初中數(shù)學教師職稱考試試題(附答案)1.單項選擇題（每題4分，共40分）1.若集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，則A∩B的子集個數(shù)為A.1??B.2??C.3??D.4答案：B2.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(1,2)、(2,3)、(3,6)，則a＋b＋c的值為A.2??B.3??C.4??D.5答案：C3.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝5，AC＝7，則BC邊的長度為A.√39??B.√41??C.√43??D.√45答案：A4.若實數(shù)x滿足不等式組??2x－3＜5??x＋4＞2x－1則x的取值范圍是A.x＜4??B.x＞－5??C.－5＜x＜4??D.x＜－5或x＞4答案：C5.已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸交于點(－3,0)，與y軸交于點(0,4)，則k＋b的值為A.4/3??B.8/3??C.10/3??D.12/3答案：B6.若正整數(shù)n滿足n2＋n＋1為完全平方數(shù)，則n的最小值為A.1??B.2??C.3??D.4答案：B7.在平面直角坐標系中，點P(2,3)關(guān)于直線y＝x的對稱點坐標為A.(3,2)??B.(－3,－2)??C.(2,－3)??D.(－2,3)答案：A8.若x＞0，y＞0，且x＋y＝1，則表達式(x＋1/x)(y＋1/y)的最小值為A.4??B.4.5??C.5??D.5.5答案：B9.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1，則a10的值為A.100??B.101??C.102??D.103答案：B10.若復數(shù)z滿足|z－3＋4i|＝5，則|z|的最大值為A.5??B.7??C.9??D.10答案：D2.填空題（每題5分，共30分）11.若x2＋px＋q＝0的兩根之差為3，兩根之積為4，則p2－4q的值為________。答案：912.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝10，高為4，則對角線AC與BD交點把AC分成的兩段長度之比為________。答案：3:513.若tanθ＋cotθ＝4，則tan2θ＋cot2θ的值為________。答案：1414.在1～100中，能被3或5整除但不能被15整除的整數(shù)共有________個。答案：4715.若正三棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為2a，則其體積為________（用a表示）。答案：(√11a3)/1216.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋4在區(qū)間[0,3]上的最小值為________。答案：03.解答題（共80分）17.（12分）已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且△ABC的面積為8，頂點橫坐標為－1，求b、c的值。解：頂點橫坐標為－1，則對稱軸x＝－b/2＝－1，得b＝2。設A(x1,0)，B(x2,0)，則x1＋x2＝－b＝－2，x1x2＝c。|x1－x2|＝√[(x1＋x2)2－4x1x2]＝√[4－4c]。C(0,c)，高為|c|。面積＝(1/2)·|x1－x2|·|c|＝8?(1/2)·√(4－4c)·|c|＝8?√(4－4c)·|c|＝16令c＜0，設c＝－k(k＞0)，則√(4＋4k)·k＝16?4k2＋4k－256＝0?k2＋k－64＝0?k＝[－1＋√257]/2（取正根）故c＝－(－1＋√257)/2＝(1－√257)/2b＝2答案：b＝2，c＝(1－√257)/218.（12分）在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c，已知a＝7，b＝8，c＝9，求（1）cosA；（2）△ABC的面積；（3）內(nèi)切圓半徑r。解：（1）cosA＝(b2＋c2－a2)/(2bc)＝(64＋81－49)/(2·8·9)＝96/144＝2/3（2）sinA＝√(1－cos2A)＝√5/3面積S＝(1/2)bcsinA＝(1/2)·8·9·√5/3＝12√5（3）半周長s＝(7＋8＋9)/2＝12r＝S/s＝12√5/12＝√5答案：（1）2/3；（2）12√5；（3）√519.