中考鼎君二法函烈

實際應用之區(qū)間頂點最值

例1【表格型】I.(2024?貴州)某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷

售，經市場調查發(fā)現(xiàn)銷售單價不低于進價時，日銷售量y(盒)與銷售單價

x(元)是一次函數(shù)關系，下表是y與x的幾組對應值.

銷售單價力元???1214161820???

銷售量w盒???5652484440???

(1)求y與x的函數(shù)表達式；

(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品,

贈送禮品后，為確俁該種糖果口銷售獲得的最大利潤為392元，求機的值.

【解答】解：(1)設)，=辰+6(AHO).

.12k+b=56

14k+b=52

解得：尸2.

b=80

.\y=-2x+80；

(2)設日銷售利潤為w元.

w=(x-10)(-2x+80)

=-2x2+100x-800

=-2(x2-50x+625)-800+1250

=-2(x-25)2+450.

答：糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元;

(3)w=(x-10-w)(-2r+80)

=-2x2+(100+2〃z)x-800-80/M.

,**最大利潤為392元，

2

?4X(-2)(-800-80m)-(100+2m)-392

4X(-2)

整理得：〃?2-60〃7+ii6=0.

(〃??2)(m-58)=0.

解得：〃71=2,M2=58.

中考微君二法函微

當"?=58時，x=--L=54,

2a

，每盒糖果的利潤=54-10-58=-14（元）.

???舍去.

答：〃?=2.

例2【圖象型】3.（2024?溫江區(qū)校級自主招生）某商場購進一批衣服，每件的

進價為80元，出于營銷考慮，要求每件衣服的售價不低于80元且不高于150

元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該衣服每周的銷售量y（件）與每件衣服的售價x（元

）之間滿足的函數(shù)關系如圖所示.

（1）求p關于x的函數(shù)關系式及x的取值范圍；

（2）若商場每周銷售該衣服獲得的利潤為1100元，則每件衣服的售價是多

少元？

（3）設該商場每周銷售這種衣服所獲得的利潤為w元，則將該衣服的銷售單

價定為多少元時，才能使所獲利潤最大？最大利潤是多少？

【解答】解：（1）設函數(shù)關系式為：y=k/b,

代入坐標（50,150）,（100,100）,得

[50k+b=150

1100k+b=100,

解得『二T,

b=200

即y關于x的函數(shù)關系式為/=-戶200（80&XW150）；

（2）根據題意有：yX（x-80）=（-A+200）（X-80）=1100,

方程整理得/-280^17100=0,

解得x=90,或x=190（舍去），

答：每件衣服的售價為90元；

（3）根據題意，有：w=yX（彳?80）

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=（-x+200）（x-80）,

整理，得懺-/+280x-16000,

化為頂點式為：“=?（^-140）2+3600,

,?-1<0,80^^150,

???二次函數(shù)片?J+280x-16000有最大值,且當才=140時，取最大值,

B|J獷最大=3600,

即當售價為140元每件時，才能獲得最大利潤，最大利潤為3600元.

對應練習：

1.水果店張阿姨以每千克2元的價格購進某種水果若干千克，然后以每千克4元

的價格出售，每天可售出100千克，通過調查發(fā)現(xiàn)，這種水果的售價降低0.1

元，每天可多售出5千克，張阿姨決定降價銷售.

（1）若這種水果每千克的售價降低x元，則每天的銷售量是一（100+50x）

千克（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）銷售這種水果要想每天盈利150元，張阿姨需將每千克的售價降低多少

元？

（3）求張阿姨每天盈利y（元）與每千克售價石（元）之間的函數(shù)關系式，

并求出每千克售價多少元時，每天盈利最大？

【解答】解：（1）,?,這種水果的售價降低0.1元，每天可多售出5千克，

???若這種水果每千克的售價降低十元，則每天的銷售量=100+」JX5=（

0.1

100+50x）千克.

故答案為：（100+50x）；

（2）設這種水果每千克的售價降低加元，則每千克的銷售利潤為（4-勿-2）=

（2-/77）元，每天的銷售量為（I00+50M千克，

依題意得：（2-m）（100+50/v）=150,

整理得：蘇-1=0,

解得：加1=1,他=-1（不合題意，舍去）.

答：張阿姨需將每千克的售價降低1元；

（3）依題意得：y=（a-2）（100+生亙X5）=?50，+400a?600（2WaW4

中考微君二法函微

）.

y=-50^+400z?-600=-50（d-4）2+200,

????50<0,

???當a=4時，y取得最大值,最大值為200.

?,?當每千克售價為4元時，每天盈利最大.

2.某商場購進一批單價為10元的日用品，若按每件20元的價格銷售，每

月能賣出20件，若按每件30元的價格銷售，每月能賣出10件,假定每

月銷售件數(shù)y（件）與價格x（元/件）之間滿足一次函數(shù).

