§7.8空間距離及立體幾何中的探索性問題

【課標要求】1.會求空間中點到直線以及點到平面的距離2以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的

位置關(guān)系或空間角存在的條件.

■落實主干知識.

1.點到直線的距禽

如圖，已知直線/的單位方向向量為〃，A是直線/上的定點，尸是直線/外一點，設而二。，則向量Q

在直線/上的投影向量而二(0〃)〃，在Rt^APQ中，由勾股定理，PQ=J］而F_|砌2='次???“)2.

AQ

2.點到平面的距離

如圖，已知平面。的法向量為〃，A是平面。內(nèi)的定點，P是平面Q外一點.過點P作平面Q的垂線/,

交平面Q于點。，則〃是直線/的方向向量，且點尸到平面。的距離就是存在直線/上的投影向量而

的長度，因此加=|方.引=警卜耳J

IMil\n\I|n|

B自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“Y”或“x”)

(1)平面。上不共線的三點到平面”的距離相等，則?！ㄏ?(x)

(2)點到直線的距離也就是該點與直線上任一點連線的長度.(X)

(3)直線/平行于平面〃，則直線/上各點到平面a的距離相等.(7)

⑷直線/上兩點到平面a的距離相等，貝IJ/平行于平面a.(X)

2.空間點A(-l,1,1),B(-l,2,3),C(l,2,4),則點A到直線8c的距離〃等于()

A空B.V5C?D.叵

答案D

解析由題意得荏二(0,1,2),BC=(2,0,1),

所以cos(AB,BC)=I募贏「高^，

所以sinNABC=J1一(：)二亨,

所以點A到直線8c的距離仁|而IsinNABC二遍義詈二萼.

3.已知棱長為2的正方體ABCO-ABiGG中，E,M,N分別是4場，AD,CG的中點，則直線AC與平面

EMN之間的距離為()

A.lB.—C.—D.V3

32

答案B

解析如圖，以。為原點，建立空間直角坐標系，

則A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,1,2),M(\,0,0),MO,2,1),

所以碇=(1,I,2),MN=(-1,2,1),AC=(-2,2,0),

設平面的法向量為m=(x,y,z),

m?ME=x+y+2z=0,

則

m?MN=—%+2y+z=0,

令x=l,可得m=(l,1,-1),所以ACM=0,

即/_Lm,

又AB平面EMN,所以AC〃平面EMN,

故點A到平面EMN的距離即為直線AC到平面EMN的距離，

又拓5=(1,0,0),所以點4到平面EMN的距離為喑!=專耳,

即直線AC與平面EMN之間的距離為

4.設正方體ABCD-Ai囪GA的棱長為2,則點G到平面A}BD的距離是,

答案答

解析如圖，建立空間直角坐標系，則Di(0,0,2),4(2,0,2),Q(0,0,0),8(2,2,0j,

所以市*二(2,0,0),

西二(2,0,2),DB=(2,2,0).

設平面48。的法向量為/i=(x,y,z),

\n-DB=0,已％+2y=0,

令x=l,則?=(1,-1,-1),

所以點。到平面AiBD的距離

j_\D^-n\_2_243

?探究核心題型?

題型一空間距離

命題點1點線距離

例1如圖，P為矩形A8CO所在平面外一點，PAL平面48CD若已知A8=3,AO=4,PA=1,則點尸

到直線BD的距離為.

答案?

3

解析如圖，分別以48,40,4P所在直線為x軸、)，軸、z粕建立空間直角坐標系，則P(0,0,I),B(3,

0,0),D(0,4,0),

則前二(-3,0,1),麗=(-3,4,0),

答案A

解析如圖，以點A為原點tAB,ADt而的方向分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標系，

則6(3,0,0),C(3,3,0),0(0,3,0),尸(0,0,6),G(1,0,4).

所以說=(1,-3,4),PC=(3,3,-6),D?=(3,0,0),

設〃=(x,y,z)為直線PC和。G的公垂線的方向向量，

則有2?四7―3、+42=。，可取〃*3,2),

n-PC=3%4-3y-6z=0,

所以異面直線PC和OG的距離為

\DCn\_3_3V14

|n|-714-14,

思維升華(1)點到直線的距寓

①設過點尸的直線/的單位方向向量為〃，4為直線/外一點，點4到直線/的距寓7兩2-(而?n)2.

