福州市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．如圖，在中，，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1，若點(diǎn)在的延長線上，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系為_______；（類比探究）（2）如圖2，若點(diǎn)在線段上，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（拓展應(yīng)用）（3）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段的長度．解析：（1）；（2），理由見解析；（3）的長為或【分析】（1）通過證明，可得，再根據(jù)，即可得證；（2）通過證明，可得，再根據(jù)，即可得證；（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，若點(diǎn)D在BC的延長線上，且點(diǎn)E在線段AD上，AP，CD，BC之間的數(shù)量關(guān)系為，理由如下，垂足為點(diǎn)E在△BPC和△ADC中（2）．理由如下，如圖∵，∴，，∴∵，∴∴∵∴（3）的長為或①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)∵，∴∴∴②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖①，，求證：．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖②，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊上兩點(diǎn)，將菱形沿翻折，點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)P處，若，求的值．（拓展提高）（3）如圖③，在矩形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接，若，求的長．解析：（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由證明，再根據(jù)相似三角形的判定方法解題即可；（2）由菱形的性質(zhì)，得到，，繼而證明是等邊三角形，結(jié)合（1）中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，設(shè)，則可整理得到，據(jù)此解題；（3）在邊上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，由矩形的性質(zhì)，得到，結(jié)合（1）中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，即，∵，∴；（2）∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，由（1）得，，∴，設(shè)，則∴，可得①，②，①－②，得，∴，∴的值為；（3）如圖，在邊上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，設(shè)AB=CD=m，∵四邊形是矩形，∴，∴，=DF，，由（1）可得，，∴，∴，整理，得，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．和都是等邊三角形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接．猜測(cè)發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與是否相等？若相等，加以證明；若不相等，請(qǐng)說明理由．問題解決：（2）若三點(diǎn)不在一條直線上，且，求的長．拓展運(yùn)用：（3）若三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且和的邊長分別為1和2，的面積及的值．解析：（1）AE=BD，理由見解析；（2）5；（3）面積為，＝【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，容易證明△BCD≌△ACE，從而問題即可解決；（2）根據(jù)∠ADC=30゜及△DCE是等邊三角形，可得∠ADE=∠ADC+∠CDE=90゜，從而可計(jì)算出AE，再由（1）即可得BD的長；（3）過A點(diǎn)作AF⊥CD于F，根據(jù)和都是等邊三角形，可得∠ACD=60゜，于是在直角△ACF中利用三角函數(shù)知識(shí)可求得AF的長，從而可求得△ACD的面積；在△ACF中還可求得CF的長，從而可得DF的長，這樣在直角△ADF中即可求得結(jié)論．【詳解】（1）AE=BD．理由如下：∵和都是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）如圖3，由（1）得：，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴；（3）如圖2，過作于，∵三點(diǎn)在一條直線上，∴，∵和都是等邊三角形，∴，∴，在中，，∴，，∴，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，帶有一定的綜合性．4．（問題原型）如圖，在矩形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，以為直徑作．求證：點(diǎn)、在上．請(qǐng)完成上面問題的證明，寫出完整的證明過程．（發(fā)現(xiàn)結(jié)論）矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以該矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長為直徑的圓上．（結(jié)論應(yīng)用）如圖，已知線段，以線段為對(duì)角線構(gòu)造矩形．求矩形面積的最大值．（拓展延伸）如圖，在正方形中，，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，以線段為對(duì)角線構(gòu)造矩形，矩形的邊與正方形的對(duì)角線交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L最大時(shí)，矩形的面積為_____________________解析：問題原型：見解析；結(jié)論應(yīng)用：見解析；發(fā)現(xiàn)結(jié)論：2；拓展延伸：2【分析】問題原型：運(yùn)用矩形對(duì)角線互相平分且相等，即可求證四點(diǎn)共圓；結(jié)論應(yīng)用：根據(jù)結(jié)論矩形面積最大時(shí)為正方形，利用對(duì)角線的長求得正方形的面積；拓展延伸：由上一問的結(jié)論，可知四邊形為正方形,證明四邊形是正方形，繼而求得面積【詳解】解：【問題原型】∵為直徑，∴為半徑.令.∵四邊形為矩形，∴，，.∴.∴點(diǎn)、在上.【結(jié)論應(yīng)用】連續(xù)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn).∴.由【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】可知，點(diǎn)在以為直徑的圓上，即，∴當(dāng)即時(shí)，矩形的面積最大.∴矩形的面積最大值為.【拓展延伸】如圖，連接,設(shè)與的交點(diǎn)為四邊形是正方形,，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn),四邊形是矩形由【結(jié)論應(yīng)用】可知，時(shí)，矩形的面積最大為此時(shí)四邊形為正方形，此時(shí)最大，,四邊形是正方形正方形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用矩形，正方形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．