（1）試求y與x之間的函數(shù)關系.

（2）在不考慮其他因素的條件下，銷售價格定為多少時，才能使每月的

利潤最大？每月的最大利潤是多少？

解：（1）設、=上]+比

把工=20,尸20和￡=30,y=10代入可得款ftp一巴

[30k+b=10

解哦京,

/.y=—x+40（10<x<40）；

（2）每月獲得利潤P=（-°十40）（x-10）

=一比2十50i—400

=-（x-25）2+225,

當1=25時，P取得最大值，最大值為225,

答：銷售價格定為25元時，才能使每月的利潤最大，每月的最大利潤是225元.

3.（2024秋?武鳴區(qū)期中）江南的絲綢以其質地細膩、工藝精湛而聞名.現(xiàn)有

一種絲綢制成的絲巾，每條成本50元，出于營銷考慮，要求每條絲巾的售價

不低于60元且不高于110元，銷售一段時間發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（條）

與銷售單價x（元/條）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據如表所示：

銷售單價X（元/條）???7090100???

每天銷售數(shù)量y（條）???804020???

（1）請求出歹與x的函數(shù)解析式；

（2）設該店每天銷售絲巾所獲得的利潤為卬元.寫出卬與x的函數(shù)解析式；

（3）將該商品銷售單價定為多少元時，才能使得當天所獲利潤最大？最大利

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潤是多少？

【解答】解：(1)設歹=左什力(左W0),

??,經過(70,80),(90,40),

.j70k+b=80,

l90k+b=40，

解得：［片2,

lb=220

?\y=-2x+220(60^x^110)；

(2)w=(x-50)(-2x+220)

=-2x2+320x-11000；

(3)???-2<0,

???拋物線的開口方向向下，

???60WxW110,拋物線的對稱軸為直線：工=-工=80,

2a

???當x=80時，卬最大，w最大=30X60=1800.

答：將該商品銷售單價定為80元時，才能使得當天所獲利潤最大，最大利潤

是1800元.

4.(2024秋?北辰區(qū)期中)某商店銷售一種銷售成本為每件40元的玩具，若按

每件50元銷售，一個月可售出500件.銷售價每漲1元，月銷售量就減少10

件.設銷售價為每件x元(x250),月銷量為y件，月銷售利潤為w元.

(1)當銷售價為每件60元時，月銷量為400件,月銷售利潤為8000

元：

(2)求歹與x的函數(shù)關系式，w與x的函數(shù)關系式，寫出x的取值范圍；

(3)當銷售價定為每件多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤.

【解答】解：(1)一種銷售成本為每件40元的玩具，若按每件50元銷售，

一個月可售出500件.銷售價每漲1元，月銷售量就減少10件.當銷售價為

每件60元時，得：

月銷量為500-(60-50)X10=400(件)，

月銷售利潤為(60-40)X400=8000(元)，

故答案為：400,8000；

(2)由題意可得：了=500-10(%-50)=-lOx+1000,

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-10x+1000>0,

解得：XV100,

???50?100,

???0=(x-40)y=(x-40)(-lOx+1000)=-10x2+1400x-40000,

???歹與x的函數(shù)關系式為>=-lOx+1000(50WxV100),

卬與l的函數(shù)關系式為卬=-10x2+1400.r-40000(50^x<100)；

(3)Vw=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000(50^x<100),

???當x=70時，w最大，最大值為9000,

?,?當銷售價定為每件70元時會獲得最大利潤，最大利潤為9000元.

5.(2024秋?鋼城區(qū)期中)2024年是農歷甲辰龍年，含有“龍”元素的飾品深

受大眾喜愛.商場購進一批單價為80元的“吉祥龍”公仔，由于銷售火爆，

公仔的銷售單價一直上漲到每個125元，此時每天可售出75個.物價部門規(guī)

定，商品利潤不得超過進價的50%,同時市場調查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低1

元，其銷售量相應增加5個.

(1)設這種“吉祥龍”公仔的銷售單價為x元，銷售量為y個，求y關于x

的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍.

(2)那么銷售單價應降低多少元，才能使每天所獲銷售利潤最大？最大利潤

是多少元？

【解答】解：(1)由題意得：y=75+5(125-x)=-5x+700,

??,商品利潤不得超過進價的50%,

即xW(1+50%)X80=120,

故卜=-5x+700GW120)；

(2)設每天所獲銷售利潤為w元，xW120,

則w=y(x-80)=(-5x+700)(x-80)=?5(x-110)2+4500^4500,

即當x=110元(降低了15元)每天所獲銷售利潤最大，最大利潤是4500元,

即單價降低15元時，每天所獲銷售利潤最大，最大利潤是4500元.

