目錄

01知識(shí)重構(gòu)?重難械理固根基................................................2

02題型精研?技巧通法提能力................................................2

題型一二維柯西不等式直接使用（★★★★）................................................................2

題型二二維柯西不等式變式型（★★★★★）..................................................................4

題型三二維柯西不等式三角型（★★★）....................................6

題型四三維（多維）柯西不等式（★★★★★）...............................8

題型五權(quán)方和不等式基本型（★★★★）.........................................................................................10

題型六權(quán)方和不等式的推廣型（★★★★★）................................................................................12

題型七權(quán)方和不等式三角型（★★★）..............................................12

03實(shí)戰(zhàn)檢清?分層突破驗(yàn)成效........................................................13

檢測I期磔知火鞏固..........................................................13

檢測II組創(chuàng)新能力提升...........................................................19

01知識(shí)重構(gòu)-重難梳理固根基

一、柯西不等式

1、二維形式的柯西不等式

￡(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2。(aQ,ci,dGR。，u當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí)，等號(hào)成立.)

2、二維形式的柯西不等式的變式

(1)Va2+b~?Vc2+d2>|ac+bd|(a4力行，c—,d€凡存當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí)，等號(hào)成立.)

(2)Va2+62,+]ac|+\l)d\(a^,b,cq,dGR,Q當(dāng)且僅當(dāng)ad=be吐等號(hào)成立.)

(3)(a+b)(c+〃)A(Jac+y/bd)2(aQ,6-,cQ,d>0,a當(dāng)且僅當(dāng)Q或/=be#時(shí)—,等號(hào)成立.)

3.擴(kuò)展：(遍+磅+欣+…+*)(/+&+優(yōu)+…+必)3(afii4-Q2b2+的％+…+/鼠)2,當(dāng)且僅當(dāng)QM=O2也=???=

也時(shí)，等號(hào)成立.

注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用.比如，對(duì)小+，2,并不是不等式的形狀，但變成

4-(l2+l2+l2)-(a2+62+c2)就可以用柯西不等式了.

二、權(quán)方和不等式

權(quán)方和不等式,若0,則尤+￡)此誓■，當(dāng)且僅當(dāng)馬=白時(shí)，等號(hào)成立.

xyx±yxy

證明Itafb,x,y>()

要證近+尤>反包

xyx+y

只需證網(wǎng)包包

xyc+“

印證xya2+y2d2+x2b2+xyb2>xyd2+2xyab+xyb2

故只要證y'E+x2b2>2xyab

(ya-x6)2>0,當(dāng)且僅當(dāng)?/Q-/=0時(shí)，等號(hào)成立

即尤+上>如心匚，當(dāng)且僅當(dāng)包=之時(shí)，等號(hào)成立.

xyx+yxy

證明勿對(duì)柯西不等式變形，易得(與+8)(％+y)>(a+b)2在a也c,y>0時(shí),就有了5+今■》包誓當(dāng)?

v/〃沙

=立時(shí)，等號(hào)成立.

y

推廣1：尤空空/，當(dāng)馬=白=右時(shí)，等號(hào)成立.

xyzc+g+zxyz

推廣:2：若Q0也>O則等+孚■+…(匕7：：：)，當(dāng)。=做時(shí)，等號(hào)成立

推廣3：若Q0也>0加>0,則■■+等+…+等力…,當(dāng)a產(chǎn)地時(shí)，等號(hào)成立.

砥嵋(山+與+…+bn)m

02題型精研-技巧通法提能力

題型一二維柯西不等式直接使用1

【技巧通法?提分快招】j

..............B

1、二維形式的柯西不等式

1(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2^(a二,b二,cu,dCHm,q當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立.)

2、記憶方法:口訣，平和城,城和平

平，平方

城洞“乘”，相乘的意思

1.(24-25高三下?河北?期中)柯西不等式是法國數(shù)學(xué)家柯西與德國數(shù)學(xué)家施瓦茨分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)

學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用.二維柯西不等式為(Q2+〃)(c2+d2)>(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號(hào)成

立.已知Q>0,。b>0,直線夕=2c—3Q與曲線沙=ln(2c+b)相切，則?石+4|工的最大值為

()

A乎B.4C.D.埠

OMJN

【率案】8

【分析】首先根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再結(jié)合切點(diǎn)在畫數(shù)圖象和直線上得到。與b的關(guān)系，然后對(duì)所

求式子進(jìn)行變形，利用柯西不等式來求解最值即可.

