2.5可化為一元一次方程的分式方程湘教版（2024）初中數(shù)學(xué)八年級(jí)

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一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若關(guān)于％的方程曰=3+1無(wú)解，貝b的值為（）

A.1B.2C.1或2D.0或2

2.關(guān)于x的方程羽=2-1無(wú)解，則k的值為（）

A.±3B.3C.-3D.無(wú)法確定

3.若分式方程3=3一豈無(wú)解，則整數(shù)血的值為（）

A.-2B.1C.-1D.—2或1

4.若關(guān)于x的方程稔-1=缶的解為整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和是（）

A.6B.0C.1D.9

5.關(guān)于x的分式方程言=1的解為x=2,則常數(shù)a的值為（)

A.-1B.1C.2D.5

6.暑假期間，小明一家計(jì)劃自駕去離寧波1200/an遠(yuǎn)的某風(fēng)景區(qū)游玩.途中…設(shè)原計(jì)劃以每小時(shí)akm的速度

開往該景區(qū)，可得方程等-提=1,根據(jù)此情景，題中表示的缺失條件應(yīng)為（）

A.實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃快15km,結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)

B.實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃慢15km,結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)

C.實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃快15km,結(jié)果延遲1小時(shí)到達(dá)

D.實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃慢15km,結(jié)果延遲1小時(shí)到達(dá)

mx-1

7.關(guān)于x的方程:+含=2有型數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)m的值有（）

x-2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2

8.已知關(guān)于文的一元二次方程（k-1）/+kx+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%1、且滿足（4+l）（x24-1）=2,

則A的值是（）

A.k=-1B.k=1C.k=-2D.k=1或々=-2

9.甲、乙兩地之間的高速公路全長(zhǎng)200km,比原來(lái)國(guó)道的長(zhǎng)度減少了20/cm.高速公路通車后，某長(zhǎng)途汽車

的行駛速度提高了45km"i,從甲地到乙地的行駛時(shí)間縮短了一半.設(shè)該長(zhǎng)途汽車在原來(lái)國(guó)道上行駛的速

度為Mm"廁正確的是（）

、在啪*200+451200n從由d200+201200

A.依題思-2=^20B.依題盡1--2=^5

C.在國(guó)道上的速度是80km"D.在廟速上的速度是lOOkm"

10.將兩把不向刻度的直尺A和直尺8,分別按圖-1和圖-2的方式緊貼在一起，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列正確

的是（）

0點(diǎn)尺832104尺8X

圖I圖-2

A249

A?五=x+10

B*=3

32x-10

C.z=24

D.直尺4中的刻度18正對(duì)直尺8中的刻度22

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。

11.已知關(guān)于％的分式方程三-2=芻有一個(gè)正數(shù)解，則々的取值范圍為.

12.若關(guān)于”的分式方程2+y=2有增根，則血的值為___.

X—35-X

13.當(dāng)m=___________時(shí)，方程唔-二二1的解與方程出=3的解互為相反數(shù).

JH+1x-1x

14.關(guān)于x的方程竿=1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是.

三、解答題：本題共6小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題8分）

已知關(guān)于X的分式方程誓--耳=1的解為負(fù)數(shù)，求憶的取值范圍.

x+1x-1

16.（本小題8分）

關(guān)于”的方程：絲?一乙=1.

（1）當(dāng)a=3時(shí)，求這個(gè)方程的解；

（2）若這個(gè)方程有增根，求a的值.

17.（本小題8分）

已知關(guān)于》的分式方程三=署-2。

（1）當(dāng)771=-1時(shí)，求這個(gè)分式方程的解；

（2）若此分式方程無(wú)解，求?n的值c

18.（本小題8分）

已知關(guān)于》的分式方程/一尸二1.

x—22—x

（1）當(dāng)m=l時(shí)，甲同學(xué)的解題過程如下：

解：（第一步）去分母，得：%+（“-3）=1,（第二步）去括號(hào)，得：工+工一3=

1，（第三步）合并同類項(xiàng)，得：2x=4,（第四步）系數(shù)化為1,得：x=2,（第五

步）檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x-2=0,所以％=2是增根，（第六步）所以原分式方程

無(wú)解.

