3.2勾股定理的逆定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容以解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)為新教材蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)第三章第2節(jié)“勾股定理的逆定理”，核心內(nèi)容是使用勾股定理的

逆定理判定直角三角形，并進(jìn)一步「解勾股數(shù)的概念與應(yīng)用。

2.內(nèi)容解析

本節(jié)通過(guò)古埃及人用“3、4、5”分段繩子構(gòu)造直角三角形的實(shí)例，引入勾股定理逆命題”若一個(gè)三

角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，則此三角形是直角三角形重點(diǎn)在于將“直角三角形''的性質(zhì)與

“判定”區(qū)分開(kāi)，同時(shí)引出勾股數(shù)的概念及常用性質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解與推理。學(xué)生需掌握

利用逆定理判定直角三角形的方法，理解勾股數(shù)的產(chǎn)生與倍數(shù)特征。

教學(xué)目標(biāo)與解析

1.教學(xué)目標(biāo)

?經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過(guò)程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之間的關(guān)系，

發(fā)展推理能力。

?能利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形為直角三角形，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。

?了解勾股數(shù)的概念，熟悉常用的勾股數(shù)。

2.目標(biāo)解析

?通過(guò)構(gòu)造輔助三角形并運(yùn)用邊邊邊SSS全等等方法，引導(dǎo)學(xué)生理解“若a2+h2=c2,則為直角三角

形''的推理思路。

?通過(guò)典型例題與生活情境（如古埃及金字塔構(gòu)造），提升學(xué)生對(duì)勾股定理逆定理的應(yīng)用意識(shí)。

?結(jié)合數(shù)形結(jié)合與運(yùn)算技巧，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別和運(yùn)用常見(jiàn)勾股數(shù)的能力。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)

?教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的逆定理判定直角三角形的過(guò)程及勾股數(shù)應(yīng)用。

?教學(xué)難點(diǎn)：充分理解“直角三角形”的判定思路，以及正確區(qū)分勾股定理和其逆定理的條件與結(jié)論。

學(xué)情分析

學(xué)生對(duì)勾股定理已有初步認(rèn)知，但對(duì)逆定理的邏輯推理仍需深化。能熟練計(jì)算平方和并進(jìn)行比

較，但在靈活應(yīng)用勾股數(shù)及建模推理方面較欠缺。需通過(guò)多樣化情境和例題，幫助學(xué)生體會(huì)代數(shù)與幾

何結(jié)合在判定與計(jì)算中的重要作用。

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)^―

新課存入

創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

1.教師展示“古埃及建造金字塔”的故事情境：

“四千多年前，古埃及人在一根繩子上打上距離相等的結(jié)，然后把繩子分成12等份，再分別取3

份、4份、5份組成三角形，據(jù)說(shuō)其中一個(gè)角就是直角。你能想一想，這個(gè)結(jié)論是如何得到的

嗎？”

2.組織學(xué)生結(jié)合已有對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，思考下述問(wèn)題：

o他們?yōu)楹握J(rèn)定此三角形有一個(gè)角為直角？

。這與我們之前學(xué)習(xí)的勾股定理有什么關(guān)聯(lián)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)生活化的“古埃及繩結(jié)法”情境，引出“三邊長(zhǎng)組成.345的三角形是直角三角形”的事

實(shí)，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，為“勾股定理的逆定理”新知做鋪墊，明確本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)與方向。

新知探窕

探究點(diǎn)1：勾股定理的逆定理的提出與證明

1.問(wèn)題引入

o教師提問(wèn)：勾股定理的內(nèi)容是“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”，那么它有

一個(gè)逆命題：“如果三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形''，它

是否真實(shí)？應(yīng)如何證明？

2.新知導(dǎo)出

。先請(qǐng)學(xué)生口頭復(fù)述勾股定理：

“在直角三角形中，若三邊分別為a,b,c（c是斜邊），則有a2+〃=。2?！?/p>

。引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考：如果只給出。2+62=。2,能不能肯定這是一個(gè)直角三角形？

O師生共同回顧“逆命題”定義，明確要證明其真?zhèn)?，并探究證明思路。

3.師生活動(dòng)

o教師演示：在△48C中，已知=a,4C==c,且。2+/)2=。2。求證：△A3C是直角三角

證明：作一個(gè)△43'。'，使47=90。，

B'C'=a,A'C=b.