6.(2024秋?豐臺區(qū)校級期中)2023年第19屆杭州亞運會的舉辦帶熱了吉祥物

“宸宸、琮琮和蓮蓮”的銷售.某網店經營亞運會吉祥物玩偶禮盒裝，每盒

進價為30元.當?shù)匚飪r部門規(guī)定，該禮盒銷售單價最高不能超過50元/盒.

中考微君二法函微

在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該禮盒每周的銷量y（件）與銷售單價x（元）之間近似滿

足函數(shù)關系：

y=-2x+180（30Wx<50）.

（1）設該網店每周銷售該禮盒所獲利潤為w（元），則w與x的函數(shù)關系式

為漳=?2x2+240x?5400；

（2）求當銷售單價為多少元時，該網店每周銷售該禮盒所獲利潤最大？最大

利潤是多少元？

宸宸琮琮蓮蓮

rhenrhencongcnnglianItan

【解答】解（1）該網店每周銷售該禮盒所獲利潤為w=（%-30）（3180

）,

-2x2+240x-5400.

故答案為：w=-2^+240%-5400.

（2）由題意，Vvv=-2N+240x-5400=-2（x2-120x+3600）+1800=-2（

x-60）2+1800,

又30WxW50,拋物線開口向下，對稱軸是直線x=60,

???當x=50時，該網店每周銷售該禮盒所獲利潤最大=-2（50-60）2+1800

=1600（元）.

7.（2024秋?北京期中）我市某公司在直播中推出的一款“忘憂”產品禮盒，

每盒的成本為100元，若按每盒150元銷售，則同時段每小時可售出40盒.

為了讓利全國網友，公司決定降價銷售，經核算，發(fā)現(xiàn)銷售價每降低1元，

同時段每小時的銷量就增加2盒.設該禮盒售價為每盒x元J2100）,每

小時的銷售利潤為校元.

（1）求卬關于x的函數(shù)關系式，并直接寫出了的取值范圍；

（2）直播間在讓利顧客的前提下，要使一小時的銷售利潤達到2400元，銷

售價應定為每盒多少元？

中考微考二法函微

(3)當銷售價定為多少元時每小時的利潤最大？并求出最大利潤.

【解答】解(1)由題意得，y=40+2(150-x)即y=340-2x(100^x<150

),

???w=(x-100)(340-2x)BP-2x2+540x-3400(100^x<150)

(2)由題意得，(x-100)(340-2x)=2400,

整理得F-270x+18200=0,

解得,=140,X2=130,

??,要讓利顧客，

.*.x=130,

答：銷售價應定為每件130元；

(3)w=(x-100)(340-2x)

=340.Y-34000-2f+200x

=-2r2+540x-34000

=-2(x-135)2+2450(100^x<150)

-2<0,

???當x=135時，卬有最大值，w最大=2450,

答：銷售價定為每件135元時，利潤最大，最大利潤為2450元.

8.(2024秋?昆明期中)“秋風響，蟹腳癢”，秋風送爽之時，正是蟹肥旨紅

之日.某品牌大閘蟹的進價為每只20元，售價為每只30元，每天可賣出180

只.商家決定采取適當?shù)臐q價措施，經調查發(fā)現(xiàn)：如果每只大閘蟹的售價每

上漲1元，則每天就會少賣出10只，但每只售價不能高于35元.設每只大

閘蟹的售價上漲x元，每天的銷售總利潤為y元.

(1)用含x的式子表示漲價后每只大閘蟹的利潤是(10出)元,每天

的銷售量為(180?10x)只;

(2)寫出歹與x的函數(shù)關系式和自變量x的取值范圍；

(3)每只大閘蟹的售價為多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少

9?

【解答】解：(1)漲價后每只大閘蟹的利潤=(30+x)-20=(10+x)元，

每天的銷售量為(180-10x)只，

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故答案為：（10+x）,（180-10.r）；

（2）y=（10+x）（180-10x）

=1800-100x+180x-10x2

=-10x2+80x+1800（0WxW5）；

（3）V-10<0,

???拋物線的開口方向向下，

???當x=-±-=4時，y最大，

2a

???0WxW5,

.??當x=4時，y最大=14義140=1960（元）,

???每只大閘蟹的售價為34元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是1960元.

答：每只大閘蟹的售價為34元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是1960

元.

9.（2024秋?河東區(qū)期中）某商品的進價為每件40元.當售價為每件60元時，

每星期可賣出300件，現(xiàn)需降價處理，且經市場調查：每降價1元，每星期

可多賣出20件,在確保盈利的前提下，解答下列問題：

（1）若設每件降價x元,則每件商品利潤（20-丁元,每星期可售出C

300+2》）件:（用含x的代數(shù)式表示）

（2）若每星期售出商品的利潤為y元，則一與x的函數(shù)關系式y(tǒng)=?