5．（了解概念）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，組成圖形的各點(diǎn)中，與點(diǎn)Р所連線段最短的點(diǎn)叫做點(diǎn)Р關(guān)于這個(gè)圖形的短距點(diǎn)，這條最短線段的長度叫做點(diǎn)Р到這個(gè)圖形的短距．（理解運(yùn)用）（1）已知點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，l為半徑作，則點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）如圖，點(diǎn)，等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)B在第一象限，判斷點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（拓展提升）（3）已知，，，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且，，若點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．解析：（1）(-1，0)；（2）點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè)；（3）當(dāng)p＜-或2＜p＜4或p＞6+時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2．【分析】（1）連接PO，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即是點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)題意得點(diǎn)P是三角形OAB的中心，進(jìn)而即可求解；（3）由題意得點(diǎn)P，A，B在直線y=-x+6上，以點(diǎn)P為圓心，半徑長為2畫圓，分3種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上，圓P過點(diǎn)B時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，圓P與BC相切于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，③當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上，圓P過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，分別求解，即可得到答案．【詳解】解：（1）連接PO，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即是點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)，∵，、的半徑為1，∴M(-1，0)，故答案是：(-1，0)；（2）∵點(diǎn)，等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P是三角形OAB的中心，∴點(diǎn)P到OA，OB，OC的三條垂線段最短，三條垂線段都等于，∴點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè)；（3）∵，，，∴點(diǎn)P，A，B在直線y=-x+6上，∴∠ABO=∠BAO=45°，∵點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且，，∴∠ABC=75°-45°=30°，以點(diǎn)P為圓心，半徑長為2畫圓，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上，圓P過點(diǎn)B時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，∵PB=2，∠PBM=45°，∴PM=2×=，∴p＜-時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2；①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，圓P與BC相切于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，則BP=2PN=2×2=4，PM=BP×=2，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，圓P與OA相切于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，則AP=PN=2，BP=AB-AP=6-2=4，PM=BP×=4×=4，∴2＜p＜4時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2；③當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上，圓P過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，則PM=（6+2）×=6+，∴p＞6+時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2；綜上所述：當(dāng)p＜-或2＜p＜4或p＞6+時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形與坐標(biāo)以及圓的綜合題，根據(jù)題意畫出圖形，掌握?qǐng)A與直線相切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（概念學(xué)習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為，若平移個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在內(nèi)或上，則稱的最小值為對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，，則對(duì)線段的“最近覆蓋距離”為．（概念理解）（1）對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為_．（2）如圖②，點(diǎn)是函數(shù)圖像上一點(diǎn)，且對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_．（拓展應(yīng)用）（3）如圖③，若一次函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為，求的取值范圍．（4），且，將對(duì)線段的“最近覆蓋距離”記為，則的取值范圍是．解析：（1）4；（2）或；（3）或；（4）【分析】（1）求出點(diǎn)(3,4)與原點(diǎn)的距離，這個(gè)距離與1的差即是所求結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)P到圓心的距離為4及勾股定理，可得關(guān)于x的方程，解方程即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）考慮臨界狀態(tài)，當(dāng)OC=2時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)C，使對(duì)點(diǎn)C的“最近覆蓋距離”為1，利用三角形相似求出;同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，即可求解；（4）由題意可得DE是一條傾斜角度為45°,長度為的線段，可在圓上找到兩條與之平行且等長的弦AB、FG，如果D落在弧AF上，或者落在弧BG上，進(jìn)而求解．