（14分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝(2an＋3)/(an＋4)，n∈N。（1）求證：對任意n∈N，an＞1；（2）設bn＝an－1，求證：{bn}為等比數(shù)列；（3）求通項an。解：（1）數(shù)學歸納法：n＝1時a1＝3＞1成立；設ak＞1，則ak＋1＝(2ak＋3)/(ak＋4)＞(2·1＋3)/(1＋4)＝1，故an＞1恒成立。（2）bn＋1＝an＋1－1＝(2an＋3)/(an＋4)－1＝(an－1)/(an＋4)＝bn/(an＋4)又an＝bn＋1，故bn＋1＝bn/(bn＋5)?1/bn＋1＝(bn＋5)/bn＝1＋5/bn令cn＝1/bn，則cn＋1＝cn＋5，{cn}為等差，公差5，首項c1＝1/b1＝1/2cn＝1/2＋5(n－1)＝(10n－9)/2?bn＝2/(10n－9)（3）an＝bn＋1＝1＋2/(10n－9)答案：（3）an＝1＋2/(10n－9)20.（14分）如圖，正方形ABCD邊長為4，E為BC中點，F(xiàn)在CD上且CF＝1，連接AE、AF、EF，求（1）AE、AF、EF的長度；（2）∠EAF的大??；（3）△AEF的面積。解：建立坐標系：A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)。E(4,2)，F(xiàn)(3,4)。（1）AE＝√[(4－0)2＋(2－0)2]＝√20＝2√5AF＝√[(3－0)2＋(4－0)2]＝5EF＝√[(3－4)2＋(4－2)2]＝√5（2）向量AE＝(4,2)，AF＝(3,4)cos∠EAF＝(AE·AF)/(|AE||AF|)＝(12＋8)/(2√5·5)＝20/(10√5)＝2/√5∠EAF＝arccos(2/√5)（3）S＝(1/2)|AE||AF|sin∠EAF＝(1/2)·2√5·5·√(1－4/5)＝(1/2)·10√5·(1/√5)＝5答案：（1）AE＝2√5，AF＝5，EF＝√5；（2）arccos(2/√5)；（3）521.（14分）某校組織數(shù)學文化節(jié)，設計一條“黃金通道”：在平面直角坐標系第一象限內(nèi)，從原點O(0,0)出發(fā)，每次只能沿x軸正方向或y軸正方向移動1個單位，最終到達點P(8,6)。（1）共有多少條不同路徑？（2）若要求路徑不得經(jīng)過點Q(3,3)，又有多少條？（3）若再增加限制：路徑中必須至少經(jīng)過線段AB，其中A(2,3)、B(5,3)，又有多少條？解：（1）共需8步x方向、6步y(tǒng)方向，共14步，選6步向上，C(14,6)＝3003（2）總路徑減去經(jīng)過Q的路徑：O→Q：C(6,3)＝20；Q→P：C(8,3)＝56經(jīng)過Q的路徑＝20·56＝1120故不經(jīng)過Q的路徑＝3003－1120＝1883（3）“必須過AB”即必須過線段y＝3，x∈[2,5]等價于路徑在y＝3處至少有一點x∈[2,5]用補集：總路徑－始終不過AB始終不過AB即路徑在y＝3處x＜2或x＞5分兩段：①在y＝3處x≤1：O→(1,3)→PO→(1,3)：C(4,1)＝4；(1,3)→P：C(9,5)＝126；共4·126＝504②在y＝3處x≥6：O→(6,3)→PO→(6,3)：C(9,3)＝84；(6,3)→P：C(2,0)＝1；共84·1＝84始終不過AB共504＋84＝588故必須過AB的路徑＝3003－588＝2415答案：（1）3003；（2）1883；（3）241522.（14分）已知拋物線C：y2＝4x，直線l：y＝kx＋1，k為參數(shù)。（1）若l與C交于A、B兩點，求弦AB中點M的軌跡方程；（2）設O為原點，求△OAB面積S關(guān)于k的表達式；（3）若S＝2√6，求k的值。解：（1）聯(lián)立y＝kx＋1與y2＝4x得(kx＋1)2＝4x?k2x2＋(2k－4)x＋1＝0設A(x1,y1)，B(x2,y2)，中點M(x,y)x＝(x1＋x2)/2＝(4－2k)/(2k2)＝(2－k)/k2y＝k·x＋1＝k(2－k)/k2＋1＝(2－k＋k2)/k消k：由x＝(2－k)/k2得k2x＋k－2＝0解出k＝[－1±√(1＋8x)]/(2x)代入y得軌跡：y2＝x＋2（x＞0）（2）|AB|＝√[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝√[(x1－x2)2＋k2(x1－x2)2]＝|x1－x2|√(1＋k2)|x1－x2|＝√[(x1＋x2)2－4x1x2]＝√[((4－2k)/k2)2－4/k2]＝2√(1－k)/k2O到l距離d＝1/√(k2＋1