第四部分題型專練題型專練7函數(shù)的應(yīng)用1.（2025·鄞州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（－2，m）在直線y＝－2x－1上，過點(diǎn)A的直線交y軸于點(diǎn)B（0，5）.（1）求m的值和直線AB的函數(shù)解析式.解：把點(diǎn)A（－2，m）代入y＝－2x－1中，得m＝3，設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，

∴直線AB的函數(shù)解析式為y＝x＋5.類型一

一次函數(shù)的應(yīng)用（2）若點(diǎn)P（t，y1）在直線AB上，點(diǎn)Q（t－1，y2）在直線y＝－2x－1上，當(dāng)t取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式y(tǒng)1＋ky2的值為定值，求k的值，并求出這個(gè)定值.解：∵點(diǎn)P（t，y1）在直線AB上，∴y1＝t＋5.∵點(diǎn)Q（t－1，y2）在直線y＝－2x－1上，∴y2＝－2（t－1）－1＝－2t＋1.∴y1＋ky2＝t＋5－2kt＋k＝（1－2k）t＋5＋k，

2.（2025·遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋4與y軸相交于點(diǎn)A，與x軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段OA上（不與點(diǎn)O，A重合），過點(diǎn)C作OA的垂線，與直線AB相交于點(diǎn)D，點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接DE.（1）求證：∠OAB＝45°；證明：由條件可知A（0，4），B（4，0），∴OA＝4，OB＝4.∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°.（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），當(dāng)0＜m＜2時(shí)，線段DE與線段OB相交于點(diǎn)F，求四邊形COFD面積的最大值.解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），∴OC＝m，AC＝4－m.由條件可知CE＝AC＝4－m，∠OAB＝∠CED＝45°，∴OE＝CE－OC＝4－2m.∵∠EOF＝90°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°.∴OF＝OE＝4－2m.∵CD⊥OA，∴∠OAB＝∠CDA＝45°.∴CD＝AC＝4－m.

3.（2025·邯鄲）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（－3，4），B（1，2），直線AB與直線l：y＝kx＋2k（k≠0）交于點(diǎn)P（m，n）.（1）求證：無論k取何值，直線l都經(jīng)過定點(diǎn)Q（－2，0）；證明：由條件可得y＝（x＋2）k，∵無論k取何值，直線l都經(jīng)過定點(diǎn)Q（－2，0），故x＋2＝0，解得x＝－2，∴y＝0.故無論k取何值，直線l都經(jīng)過定點(diǎn)Q（－2，0）.（2）若m＝3，n＝1，直線l與y軸的交點(diǎn)為C，求直線l的解析式，并求出此時(shí)△ABC的面積；解：設(shè)直線AB的解析式為y＝tx＋b，

如圖1，連接AC，BC，

（3）若直線l與線段AB有交點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍.解：如圖2，當(dāng)k＞0時(shí)，無論k取何值，直線l都經(jīng)過定點(diǎn)Q（－2，0），當(dāng)直線l經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線l與線段AB有交點(diǎn)，設(shè)此時(shí)直線l的解析式為y＝mx＋n，

當(dāng)k＜0時(shí)，無論k取何值，直線l都經(jīng)過定點(diǎn)Q（－2，0），當(dāng)直線l經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線l與線段AB有交點(diǎn)，設(shè)此時(shí)直線l的解析式為y＝px＋q，

故k的范圍是k≤－4.

（1）求證：△AOB≌△DCA；解：∵CD⊥x軸，∴∠ACD＝90°＝∠BOA.

∴Rt△AOB≌Rt△DCA（HL）.（2）求k的值；

∴OC＝OA＋AC＝3.∵CD⊥x軸，∴D（3，2）.∵E是CD的中點(diǎn)，∴E（3，1）.

∴k＝3×1＝3.（3）△BFG和△DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱，其中點(diǎn)F在y軸上，試判斷點(diǎn)G是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由.解：點(diǎn)G在反比例函數(shù)的圖象上.理由如下：由（1）知，Rt△AOB≌Rt△DCA，∴OB＝AC＝1.∴B（0，1）.∵OA＝2，∴A（2，0）.設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，n），∵△BFG和△DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴BD與AG互相平分.

∴m＝1，n＝3.∴G（1，3）.∴1×3＝3.∴點(diǎn)G在反比例函數(shù)的圖象上.類型三

二次函數(shù)的應(yīng)用5.（2025·易門）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)貿(mào)易公司開設(shè)了一家網(wǎng)店，銷售當(dāng)?shù)啬撤N農(nóng)產(chǎn)品，已知該農(nóng)產(chǎn)品成本為每千克10元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（kg）與銷售單價(jià)x（元）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中10＜x≤30）（1）寫出y與x之間的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍；解：由圖象知，當(dāng)10＜x≤14時(shí)，y＝640；當(dāng)14＜x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx＋b，將（14，640），（30，320）代入，

∴y與x之間的函數(shù)解析式為y＝－20x＋920.

（2）當(dāng)銷售單價(jià)x為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?解：設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為w元，當(dāng)10＜x≤14時(shí)w＝640×（x－10）＝640x－6

400，∵k＝640＞0，∴w隨著x的增大而增大.∴當(dāng)x＝14時(shí)，w＝4×640＝2

560（元）.當(dāng)14＜x≤30時(shí)，w＝（x－10）（－20x＋920）＝－20（x－28）2＋6

480，∵－20＜0，14＜x≤30，∴當(dāng)x＝28時(shí)，w有最大值，最大值為6

480.∵2

560＜6

480，∴當(dāng)銷售單價(jià)x為28元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6

480元.6.（2025·上城）已知二次函數(shù)y＝（x－m）2＋k（其中m，k為常數(shù)）.（1）若函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－1，且經(jīng)過點(diǎn)（1，0），求二次函數(shù)的解析式；解：∵函數(shù)y＝（x－m）2＋k（其中m，k為常數(shù)）圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－1，∴m＝－1.∵圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），∴（1＋1）2＋k＝0.∴k＝－4.∴二次函數(shù)的解析式為y＝（x＋1）2－4.（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（k，m），求k－m的值；解：∵二次函數(shù)y＝（x－m）2＋k（其中m，k為常數(shù)）圖象經(jīng)過點(diǎn)（k，m），∴m＝（k－m）2＋k.∴（k－m）2＋k－m＝0，即（k－m）（k－m＋1）＝0.∴k－m＝0或k－m＋1＝0.∴k－m的值為0或－1.（3）在（1）的條件下，若二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），對(duì)于x1＝t，x2