②若能求出點在直線上的射影坐標，可以直接利用兩點間距離公式求距離.

(2)求點面距一般有以下三種方法

①作點到面的垂線，求點到垂足的距離.

②等體積法.

③向量法.

跟蹤訓練1(多選)如圖，在棱長為1的正方體A4CD-48G5中，點E在8。上，旦8￡二/。；點、F

在Oh上，且。尸=/8.則下列結(jié)論正確的是()

A.線段Eb是異面直線BO與C囪的公垂線段

B.異面直線A4與BD的距離為3

C.點5到直線Eb的距離為手

?3

D.點"到平面DEF的距離為日

答案ACD

解析以。為坐標原點，D4,OC,所在直線分別為x軸、)，軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系.則D(0,0,0),A(l,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),Ai(l,0,1),田(I1,1),2(0,0,1),

麗"海G")，

西西戰(zhàn)0，9,

所以E&I，。)，琨，1，9

對于A,麗=(—,9,DB=(\,1,0),

cK=(i,0,1),

所以而.而=1+1=0,

33

而?鬲W+M),

即EFLDB,EFLCBy,所以線段所是異面直線BD與CBi的公垂線段，故A正確；

對于B,由正方體的性質(zhì)可得異面直線A4與3。的公垂線的一個方向向量為m=(-1,1,0),

又麗:(1,0,0),所以異面直線M與BD的距離為嚅山2芽，故B錯誤；

\AC\V22

對于C,百聲G，-l),EF=(-i,i,3,

所以庠在即方向上的投影向量的長度為票1=手，所以點口到直線E尸的距離為

小庠|2一M=_1呼，故C正確；

對于D,設平面OE77的法向量為/t=(x,y,z),1,§,

(x+y=0,

則fn“.絲7TR一-n。，即ii

{n-DF=0,Ux+y+3Z=0

令x=l,得y=-\,z=2,

所以?=(1,-1,2),又而=(0,0,1),

所以點Oi到平面DEF的距離上瞥，故D正確.

|n|V63

題型二立體幾何中的探索性問題

例4如圖，在四棱錐P-48co中，平面尸QC_L平面ABC。，AD±DC,AB//DC,AB=^CD=AD=\fM

為棱PC的中點.

(1)證明：8M〃平面24。；

(2)若PC=遙，PD=1,

①求平面尸。M與平面8DM夾角的余弦值；

②在線段PA上是否存在點。，使得點Q到平面80M的距離是等？若存在，求出P。的值；若不存在,

請說明理由.

(1)證明取P。的中點N,連接4N,MN,如圖所示.

為棱PC的中點，

:,MN〃CD,MN±CD,

2

*：AB//CD,AB=-CD，:?AB〃MN,AB=MN,

2

???四邊形48MN是平行四邊形，???8M〃AN,

又BMC平面PAD,ANu平面PAD,.'BM〃平面PAD.

(2)解VPC=V5,PD=\,CD=2,

:.PCJPA+Cb1,：,PDLDC,

???平面POC_L平面ABCD,平面POCn平面ABCD=DC,POu平面PDC,

???POJ_平面A8CO,

又AD,COu平面ABCD,

：.PDVAD,PDA.CD,而ADA.DC,

???以點。為坐標原點，DA,OC,DP所在直線分別為,z軸建立空間直角坐標系，如圖.

則P(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),B(1,1,0),

?IM為棱PC的中點，,用(0,1,0.

①麗二(0,1,I),DB=(1,1,0),

設平面RDM的法向量為n=(x,y,z),

.n-DM=7+72=0,

則o—2

n?麗=x+y=0,

令2=2,貝4；=。］,???以=(1,?1,2),

平面PQM的一個法向量為萬5=(1,0,0),

|cos(II,歷〉|,In-Djl1__5/6

1'1|n||D4|V6X16，

則平面PZW與平面&W夾角的余弦值為萼.

6

②假設在線段PA上存在點Q,使得點Q到平面BDM的距寓是竽，

設區(qū)=2而，0W2W1,又而二(1,0,-I),

則,0,1-2),~BQ=(A-\,-1,1-z),

由①知平面8DM的一個法向量為?=(1,-1,2),瓦0.〃二九1+1+2(1』)=2u，

/.點Q到平面BDM的距離是

\BQn\_2-A_2\^6..2..272

TT=vT=V一??尸公丁。

思維升華(1)對于存在判斷型問題的求解，應先假設存在，把要成立的結(jié)論當作條件，據(jù)此列方程或方程

組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”.

