2025-2026學年高二數(shù)學選擇性必修第一冊章節(jié)檢測卷

第三章圓錐曲線的方程?能力提升

建議用時：12（）分鐘，滿分：15（）分

一、選擇題，每個小題只有一個選項符合要求（本大題共8小題,每小題5分，共40分）

L直線缶-…是雙曲線（三二1的一條漸近線’則，〃二（

)

A.1B.4C.16D.18

—”是“曲線白己=1表示橢即的（

)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.方程="+1|可以化簡為（）

A.y2=2.xB./=4.rC.=2yD.r=4y

4.設拋物線歹2=4x的焦點為產(chǎn)，準線為/,過拋物線上的一點P作/的垂線，垂足為。，若NP0"=3O。,

則P。|=（）

A，13D.V3

B?T3

5.已知雙曲線C:一一與=］（/）>0）的左、右焦點分別為耳，鳥，點A在C上，且2H用乃的

b'

面積為2百.若力行為鈍角，則。的焦距為（）

A.V7B.277C.7D.14

6.已知雙曲線C：衛(wèi)=1（a>0,8>0）的左焦點為尸，右頂點為A,過A作垂直于x軸的直線與兩

a2b2

漸近線分別交于點O，E,若SEE為等邊三角形，則。的離心率為（）

A.2B.2上c.MD.3及

7.已知48為雙曲線。-f=1上經(jīng)過原點的一動弦，/為圓C:/十（二3）=1上一動點，則而.麗的最大

值為（）

A.4B.6C.8D.12

8.2025春節(jié)檔國產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧?！方舆B破全球票房記錄，影片中哪吒與敖丙是不可分割的二人組,

其中敖丙的武器“盤龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，可以川來表示數(shù)學上特殊的曲線.如圖所示的曲

線C過坐標原點O,C上的點到兩定點耳（-。,0）,行（。,0）（。>0）的距離之積為定值.當。=3時-，。上

1/20

9勺勺

第一象限內(nèi)的點P滿足△對鳥的面積為（則|尸耳『-|尸周2=（）

二、多選題，每個小題至少有兩個選項符合要求，全選對得全部分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。

（本大題共3小題，每小題6分，共18分）

9.已知曲線C：—+^-=1,其中加為3與5的等差中項，〃為4與16的等比中項，貝IJ（）

mn

A.C可表示為焦點在歹軸的橢圓

B.?？杀硎緸榻咕嗍?的雙曲線

C.?？杀硎緸殡x心率是”的橢圓

D.C可表示為漸近線方程是），=±夜》的雙曲線

10.已知拋物線C:/=2px（p>0）的焦點為尸，過戶且斜率為1的直線/與。交于48兩點，若|48|<8,

則P的值可能為（）

A.vB.1C.-D.2

22

H.我們把離心率為。=丹匚的雙曲線力>0）稱為黃金雙曲線.如圖所示，4,4是雙曲

線的實軸的頂點，片，層是虛軸的頂點，K，6是左、右焦點，M,N在雙曲線上且直線MN過右焦點鳥,

并且MM_Lx軸.以下幾個選項中說法正確的是（）

B.若則該雙曲線是黃金雙曲線

c.若/片44=9（r,則該雙曲線是黃金雙曲線

D.若4WON=9（r,則該雙曲線是黃金雙曲線

2/20

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.橢圓工+上=1的焦距為2,則，〃的值為______.

9m

13.已知點F是雙曲線C:二-己=1的一個焦點，過尸且斜率為1的直線交。于48兩點，若日>忸E],

43

且方=4而，則4=.

14.在平面直角坐標系xQ"中，4（-2,0）,8（2,0）,動點C和D分別位于V正半軸和負半軸上，若|。。卜|。。|二1,

則AC和BD的交點M的軌跡方程為

四、解答題，寫出必要的過程與步驟（共5小題，共77分）

15.（13分）

（1）求與橢圓：+（=1有公共焦點，且過點（0,3）的橢圓方程.