【詳解】設(shè)直線y=2c—3。與曲線y=ln(2rr+b)相切的切點(diǎn)為；比,%),

由g=ln(2①+b)得式=,則，1=2,即2%+匕=1,

/Ni"uZC(j10

則(現(xiàn)23：()3a得3a=In(2方)+b)=Ini=0,

[%=ln(2n+b)

什以io=當(dāng)，代入2以)十》=1得3。+6=1,

因?yàn)镼>0,。b>0,所以

[(廊)2+(逐)2][(%)+(空丹2(島x%+Cx號(hào))

22+=3a+6x=

因?yàn)閇(V3a)+(VS)][(-^-)(^)-]()yy?

所以V?'=+^3^，當(dāng)且僅當(dāng)=4x—，即a==J等號(hào)成立.

故選：3

2.已知出>0,沙>0,岑■+才=1,則乎/+2?的最大值是

42

【答案】2

【分析】利用柯西不等式即可求解

【詳解】由柯西不等式得(苧+才)(12+[2)>(]xl+nxl『=(1+g)2

班以lx2>(5+g)2,當(dāng)年="即￡=口出=乎時(shí)等號(hào)成立.

仔以耳■+?/&應(yīng)，即乎％+的最大值是2

3.A4BC中角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=3,。為BC的點(diǎn)，且BD=2CD,40=1,則b+

c的最大值為

【客案】挈

【分析】根據(jù)在4ABD,AADC中根據(jù)NAOB,N4D?；パa(bǔ)，余弦和為0,由余弦定理可得262+/=9,再結(jié)合

柯西不等式或者利用三角換元方法求得.

【詳解】

由cosN力0，+cos/.ADC=0得+上，一？=0,即2〃+〃=9,

2x2x12x11x1

解法一：柯西不等式法

由柯西不等式可得(262+c2)(y+l)>(b+c)2,得(b+c)2〈與，

當(dāng)且僅當(dāng)》=誓,C=4時(shí)，等號(hào)成立.

故b+c的最大值為唾.

解法二：三角換元方法

V26=3cos〃,c=3sin〃，

b+c=-^cos。+3sinJ=■^■+9sin(6+*)=3：)('sin(J+.),

Jz

最大值為呼.

故答案為：呼.

題型二二維柯西不等式變式型

4./U)=A/5X-4—Vx—4的最小值為.

【答案】塔/多百

55

【分析】運(yùn)用4czE不等式即可解.

【詳解】/(x)=V5T—4—Vx—4=V5,Jc-春—1?y/x—4

>7(5-l)[(x-f)-(x-4)]=7^=-^-

當(dāng)且僅當(dāng)^一即2=空時(shí)取等號(hào)，

x-415

故/(x)=V5x—4—Vx—4的最小值為

8Dg.

故答案為：*.

5.若不等式乃+向&^\后何句對(duì)任意正實(shí)數(shù)4，g都成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為

【答案】4口/《溝

55

【分析】運(yùn)用軻四不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由柯西不等式的變形可知辰歷=/I畢星半］＞Vx+Vy,整理得中M&卒,

VIV5+1辰司

當(dāng)且僅當(dāng)手=半，即g=25rr時(shí)等號(hào)成立，

5

則k的最小值為空■.

故答案為：凈

5

0.（24-25高三上?遼寧?月考）已知空間向量^a±b,才在6，廣上的正投影數(shù)量分別為1和3,且同

二，謳,則K與4+1所成角余弦的最大值等于.

【不案】■

?5

【分析】由向量垂直得到益?/=0,由投影得到3v=同;下=3瓦表達(dá)出3與4+分斤成角余弦值，利用柯西

不等式求出最值，得到答案.

