2025-2026學(xué)年高一年級(jí)必修一數(shù)學(xué)單元檢測卷

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式?基礎(chǔ)通關(guān)

建議用時(shí)：120分鐘，滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

I.已知設(shè)M=a2-ab,N=ab-b?,則M與N的值的大小關(guān)系是()

A.M<NB.M<N

C.M>ND.M>N

【答案】D

【分析】利用作差法比較大小即可.

【詳解】因?yàn)镸=a'-ab,N=ab-b',

所以M-N=a?-ab-^ab-b^=ui-by>0,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，故MNN.

故選：D

2.不等式(x—。(―2x+l)Z0的解集為()

(1

A.<x-<x<I>B.?xx<--,Wcr>1?

I22

C.?x—<x<1?D.x—<x<\'

22

【答案】D

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

【詳解】?.(x-l)(-2x+l)Z(),

所以(x-l)(2x-l)W0,

「?原不等式的解集為

故選：D.

3.已知0<%<2,則3x(2-x)的最大值是()

A.一3B.3CD.6

【答案】B

【分析】利用基本不等式，直接計(jì)算即可.

【詳解】3x（2-x）<3xl[x+（2-x）]2=3,當(dāng)且僅當(dāng)％=2-X,即x=l取得等號(hào)，滿足題意.

故選：B.

4.若a,b,csR,則下列命題正確的是（）

A.若a>b，貝1」次、2>兒2B.若a<b<c<0,則

aa+c

C.若二,與，則D.若a>b，則a?〉//

cc

【答案】B

【分析】A.c=O,不成立；B.作差法判斷結(jié)論；C.j>0,可得到a>〃；D,。=1力=-2時(shí).不成立

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)c=0時(shí)，不成立，A錯(cuò)誤

b+cb優(yōu)+c）。一（a+c）〃（a-b）c

對(duì)于B,-------=----7----;-----=7---1，a<b<c<0,

a+ca（a+c）a（a+c）a

（a—b\c八bb+c

：.a-b<0,a+cvO,-'-y---->0,即一<------,B正確

[a+c]aaa+c

對(duì)于C,-V>0=>c2>0,二>與，a>b,C錯(cuò)誤

cLc

22

對(duì)于D,當(dāng)。=1力=-2時(shí)，a<b,D錯(cuò)誤

故選：B

34

5.已知4>0力>0,且a+勸=2,則一+二的最小值是（）

ah

27

A.6B.12C.—D.27

2

【答案】C

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【詳解】由〃>0/>0,a+3b=2,得士3+；4=：1（a+3〃）（31+4；）=1；（15+9吆b+4空a）

ab2ab2ab

,（15+2欄多==,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=?,即2。=3b=g時(shí)我等號(hào)，

所以23+工4的最小值是27

ab2

故選：C

6.當(dāng)xeR時(shí)，一元二次不等式比2-履+1〉0恒成立，則&的取值范圍是（）

A.（）<攵<4B.k<4C.0<Z:<4D.左<0或A>4

【答案】A

【分析】由一元二次不等式恒成立的條件可得結(jié)果.

【詳解1由一元二次不等式米2-去+1>0,可得女工0,

從而</,\2,,八，解得：0<k<4.

（一攵）-4^<0

故選：A.

7.已知正數(shù)-），滿足丁+丁=32,則工+丁的最大值為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【分析】利用妥可求1+y的最大值.

【詳解】因?yàn)闀?產(chǎn)百1"+'2=32,所以丹12咨|正=8，

當(dāng)且僅當(dāng)、=丁=4時(shí)，等號(hào)成立，即x+y的最大值為8.

故選：A.

8.若上使得Y-2or+a+2?0成立，則實(shí)數(shù)〃的范圍是（）

A.a>\B.a>2C.a>3D.a>—

5

【答案】B

【分析】分析可知原題意等價(jià)于^使得女工工。成立，令/=2x-l,利用基本不等式結(jié)

2x-l

合存在性問題分析求解.