甲同學(xué)從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)你寫出正確的解法；

（2）若該方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值.

19.（本小題8分）

若關(guān)于％的方程咦-3二-%的解不小于2,求a的取值范圍.

x-4x-4

20.（本小題8分）

某牛肉干有五香味和麻辣味兩種類型，小新打算購(gòu)買若干袋五杳味和麻辣味牛肉干.

⑴小新花費(fèi)4300元購(gòu)買了40袋五香味牛肉干和50袋麻辣味牛肉干，已知10袋五香味牛肉干和9袋麻辣味

牛肉干的售價(jià)相同，求每袋五香味牛肉干和麻辣味牛肉干的售價(jià)分別是多少元？

（2）由于市場(chǎng)供不應(yīng)求，五香味和麻辣味牛肉干的價(jià)格均有上漲，其中每袋麻辣味牛肉干的售價(jià)是每袋五

香味牛肉干售價(jià)的1.2倍，小新分別花費(fèi)了1800元和3500元購(gòu)買麻辣味牛肉干和五香味牛肉干，一共購(gòu)買

了100袋，求每袋五香味牛肉干的售價(jià).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：鳥二士+1

X-/X-Z

方程兩邊都乘2,得QX=4+X-2,

???(a-l)x=2,

.?.當(dāng)a-1=0即a=1時(shí)，分式方程無(wú)解；

當(dāng)GH1時(shí)，X=二7,

a-1

x=2時(shí)最簡(jiǎn)公分母為0,方程無(wú)解，

即二=2,解得a=2,

a-1

???。=1或。=2時(shí)方程無(wú)解.

故選C

2.【答案】B

【解析】本題考查了分式方程無(wú)解問題，先將分式方程移項(xiàng)，去分母，合并同類項(xiàng)得％=6-匕再由原方

程無(wú)解得工一3=0,聯(lián)立方程組，求解即可.

【詳解】解：原方程移項(xiàng)得：咦一3=2,

X-OX-3

去分母得：x-k=2(x-3),

合并同類項(xiàng)得：x=6-/c,

?.?原方程無(wú)解，

產(chǎn)=6-k

??t.r-3=O'

解得k=3,

故選：B.

3.【答案】D

【脩析】本題主要考查了解分式方程，根據(jù)方程無(wú)解求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握分式無(wú)解的情況.

對(duì)分式方程進(jìn)行求解整理，然后根據(jù)分式無(wú)解的情況進(jìn)行求參數(shù)即可.

【詳解】解：A=3-^

x=3(x—1)+mx

x=3x-3+mx

(m+2)x=3

當(dāng)m+2=0時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí)，m=-2；

當(dāng)彳-1=0時(shí)，即％=1時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí)m=1；

故選：0.

4.【答案】D

【解析】解：方程整理得?！?1一%=3,解得％二」彳，

由該方程的解為整數(shù)解，且工工-1,

得到Q—1=±1,a—1=±2,Q-1=4,

所以Q=2,0,3,一1,5,

則滿足條件的所有整數(shù)a的和是9.

5.【答案】A

【解析】解.：方程兩邊都乘以工(X-a),得：3x=2(%-a),

將x=2代入，得：6=2(2—a),

解得Q=一1，

故選：A.

把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再將x=2代入求解可得.

本題主要考查分式方程的解與解法，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解的概念.

6.【答案】4

【解析】解：設(shè)原計(jì)劃以每小時(shí)akm的速度開往該景區(qū)，實(shí)際每小時(shí)行駛(a+15)4771,

方程%-粵=1,則表示實(shí)際用的時(shí)間-原計(jì)劃用的時(shí)間=1小時(shí)，

aa+15

說(shuō)明實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃快15km,結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)，

故選：A.

