2025-2026學年高二數(shù)學單元檢測卷

第一章空間向量與立體幾何?基礎通關

建議用時：100分鐘，滿分：150分

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知空間向量b=(2,2,-l),若則()

A.—1B.IC.—D.!

22

【答案】C

【分析】利用空間向量垂宜?的坐標形式可取參數(shù)的值.

【詳解】因為〃_1_人所以。彷=2上+2.1=0，可得x=

故選：C.

2.已知空間向量〃=(3,2,-1),貝!向量a在坐標平面?？谏系耐队跋蛄渴?)

A.(L-2,3)B.(0,2-1)C.(3,2,0)D.(3,0,-1)

【答案】C

【分析】根據(jù)投影向量的定義可得結果.

【詳解】根根據(jù)空間中點的坐標確定方法知，

在空間中，點(3,2,7)在坐標平面出上的投影坐標，豎坐標為0,橫坐標與縱坐標不變.

所以空間向量〃二(32-1)在坐標平面。X)，上的投影向量是：(3,2,0).

故選：C.

3.已知直線/的方向向量是。=(-2,2,2),平面a的一個法向量是1),則/與。的位置關系是()

A./_LaB.Uta

C.，與a相交但不垂直D.l〃a或lua

【答案】A

【分析】由4=(-2,2,2)和〃=(一1,一1)的位置關系即可判斷.

【詳解】?=(-2,2,2),

所以a=-2n，

所以/_La,

故選：A

4.已知向量a1滿足a+b=(3,2)M-〃=(l,-2),則一|邸二()

A.-2B.-IC.0D.I

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)量枳的坐標運算即可求解.

【詳解】因為4+〃=(3,2),4-8=(1,-2),

所以("+〃).(a一4=(3,2).(1,-2)=3xl+2x(—2)=-l,所以J_4=T，

所以一|邸==一1.

故選:B.

5.如圖所示，在平行六面體44CO-44GA中，===是AA的中點，點、N是CA、

上的點，且CN:N4=1:4,用〃也。表示向量MN的結果是()

B.

555

C.九+斗―

5105

13,I

D.—a-----b——c

5105

【答案】C

【分析】結合圖形,利用空間向晟的加減數(shù)乘運算，將MN用空間的基底〃也。表示即可.

4141

【詳解】由圖可得：MN=\N-\M=-\C--AyD}=-(AC-A\)--AD

44一］-4-3-4

=-(AB+AO—他)一一AD=-a-￥—b——c.

525105

故選:C.

6.已知非零空間向量b，且/18=。+245。=一5〃+64。。=7。-2/7,則一定共線的三點是（)

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C.D

【答案】A

【分析】利用空間向量共線定理逐一判斷各選項即得.

【詳解】因AB=4+2/，,BC=-5a+6〃,CQ=74-2〃，

對卜A,由BD=BC+CD=2a+4b=2A13，因與48共點8，故人，8,Q三點共線，故A正確；

-....-12

對于B,因A8=a+2〃,8C=-5a+6b,）Wz，故A&C三點不共線，故B錯誤；

—56

??-56

對于C,因BC=-5a+6,CO=7a-?，一工：，故仇三點不共線，故C錯誤；

7-2

對「D,因AC=A8+8C=Ta+勁與CO=7a-2b沒有確定的倍數(shù)關系，故AC。三點不共線，故D錯誤.

故選:A.

7.如圖，在長方體ABCO-AgGA中，A8=8C=3,8片=2,OM=（O氏AN=§AC，則異面直線4加和

8N夾角的余弦值為（）

2x/6

u|丁

t答案】B

【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量的坐標運算求解異面直線所成角得余弦值即吐

【詳解】以。為坐標原點，力A。。，。%所在直線分別為x,丁，2軸建立空間直角坐標系,

故座同一|（6,有⑼（1，1，T）|

|/w|V1+1+1

dBE45,5

故2于=則4=二，所以PM+MN=P'M+MNN4=-.

/〃七32/

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.給出下列命題，其中正確的有（）

A.空間中任意兩個向量一定共面

B.若｛〃,〃"｝是空間的一個基底，則a,b,c中任意兩個向量不共線

C.若空間向量。=（2,2,-3）,則〃與的夾角為鈍角

D.若九c｝是空間的一個基底，則｛。，〃，。-4也是空間的一個基底

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量的性質可判斷A；利用空間向量坐標計算cos,/）,即可判斷C錯誤；根據(jù)空間基底的

性質及定義，可判定B和D正確.