（2）求與雙曲線（磊=1共漸近線，且過點力（2道,-3）的雙曲線方程.

16.（15分）

已知〃為拋物線C：V=2px的焦點，尸（。）（/工0）為C上的一點，且|外1=5,斜率為的直線/與。交于

A,8兩點，設直線產(chǎn)4，P4的斜率分別為4，k>

（1）求拋物線C的方程；

（2）求證或+質(zhì)為定值.

17.（15分）

22

已知雙曲線C:三-S=l（a>0,力>0）的實軸長為2,且焦點到漸近線的距離為后.

（1）求雙曲線。的方程；

（2）若直線/過雙曲線。的焦點，且與雙曲線左、右兩支分別交于“，N兩點，證明：直線/與圓0:/+/="2

相切的充要條件是|MV|=3.

3/20

18.(17分)

已知橢圓E：工■+上7=1(。＞0),左右焦點分別為后,工，左右頂點為4,4，離心率為二叵，點(右,《)在

橢圓￡上.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)若直線/"=〃"+〃與橢圓E交于M,N兩點，直線/不過原點、橢圓頂點且不垂直于x軸.

(i)設直線和4N的斜率分別為勺，勺，用加，”表示;“；

(ii)設也點關于原點的對稱點為s點，直線4s與直線4川交于丁點，直線與直線/交于。點，其中O

為坐標原點，證明：點。在一條定直線上.

19.(17分)

在平面直角坐標系入。中，動圓M與圓C1：(X+G)2+/=(孩J內(nèi)切，且與圓G：(X-百)2+72='外切,

記動圓圓心M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程.

(2)已知直線/與C交于〃,N兩點，與圓。：，+/=4交于p,。兩點，若不重合的兩條直線4：y={x與

，2：y=&x分別平分線段MM。。.

①求證：2為定值：

②已知直線4與曲線。交于瓦G兩點，4與曲線。交于。尸兩點，麗+3汨=0,求四邊形E/PH面積的

最大值.

4/20

2025-2026學年高二數(shù)學選擇性必修第一冊章節(jié)檢測卷

第三章圓錐曲線的方程?能力提升

建議用時：12()分鐘，滿分：15()分

一、選擇題，每個小題只有一個選項符合要求(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

L直線缶是雙曲線(三二1的一條漸近線’則，〃二

A.1B.4C.16D.18

【答案】D

【分析】根據(jù)漸近線的求法可直接求解.

【詳解】令雙曲線方程等號右側的1變?yōu)?,可得雙曲線的漸近線方程為y=

又直線&x-)，=0是雙曲線的一條漸近線，所以乎=及，解得〃?=18.

故選：D.

2.是“曲線土+工=1表示橢圓”的()

/\-t

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】本題考查的是對充分條件和必要條件的判斷以及橢圓方程的特征.

,我>0,

【詳解】曲線二十￡=1表示橢圓等價于解得且

/1-/,,.2

所以"0<z<1”是“曲線片+￡=1表示橢圓”的必要不充分條件.

t\-t

故選:B.

3.方程J(x-l)2+「=|x+l|可以化簡為()

A.y2=2xB.y2=4xC.x2=2yD.x2=4y

【答案】B

【分析】等式兩邊同時平方，化簡即可.

【詳解】由+/=|x+l|，兩邊同時平方有(x-1『+)，=(X+1『=V=4x,

故選：B.

4.設拋物線歹2=4x的焦點為"，準線為/,過拋物線上的一點P作/的垂線，垂足為0,若NPQ產(chǎn)=30。,

5/20

則|「。|=（）

A.-B.—C.-D.x/3

333

【答案】C

【分析】由題意可得尸產(chǎn)的傾斜角為120”,進而可得歸曰二二丁，計算即可.