【詳解】因?yàn)椤霰人?4=0.

其中彳寸=「=3,故之汽=同京?廣=3同，

（a+6）2=a2+2a-b-1-b2=同?+時(shí),

-c-（a+6）c-a+c-S同+3同

則3與J+5所成角余弦值為-r-^―4=—°里＞=―g?

的根+聞VI5-7I4+IC小麗+同

由柯西不等式得J同4時(shí)，＞同+3網(wǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)3同=帆時(shí)，等號(hào)成立,

戰(zhàn)K?伍+今二同+3^vm=4

臥|升二上.阿麗――3，

什以3與五十廣所成角余弦的最大值為尊.

故答案為：平

*5

【點(diǎn)睛】柯西不等式：JQ2+分?+42（QC+bd）2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí)，等號(hào)成立.

7.（2024?北京朝陽?模擬預(yù)測）函數(shù)八①）=^^寸+/5^二^的最大值為（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【答案】。

【分析】由柯西不等式求解即可.

【詳解】/Q)=Jc(l-c)+Jc(4—c),由｛氏—4三。，解得O&c&l,

當(dāng)力=0B寸，/(%)=0,當(dāng)④=1,/(t)=瓜,

當(dāng)ov①vi,則/3)>o,

此時(shí)1一名>0且4一]>0,

由柯西不等式可得[Jc(l—c)+Jc(4—1)[x+(4—x)][(l—x)+x]=4,

當(dāng)且僅當(dāng)=4二"，即①=六時(shí)取等號(hào)，此時(shí)產(chǎn)㈤&4,即/⑸&2,

1-XIVO

q..................

戶戶以函數(shù)f(x)=y/x-x2+\/4x-x2的最大值為2.

故選：C.

8.(23-24高三上?上海奉賢?期中)對(duì)于平面曲線S上任意一點(diǎn)，和曲線7上任意一點(diǎn)Q,稱|PQ|的最小

值為曲線S與曲線T的距離.已知曲線S：g=4和曲線7：y=J1-(%-3尸,則曲線S與曲線T的距離

為()

A.XP--1B.乎C.V2-1D.2

【答案】/

【分析】先根據(jù)距離公式算出I尸Qf,然后利用柯西不等式oc+bd=一J(Q2+的92+6/2)代入求解即可.

【詳解】解：由題意得：

3殳P(Xi,)，Q(①2,一一(12-3)2)

則|PQ『=(分2—%)2+(J1一(立2-3)2-V^T)2

=煙+猶—2%自2+1—(g—3)2+Xi-2,1—⑸―3)2?

=x\—2①@2+6g+為一8—2J1—3—3)2.

=(6—2^1)(x-2—3)—2,1—(丁-3)2?+猶-5xi+10

根據(jù)柯西不等式：(/+〃)(/+d2)>(ac+bd)2

于是\ac+bd\<y/(a2+b2)(c2+dr)

ac+bd>->y/(a-J+b~)(c2+d2)

于是|PQ『=(6-2g)(g—3)—2，1—(g—3)2?+xl-+10

J(6-2i])2+4a：i,J(12-3)2+]—3口—3)2_|_^.2_5為+1。

=-2jW—5，i+9+—5^1+9+1

令，謨-5④i+9=力，則￡=小(電-"1")~+號(hào)>~^2^~

故|「(2|2=廿_2￡+1=(￡-1)2川呼一17二|2(2|>乎-1

故d=|FQ|IIlin=日1—1

故選：工

題型三二維柯西不等式三角型

9.(2024?浙江?一模)若sin%+cosg+sin(c+g)=2,則sine的最小值是()

A.0B.2-V3C.3-V7D.J

乙

【答案】。

【分析】先把已知整理成2—sina;=(sina;+l)cosy+8sasing的形式，再把等式的右邊利用柯西不等式進(jìn)行

放縮，得到關(guān)于sine的一元二次不等式進(jìn)行求解.

【詳解】由已知sin/+cosg+sini:CQSg+cosa:sing=2整理得?

2—sinx=(sine+l)cosg+cosrrsin?/,:

由柯西不等式得.