【詳解】對于選項A,因為空間中任意兩個向量都可以平移至起點重合，成為同一個平面的兩個向量，故

選項A正確，

對于選項B,基底的性質知，空間基底是由非零且不共面的三個向量構成，故選項B正確，

對于選項C,8s伊力片酈|=----而為-----=用＞°，所以《，〃法什松，故選項C不正確，

對于選項D,山（4“｝是空間的一個基底，設ca=必I-yh,顯然不存在實數(shù)使得c“=入%+獨成立,

所以?定不共面，則〃｝也是空間的?個基底，故選項D正確，

故選：ABD.

10.關于空間向量，以下說法正確的是()

A.若對空間中任意一點O,^OP=^OA+^OB+^-OC,則尸、A、B、。四點共面

234

B.己知兩個向量4=(1,”2,3),Z>=(5,-l,n),且；〃力，則"訓=一3

C.若a_Lb,且a=(N，y,zJ,/?=(^,^2,22),則內9+為以+▼？=。

D.fl=(0,1,1),/?=(0,0,-1),則“在》上的投影向量為(0,-；,一￡)

【答案】BC

【分析】利用空間中四點共面的推論可判斷A選項；利用空間向量共線的坐標表示可判斷B選項；利用空

間向量垂直的坐標表示可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，若尸、A、B、。四點共面，則存在2、A€R,使得AP=zM8+〃AC,

即。2-04=/胸-網(wǎng)+〃(0。-網(wǎng)，

所以，OP=(\-Z-p)OA+XOB-^pOC,月.(1一/1一++〃=

—1—1—1—111

因為對空間中任意一點。，有。尸=504+403+7。。，且5+鼻+工工1，

故尸、八、B、。四點不共面，A錯；

對干B選項，已知兩個向量4=(1,〃7,3),/?=(5,-1,77)，月.；〃/力，

設〃=幼，即(1,〃7,3)=2(5,-1,〃)，則，加=-2,解得，加=-：，故〃加=-3,B對；

kn=3J

對干C選項，若a工b，且a=(x，y,zj,b=(x2,y2,z2),則白力=弓毛+y)u+馬4=0，C對;

對于D選項，若。=(0/,1),〃=(0。叫，則〃在上的投影向量為

岬阿詞.朋崩?訐新E=(0,0,l),D錯.

故選：BC.

11.如圖，已知正萬體A8CD—AbC77邊長為1,則卜列說法正確的是()

A.直線48與47所成角為三

B.平面A'BO_L平面ABC。

C.三棱錐4.480的體積是正方體的!

D.直線A8與平面A8CQ所成角的正弦值為立

3

【答案】AC

【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量法計算可判斷ABD,根據(jù)三棱錐體枳公式計算「J判斷C.

【詳解】以。點為坐標原點，D4為x軸，OC為>軸，為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則才(1,0,1),8(1,1,0),A(l,0,0),(0,0,1),D(0,0,0),

所以A8=(0J-l),AQ'=(-1,0,1),

因為8s(IAA，/DMATQV\)二48質不齊-I訪二FI

所以4所人。'=,，即直線A8與所成角為W，故A正確;

08=0,1,0),^=(1,0,1),

設平面ABD的法向最為〃=（茗）工）,

n-DB=x+y=0

則

n?DA'=A+z=0

令％=1,則y=z=-i,即〃=（1,一1,一1）,

在正方體中，平面A8c。的法向量可以為帆=(0,0,1),

因為〃?加=-1H0，

所以平面N8OJL平面48CO不成立，故B錯誤；

匕-AM=4S\?,A^=:X；X1X1X1=：,故C正確；

332O

設直線48與平面AAC。所成角為e，

/\卜力.司172

則sin0=cosIA'B,m)=-------=—f==——，

、/卜耳制夜2

所以直線W8與平面A5CQ所成角的正弦值為正，故D錯誤.

2

故選：AC

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量P在基底｛&瓦司下的坐標為(2,3,4)，則p在基底他++c,c｝下的坐標為.

【答案】(2,1,3)

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算的坐標表示，可得答案.

【洋自牟】由題意可得〃=2a+3〃+4c,設p=A(?+Z?)+y(z?+c)+zc=xa+(x+y)b+(y+z)c,

x=2x=2

則■x+y=3,解得＜y=l所以坐標為(2,1,3).

*Jy+z=4z=3

故答案為:(2,1,3).

13.向量t7=(lJ,O),/2=(-1,0,2)且(。+妨)//(2〃+力)，則實數(shù)k=

【答案】1/0.5

【分析】利用向量的坐標運算，再結合向量平行列式計算，即可?求解.

【詳解】a+kh=(\-k,\,2k),2?+p=(1,2,2),

因為（a+妨）〃（〃+〃），所以（"+的）=2（2萬+1）,

即（1一幺1,24）=2（122）,

\—k=X

有《1=22=^>A:=A=-,

2k=2A

故實數(shù)k=1.