1+—

2

【詳解】作出示意圖如圖所示：

則拋物線的性質(zhì)，可得|P日=|尸。|,又NPQF=30。,

所以可得PF的傾斜角為120",

則可得;|。「|+1。。|=；|。用+|戶用二0=2,

乙乙

\PF\=^-=-

從向1,13.

2

故選：C.

5.己知雙曲線。:爐_《=13>0）的左、右焦點分別為月，瑪，點A在。上，且2|/用=|力6|,△力￡月的

面積為2百.若/目力名為鈍角，則。的焦距為（）

A.5/7B.2將C.7D.14

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線定義結合條件得|力用=2,|』"|=4,根據(jù)死的面積解得sinN￡/!E=g,結合

為鈍角，得出cos〃/；=-；,杈據(jù)余弦定理解得C,進而得到焦距.

【詳解】根據(jù)雙曲線定義，/=1.。2"2+/=1+/,閨周二2*4周一|力用=2。=2,

又因為2|4耳卜|月用|,可得?用=2,恒工|=4,

因為△力耳鳥的面積為2VL

所以;MK|ME|sin/a48=2>/ingx2x4xsinN大力工=2百，

6/20

解得sin/冗力g=

2

因為/《力鳥為鈍角，所以cosNE力鳥<0,

由sii?/?！，?cos2Z/^J/s=1,.\8s“46=——

2

根據(jù)余弦定埋得|6目2=|g『+|傷『-2|西||伍|cos“福,

即有（2c『=2、4?-2x2x4x（-￡],解得°=萬

因此雙曲線的焦距為2療.

故選：B.

6.已知雙曲線Cq_/=|（。>0,6>0）的左焦點為尸，右頂點為A,過A作垂直于x軸的直線與兩

crb2

漸近線分別交于點。，E,若9EF為等邊三角形,則。的離心率為（）

A.2B.2x/2C.石D.3應

【答案】A

【分析】由題得|“1=有|力。|,即a+c=辰，即（〃+c）2=3〃=3卜2一叫，整理得/_6_2=0即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，不妨取。在￡的1：方，

則F（-c,0）,力30）,雙曲線的漸近線OQ方程為:y=-x.

_b

由『=丁"得：D（a,b）

x=a

又MM為等邊三角形，所以|力尸|=6|力必，

則“+c=?，即（。+4=3/=3（1—/）,

整理得2c2-2ac-4a2=0,即2/-2￡-4=0=>/一^一？=0,

解得e=2或e=-l（舍），

7/20

所以e=2.

故選A.

7.已知48為雙曲線4-號=1上經(jīng)過原點的一動弦，尸為圓C:d+（y_3『=l上一動點，則萬.麗的最大

43''

值為（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】D

【分析】根據(jù)題設畫H1雙曲線和圓，數(shù)形結合得莎?麗=|麗卜網(wǎng)2,并確定回L=16,網(wǎng);=4,

即可得最大值.

【詳解】如下圖示，OA+0B=6/-POA+Z.POB=71.。(0,3),

所以蘇.而=（討+況）?匹+歷卜田卜河『,

2=（。）2=4且可以同時取到,

Rmin

所以蘇?麗的最大值為|用『-\OA[=16-4=12.

IImaxIImin

故選:D

8.2025春節(jié)檔國產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧?！方舆B破全球票房記錄，影片中哪吒與敖丙是不可分割的二人組,