(sinx+l)cosy+cosxsinyS，(1+sin%)?+cos?1?Jeos^y+sin2g=V2+2sinre,；

............G

當(dāng)(sine+l)sinu=cosgcos①時(shí)取等號(hào)，

下戶以(2—sinrr)242+2sinx,即sin2x-Gsinx+240,

解得3—WsinzW1,所以sino：的最小值為3一/7.

故選：C.

“㈤=武注高+肅不的最小值為

【答案嚼/2專

【分析】/⑻二忘尋石+—壽=海急西+可懸率T進(jìn)而利用權(quán)方和不等式可求最小

隹.

2sih2x+35cos21+6

52,42、(5+4)2_&

5(2sin%+3)2(5cos2x+6)10(sin2x+cos2x)4-2737

當(dāng)且僅當(dāng)-...------=----------,即sinx=±^-,cos￡=±?時(shí)取等號(hào),

5(2sim+3)2(5cos2x+6)33

什以/Q)=~—+——2—的最小值為整.

2sin2rr+35cos2rr+637

故答案為：笑.

11.（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測）已知△43。面積為1,邊力。,43上的中線為62CE,且6。二弓。后,則邊

/。的最小值為.

【答案】孚

【分析】設(shè)E?CCE=G,CG=3c,/^^二巴由三角形面積公式得到爐=二^^再由余弦定理得到力。

18sint/

=2J13二￥?；?，令z=13-12*,得到I：,=i2cos。+zsinG,結(jié)合柯西不等式進(jìn)而可求解.

V18sin〃sine,

【詳解】設(shè)BDCICE=G,

易知G為的重心，

又8。二今儂，由重心為中線三等分點(diǎn)可得：BG=4~CG,

<50

同時(shí)?5ABGC,=^^MiCD=-yS&1BC=?

設(shè)CG=3N,/CGD=O,

則6G=4c,GO=2c,

2

則S^c=y(3x)(4x)sin(7t-0]=6rrsin^=y,

所以/=]

18sinJ

由余弦定理可得：AC=2CD=2V4u2+9x2-12x2cosZ?=2、/13~12c^-

V18sin〃

令2=13T2,Sj求其最小值即可,

sint/

上式化簡可得：13=12cos夕+zsinJW>y(122+z2)(cos2<9+sin2/9)=y/122+z2,

也即/>132—122=25當(dāng)且僅當(dāng)5sin。+12cos〃=13時(shí)取得等號(hào)，

所以4<7=2/I，-12cosJ>2/_i2_VTo

Ac2v18sin^2V18

故答案為：邛

o

題型四三維（多維）柯西不等式

【技巧通法?提分快招]

（af+退+a；；H---卜成）（優(yōu)+屈+6H---卜昭）＞（a,+aj）2+a3b34—+0^,）2,當(dāng)且僅當(dāng)。曲尸出也二

-=Q/bn時(shí)，等號(hào)成立.

12.柯西不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)。。1，。2，。3和。bI,62,63,有⑷+Q2+QW）氏+優(yōu)+））＞

（021+0262+。：力3）2,當(dāng)且僅當(dāng)獸=詈=魯?shù)忍?hào)成立，已知?！?媛+爐=14,請(qǐng)你用柯西不等式，求

匕1o＞0,\

出。4+2y+3z的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

【客案】力

【分析】根據(jù)柯西不等式的三元形式，構(gòu)造Q2+g2+z2）（12+22+32）＞（l+2g+3z）2求解即可.

【詳解】因?yàn)?。?+,2+Z2=]4,

根據(jù)題目中柯西不等式的三元形式可知（i+垢+1）（12+2?+3?）＞（￡+2g+3z）:

所以（N+2g+3z）2wi4xl4,①+2g+3zW14

(x=l

當(dāng)且僅當(dāng)牛=磊=母，即卜=2時(shí)等號(hào)成立,

O

U=3

所以。c+2g+32的最大值是14,

故選：A

13.已知a,b,c€R,滿足（。+2）2+〃+（0+1）2=12,則q+6+。的最大值為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】6

【分析】根據(jù)柯西不等式的等號(hào)成立條件，即可求出a+8+c的最大值.