根據(jù)題意，結(jié)合路程+速度=時(shí)間，即可得出結(jié)論.

本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解方程所表示的意思，結(jié)合題目給出的條件得出正確的判

斷.

7.【答案】C

【脩析】解：去分母，得mx-1-1=2(x-2),

整理，得(m-2)x=-2,

???關(guān)于％的方程嗎+/—=2有整數(shù)解，

X一，乙一X

x=,且77^—H2,

?.2—m=—1或2—m=±2,

解得m=3或m=4或m=0,

.??滿足條件的整數(shù)m有3個(gè)，

故選：C.

去分母，整理得(m—2)x=-2,根據(jù)關(guān)于x的方程耳+/一二2有整數(shù)解，得％=9-,且齊。2,進(jìn)

、,X-22—x2-in2-m

一步可得2-m=-1或2-m=±2,分別列方程求解即可.

本題考查了分式方程的解，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當(dāng)aH0且4之0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)

數(shù)根”；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及(%+1)(小+1)=2,得出關(guān)于k的分式方程.

先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到.+小二一段，.小二六，再利用(%1+1)(&+1)=2得到一占？+3+

河―JL長(zhǎng)―JL1K—JL

1=2,然后解分式方程、檢驗(yàn)得到k的值.

【解答】

解：:關(guān)于工的一元二次方程(k-l)x2-4x-1=0的兩根為修、x?,

k21

???工1+無(wú)2=一口，X/2=■

(/+1)(%2+1)=2,

XX

???(勺+X2)+12+1=2,

化為整數(shù)方程為1+/0-2=0,

解得々1=—2,々2=1，

經(jīng)檢驗(yàn)，七=-2是方程的解，

???k=-2.

故選C.

9.【答案】D

【解析】設(shè)該長(zhǎng)途汽車在原來(lái)國(guó)道上行駛的速度為琮m/九，根據(jù)題意列分式方程并求解，據(jù)此即可得到答

案.

【詳解】解：設(shè)該長(zhǎng)途汽車在原來(lái)國(guó)道上行駛的速度為xk/n/h,則在高速公路上行駛的速度為

(x+45')km/h,

由題意得：型竺型彳=瑞.

x2x+45

解得：x=55?

經(jīng)檢驗(yàn)，％=55是原分式方程的解,

...%+45=100,

即在國(guó)道上的速度是55km",在高速上的速度是100km/h,

結(jié)論正確的是。選項(xiàng),

故選。.

1U.【答案】B

【解析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)圖中兩把刻度尺4刻度尺上長(zhǎng)度為24與8刻度尺上長(zhǎng)度32

相等，4刻度尺長(zhǎng)度為9對(duì)應(yīng)8刻度尺上長(zhǎng)度為％-10,列出方程求解即可判斷力，B,C選項(xiàng)，同理：設(shè)直

尺4中的刻度18正對(duì)直尺B中的刻度為y,列出方程求解即可判斷。選項(xiàng).

【詳解】解：根據(jù)圖可知：塞h合,

』，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)8正確:

解得：％=22,

經(jīng)檢驗(yàn)，工二22是原分式方程的解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

同理：設(shè)直尺A中的刻度18正對(duì)直尺8中的刻度為y,

則th號(hào)，解得：y=24,

經(jīng)檢驗(yàn)，y=24是原分式方程的解，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤;

故選：B.

11.【答案】k<6且kH3

【解析】【分析】

本題主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知識(shí)，能根據(jù)已知和方程的解得出k的范

圍是解此題的關(guān)鍵.

根據(jù)解分式方程的步驟，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解是正數(shù)，可得不等式，解不等式，可得答

案，并注意分母不分零.

【解答】

方程兩邊都乘以(％-3),得

x-2(x-3)=Zc,

解得x=6-k,

???關(guān)于x的方程搐-2=占有一個(gè)正數(shù)解，

：.x=6—k>0,且6-kH3,

:.k<6,且k*3,

k的取值范圍是k<6且A工3.