其中敖丙的武器“盤龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線.如圖所示的曲

線C過坐標原點O,C上的點到兩定點打乙（。,0）（。＞0）的距離之積為定值.當。=3時，C上

第一象限內(nèi)的點P滿足△尸/環(huán)的面積為，則歸用2一|尸周2=（）

D.6M

【答案】B

【分析】根據(jù)題設有|。用|。用=〃=9,設尸",團結合定義得（/+/）2=18，-/）,利用三角形面積公式

8/20

有N￡/筆二90。，即P是曲線（/_*2=是，-/）與以耳工直線的圓的交點,聯(lián)立曲線與圓已+產(chǎn)=9求

得丹=手，應用兩點距離公式求|戶聞2Tp周2

【詳解】由原點在曲線上，則|。周|0閭=°2=9,

設P（x,y）,則7（x+3）2+r-7（A--3）2+/=9，

所以（/+/+9+61）-（/+/+9-6X）=81,貝11。2+/+9）2-36.r=81,

所以（/+娟2=]8，-*，

由^叼廣子尸用歸國sin/￡/^=?且歸用歸國=9,可得sin"PE=l,

所以NGPK=90。，易知P是曲線。2+?2）2=]8（/一/）與以打工直徑的圓的交點，

聯(lián)立卜f+「）；=18。2-/）,且「在第一象限，可得氈，

x^+y2=9p2

所以「胃2—|尸引2=6+3）2+,—&廠3）2—吊=12/=18石.

故選：B

二、多選題，每個小題至少有兩個選項符合要求，全選對得全部分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。

（本大題共3小題，每小題6分，共18分）

9.已知曲線C：工+工=1,其中加為3與5的等差中項，〃為4與16的等比中項，則（）

"1n

A.C可表示為焦點在y軸的橢圓

B.?？杀硎緸榻咕嗍?的雙曲線

C.?？杀硎緸殡x心率是”的橢圓

D.C可表示為漸近線方程是'=±&x的雙曲線

【答案】ACD

【分析】由已知條件先求出也"的值，從而可得曲線。的方程，然后根據(jù)曲線方程逐一分析判斷即可.

【詳解】由加為3與5的等差中項得2/〃=3+5=8,即加=4,由〃為4與16的等比中項得//=4x16=64,

即w=±8,

則曲線C的方程為[+g=1或《-亡=1.

4848

其中4+!=1表示焦點在V軸的橢圓，

48

此時其離心率e=—=―7—='1■=.1一3=，A正確，C正確；

--——=1表示焦點在x軸的雙曲線，焦距為2c=2>Ja2+b2=2,4+8=4百，

9/20

漸近線方程為曠=±2工=±言工=±五工，B錯誤，D正確.

故選：ACD.

10.已知拋物線C：/=2px（p>0）的焦點為尸，過尸且斜率為1的直線/與。交于48兩點，若|力邳<8,

則P的值可能為（）

A.vB.1C.-D.2

22

【答案】ABC

【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理結合焦點弦公式列不等式求出P的范圍即可.

【詳解】由題可知，/的方程為尸x-g聯(lián)立整理得/-3px+《=0,

22r4

[y=2〃戈，

則為+/=3/?,|jfi|=x1+x2+p=4p<8,得0<p<2,

故選:ABC.

11.我們把離心率為e=3史的雙曲線5-/=1（。>04>0）稱為黃金雙曲線.如圖所示，4，4是雙曲

線的實軸的頂點，片，冬是虛軸n勺頂點，5是左、右焦點，M,N在雙曲線上且直線MN過右焦點八,

B.若b?=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線

c.若N￡44=9（r,則該雙曲線是黃金雙曲線

D.若乙WON=90%則該雙曲線是黃金雙曲線

【答案】ABCD

【分析】對于A:利用離心率公式求出離心率即可判斷；對于B:將從=4整理為/-e-l=0,求出離心率

即可判斷；對于C：由=90°,借助勾股定理化簡計算即小對于D：由NMON=900易得△〃照是

等腰直角三角形，同時得到入kg|MN|,整理化簡即可.

10/20

【詳解】選項A：由X*d—=1?可知：/=l,b°="+I,

x/5+l2

所以該雙曲線是黃金雙曲線，故A正確.

選項B：由b=qc，可得c2-1=ac,兩邊同除以

得e?-e-1=0,從而e=正土1,該雙曲線是黃金雙曲線，故B正確.

