???)

f八+號與=9+〃

t'=（〃-I）力+&2=（^^+〃-1）^^^〃=2,4,6,8,-）

4.（2022?安徼省江南十校一模）如圖所示，豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy,y軸正向豎直向

上，x軸正向水平向右，4軸在水平平面M內(nèi)，在x軸上方存在方向豎直向下、電場強度大

小為巴的勻強電場.兩平行水平面M和N之間的距離為d,其間的區(qū)域