【詳解】（1）點(diǎn)(3,4)與原點(diǎn)的距離為，而5－1=4，則對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為4；故答案為：（2）由題意可知，到圓的最小距離為，即到圓心的距離為由點(diǎn)P在直線上，故設(shè)，則解得故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或故答案為：或（3）如圖，考慮臨界狀態(tài)，過O作OC⊥DE于C點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為則設(shè)則由勾股定理可得：解得（舍）此時(shí)．同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為經(jīng)分析可知，函數(shù)相比臨界狀態(tài)更靠近軸，則存在點(diǎn)或由題意可知，是一條傾斜角度為，長度為的線段可在圓上找到兩條與之平行且等長的弦如果落在弧上，或者落在弧上，則成立當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為此時(shí)當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為此時(shí)綜上【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)、三角形相似的判定與性質(zhì)、新定義等，數(shù)形結(jié)合是本題解題的關(guān)鍵．7．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；（2）問題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由見解析；（3）10或12﹣．【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對(duì)角相等，利用等角對(duì)等角得到兩對(duì)角相等，進(jìn)而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四邊形ACBD′面積；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四邊形ACBD′面積即可．【詳解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，設(shè)EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，過點(diǎn)D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴，即，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，∴四邊形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE=，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類討論是解本題的難點(diǎn)，是一道中考常考題．8．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)DE∥BC時(shí)，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）拓展運(yùn)用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．解析：（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）135°.【分析】試題（1）由DE∥BC，得到，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理計(jì)算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形，再簡單計(jì)算即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為=，（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如圖，將△CPB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△CEA，連接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例.9．如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，且，延長到點(diǎn)G，使得，連接．（特例感知）（1）圖1中與的數(shù)量關(guān)系是______________．（結(jié)論探索）（2）圖2，將圖1中的繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接并延長到點(diǎn)G，使得，連接，此時(shí)與還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系嗎？判斷并說明理由．（拓展應(yīng)用）（3）在（2）的條件下，若，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長．解析：(1)=，(2)存在，證明見解析，（3）或或16或4．【分析】(1)連接GC，證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(2)類似（1）的方法，先證△AFD≌△AEB，再證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(3)根據(jù)E、F是直角頂點(diǎn)分類討論，結(jié)合（2）中結(jié)論，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∴DF=BE，∵，∴DG=BE，∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，∴△CDG≌△CBE，∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，∵∠ECB+∠DCE=90°，∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，∴=；故答案為：=；(2)存在，連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，與（1）同理，=；(3)當(dāng)∠FEG=90°時(shí)，如圖1，因?yàn)椤螰EA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一條直線上，∵AB=5，∴AC=5,CE=5-3=2,GE=EC=4；如圖2，E在CA延長線上，同理可得，EC=8，GE=EC=16；當(dāng)∠EFG=90°時(shí)，如圖3，∠AFD=∠EFG+∠AFE=135°，由（2）得，∠AFD=∠AEB=135°，DF=BE，所以，B、E、F在一條直線上，作AM⊥EF，垂足為M，∵，∴EF=6，AM=ME=MF=3，，BE=DF=1,FG=2，；如圖4，同圖3，BE=DF=7，F(xiàn)G=14，EF=6，，綜上，的長為或或16或4．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪B接輔助線，構(gòu)造全等三角形；會(huì)分類討論，結(jié)合題目前后聯(lián)系，解決問題．10．