(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).

跟蹤訓練2如圖，直四棱柱A8CD-4囪GS的底面是菱形，NA8O120。，AB=2,且直線8口與平面

BCGBi所成的角為30。.

(1)求直四棱柱A8CD-4囪GA的高；

(2)在棱A4上是否能找到一點M,使得平面CAM與平面8CG⑸的夾角為30。？若能，求出萼的值;

AA1

若不能，說明理由.

解(1)設ACC\BD=O,AiGn?iDi=Oi,

因為棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故OA,08,OOi兩兩垂直，

如圖，以04,08,OOi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

因為在菱形中，/AAGI20。,

所以0A=V3,0B=\,設AA^hX),

則B(0,1,0),C(-V3,0,0),G(-A/3,0"),Di(0,-1,h),

所以無二(V5,1,0),鬲二(0,0,h),西二(0,-2,h).

設平面BCCiBi的法向量為wi=(xi,yi,zi),

則由卜i.豆一°，得［遮與十月=°，

1%?蔚=0,U?Zi=0,

令汨=1,得wi=(l,-V3,0),

所以cos〈B￡)i,zi|),

1lODillnJVh24-4X2

因為直線與平面ACG歷所成的角為30°,

所以Icos〈BD；,Mi)|=sin300,

即熹三解得h=2y[2.

（2）假設能找到這樣的點M,

設M(V3,0,。，且0&W2e,

貝IJ屈=(2百,0,1),CA=(V3,-1,2^2),

設平面CDlM的法向量為"2=3,V2,Z2),

則由心.畫=。，

\n2,CDr=0,

得(2國次+亡”2=0,

-y+=0,

^(V3X222\[2Z2

令X2=t,得/i2=(/,V3;-4V6,-2>/3),

則|cos<rt|,〃2〉,凡〃21=|6及一￡|

m/MzIJ4t2_24&t+108

由平面CAM與平面8CG8的夾角為30°,

可得|cos{n\,〃2〉|=cos30°,

即|6您T|

,4〃-24企C+1082，

解得;=苧￡［0,2①，

所以能找到這樣的點M,此時，二仁斗,

、丘

故絲二3工二

叫必204,

課時精練

［分值：50分］

1.（12分）如圖，已知正三棱柱48C-4囪G的側(cè)棱長和底面邊長均為2,M是8。的中點，N是4所的中點,

尸是ac的中點.

⑴證明:MN〃平面ACP；（6分）

(2)求點P到直線MN的距離.(6分)

⑴證明由題意知，A4_L平面ABC,ZBAC=60°,

而ABu平面ABC,所以,在平面ABC內(nèi)過點A作丁軸，使得軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系Aqz,

夕

則4(0,0,0),5(2,0,0),C(1,V3,0),Ai(0,0,2),8(2,0,2),得,苧,0),N(\,0,1),

理，,2),

所以砧=(i,V5,-2),不無，今0),而=(-：,-f,1),

設平面A]CP的法向量為/i=(x,y,z),

(n-AtC=x+V3y-2z=0,

n^7P=|x+yy=0,

22

令x=l,得產(chǎn)-6，z=-l,

所以/i=(1,-y/3,-1),

所以而j|=-xl+(-y)X(-V3)+IX(-I)=o,

又MM：平面A]CP,

即MN〃平面4cp.

⑵解如圖，連接PM,

由⑴得由=(0,0,-2),

則麗麗=-2,\MN\=V2,\PM\=2,

所以點。到直線/N的距離

2

d二iw-(W

2.（12分）如圖，在四棱錐P-A8C。中，APA。是正三角形，/4BC=90。，AB//CD,AB=2CD=2BC=4,平面

平面ABC。，M是棱PC上的動點.

⑴求證：平面平面PAQ；（5分）

（2）在線段QC上是否存在點M,使得直線AP與平面M8O所成的角為30。？若存在，求出案的值；若不存

在，說明理由.（7分）

(1)證明因為A8〃CO,CD=BC=2,ZABC=90°,

所以/8CO=90。，BD=2\[2,

在△ABO中/ABO=45。，AB=4,由余弦定理得ADZAB?+BD2-248?BDCGSLABD=2A,

所以,

即NA00=9O°,AD.LBD,

取AZ）的中點。，連接P0,

因為△PAD是正三角形，所以PO_LAO,

又平面PAQ_L平面ABCD,平面PAOn平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以PO_L平面ABC。，

又8Z）u平面ABCD,所以PO1BD,

又ADLBD,POC\AD=O,PO,A/）u平面PAD,所以8。，平面PAD,

又BDu平面MBD,

所以平面平面PAD.