【詳解】因?yàn)閒—2at+a+2W0,即X2+2Wa（2x-l）,

又因?yàn)閯t2x-l?I,5],可得二!工工〃，

2x-l

原迤意等價(jià)于Hre{x|lKxW3},使得工^工。成立,

2x-\

令t=2x-l€{x|lWxW5},則x=g,

9

當(dāng)且僅當(dāng)/=一，即/=3,x=2時(shí)，等號(hào)成立,

t

可得。22,所以實(shí)數(shù)〃的范圍是。22.

故選：R

行3+2=—，解得a=lb=l

a99

-3x2=—

故AC錯(cuò)誤，B正確;

不等式A2-bx-2aN0即寸-x-2N0,可得解集為任次4-1或x>2}.

故選：BD.

11.以下結(jié)論正確的是（）

A.若x>0,則丫=乂+一的最小值是2

B.若。，且而>0,則2+

ab

y=J/+3+J+3的最小值是2

C.

D.若。>0,b>0,且。十人=1,貝ija力S,

4

【答案】ABD

【分析1使用基本不等式（均值不等式）及其取等條件進(jìn)行判斷:

【詳解】由基本不等式（均值不等式）：如果。>0,b>0,則"石4半，當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)取等號(hào)，可

得

如果〃>0./?>0,〃+瘋，當(dāng)口僅當(dāng)〃=小時(shí)取等號(hào).即〃〃為定值時(shí).4+〃的最小值為2而.

如果?！担ǎ?，〃〉（），"W（等），當(dāng)且僅當(dāng)。時(shí)取等號(hào)，艮］a+b為定值時(shí)，必的最大值為（?），

對(duì)于A,當(dāng)x>0時(shí)，），=x+：22口［=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=^=l時(shí)取等號(hào)，故A正確；

對(duì)于B,因必>0,所以2>0且￡>0,因此2+口2=2,當(dāng)且僅當(dāng)2=?,即"=人時(shí)取等號(hào)，故

ababNabab

B正確：

對(duì)于C,+^773--r4==2,當(dāng)且僅當(dāng)777^二丁二時(shí)取等號(hào)，此時(shí)X無實(shí)數(shù)解,

VX2+3VVX2+3"+3

故標(biāo)+S的最小值不是2'選項(xiàng)0錯(cuò)

故&+3+「j—>26+3-「j—=2無法取等號(hào),

6+3V&+3

誤,

對(duì)于D,如果〃>（）,b>0,則而《（審當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=g時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12,不等式，<1的解集為.

x

【答案】3%<0,或i>1}

【分析】先移項(xiàng)、通分，再轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可.

【詳解】由!<1得，--K0,通分得口<(),

XXX

此不等式等價(jià)于Ml-x)vO,解得x<0或x>l,

故不等式的解集為{x|xvO,或3>1}

故答案為：{x|x<0,或X>1}

13,已知實(shí)數(shù)X、)，滿足一3Wx-2)*2,-4<2x+.y<0,則4x—3y的取值范圍為—

【答案】W-10WxW4}

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求得正確答案.

【詳解)通過觀察可知4x-3y=2(x-2y)+(2x+y),

由于-3Wx—2yK2,則一6W2(x-2)，)W4,

Hij-4<2x+y<0,所以一10?4x-3y44.

故岑案為：{x|-10WxW4}

14,已知J+(2—a)x+4—2aNO對(duì)任意2,轉(zhuǎn))恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】?<2

【分析】變形得到立匚山2。在工?-2,轉(zhuǎn))上恒成立，由基本不等式求出

x+2

X+2X+4=(x+2)+—--2>2,得到a?2.

x+2x+2

【詳解】X2+(2-a)x+4—2a20=f+2x+4>?(x4-2),

因?yàn)閤w(-2,+“)，所以問題等價(jià)于巴29之〃在2,+8)上恒成立，

x+2

其中爐+"+4=(%+2)2―2("2)+4+/__222M.+2).8--2=2、

x+2x+2')x+2V)%+2

4

當(dāng)且僅當(dāng)x+2=-即x=0時(shí)，等號(hào)成立，

x+2

故。工2.

故答案為：6/<2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

(I)比較V+4y2+]與2(x+2y-l)的大??；

(2)已知。>人>。，c<d<0,e<0,求證：.

a-cb-d

【答案】《1)x2|4/I1>2(xt2>-1)；(2)證明見解析.