觀察猜想：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接DE，且DE＝AE，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，則＝______，sin∠ADE＝________，探究證明：（2）在（1）中，如果將點(diǎn)D沿CA方向移動(dòng)，使CD＝AC，其余條件不變，如圖2，上述結(jié)論是否保持不變？若改變，請(qǐng)求出具體數(shù)值：若不變，請(qǐng)說明理由．拓展延伸（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，點(diǎn)D在邊AC的延長線上，E是AB上任意一點(diǎn)，連接DE．ED＝nAE，將線段DE繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)F，連接EF．求和sin∠ADE的值分別是多少？（請(qǐng)用含有n，a的式子表示）解析：（1）；；（2）不變；（3）＝；sin∠ADE＝．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等邊三角形，據(jù)此求得CE的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)來求EF的長度，易得答案；（2）不變．理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形：△ADG，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合方程求得答案；（3）如圖3，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列出方程并解答．【詳解】（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等邊三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不變，理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，則△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，設(shè)DG＝x，∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，設(shè)AE＝x，則DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα?x，EG＝sinα?x．∴DG＝＝?x．∴AD＝cosα?x+?x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．11．已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D．我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是________．（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；②若，請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）；（2）仍然成立，證明見解析；（3）①仍然成立，證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)三角形全等可得；（2）方法一：過點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長AC交EF于點(diǎn)E，證明即可，方法二：延長CO交BD于點(diǎn)E，證明即可；（3）①方法一：過點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長CA交EF于點(diǎn)E，證明，方法二：延長CO交DB的延長線于點(diǎn)E，證明；②延長CO交DB的延長線于點(diǎn)E，證明，根據(jù)已知條件得出．【詳解】（1）O是線段AB的中點(diǎn)在和中（2）數(shù)量關(guān)系依然成立．證明（方法一）：過點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長AC交EF于點(diǎn)E．∵∴∴四邊形CEFD為矩形．∴，由（1）知，∴，∴．證明（方法二）：延長CO交BD于點(diǎn)E，∵，，∴，∴，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．（3）①數(shù)量關(guān)系依然成立．證明（方法一）：過點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長CA交EF于點(diǎn)E．∵∴∴四邊形CEFD為矩形．∴，由（1）知，∴，∴．10分證明（方法二）：延長CO交DB的延長線于點(diǎn)E，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．②如圖，延長CO交DB的延長線于點(diǎn)E，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵,．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意找到全等的三角形，證明線段相等，是解題的關(guān)鍵．12．問題探究（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系：________；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，則線段AD的長為________；拓展延伸（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長．解析：（1）①垂直，②4；（2）作圖見解析，或【分析】（1）①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，由勾股定理可求DF，CF，AF的長，即可求AD的長；（2）分點(diǎn)D在BC左側(cè)和BC右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD⊥BD故答案為：垂直②如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=∴DF=CF=1∴∴AD=AF+DF=4故答案為：4．（2）①如圖：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1，∴AB=2,DE=2,∠ACD＝∠BCE,．∴△ACD∽△BCE．∴∠ADC＝∠E，．又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE=90°，即∠ADE=90°．∴AD⊥BE．設(shè)BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負(fù)值舍去）．∴AD=．②如圖，同①設(shè)BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負(fù)值舍去）．∴AD=．綜上可得，線段AD的長為【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．13．問題提出（1）如圖①，在△ABC中，BC＝6，D為BC上一點(diǎn)，AD＝4，則△ABC面積的最大值是．問題探究（2）如圖②，已知矩形ABCD的周長為12，求矩形ABCD面積的最大值．問題解決（3）如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，現(xiàn)在他想利用周邊地的情況，把原來的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長盡可能長的四邊形地，用來建魚塘．已知葛叔叔欲建的魚塘是四邊形ABCD，且滿足∠ADC＝60°．你認(rèn)為葛叔叔的想法能否實(shí)現(xiàn)？若能，求出這個(gè)四邊形魚塘周長的最大值；若不能，請(qǐng)說明理由．