【詳解】設(shè)a+2=ty,b=v,c+1=〃，可得/+十+建2=12,

行以Q+b+c=u＞+o+〃-3.

因?yàn)椋ǔ?0+“）2W（V+[2+[2）?2+〃+爐）=36,

所以-6Wu＞+o+6,

當(dāng)且僅當(dāng)10=0=〃=2,儀+期+”取得最大值6,

此時(shí)a+2=b=c+l=2,

什以a+b+c的最大值為6—3=3.

故選：B.;

14.（23—24高三上.陜西咸陽?月考）若Q?+Q3H--Fa;4=8）（n為偶數(shù)）,則axa2+a2a3+a3a4H----（~冊(cè)_網(wǎng),+；

。必的最小值為（）;

.............G

A.25B.8C.-8D.-25

【答案】C

【分析】利用柯西不等式求解.

【詳解】由柯西不等式，得+小H---成T+*)(磅+Q：H---F*+a?)>(QQ+的@34--卜%-14+QQ尸，

(aQ+。刈3H---0n+a”。］)?48X8,

.*.-8<。血2+(12^3+Q3al+…+a”。1<8,

當(dāng)幺=包=包=???=41=—=—1且Q；+送-I---1-。2=8時(shí)，

a2a3a40nax

即同=|a|=M=???=|%-1|=|4|=n，且的,如，。5,…與02,04,06.-?異號(hào)時(shí),

2'n2

。1色+a2CL：i+。也4H--FOn-itln+0n%=-8,

則Qi。2+。2。3+a3a4T--FQ〃_IQ”+a0al的最小值為—8.

選C

15.(2024高二下.北京.競賽)對(duì)于c>0，若非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最

大，則之一言+2的最小值為

abc------

【答案】一5

【分析】根據(jù)等式先配方出平方和缶一與f+電■〃,再利用柯西不等式，湊出|2a+b|,以等號(hào)成立的條件為依

\4710

據(jù)，把3—小+2轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的函數(shù)，求最值即可.

abc

【詳解】因?yàn)?a2—2ab+4b2—c=0,所以，=〃——al)4-b2=Ia--7-)+4^*b2,

42'4吠16

由柯西不等式得,［(。-與■叼忸+(得力》［2(Q-？)+半岳舟］2=［2Q+W，

?bV15.

Q—r-A~°

當(dāng)|2Q+”最大時(shí)，有一--=---，所以(1=%，。=10b2,

/-U乙

715

/以冬_工+2=4_a+_2__=L(工)2_2=工(工_5)2—5,

abc3bb1052b51b'

2

當(dāng)=5,即b=±-時(shí)，上式取得最小值一5.

b5

故答案為：一5.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查柯西不等式，關(guān)鍵在于用柯西不等式湊出|2a+b|2,當(dāng)反推柯西不等式時(shí)，需要結(jié)

合不等式兩邊已有的式子，對(duì)相同未知數(shù)的系數(shù)進(jìn)行分析配湊.

16.(24-25高三上?上海楊浦?期末)已知平面向量匕6,不滿足同=1,歸=2,僅一研?才=0且必立=0.

記平面向量1在乙日方向上的數(shù)量投影分別為3火向量？-日在K方向上的數(shù)量投影為z,則對(duì)任意滿

足條件的向量落代數(shù)式爐+才+爐的最小值是.

【答案】言/0.4

5

【分析】設(shè)日=(1,0),6=(0,2),3=(in,n),,由平面向量的知識(shí)可得2x+y±V^z=2,再結(jié)合柯西不等式即可

得解.

【詳解】令d=(1,0),夕=(0,2)1=(m.n),因?yàn)?a—b)二=0,故(1,-2)?(zn,7i)=0,/.m—2n=0,

令己=(2n,n),平面向量2在區(qū)5方向上的投影分別為wy,

談2=Q,y),則:3—d=(?-a)?c=2n(x—l)+ny,|c|=V5|n|,

從而：z=g乎工=2處冷，故22+[±.Z=2

忖V5|n|

由柯西不等式可得2%+g—/z=24J2?+1?+(—函y,\/x2+y,2+z2

化簡得/十斤+)>縣=鄉(xiāng),當(dāng)且僅當(dāng)2=1_=/￡,

1105工期z

即x=-^rty=-^r,z=—^-時(shí)取等號(hào)，故Z?+g?+"的最小值為章..