故答案為：,J

14.如圖所示，在三棱錐P—48C中，AH±BC,|^|=|?q=||P4|,。是AC的中點，且OP_L底面48C,

則直線PA與平面PBC所成角的正弦值為一.

30

【詳解】為OP_L底面ABC,OAOBu底面A8C,

所以OP_LOAOP_LO8.

乂因為|陰=忸。|,。是AC的中點，所以QAJ_CM,

如圖所示，以O為原點，分別以直線。入。8,。。為x軸、y軸、z軸,

建立空間直角坐標系，

設|陽=4,則|八臼=忸［=2,hq=2五，歸q=E,

可得A（友,0,0）,B（0,V2,0）,C（-V2,0,0）,P（0,0,V14）,

則尸A=（a,0,—后），PB=（O詆-呵,PC=（-72,0,-^I,

設平面PBC的一個法向量為，?=(.v,)，,z),

n-PB=0|>/2y-Vi4z=0

zu得〃=（-次4,1）,

則由n-PC=0'J[-y/2x-yJi4z=0取z=l

n-PA-x/14-V14|_^/Jio

設直線以與平面PRC所成的角為e.貝l」sine=E~r

同?附715x716-30

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、注明過程或演算步聚。

15.（13分）

如圖，正四棱錐S-A8C。，SA=2,AB=Ji，尸為側棱SO上的點，且SP=3P>

(1)求證：ACA.SD；

(2)求異面直線S4與CP所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵杰

28

【分析】(1)連結8。交AC于點O,連結SO,證明四邊形ABC。是正方形，證明AC_L平面S8D,證明;

(2)以0為原點建U空間直角坐標系。一孫z,利用空間向量即可求解.

【詳解】(1)連結8。交4C于點。，連結SO,

因為正四棱錐S—A38,所以SO_L平面ABCD,

又ACu平面A8CQ,

所以SOLAC,因為正四棱錐S-人4CD,

所以四邊形A8C。是正方形，

所以AC/8D,因為AC_LS。，AC1BD,SOcBD=O,SOu平面S8O,SOu平面SB。,

所以AC_L平面S8O,又SOu平面S8O,

所以AC_LSO；

(2)

因為QS_LO8,OS1OC,OB上OC,

所以以。為原點建立空間直角坐標系O-QN，

4cLi,0),S(O,O,75),C(0,l,0),D(-1,0,0),

所以%二(0,-1,一6),。5=(1,0,6),

x/3W3

CP=CD+DP=CD+-D5=(-l,-l,0)+-,0,-----=——

4444

/X

「一/C4「6SACP不

所以8S〈SAC聯(lián)網(wǎng)冏

因此異面直線SA與CP所成角的余弦值為立.

28

16.(15分)

如圖，四棱錐F-A6CZ)的底面是邊長為2的正方形，側棱尸CJ_底面A6C￡>,且PC-3.

(1)證明：平面PCO_L平面布。：

⑵求點4到平面辦。的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵巫

13

【分析】（1）由PC_L底面/WCD得至iJPC_LAO,再由CO_L/W,得到4/）_1面P。＞,然后利用面面垂直

的判定定理證明；

（2）建立空間直角坐標系，求得平面辦。的一個法向量，由點到平面距離向量公式計算求解.

【詳解】（1）???尸C_L底面ABC。，ADu平面A8C。，

???PC_LA。，

又1?CO_LAQ，且PCnCQ=C,PCCOu平面PCD,

?，"Q_L平面PCD,

IADu平面PAD,

???平面尸CO_L平面以O：

（2）如圖建立空間直角坐標系，

則B（0,2,0）M（2,2,0）,D（2,0,0）,P（0,0,3）,

所以%=（2.0,0）,A〃=（-2,-2,3）,AO=（Q-2,0）,

設平面PAD的一個法向最為〃=（.%Xz）,

APn=0-2x-2y+3z=0

則即＜

ADn=（）-2y=0

解得y=0,令x=3,得z=2,則〃=（3,Q2）,

6_6>/13

所以點B到平面PAD的距離為:

|n|~713-13

17.（15分）

如圖，在四棱錐尸—ABC。中，底面A8C。為直角梯形，ABA.AD.AD//BC,AD=AP=2AB=2BC=2,

"_L平面ABCRE為棱2。上的動點.

⑴當E為棱P。的中點時，證明：EC//平面E44；

⑵若PE=2ED，求平面以。與平面幺4夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵噲

6

【分析】（1）通過線線平行即可證得線面平行：

（2）建系后，寫出相關點的坐標，出平面E4C和平面心8的法向量，利用空間向顯的夾角公式計算即得.

【詳解】（1）

取94的中點產(chǎn)，連接麻，BF,

因為E為尸。的中點,

所以EF//AD,EF=-AD.