2

選項C：比聞2=從+。2,%周、加+/忻4『=(a+c『，

因為/4=90°,所以/+/+b2+a2=(a+e[,

即/=oc，由B正確可知該雙曲線為黃金雙曲線，故C正確.

選項D：因為直線MV過右焦點鳥，并且A/N_Lx軸，

(32、(.2\?,2

所以Mc,-一，Nc—JiiJ|MAl=—,

Ia)\a)a

由NMON=900易得△〃邵是等腰直角三角形，

所以凡|=3MN|,g[Jc=lx—,

22a

從而從=",由B正確可知該雙曲線為黃金雙曲線，故D正確.

故選：ABCD.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.橢圓工+廣=1的焦距為2,則〃?的值為______.

9m

【答案】8或10

【分析】已知橢圓E+￡=i的焦距為2,可以得出〃?>0且加工9,。=1,但題目未明確說明焦點的位置,

9m

需區(qū)分焦點位于x軸和P軸兩種情況分別討論.

【詳解】因為橢圓《+己=1的焦距為2,

9tn

所以〃?>0且〃?。9,c=1,

當焦點在x軸上時，/=9,從=〃?，

則c2=a2-b2=9-m=l>則w=8.

當焦點在V軸上時，/=〃?，〃=9,

則c2=a2-b2=m-9=l,則〃?=10.

綜上，機的值為8或10.

11/20

故答案為：8或10.

13.已知點尸是雙曲線C:5-f=l的一個焦點，過/且斜率為1的直線交。于48兩點，若忸日,

且萬二尤而，則4二.

【答案】-15-4>/14

【分析】不妨設廠為右焦點，寫H弦44所在直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關系，利用

成=4而可得必="，聯(lián)立即可求得答案；另解：可利用相關結論求解.

【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設尸為右焦點，由雙曲線方程?-9=l得尸（將⑼，

過尸且斜率為1的直線交C于48兩點,

則弦月8所在直線方程為》二歹+近，與雙曲線方程1-1=1聯(lián)立,

消去x得/_6勿-9=0.設月（國,乂），8伍,為），

由根與系數(shù)關系得必+必=6不，切多二-9,

由萬=/i而知［-近，%）=%（七-b,%）,

必=為2

則另=為2，由?尸|>忸尸|知慟>1,聯(lián)立必+必=6",

必乂=一9

解得4=一15-4加或4=一15+4廂（舍去）.

另解：由題意得。=2,b=6,則c=力a2+〃=百，所以e=±=，^.

a2

因為直線48的斜率為1,設直線48的傾斜角為0,則0=45。，

又雙曲線的漸近線方程為y=±*X，所以直線與雙曲線一支交于4〃兩點.

\AF\>\BF\,故令居j=d>i），

因為蘇=7而，則4=T<—1.

由"cos0=q&=一,得，=15+4加，所以；1=一15—4而.

故答案為：-15-445

12/20

14.在平面直角坐標系X。），中，A（-2,0）,B（2、0）,動點C和。分別位于N正半軸和負半軸上，若10cH=1，

則AC和BD的交點M的軌跡方程為.

【答案】丁=］（"0）

【分析】設C（o,用）（邠>0）,。（0「〃）（〃>0）,由題意可得叩7=1,用截距式分別表示出直線4。、

8。的方程，再分別用XJ表示出嘰〃，代入〃〃7=1,即可得M點的方程，最后再驗證》=0時的情況，即可

得答案.

【詳解】設C（o,〃?）（〃>o），0（o,f）（〃>o）,“（XJ）.

因為|0。卜［0。|=1,所以襁=1.

已知％（-2,0）,C（O,w）,根據(jù)直線的截距式方程二+4=1（。為X軸上的截距，方為歹軸上的截距），

ab

可得直線4C的方程為三十￡=i.

-2m

已知8（2,0）,0（0,f）,則直線8。的方程為5+工=1.