解析：（1）12；（2）9；（3）能實(shí)現(xiàn)；170（米）．【分析】（1）當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大．（2）由題意矩形鄰邊之和為6，設(shè)矩形的一邊為m，另一邊為6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．（3）由題意，AC＝100，∠ADC＝60°，即點(diǎn)D在優(yōu)弧ADC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧ADC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形魚塘面積和周長達(dá)到最大值，此時(shí)△ACD為等邊三角形，計(jì)算出△ADC的面積和AD的長即可得出這個(gè)四邊形魚塘面積和周長的最大值．【詳解】（1）如圖①中，∵BC＝6，AD＝4，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，最大值＝×6×4＝12．故答案為12．（2）∵矩形的周長為12，∴鄰邊之和為6，設(shè)矩形的一邊為m，另一邊為6﹣m，∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3時(shí)，S有最大值，最大值為9．（3）如圖③中，∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°，作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O(shè)為圓心，OA長為半徑畫⊙O，∵∠ADC＝60°，∴點(diǎn)D在優(yōu)弧ADC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D是優(yōu)弧ADC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD面積取得最大值，設(shè)D′是優(yōu)弧ADC上任意一點(diǎn)，連接AD′，CD′，延長CD′到F，使得D′F＝D′A，連接AF，則∠AFC＝30°＝∠ADC，∴點(diǎn)F在D為圓心DA為半徑的圓上，∴DF＝DA，∵DF+DC≥CF，∴DA+DC≥D′A+D′C，∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，∴此時(shí)四邊形ADCB的周長最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．答：這個(gè)四邊形魚塘周長的最大值為170（米）．【點(diǎn)睛】本題主要是最大值的考查，求最大值，常用方法為：（1）利用平方為非負(fù)的性質(zhì)求解；（2）利用三角形兩邊之和大于第三邊求解，在求解過程中，關(guān)鍵在與將要求解的線段集中到一個(gè)三角形中14．如圖1，已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，GF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．（1）證明：四邊形CEGF是正方形；（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖3所示，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，延長CG交AD于點(diǎn)H，若AG＝6，GH＝2，求BC的長．解析：（1）證明見解析；（2）AG＝BE，理由見解析；（3）BC=3．【分析】（1）先說明GE⊥BC、GF⊥CD，再結(jié)合∠BCD=90°可證四邊形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可證明；（2）連接CG，證明△ACG∽△BCE，再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）先證△AHG∽△CHA可得，設(shè)BC＝CD＝AD＝a，則AC＝a，求出AH=a，DH=a，CH=，最后代入即可求得a的值．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四邊形CEGF是正方形．（2）結(jié)論：AG＝BE；理由：連接CG，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝，，∴，∴△ACG∽△BCE，∴，∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴，設(shè)BC＝CD＝AD＝a，則AC＝a，則由，得，∴AH＝a，則DH＝AD﹣AH＝a，，∴，得，解得：a＝3，即BC＝3．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查相似形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題并利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．15．在中，，過點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為）．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，若與重合時(shí)，則的度數(shù)為____________；（2）類比探究：如圖2，設(shè)與BC的交點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長；（3）拓展延伸在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)分別在的延長線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，直接寫出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：（1）60；（2）；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進(jìn)而得到BC=，依據(jù)∠A'BC=90°，可得，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出∠A=∠A'CM，進(jìn)而得到，依據(jù)tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=；（3）依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，，，，．（2）為的中點(diǎn)，,山旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，，；（3）四邊形四邊形最小即最小，，取的中點(diǎn)，，，即，當(dāng)最小時(shí)，最小，，即與正合時(shí),最小，，，的最小值，四邊形=．【點(diǎn)睛】此題考查四邊形綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于掌握旋轉(zhuǎn)變換中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．16．（操作）如圖①，在矩形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將沿射線方向平移到的位置，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．已知（不需要證明）．（探究）過圖①中的點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接，其它條件不變，如圖②．求證：．（拓展）將圖②中的沿翻折得到，連接，其它條件不變，如圖③．當(dāng)最短時(shí)，若,，直接寫出的長和此時(shí)四邊形的周長．