根據(jù)勾股定理，得力'/2=/+加.

因?yàn)榘?2=/+/,所以4丁=48

根據(jù)“SSS”，可知△48C四△48'C'.

于是，NC=NC=9()°,/XABC是直角三角形.

o學(xué)生分組討論“如何用全等三角形的思想證明，逆定理？并在小組內(nèi)嘗試復(fù)述該證明過(guò)程。

4.結(jié)論歸納

o勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿(mǎn)足小+產(chǎn)=。?，那么該三角形一定是

直角三角形。

符號(hào)語(yǔ)言：

在△A8C中，NA,/B,/C的對(duì)邊長(zhǎng)

分別為a，b,c,且『+〃=/.

???△ABC為直角三角形，且NC=90°.

勾股數(shù)必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：

(I)三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)；

(2)兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方.

3.師生活動(dòng)

o教師出示例題，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算或推導(dǎo)，判斷“8,15,17、11,60,61”等是否是勾股數(shù)。

o學(xué)生分組討論：為什么滿(mǎn)足M+b2=c2還要求凡瓦。均為正整數(shù)？

。教師補(bǔ)充演示：若(a/,c)是一組勾股數(shù)，則(ka,kb,kc)也是一組勾股數(shù)，進(jìn)一步完善對(duì)勾股數(shù)性

質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

例2已知：4,〃，C為正整數(shù)，且序+廬=/.求證：對(duì)于任意的正整數(shù)上正整數(shù)履，憶構(gòu)成勾

股數(shù).

證明：???/+/=/,

???(履)2+(助2=&2+/2

=3(/+/)2)

=lcc2=(kc)2.

???〃，b,C,女為正整數(shù)，

:.ka,kb,ht為正整數(shù).

:?ka,kb,h?構(gòu)成勾股數(shù).

4.例題鞏固(幾何應(yīng)用)

例3如圖，AO是△ABC的中線(xiàn)，人。=24,48=26,BC=2O.求AC的長(zhǎng).

解：???4。是△/WC的中線(xiàn)，8C=20,

：.BD=DC=-BC=]O.

2

V40=24,AR=26,

/.AD2+/?D2=242+102=676,

A序=262=676.

：.AD2+BD2=AB2.

???乙4。8=90°(勾股定理的逆定理).

.??AO垂直平分BC.

?"C=A8=26.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)典型算例與數(shù)形結(jié)合，學(xué)生體會(huì)“整式運(yùn)算與直觀幾何”在判定直角三角形中的應(yīng)用

價(jià)值，進(jìn)一步加深對(duì)于勾股數(shù)及其推廣規(guī)律的理解，培養(yǎng)其綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，并逐

步提升對(duì)勾股定理及其逆定理的應(yīng)用意識(shí)。

探究點(diǎn)2：勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

教師提問(wèn)：通過(guò)試題的練習(xí)，那么勾股定理與其逆定理有什么區(qū)別與聯(lián)系？

學(xué)生分組討論，共同完成卜表：

鞏固練習(xí)

1.下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？若是，請(qǐng)指出哪個(gè)角是直角.

(1)a=8,b=\5,c=17：(2)a=13,b=14,c=15.

解：(1)在△人5c中，??Z2+/>2=82+152=64+225=289,?=172=289,

a1-\-b2=c1.

是直角三角形，NC是直角.

(2)在△ABC中，???/+序=]3公+142=365,?=152=225,

???△ABC不是直角三角形.

2.判斷滿(mǎn)足下列條件的三角形是不是直角三角形.

(1)在△/18c中，NA=25°,NC=65"；(2)a:b:c=3:4:5.

解：(1)在△八中，VZA=25°,ZC=65°,

???N3=180"-ZA-ZC=180°-25°-65°=90°.

???△ABC是直角三角形.

(2)設(shè)a=3鼠b=4k、c=5k(k>0),

'：a2+lr=(3々)2+(4攵產(chǎn)=25爐，c2=(52)2=25好，

'.cr-\-b1=(r.

???△ABC是直角三角形，NC是直角.

3.下列各組數(shù)是勾股數(shù)嗎？為什么？

(1)12,15,18：(2)11,60,61；(3)15,36,39；(4)36,35,12.

解：(1)V122+152=144+225=369,18?=324,

122+152#=182.

???12,15,18不是勾股數(shù).