2-n

因為M（x,y）是力。和8。的交點，

所以A/的坐標滿足力C和3。的方程.

對于直線4C的方程三+上=1,

-2m

2v

用瑞V表示出"L得fn=—.

2+x

對千直線6。的方程上=1，

用瑞y表示出〃，得〃二二.

x-2

因為打〃=1,所以學二二1,即三一『=1.

X2-44-

當y=o時的情況不滿足動點。和D分別位ry軸正半軸和負半軸上，

、

因此所求軌跡方程為=］°勺0）.

故答案為：3~—jJ=l（ywO）

四、解答題，寫出必要的過程與步驟（共5小題，共77分）

15.（13分）

（1）求與橢圓］+（=1有公共焦點，且過點（。，3）的橢圓方程.

13/20

（2）求與雙曲線上-匕=1共漸近線,且過點力（2石,-3）的雙曲線方程.

169

【答案】（1）二+亡=1；（2）肛一二二1

34994

【分析】（1）設所求為/_+_匕=],只需求得％=75即可:

49+左24+左

（2）設所求為E-匚=〃/1工0）,只需求得見二—!即可.

169V74

【詳解】（1）所求橢圓與已知有相同焦點，可設所求橢圓方程為‘一+上一=1,

49+A24+〃

將點坐標代入得左=-15,故所求橢圓方程為二+己=1.

349

（2）設與已知雙曲線共漸近線的雙曲線方程為工-亡=4（/1/0）.

169v7

因為力（26-3）在所求雙曲線上，故代入可得4=-；,

所以即今一『

為所求.

16.（15分）

己知廠為拋物線C：/=2px的焦點，尸（0）。。0）為C上的一點，且歸產(chǎn)|=5,斜率為[的直線/與。交于

A,B兩點,設直線尸/,PB的斜率分別為人，

（1）求拋物線。的方程：

（2）求證用+%為定值.

【答案】（l）_/=4x；

（2）證明見解析.

【分析】（1）由點在拋物線上及勉物線定義求參數(shù)，即可得方程；

（2）設/：），=-〃，聯(lián)立拋物線并應用韋達定理、斜率兩點式化簡求占+%2,即可證.

【詳解】⑴依題意，1陽'小55,得1t==24

所以拋物線C的方程為V=4x.

y2=4x

(2)設/:y=-gx+m,聯(lián)立，

1得j/+8y-8〃?=O.

y=——x+ni

2

14/20

由A=8?—4xIx(-8m)=64+32m>0,得m>-2.

設4（石,必），8（事,為），則乂+/=-8，M%=-8m.

由（1）知,P（4,4）,"始+標=已既七★黑羽

44

所以4+&為定值.

17.（15分）

已知雙曲線。二-1=1（〃>0力>0）的實軸長為2,且焦點到漸近線的距離為出.

ah~

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線/過雙曲線C的焦點，.且與雙曲線左、右兩支分別交于M,N兩點，證明：直線/與圓。:/+/=。

相切的充要條件是|MN|=3.

【答案】

⑵證明見解析

【分析】（1）根據(jù)實軸長和焦點到漸近線的距離可求方程；

（2）先聯(lián)立方程得出|MN|的表達式，結合充要條件的定義進行證明即可.

【詳解】（1）該雙曲線的漸近線為尸±”，即云±@=0,設焦點為（±c,0）,

a

2a=2,

了產(chǎn)，=6解得，

由題意可得方程組

yja2+b2

c2=a2+b\

則雙曲線。的方程為、2-勺=1.

（2）由雙曲線的對稱性，可設直線/的方程為y=Mx+2）,且0<%<6.

y=k（x+2\

2

聯(lián)立直線/與雙曲線方程，即1,y_可得（3-左2）/—4/1-4y一3=0,

廠-『，

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則々,+/=曰7,4r+3

=-3二公

（止丫4(4A」+3)60+F)

從而|MV|=J[+rJ(x“+%J_4T“X、=Jl+A，

+3-『=3—也.