20N+i00x+6000；

（3）當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？

【解答】解（1）設每件降價x元，則每件商品利潤為60-x-40=20-x（

元），每星期可售出：（300+20X）件，

故答案為：（20-x）:（3OO+2OQ:

（2）y=（20-x）（300+20x）=-20N+100/6000.

因為降價要確保盈利，所以40V60-xW60（或40V60-XV60也可）.

解得0?20；

故答案為：y=-20x2+100x+6000；

（3）當x=--=-——理--=2.5元時；y有最大值，y=

2a2X（-20）,

中考微考二法函熬

2

4X（-20）X6000-100=6125^

4X（-20）

即當降價2.5元時，利潤最大且為6125元.

10.（2024秋?西崗區(qū)期中）某果農銷售每箱成本為40元的紅富士蘋果，市場

調查發(fā)現(xiàn)，若每箱以60元的價格銷售，平均每天銷售20箱，若每箱蘋果售

價每降低5元，平均每天多銷售10箱.

（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關系式；

（2）每箱蘋果的銷售價為多少元時，該果農每天獲得利潤最大，最大利潤是

多少元？

10（6X）

【解答】解：（1）y=20?0-=140-2X>

5

?,?平均每天銷售量）（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關系式為歹=140-

2x（40<x^60）；

（2）設該果農每天獲得的利潤為w元，根據題意得，

w=（x-40）?y=（x-40）（140-2r）=-2x2+220x-5600=-2（x-55）

2+450,

????2<0,

有最大值，

當x=55時，卬有最大值為450元.

答：每箱蘋果售價為55元時，該果農每天獲得利潤最大，最大利潤為450元

11.（2024秋?江夏區(qū)校級期中）某超市銷售一種成本為20元/件的商品，若某

個月的第x天（x為整數(shù)）的售價與銷量的相關信息如下表所示：

第X天售價（元/件）日銷售量（件）

1?3080-x40+4x

設銷售該商品的日銷售利潤為y元.

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關系式；

（2）問銷售該商品第幾天時，日銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少元？

（3）如果超市每銷售一件商品，就捐贈小元給希望工程，若僅在第15天銷

售利潤額達到最大值，求〃7的取值范圍.

中考微考二法函微

【解答】解(1)由題意得^=(80-X-20)(40+4工)=-4x2+200.v+2400,

*?y與x的函數(shù)關系式為^=-4x2+200x+2400；

(2)y=-4N+200X+2400=-4(x-25)2+4900,

V-4<0,l〈xW30,

???拋物線開口向下，

當工=25時，y取得最大值為4900,

?,?銷售該商品第25天時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤4900元；

(3)設捐贈后的銷售利潤為/元，

由題意得：/=-4/+200/2400-m(40+4x)=-4/+(200-4m)x+2400

-40加，

???對稱軸為直線x=-200:4m=25-X

2X(-4)2

??,僅在第15天銷售利潤額達到最大值，

A14.5<25-Xn<15.5,

2

解得19VMV21.

：.m的取值范圍為19<w<21.

12.(2024秋?工業(yè)園區(qū)校級期中)某商品零售店預售2025年亞洲冬季運動會

吉祥物.該吉祥物每個進價為30元，規(guī)定售價不低于進價.現(xiàn)在售價為每個

50元，每天可銷售100個.經市場調查發(fā)現(xiàn)，若售價每降價1元，則每天的

銷售量將增加10個.設每個吉祥物降價x元，每天銷售吉祥物的利潤為少元

(1)求出〃與x的函數(shù)關系式；

(2)該零售店如何定價，才能使得每天的利澗力最大，并求出最大利潤.

【解答】解：(1)由題意，???售價為每個50元，每天可銷售100個.售價

每降價1元，每天的銷售量將增加10個，

???每天銷售吉祥物的利潤為％=(5O-X-3O)(100+10%)=-10(x-5)

2+2250(04W20)；

(2)由題意，???沙=-10(x-5)2+2250,且-10V0,

???當x=5時,%有最大值，且最大值為2250,此時定價為：50?5=451元)

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13.(2024秋?瀏陽市期中)某賓館有80個房間供游客居住，當每個房間每天

的定價是200元時，房間會全部住滿，當每個房間每天的定價每增加5元時，

就會有一個房間空閑，空閑的房間可以出租儲存貨物，每個空閑房間每天儲

存貨物可獲得40元的利潤，如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天額外

支出30元的各種費用，儲存貨物不需要額外支出費用，設空閑房間有x可且

全部用于出租儲存貨物.

(1)用含x的式子表示