2/15第一章集合與常用邏輯用語、不等式~第六章數(shù)列（綜合測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合A，進而可求交集.【詳解】因為集合，且集合，所以.故選：C.2．實數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】先根據(jù)復數(shù)乘法計算化簡，再結(jié)合復數(shù)相等列式求解.【詳解】由得，解得，所以．故選：D.3．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】化簡不等式，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由，得或；由，得，即，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B4．已知正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．16 B．32 C．27 D．81【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的公比即可求得.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，由，，得，整理得，解得，所以.故選：C5．在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量基本定理，和平面向量運算方法，用基底表示目標向量.【詳解】如圖所示，.故選：D.6．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先驗證函數(shù)是奇函數(shù)，然后代入特殊值判斷正確選項.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，所以A,B錯誤；取特殊值，令，則，根據(jù)圖象可以看出D錯誤，C正確.故選：C.7．已知，是第四象限角，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，利用誘導公式結(jié)合正弦的差角公式，求得，再利用平方關(guān)系，求出，再利用余弦的和角公式，即可求解.【詳解】由得，即，所以∵是第四象限角，∴.所以.故選：D.8．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，若對任意的，，且，都有成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由在單調(diào)遞增，又結(jié)合為奇函數(shù)得出上遞增，再由等價于或，即可求解集.【詳解】對任意的，，且，都有成立，所以在單調(diào)遞增，又因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，由，當時，，即；當時，，即；由可得.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前項和公式，結(jié)合等差數(shù)列下標性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，因此本選項正確；B：因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以由，而，所以，因此本選項正確；C：由上可知：，且，設(shè)等差數(shù)列公差為，所以，而且從首項到第六項均為負，從第七項起，均為正數(shù)，因此前六項和最小，故，因此本選項不正確；D：由上可知：，且，可得，因此無法判斷之間的大小關(guān)系，故選：AB10．歐拉公式是由數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽為“數(shù)學中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，若，則（

）A．的虛部為1 B．C． D．【答案】BCD【分析】A選項，計算出，得到虛部；B選項，，由共軛復數(shù)的定義可知B正確；C選項，計算出，C正確；D選項，通過計算可得的一個周期為6，且，通過周期可得答案.【詳解】A選項，因為，所以，故虛部為，A錯誤；B選項，，故，B正確；C選項，，，故，，C正確；D選項，，，，，故的一個周期為6，且，故，D正確.故選：BCD11．聲音是由于物體的振動產(chǎn)生，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學模型是函數(shù).已知某個音是由三個純音合成的，該音的數(shù)學模型為函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．該函數(shù)是偶函數(shù) B．該函數(shù)的最小正周期為C．該函數(shù)的最大值為 D．該函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】BD【分析】利用正弦函數(shù)的奇偶性判斷A；求函數(shù)周期判斷B；利用正弦函數(shù)的值域判斷C；根據(jù)與的關(guān)系判斷D.【詳解】對A：因為.所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯誤；對B：因為的最小正周期為，的最小正周期為，的最小正周期為，且，，的最小公倍數(shù)為，所以的最小正周期為，故B正確；對C：因為的最大值為1，的最大值為，的最大值為，且.但是它們分別在，，，時取等號，所以不能同時取得最大值，故C錯誤；對D：因為，，所以，所以該函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故D正確.故選：BD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若向量，的夾角為，，，則．【答案】【分析】，利用向量數(shù)量積計算結(jié)果.【詳解】向量，的夾角為，，，有，則.故答案為：.13．已知正實數(shù)滿足，，則.【答案】/【分析】令，則由可得，從而可求出的值，再結(jié)合求出，即可得解.【詳解】令，則，由，得，所以，解得或，所以或，所以或，當時，則，由，得，所以，由，又，解得，所以；當時，由，得，所以，由，又，解得，所以，綜上所述，.故答案為：.14．已知，若關(guān)于的方程有五個相異的實數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意可知方程有兩個根，則有3個根，然后作出分段函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因為，根據(jù)題意和函數(shù)圖象可知，有兩個根，則有3個根，的圖象如圖所示，