【分析】(1)利用比較法，作差即可判斷大?。?/p>

(2)結(jié)合不等式性質(zhì)即可證明.

【詳解】解：(1)x2+4/+l-2(x+2y-l)=(x2-2A+l)+(4/-4y+l)+l=(x-1)2+(2.v-l)2+1>0,

.,.x2+4y2+1>2(x+2y-l).

(2)證明：因?yàn)?，?gt;人>0,可得一「>一/>0,a-oh-J>0,

11pP

則丁又e<°，可得一丁

b-aa-ca-cb-d

16.(15分)

(I)已知x>(),y>0,且X+4)，=4G，求孫的最大值；

(2)訐明：Vx、V、2G(0,+oo),(x+4y)(y+z)(4z+x)>32^z.

【答案】(1)3；(2)證明見解析

【分析】(1)利用基本不等式可得出關(guān)于外的不等式，即可解得孫的最大值;

(2)利用基本不等式可證得所求不等式成立.

【詳解】(I)因?yàn)閤>0，J>0,Kx+4y=4x/3,

由基本不等式可得工+4)，=4622而斤=4而，可得孫43,

x=4y=26

當(dāng)且僅當(dāng)「+4y=4G時(shí)，即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,

x>0,y>0

故取的最大值為3；

(2)因?yàn)閄、y、z都是正數(shù)，

由基本不等式可得x+4y2277^^=47^，y+z>2j~^,4z+x>2>j4zx=4\[zx,

由不等式的基本性質(zhì)可得（x+4y）（y+z）（4z+力232dxy?yzzx=32xyz,

當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=4z時(shí)，等號(hào)成立.

故(％+4y)(y+z)(4z+%)之32xyz.

17.(15分)

已卻。>0,b>0,且2a+b=ab.

⑴求他的最小值；

（2）證明：a+2b>9.

【答案】（1）8

（2）證明見解析

【分析】（1）變換得到2■+[=1，再利用均值不等式計(jì)算得到答案；

（2）變換a+2力=（〃+2刀（卜訃展開利用均值不等式即可證明.

12

【詳解】（1）因?yàn)闉?8=".所以一+7=1,

ab

a>0,b>0,故1=,+222、區(qū)，當(dāng)且僅當(dāng)』=2=1，即〃=2力=4時(shí)取等號(hào),

ab\abab2

所以必28,即訕的最小值為8；

（2）證明：

?/c,、(12、_2b2a、=312b2a八

a+2b=(a+2b)I—+J-I=5H----F—>5+2J....-=9?

當(dāng)且僅當(dāng)竺=學(xué)，即。=。=3時(shí)取等號(hào)，所以。+2b29.

18.（17分）

某L家擬2024年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年

促銷費(fèi)用加萬元（〃止0）滿足x=4-白”為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬

件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷

位價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按史西元來計(jì)算）.

X

⑴求k的值；

（2潮2024年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用川萬元的函數(shù)；

（3）該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤最大？

【答案】（1）2

(2)y=36—————77/(/??>0)

tn+\'

(3)3萬元

【分析】(I)由〃?=0時(shí)，x=2代入即可求解；

(2)由銷售綜合減去促銷費(fèi)用、成本即可求解；

(3)由(2)結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】(I)由題意知，當(dāng)〃?=0時(shí)，x=2(萬件)，

則2=4-左，解得2=2：

?

(2)由(I)可得x=4--%.

zn+l

所以每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為L5x殳絲(元)，

x

，2024年的利潤y=1.5xx^-^x-8-16x-/??=36———

xm+\

(3),當(dāng)〃zNO時(shí)，m+l>0,

.??4十(m十l)N2加=8,當(dāng)且僅當(dāng)m=3時(shí)等號(hào)成立.

川+1

二”-8+37=29,

當(dāng)且僅當(dāng)々=機(jī)+1,即6=3萬元時(shí)，加、=29(萬元).

m+l

故該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為29萬元.

19.(17分)

已知函數(shù)/(%)=mx2-(m+2)x+2,mGR.

(I)若/(%)>。對(duì)任意的工eR恒成立