(2)Vll2+602=1214-3600=3721,612=3721,

A112+602=612.

J11,60,61是勾股數(shù).

(3)V152+362=225+1296=1521,392=1521,

152+362=392.

???15,36,39是勾股數(shù).

(4)VI22+352=1444-1225=1369,362=1269,

/.122+35V362.

???36,35,12不是勾股數(shù).

4.已知直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是小江c下列說(shuō)法是否正確？

(1)以長(zhǎng)分別為2a,2b,2c的三條線(xiàn)段能組成一個(gè)直角三角形；

(2)以長(zhǎng)分別為G，瓜五的三條線(xiàn)段能組成一個(gè)直角三角形.

證明：(1)說(shuō)法正確.

假設(shè)直角三角形的斜邊為c,則有序+叢=/,

V(2a)2+(2b)2=4a2+4〃=4(/+/)=4c2=(2c)2.

???以長(zhǎng)分別為2m2b,2c的三條線(xiàn)段能組成一個(gè)直角三角形.

(2)說(shuō)法不正確.

假設(shè)直角三角形的斜邊為c,則有

V(Va)2-|-(Vb)2=o+Z>,(VF)2=c.

由三角形三邊關(guān)系得a+h>c,

/.(Va)2+(V5)2>(Vc)2，

???以長(zhǎng)分別為6,瓜G的三條線(xiàn)段不能組成一個(gè)直角三角形.

5.一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的比為3:4:5,它的周長(zhǎng)是60.求這個(gè)三角形的面積.

解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為"，以，5x.

由題意，得3x+4x+5x=60,

解得x=5.

???三邊長(zhǎng)分別為15,20,25.

V152+202=252,

???這個(gè)三角形是直角三角形.

AS=-2X15X20=150.

6.計(jì)算圖中四邊形ABCD的面積.

解：在RtZVlBQ中，根據(jù)勾股定理，得

84=122+162=400,

???80=20.

VCD=15,BC=25,

???CD2+B￡>2=152+202=625,

8c2=252=625.

：，CD1+Bb1=BC1.

???/BQC=90°（勾股定理的逆定理）.

?'?S四邊彩A8C0=SziA8o+S&8DC

=-X12X16+-X15X20=246.

22

7.如圖，ADA.BC,垂足為。.如果CQ=1,AD=2,BD=4,那么NBAC是直角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

D

4

-------------------------

解：VADIBC,

ZADC=NAO8=90。.

???在RlZkAQC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5.

在RtZkADB中，AB2=AD2-\-BD1=2r-^42=20.

VAC24-^B2=20+5=25,BC2=52=25.

:.AC2-\-AB2=BC2.

???△ABC直角三角形，ZBAC=90°.

思維提升

觀察下列勾股數(shù)：

3,4,5；5,12,13；7,24,25：9,40,41；...；a,b,c.

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出：

(1)當(dāng)。=19時(shí)，b=_180,c=⑻；

(2)當(dāng)”=2〃+1時(shí)，求b,c的值：

(3)用(2)的結(jié)論判斷15,111,112是否為一組勾股數(shù)，并說(shuō)明理由.

解：(2)通過(guò)觀察知c-b=l,

???(2〃+1)2+/=/,

C2一從=(2〃+1)2,S+c)(c-b)=(2〃+1)2,

?M+c=(2〃+l)2.

又?.?c=b+l,

???2b+1=(2〃+Ip,

/.b=2n2+2n,c=2n2+2n+\.

(3)不是.理由如下:由(2)知，2〃+1,2M+2",2扇+2〃+1

為一組勾股數(shù).

當(dāng)〃=7時(shí)，2〃+1=肘,112-111=1,但2上+2〃=112rli1,

J15,111,112不是一組勾股數(shù).

課堂小結(jié)

刃、，如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為。、b、c,且〃+〃=/,

‘內(nèi)谷那么這個(gè)三角形是直角三角形.

/如果三個(gè)正整數(shù)叫b,。滿(mǎn)足關(guān)系"2+〃=/，

勾股定理的逆定理J勾股數(shù)一則稱(chēng)％b,C為勾股數(shù).

r判定三角形是否為直角三角形.

〔應(yīng)用

1；勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)

用.

板書(shū)設(shè)計(jì)

1.標(biāo)題：3.2勾股定理的逆定理

2.勾股定理：

文字表述：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方

公式：a