（2）假沒存在點M,使得直線AP與平面M8O所成的角為30。，取A8的中點N,連接ON,則ON//BD,所

以AOJ_ON,

以｛而，0D,而｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,-V2,0),D(0,V2,0),BQa,V2,0),C(V2,2/，0),P(0,0,歷)，

設兩二2玩,,貝ij麗+PM=DP+APC=(0,-V2,V6)+z(V2,2a,-x/6)=(V2A,2伍-無，V6-

疽)，

又礪=(2遮,0,0),

設平面8DM的法向量為n=(x,y,z)t

則圖-n=0,

(DB-n=0,

0nfV22x+&(2/1-l)y+V6(l-A)z=0,

(2>[2x=0,

取z=M-l,

則n=(0,V3(2-l),24-1),AP=(0，&,遍)，

由直線AP與平面MB。所成的角為30。，得

|=」而川

sin30°=|cos〈而，〃〉廣麗網(wǎng)

_|佩;1-1)+仿(2入-1)

一倔1。+3(2-1)2+(24-1)2

V6|3A-2|_1

-2V2-V7A2-10A+4-2'

化簡得10乃?13不4=0,解得九三或1W,

故存在點M,當警三或警W時，直線AP與平面MBD所成的角為30。.

3.(13分)已知平行四邊形A8C。，如圖甲，0=60。，DC=2AD=2,沿AC將△AOC折起，使點。到達點尸位

置，且PCLBC,連接PB得三棱桂P-ABC,如圖乙.

(1)證明：平面尸48_L平面A8C：(5分)

(2)在線段PC上是否存在點M,使二面角M-A8-C的余弦值為奈？若存在，求出瞿的值，若不存在，請說

明理由.(8分)

(1)證明翻折前，因為四邊形ABCO為平行四邊形，0=60。,DC=2AD=2,貝ij4O〃3C,

由余弦定理可得小=。。2+人區(qū)2OCA/>COSD=4+1-2X2X1x1=3,

所以AC2+AD2=DC2,貝|JADA.AC,

又AD〃BC、所以BC±AC；

翻折后，BCVAC,PALAC,

因為PC上BC,ACnPC=C,AC,PCu平面PAC,

所以8C_L平面PAC,

因為P4u平面PAC，則PA1I3C,

因為ACCBC=C,AC,3Cu平面ABC,

所以PA_L平面ABC,

因為PAu平面PAB,故平面PA8_L平面ABC.

⑵解因為PAJ_平面ABC,BCLAC,以點A為坐標原點，

RC,AC,而的方向分別為x,y,;■軸的TF方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

貝ijA(0,0,0),P(0,0,1),C(0,V3,0),B(-l,x/3,0),

設而n7?=/l(0,V3,-1)=(0,V3/1,-2),其中0<2<l,

貝ij麗二而+PM=(0,0,1)+(0,V3z,-2)=(0,V3z,1-A),AB=\-\,V3,0),

設平面ABM的法向量為m=(x,y,z),

m-AB=-x+s/3y=0,

則取)=2-l,則z=V32,.v=V3(A-1),

m?~AM=V3Ay4-(1—A)z=0,

所以m=(V3(；-l),2-1,何)，

易知平面ABC的一個法向量為?=(0,0,1),

則|cos<m,〃〉|二例答二》，廣當,整理可得8#+2加1=0,

\m\-\n\7/41(A-1)2+3A213

因為0<7<1,解得,

4

故線段PC上存在點M,使二面角M-A8-C的余弦值為萼，且

13PC4

4.（13分）三棱錐P-A8C的底面是以AC為底邊的等腰直角三角形且AC=2或，各側(cè)棱的長均為3,點E為棱

E4的中點，點Q是線段CE上的項點.

（1）求點E到平面A8C的距離；（5分）

（2）設點。到平面03c的距離為4,。到直線人"的距離為小，求4+4的最小值.（8分）

解（1）取AC的中點O,連接PO