充分性：由直線/與圓相切，可得圓心0（0,0）到直線/的距離4=/條=1,則4=等,

2

6x1+

、3

故MM=L（百丫」=3：

3

必要性：由|MN|=3,即6（l+f-）=3,解得左=近，

3-A二3

則直線/的方程為y=*x+半，即工一向，+2=0.

__2

所以圓心。（0,0）到直線/的距離°~I/喬，則直線/與圓O相切,

所以直線/與圓O:/+/=/相切的充要條件是|財訓=3.

18.（17分）

已知橢圓￡：［+^=1（。＞力＞0），左右焦點分別為K，5，左右頂點為4,4,離心率為立，點（百二）在

橢圓E上.

（I）求橢圓E的標準方程；

（2）若直線/：x=〃少+〃與橢圓E交于A/,N兩點，直線/不過原點、橢圓頂點且不垂直于x軸.

（i）設直線4M和AN的斜率分別為人,心，用〃?，〃表示:十；；

占K2

5）設M點關于原點的對稱點為S點，直線4s與直線4N交于r點，直線。7與直線/交于。點，其中。

為坐標原點，證明：點。在一條定直線上.

【答案】⑴工+/=i：

4

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⑵(i)-(ii)證明見解析.

n+2

【分析】（1）利用橢圓的離心率及所過的點列式求出。力即可.

（2）（i）聯(lián)立直線/與橢圓方程，利用韋達定理及斜率坐標公式求出;+；；（ii）法一：利用橢圓對稱

性，結合（i）的結論求出。7?的斜率，進而求出直線or方程，再求出點。橫坐標即可；法二：由橢圓對稱

性，結合（i）的信息求出S的坐標，再利用斜率坐標公式求出G7的斜率，進而求出直線方程，再求出

點。橫坐標即可.

【詳解】⑴由橢圓￡二+二=1的離心率為且，得叵王=走，解得。=26,

a-b-22

由橢圓￡京過點（百》得親+親“解得行?。兒

所以橢圓E的方程為工+V=1.

4-

x=my+n

(2)(i)由，一消去x得(〃/+4)產(chǎn)+2〃〃沙+"2-4=0,設點M(XpM),N(X2，%),

一+y=1

4-

-2mn1-4

則為+%=——7^1^2=——7,而4(—2,0),4式2,0),依題意〃工±2,

m+4m~+4

月|以—+—=----+---=-------4------=2〃？-2)M+心小

區(qū)友乂乃必y2必歹2"2.

5）法一：設八％,%），由〃點關于原點的對稱點為S點，。為44中點，得AS//&M,

直線07的斜率力”=%，&,k二%1J二.+21』一2二2.”

%%-2「/-2'勺hyQy0y0

由⑴得等鴿‘解得3詈,則直線。/方程為…=喏》，

x=my+nn

由，〃+2，消去y得x+n,而〃不恒為0,解得x=-2.

y=----x2

’2m

所以點。在定直線x=-2上.

-2mnn--4

法二：由（i）得必+為

nr，+4d，/必=m2+4,，

設1%,%），由知點關于原點的對稱點為S點，得義-%-必）,

由4，s,r三點共線，得%_/‘由&N"三點共線，得蓋T會

x0+2再一2

1X(.x(.+2xn-2my.+n-lm\\+n-2_/y,+y,4〃？

則一1=3——+-2——=-2J-----h-2J------=2〃汁(止2)川,2工

Vo-Vo.Vo

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解畤=嚎，因此直線?！悍匠虨椋骸蔽禭，

x=my+n

11+2

由，〃+2，消去丁得％=x+〃，而〃不恒為0,解得x=-2

y=-------x2

■2m

所以點。在定直線x=-2上.

在平面直角坐標系X。),中，動圓M與圓C：(x+JJ)2+