故答案為上<6且A工3.

12.【答案】-1

【解析】略

13.【答案】一:

【解析】【分析】

此題考查了分式方程的解，相反數(shù)的有關(guān)知識(shí)，求出第二個(gè)方程的解得到文的值，根據(jù)兩方程解互為相反

數(shù)求出第一個(gè)方程的解，代入計(jì)算即可求出m的值.

【解答】

解：亨=3,

去分母得：x+4=3x,

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：

2x=4,

解得：x=2.

經(jīng)檢驗(yàn)％=2是該方程的解，

?.?方程由-二7=1的解與方程T=3的解互為相反數(shù).

n?+lx-1x

x=-2是方程吟一二彳=1的解

m+lx-1

-2m24

1'

解得：m=-1.

經(jīng)檢驗(yàn)巾=一;是該方程的解，

故答案為一

14.【答案】?！匆?且。羊一2

【解析】解.：???答=1,

x=—a—1?

???關(guān)于％的方程鋁=1的解是正數(shù)，

x-1

-a-1>0,

解得a<—1.

又：x=-a-11,

，aH—2,

Q的取值范圍是：Q<-1H.aH-2.

故答案為：。<一1且。工一2.

15.【答案】解：根據(jù)題意可知，化簡(jiǎn)分式方程可得，(x+/c)(x-l)-/c(x+l)=x2-l,

(x+Zc)(x—1)—k(x4-1)=x2—1,

x2-x+kx—k—kx—k=x2—1,

解得：x=1-2k,

v1-2/c<0,且l-2k^-1,

k>g且kH1.

【解析】略

16.【答案】解：(1)當(dāng)a=3時(shí)，原方程為岑一二=1,

X-11-X

方程兩邊同時(shí)乘以(％-1)得：3%+1+2=%-1,

解這個(gè)整式方程得：x=-2,

檢驗(yàn)：將％=-2代入％-1=-2-1=-3H0,

???%=-2是原方程的解：

(2)方程兩邊同時(shí)乘以(x-1)得QX+l+2=x-l,

若原方程有增根，則％-1=0,

解得：x=l,

將x=1代入整式方程得：a+1+2=0,

解得：Q=-3.

【解析】(1)把Q的值代入分式方程，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可

得到分式方程的解；

(2)由分式方程有增根，得到最簡(jiǎn)公分母為0,求出x的值，代入整式方程即可求出Q的值.

此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入

整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

17.【答案】解：(1)把機(jī)=-1代入分式方程得：合=言一2,

整理得：^-=7^-2,

l-x1-x

去分母得：2=x-2(1-%),

去括號(hào)得：2=x-2+2x,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：3x=4,

解得：%=￡

檢驗(yàn)：把％代入得：1一%=-；/0,

JJ

.?.x=!是分式方程的解；

?J

(2)分式方程變形得：==器-2,

去分母得：-2=mx-2。-1),

即(m—2)x=-4,

-2=0,即〃i=2時(shí)，此方程無(wú)解，

即分式方程無(wú)解；

若n—2H0,即m工2時(shí)，

???分式方程無(wú)解，

???x-1=0?

即x=1,

把x=l代入整式方程得：m=-2,

綜上所述，m=2或一2.

【解析】此題考查了解分式方程，以及分式方程的解，始終注意分母不為0這個(gè)條件.

(1)把血=-1代入方程，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到工的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方

程的解；

(2)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無(wú)解，分兩種情況：一是化成的整式方程無(wú)解，二是最

簡(jiǎn)公分母為0,求出工的值，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值.

18.【答案】【小題1】

解：甲同學(xué)從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，

正確的解法：

去分母，得：x4-(x-3)=x—2,

去括號(hào)，得：x+x—3=x—2,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：%=1，

檢驗(yàn)：當(dāng)％=1時(shí)，為一2。0,

所以％=