5555

故答案為：?

17.(2024?四川成都.模擬預(yù)測)已知Q,b,c>0,且Q+b+c=abd.

(1)求ab/的最小值Tn；

⑵證明：mabc+(a+b)c2>m2.

【答案】⑴4

(2)證明見解析

【分析】⑴將等式變形為a+b+c=a+b+5+專，再利用基本不等式,

⑵對(duì)已知條件a+b+c=而〃丙邊同除時(shí)c可得+4,|_-k-=°,再利用柯西不等式求證.

abbeac

a，6，-

【詳解】(1)由均值不等式可知a+b+c=a+b+專+'~>4,72*f，即abc2>q堂,(當(dāng)且僅當(dāng)

乙乙

a=b==1時(shí)，"="成立).

整理得而〃>4,故abc2的最小值為4.

222

(2)由(1)知m=4,即證4abe+(a+6)c>4,由Q+b+c=abc可得二+-7-+—=c,

abbeac

2

即有406c+(a+b)c=(4ab+QC+bc)c=(4a6+ac+bc)(±-+二),

'abacbe7

由柯西不等式可知(4a6+ac+dc)(―+y-

abacbe

42,

取等條件為華=竿=牛，即a=b=]=l.故4abc+(a+6)c2>42,

abacbe

即:mabc+(a+b)c2>得證.

題型五權(quán)方和不等式基本型

【技巧通法?提分快招］

1、很多題目是不會(huì)直接可以利用權(quán)方和不等式解決的，需要進(jìn)行一定的配湊與變形.

2、權(quán)方和不等式的特征是分子的某指數(shù)比分母的恭指數(shù)大1,用于“知和求和型”快速求最值，本質(zhì)

還是代數(shù)式常數(shù)化.另外,一定要驗(yàn)證等號(hào)成立條件.

18.則函數(shù)/Q)=丑+丁號(hào)(0V2V；)的最小值為()

...............0

A.16B.25C.36D.49

【詳解】因?yàn)閯t尤絲■，當(dāng)且僅當(dāng)烏=立時(shí)等號(hào)成立，

xyc+gxy

又ov”v1，即一3”>。于是得/（工）=轟+擊，3工=?蚓=49,

當(dāng)且僅當(dāng)」■=-—^―，即C==時(shí)取"=”，

x1-3c7

班以函數(shù)的/（⑼=3+~7餐一（0<2<!）最小值為49.故選：D

x1一枇'3，

19.（24-25高三下?遼寧葫蘆島?月考）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很

廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)Q,b,mu>0,則尤+尤,”生■，當(dāng)且僅當(dāng)馬=立時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)

xy二+ycy

權(quán)方和不等式，函數(shù)/（z）=幽土&+若一（°<￡<。）的最小值為（）

①1OXJ

A.39B.52C.49D.36

【率案】B

【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式的定義，將函數(shù)/Q）變形為：/（力）=手+；與一+3,再根據(jù)權(quán)方和不等式求出最

6x1—ox

小值即可.

【詳解】因?yàn)?⑶=①士3+丁*=母-+■r*—+3=興+￡-+3（0。<:），

xl-3x3xl-3x321-3x'3>

因?yàn)镺Viv]■，所以l—3c>0,3c>0,

o

根據(jù)權(quán)方和不等式有：￥+7*+3>彳空^一+3=52,

當(dāng)且僅當(dāng)整-=不二一時(shí)，即。二=時(shí)等號(hào)成立.

6x1—ox7

股以函數(shù)/（④）=迦土&+不空一（0</〈5）的最小值為52.

故選：6

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)權(quán)方和不等式定義將函數(shù)解析式變形，從而利用權(quán)方和不等式求最值.