2

因為AI）//BC,AD=2BC,

所以EF//BC,EF=BC,

所以四邊形所EC為平行四邊形，所以EC//BF.

又Mu平面PAB、EC。平面PAB，

所以￡67/平面，W.

(2)

因為A8_LADQ4_L平面A8C。，即AB.A。,AP兩兩垂直，

故可以A為原點，48,八。,4。所在直線分別為乂，2軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則A（0,0,0）,P（0,0,2）,D（0,2,0）,C（U,0）,

因為依=2%）所以

所以AC=（1,1,0）,A￡>=（0,2,0）,4E=（0,*g

設平面EAC的法向量為〃=（X），,z）,

I〃AC=x+y=0

則（一42

n-AE=—y+—z=0

I33

取y=l,得x=-l,z=-2,

所以〃=（一1,1,一2）.

因為A5_LAD4P_LAO,A5cAp=4,A8,APu平面

所以A￡）_L平面P45.

所以4。=（020）為平面PAB的一個法向量.

設平面以C與平面的夾角為。，

則cos夕=|COSH,/W|=此耳=3=走.

11同.|回2m6

所以平面E4C與平面小A夾角的余弦值為四.

6

18.（17分）

如圖，在直角VABC中，AB=BC=3,點、E、尸分別在線段AB、AC上，且EF〃BC,將△△所沿EF折

起到！PEF的位置,使得二面角尸-所-8的大小為60。.

（1）設平面見方與平面外C的交線為，〃，請直接寫出/〃與直線CF的位置關系.

⑵若點E為線段AB的靠近4點的三等分點

（i）求證：PB上平面BCFE；

（ii）求PC與平面尸所成角。的正弦值.

【答案】（1）相交

（2）（i）證明見解析；（「）；

【分析】（1）證明一，延長交班:干點G.連接尸G.直接證明：

證明二（反證法），假設直線〃?和直線C尸不相交，由于兩直線都在平面PK?內，所以C/〃機.然后推導

矛盾；

（2）（i）利用定義法求解/在8是二面角「一砂-3的平面角，然后證明砂J.面P8E,進而正明我1平

面BCFE（ii）以8為原點，8c此,8。分別為x，y,z軸正方向，

標出相應坐標，設平面及獷的法向量〃=（x,y,z）,求出法向量,進而求解PC與平面私戶所成角9的正弦值.

【詳解】（1）相交

（證明一（尋找交線）：如圖，在平面3c中，因為及為梯形，所以延長CF,交的于點G.連接PG,

因為Gw￡B,GwCF,所以PGu平面夕PGu平面杵匕，所以PG即為交線機，PG與。尸相交于點

G.

證明二（反證法）：假設直線〃?和直線CF不相交，由于兩直線都在平面刊（內，所以b//〃7.

又CFa平面尸￡3，〃?u平面尸Eg,所以b〃平面尸￡3.

乂"u平面反EC,平面￡7為C。平面所以CF//EB,矛盾！

故直線機和直線CF相交，

(2)(i)證明：在RtZ\A3C中，AB1BC,又EFUBC,

所以所_L/W.

所以翻折后所_LP￡，EFVBE.

因為尸Eu平面在F,BEu平面BEF,平面】平面跳尸二斯.

所以NPEB是二面角P—所一8的平面角，NPEB=60°.

乂P￡=2,3￡=1,所以由余弦足理得P8=75，

所以BE?+PB'=PE?，因此依_LKB.

因為所J_莊，EF1BE,又PEcBE=E,PE,BEu平面PBE.

所以ML面P8E,

又因為P8u面QBE,所以EFLPB.

因為PBJ.EB,EFLPR,EFcER=E,EF、EBu平面BCEF、

所以平面8CFE.

(ii)因為BC〃E尸,所以8C_LBE,BC1PI3.

又由(i)知，PBLEB,所以PBIC8E兩兩垂宣.

如圖，以B為原點，8C,B￡,3P分別為x，N，z軸正方向

BCx

建立空間直角坐標系P（0,0,@,C（3,0,0）,￡（0,1,0）,尸（2J,0）,

P￡=（0,l,-V3）,PF=（2,1,-73）,

設平面PEF的法向量〃=（x,乂z）

nPE=0[y-Gz=0

由，得「

n-PF=0[2x+y-y/3z=0

令z=l,得x=0,y=y/3?

所以〃=（0,G』）為平面尸瓦'的一個法向量，PC=（3,O,-V3）

n-PC1

所以sin。=cosPC｝二

同?附廣1

故PC與平面尸砂所成角J的正弦值為千

19.（17分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAA.平面ABCD,PA=AB,AD/IBC,ADLAB,E是楂PB的中點,

AB=BC=2AD=2.

（1）證明：AE1平面PBC.

（2）求點E到平面PCD的距離.

（3）若