解析：探究：見解析；拓展：四邊形的周長為【分析】探究：證明四邊形EGBC是平行四邊形，推出EG=BC，利用SAS證明三角形全等即可．拓展：如圖3中，連接BD交AC于點(diǎn)O，作BK⊥AC于K，F(xiàn)′H⊥BC于H．由題意四邊形AGFC是平行四邊形，推出GF=AC=，由BF=BF′，可以假設(shè)BF=x，則BG=利用相似三角形的性質(zhì)，求出BH，HF′，利用勾股定理求出GF′，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出GF′的值最小時(shí)BF′的值，推出BF′=此時(shí)點(diǎn)F′與O重合，由此即可解決問題．【詳解】解：探究：由平移，∴，即又∵，∴四邊形為平行四邊形∴∵，∴∠CBF=∠ACB，∵∴∠AEG=∠ACB，∴∠AEG=∠CBF∴．拓展：如圖3中，連接BD交AC于點(diǎn)O，作BK⊥AC于K，F(xiàn)′H⊥BC于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AB=4，BC=2，∴∵∴，∴由題意四邊形AGFC是平行四邊形，∴GF=AC=，∵BF=BF′，可以假設(shè)BF=x，則BG=∵AC∥GF，∴∠BOK=∠HBF′，∵∠BKO=∠F′HB=90°，∴△F′HB∽△BKO，∴∴∴∴∵＞0，∴當(dāng)時(shí)，GF′的值最小，此時(shí)點(diǎn)F′與O重合，由對(duì)折得：由矩形的性質(zhì)得：四邊形BFCF′是菱形，四邊形BFCF′的周長為，且與互相平分，由勾股定理得：【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．17．如圖1，在中，,，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．(1)探索發(fā)現(xiàn)：圖１圖２圖３圖1中，的值為_____________；的值為_________；(2)拓展探究若將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中的大小有無變化，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；(3)問題解決當(dāng)旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一直線時(shí)，直接寫出線段的長．解析：(1);(2)見解析(3)或【分析】（1）先判斷出∠AEB=90°，再判斷出∠B=30°，進(jìn)而的粗AE，再用勾股定理求出BE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，進(jìn)而得出△ACD∽△BCE，即可得出結(jié)論；（3）分點(diǎn)D在線段AE上和AE的延長線上，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，最后用線段的和差求出AD，即可得出結(jié)論．【詳解】解:解:(1)如圖1，連接AE,∵AB=AC=2，點(diǎn)E分別是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∵AB=AC=2，∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,在Rt△ABE中，AE=AB=1，根據(jù)勾股定理得，BE∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴BC=2BE∴∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD=AC=1,∴故答案為：,;(2)無變化,理由:由(1)知,CD=1,,∴,∴,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE,∴,(3)線段BE的長為或，理由如下：當(dāng)點(diǎn)D在線段AE上時(shí),如圖2,過點(diǎn)C作CF⊥AE于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,∴∠DCF=30°,∴,∴,在Rt△AFC中,AC=2,根據(jù)勾股定理得,,∴AD=AF+DF=,由(2)知,,∴當(dāng)點(diǎn)D在線段AE的延長線上時(shí),如圖3,過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長線于G,∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴,∴,在Rt△ACG中,根據(jù)勾股定理得,,∴,由(2)知,,∴即:線段BE的長為或.【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．18．(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一條直線上.

填空:線段AD,BE之間的關(guān)系為

.(2)拓展探究

如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,請(qǐng)判斷AD,BE的關(guān)系,并說明理由.

(3)解決問題

如圖3,線段PA=3,點(diǎn)B是線段PA外一點(diǎn),PB=5,連接AB,將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC,隨著點(diǎn)B的位置的變化,直接寫出PC的范圍.

解析：(1)AD=BE，AD⊥BE．(2)AD=BE，AD⊥BE．(3)5-3≤PC≤5+3．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延長BE交AD于點(diǎn)F，由垂直定義得AD⊥BE．（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定義得∠OHB=90°，AD⊥BE；（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，PC=BE，當(dāng)P、E、B共線時(shí)，BE最小，最小值=PB-PE；當(dāng)P、E、B共線時(shí)，BE最大，最大值=PB+PE，故5-3≤BE≤5+3.【詳解】（1）結(jié)論：AD=BE，AD⊥BE．理由：如圖1中，∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt△ACD和Rt△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠EBC=∠CAD延長BE交AD于點(diǎn)F，∵BC⊥AD，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．∴AD=BE，AD⊥BE．故答案為AD=BE，AD⊥BE．（2）結(jié)論：AD=BE，AD⊥BE．理由：如圖2中，設(shè)AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE，在Rt△ACD和Rt△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如圖3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，∴PC=BE，圖3-1中，當(dāng)P、E、B共線時(shí)，BE最小，最小值=PB-PE=5-3，圖3-2中，當(dāng)P、E、B共線時(shí)，BE最大，最大值=PB+PE=5+3，∴5-3≤BE≤5+3，即5-3≤PC≤5+3．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找三角形全等的條件，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．19．（證明體驗(yàn)）（1）如圖