20.已知a>0,b>0,且/+y=L則名7+的最小值是

c+2g+1------

【詳解】：號(hào)與工■=》當(dāng)F=磊，即笈=弓,片1■時(shí)，等號(hào)成立.

①+2?/4-1t+g+34c+2g+133

21.已知0>（）,y>O,且5士+短萬=1,則4+2y的最小值為

【春案】一+。

【詳解】

權(quán)方和不等式：尤+殳空E,

xyx+y

1=V^—"=>2c+旬+3+4+2-,

2x+y3y+32i+4g+3

戶戶以c+2夕>通+。，當(dāng)且僅當(dāng)c=時(shí)取等號(hào).

故答案為：A/3++.

題型六權(quán)方和不等式的推廣型

22.已知2,g,z>0且①+g+z=l,a,b,c為常數(shù)，則尤+尤+尤的最小值為()

xyz

A.a2+62+c2B.3(a2+62+c2)C.(a+6-t-c)3D.前三個(gè)答案都不對(duì)

【答案】。

【分析】利用柯西不等式可求最小值.

【詳解」根據(jù)柯西不等式，有

上+尤+->3±支=-咒

xyzx+y+z

等號(hào)當(dāng)馬="L=2>0時(shí)取得，因此所求最小值為(Q+6+C)2.

xyz

故選：D

23.已知正數(shù)滿足。+y+/=l,則W-+的最小值為

g+2zz+2%c+2g---------

【答案】《

【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)c,0滿足c+y+z=l,

所以上上——U主立——=j_,

g+2zz+2cx+2y夕+2z+z+2c+c+2y3

當(dāng)且僅當(dāng)即c=g=z=3時(shí)取等號(hào).

夕+:2zz+j2xc+:2y3

故答案為：［■.

O

24.已知c+2,+3z+4〃+5。=3。,求x2+2y2+3z2+4u2+54的最小值為

【答案】60

【分析】應(yīng)用權(quán)方和不等式即可求解.

亞2媛+3Z2+47/+5四宇+粵1+粵1+孚+萼

【詳解】「2345

(c+2y+3z+4M+5垃_302

1+2+3+4+515

當(dāng)且僅當(dāng)c=g=z=〃=0時(shí)取等號(hào)

故答案為：60

題型七權(quán)方和不等式三角型

25.函數(shù)g=—=+T—的最小值是^.

【答案】9；

【詳解】由sin2x+cos2x=1,;

.........畝

1,4、（1+2）2八

y=---；---1------2----；-------=9

sin2xcos2xsin%+cos%

當(dāng)一V=」^時(shí)，等號(hào)成立.

surecos-rr

例以函數(shù)g=」^+—V的最小值是9.

sin-xcos-x

故答案為：9.

26.已知正實(shí)數(shù)且滿足⑦+g=l,求々+丹的最小值.

x-y-

【咨案】27

【分析】設(shè)c=cos2a,g=sin2a,ae（0,￡）,由權(quán)方和不等式計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)工=8s20,y=sin2a,a6（0,專），

+=

由權(quán)方和不等式，可知44―J+232'—'+/[2=27,

X2y2（cos2a）_（sin2c?）（cos'%+sir?。）

當(dāng)且僅當(dāng)一匕一=.2，，即G=],y=^~時(shí)取等號(hào)，

cos-asirraJJ

行以二+3的最小值為27.

x-y-

故答案為：27

27.（2024?四川?模擬預(yù)測）“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的.其具

“m+l—，n+l/產(chǎn)+1

體內(nèi)容為：設(shè)an>0,bn>0,7i€N*,m,>0,則*+*+*+…+>

坤嶗嫄埔

+/+?+…,當(dāng)且僅當(dāng)獸=詈=詈==善時(shí)，等號(hào)成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，若①￡

（山+昆+8+…+鼠廣仇b263bn

（。耳）,當(dāng)2③+」一取得最小值時(shí)，x的值為（）

\2）sina;cosx

D?患

A-衛(wèi)12。C三3

【客案】C

【分析】由給定的權(quán)方和不等式定義處理即可.