結(jié)合圖象可知，要使方程有3個根，則有，所以.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）在中，設(shè)A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，(1)求A的值；(2)若點D在AC上，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合正弦定理邊化角，即可求角A；（2）利用同角公式求正弦值，再結(jié)合正弦定理求出，然后再根據(jù)正弦的和差角公式求解，即可由面積公式求解.【詳解】（1）由三角形內(nèi)角和定理可知：，再由，利用正弦定理邊化角得：，因為，所以有，則；（2）由，在中，可得，再由正弦定理得：，，所以的面積.16．（15分）已知函數(shù)在處取得極值(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【分析】（1）求出，再結(jié)合，則可求得，再經(jīng)檢驗即可求解；（2）由（1）可求出在區(qū)間上的單調(diào)性，從而可求解.【詳解】（1）函數(shù)的導數(shù)為：由題意，，代入得：，解得，經(jīng)檢驗，符合題意；故的值為.（2）當時，，導數(shù)為：令，解得，（舍去），當，；當，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，取到極小值也是最小值；又，，從而可求最大值為，故最大值為，最小值為.17．（15分）已知直線和是圖象的兩條相鄰的對稱軸(1)求的解析式；(2)將圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.若在區(qū)間上恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)最小正周期，進而求出，代入，結(jié)合得到，得到函數(shù)解析式；（2）求出，求出，根據(jù)零點個數(shù)，得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】（1）由已知得函數(shù)的最小正周期，所以，

又因為，所以，，即，，因為，所以，所以.（2）將圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮玫胶瘮?shù)的圖象，所以，因為，所以，因為在區(qū)間上恰有兩個零點，所以，解得，所以的取值范圍為.18．（17分）已知數(shù)列的首項的前項和為，且.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)令，求函數(shù)在點處的導數(shù)；(3)設(shè)，是否存在實數(shù)，使對任意正整數(shù)都成立，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)不存在，理由見解析.【分析】（1）由和作差結(jié)合等比數(shù)列定義即可求證；（2）先由（1）得，接著計算導數(shù)再結(jié)合錯位相減法和等差等比數(shù)列前n項和公式即可計算求解；（3）分為偶數(shù)和為奇數(shù)分析不等式成立時的參數(shù)解即可得解.【詳解】（1）證明：因為，所以，所以，又，即，所以數(shù)列是公比和首項均為2的等比數(shù)列.（2）由（1），所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.（3）不存在，理由如下：由題，則，設(shè)對任意正整數(shù)都成立，則當為偶數(shù)時，，因為為偶數(shù)，所以，所以；當為奇數(shù)時，，因為為奇數(shù)，所以，所以，綜上所述，不存在實數(shù)，使對任意正整數(shù)都成立.19．（17分）已知函數(shù).(1)若，，求函數(shù)的極值；(2)若，當，求證：，；(3)若，設(shè)，若，，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極大值為1，無極小值(2)證明見解析(3)【分析】（1）先求導，利用導數(shù)討論的單調(diào)性，再確定極值.（2）方法一：由題意，得，令，則問題轉(zhuǎn)化為證明，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可證.方法二：設(shè)，則，原不等式等價于恒成立.可通過導數(shù)求函數(shù)的最小值得證.（3）設(shè)在上的最小值為，在上的最小值為，條件，，都有等價于，通過導數(shù)分別求函數(shù)和的最小值即可求解.【詳解】（1）若，，，，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減.所以無極小值，且當時，取得極大值.（2）解法1：若，，令，要證，只要證，設(shè)，，當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增，所以，命題得證.解法2：由題可知，對任意，恒成立.等價于在恒成立.所以，即在恒成立.設(shè)，則，所以原不等式等價于恒成立.設(shè)，得.當時，令，得.當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以在時，取到極小值，也是最小值，且最小值為.因為，所以，即對任意，恒成立.（3）解法1：設(shè)，則，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為，所