【詳解】由題意得，since>0,cosx>0,

L13/、3

則黎（3+1）2?=6=8,

sm力cosx（sin2c廠<cos2rr）2（sin2x+cos2a:）2

當(dāng)且僅當(dāng)二V二」^,即cosi=4時(shí)等號(hào)成立，所以c=9.

sin-xcos2c26

故選：C.

03實(shí)戰(zhàn)檢測-分層突破驗(yàn)成效

檢測I組重難知識(shí)鞏固

2

28.實(shí)數(shù)HI,IL，上,y滿足〃J十ib—a,u?十才_(tái)[）（CL/6）?那么〃以+ruy的最大值為（）.

A.空B.C.D.

【卷案】8

【分析】根據(jù)柯西不得式(g：+7iy)2W(m2+M)(c2+g2),直接計(jì)算結(jié)果.

【詳解】由柯西不等式(mx+ny)2^(m2+n2)(x2+i/2)=ab

等號(hào)成立的條件是my=nx,

行以mx+碼/的最大值是Vab.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查柯西不等式，考查計(jì)算■能力，屬于基礎(chǔ)題型.

29.實(shí)數(shù)c、g滿足3c2+4靖=⑵則z=2z+V^的最小值是()

A.-513.—6C.3D.4

【率案】力

【分析】由3x2+4y2=12得1—F=1,運(yùn)用柯西不等式有+￡■)(16+9)>(2①進(jìn)而得解.

【詳解】解：???實(shí)數(shù)隊(duì)y滿足3"+4y2=12,

.x2y2_

-T+T-b

：?d+專)(16+9)>(2x+V3?/)2,

—5W22+5,

當(dāng)且僅當(dāng)3/6=82/時(shí)取等號(hào)，

z=2x+V3y的最小值是一5.

故選：A.

【點(diǎn)睛】考查柯西不等式的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.

30.己知。，8>0,。十匕=5,則，^1十布:3的最大值為()

A.18B.9C.3V2D.273

【答案】。

【分析】利用柯西不等式，即可求出V^+T+V5+3的最大值.

【詳解】由題意，(，a+1+V6+3；2V(1+1)(a+1+6+3)=18,

當(dāng)且僅當(dāng)，^不T=4T5時(shí)等號(hào)成立，

.?.當(dāng).=,時(shí)，

故1的最大值為30.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值，考查柯西不等式的運(yùn)用，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵.屬于較易題.

31.若實(shí)數(shù)啰+2^+32=1,則22+峭+2：2的最小值為()

A.14C,29D.2：

【率案】6!

【分析】直接利用柯西不等式得到答案.

【詳解】根據(jù)柯西不等式：(4+靖+22)(1+4+9)>2+29+32=1,即/+才+爐》才，

..........由

當(dāng)且僅當(dāng)2=-7，g=；,z=5時(shí)等號(hào)成立.

14（14

故選：A

【點(diǎn)晴】本題考查了柯西不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于柯西不等式的應(yīng)用能力.

32.柯西不等式最初是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cmc根/）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的.而后來有兩位

數(shù)學(xué)家Bm%kwskv和Sc山〃QTZ彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之,才能將這一不等式應(yīng)用到近乎完善

的地步.該不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)。Qi,如。：，。和。仇也小。，有儂+咫+底）（必+必+1）>

（m+a力2+44）2等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)獸=獸=善已知。宏2+婚+/2=14。，請(qǐng)你用柯西不等式，求

仇b?久

出。c+2u+3（z°的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

【答案】n

【分析】利用柯西不等式求出即可.

【詳解】由題干中柯西不等式可得3+2”+3zf<（"+爐+/）（］2+22+32）=14X14=196,

所以c+2g+3z的最大值為14,當(dāng)且僅當(dāng)c=1,?/=2,z=3時(shí)取等號(hào).

故進(jìn)：A

33.（23—24高三下?山東煙臺(tái).月考）已知空間向量（54=（13,0）,加=（1,2,0）,（5方=（0,13）,1=

必引+g5§+z（5S,且i+2"+z=2,則的最小值為（）

A.V2B.V3C.2