專題09圓中的范圍與最值問題【知識梳理】涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問題解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題【專題過關(guān)】【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)1：斜率型考點(diǎn)2：直線型考點(diǎn)3：距離型考點(diǎn)4：周長面積型考點(diǎn)5：長度型【典型例題】考點(diǎn)1：斜率型1．已知圓，點(diǎn)在直線上，過直線上的任一點(diǎn)引圓的兩條切線，若切線長的最小值為2，則直線的斜率（

）A．2 B． C．或 D．2或【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)榍芯€長的最小值為2，所以，所以圓心到直線的距離為，所以直線必有斜率，設(shè)，即，所以圓心到直線的距離為，所以，整理得，解得或.故選：C2．設(shè)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】曲線表示以為圓心，為半徑的下半圓，如圖所示：可表示點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率，當(dāng)直線與圓相切時(shí)：設(shè)直線方程為，即圓心到直線距離，解得或，又，所以，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，綜上故選：B.3．若直線與曲線恰有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線過定點(diǎn)，

曲線為以為圓心，1為半徑，且位于軸上半部分的半圓，如圖所示當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，解得.當(dāng)直線和曲線相切時(shí)，直線和半圓有一個(gè)交點(diǎn)，圓心到直線的距離，解得結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線和曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)故選：B4．（多選題）實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)于的判斷正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】CD【解析】由題意可得方程為圓心是，半徑為1的圓，則為圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的斜率的值，設(shè)過點(diǎn)的直線為，即，則圓心到到直線的距離，即，整理可得，解得，所以，即的最大值為，最小值為.故選：CD.5．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，求：(1)的最大值；(2)的最小值．【解析】(1)，圓心，半徑。表示與構(gòu)成的斜率。設(shè)直線，則到直線的距離為，，解得，所以，即的最大值為。(2)表示與距離的平方。如圖所示：則的最小值為6．已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2，7)，直線是圓C的一條切線，且點(diǎn)(－2，3)為圓外的一點(diǎn).(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為圓上的任一點(diǎn)，求的最大值和最小值；(3)若點(diǎn)在圓C上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值．【解析】（1）因?yàn)閳AC的圓心坐標(biāo)為(2，7)，直線是圓C的一條切線，所以圓C到直線的距離等于半徑，即，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）因?yàn)閳A心坐標(biāo)，，,所以，；（3）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，即，易知直線與圓相切時(shí)，有最值，由，解得，所以的最大值是，最小值是7．（1）已知點(diǎn)P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值與最小值．（2）已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值與最小值．【解析】(1)圓方程化為(x－3)2＋(y－3)2＝4，圓心C(3，3)，半徑r＝2.x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示圓上點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)A(－1，0)連線線段長度d的平方加上2.因?yàn)閨AC|＝5，所以3≤d≤7，所以所求最小值為11，最大值為51.(2)方程(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，為半徑的圓．的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)(0，1)連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx＋1.當(dāng)直線y＝kx＋1與圓相切時(shí)，斜率取最大值和最小值，此時(shí)＝，解得k＝－2±，所以的最大值是－2＋，最小值為－2－.考點(diǎn)2：直線型8．）已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(0，2)和B(1，1)，且圓心C在直線l：x＋y＋5＝0上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P(x，y)是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求3x－4y的最大值與最小值．【解析】（1）的中點(diǎn)為，又的中垂線方程為，即，由解得，圓心為，∴圓的方程為（2）令即，直線與圓有公共點(diǎn)，∴圓心到直線的距離為，解得．所以3x－4y的最大值為24，最小值為-26．9．點(diǎn)在圓上，則的范圍是_______．【答案】【解析】設(shè)，，即，所以，因?yàn)?，所?故答案為：10．（多選題）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作，，點(diǎn)，點(diǎn)，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為B．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為C．若點(diǎn)在圓上，則的最小值是D．圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以是等腰三角形，可得的外心、重心、垂心都位于的垂直平分線上，由點(diǎn)，點(diǎn)可得線段的中點(diǎn)為，且直線的斜率，所以線段的垂直平分線的方程為，即.又圓的圓心為，直線與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以圓.對于選項(xiàng)A、B：圓的圓心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，最大距離為，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，令，即，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離為，解得或，則的最小值是，故選項(xiàng)C正確；對于D，圓的圓心為，半徑為，若該圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11．（多選題）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上．這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在中，已知，點(diǎn)，點(diǎn)，且其“歐拉線”與圓相切，則（

）A．"歐拉線"方程為B．圓上點(diǎn)到“歐拉線”的最大距離為C．若點(diǎn)在圓上，則的最小值是1D．若點(diǎn)在圓上，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】因?yàn)?，故歐拉線即為的中垂線，而，，故的中點(diǎn)為，而，故為的中垂線方程為：，故A錯(cuò)誤.因?yàn)閳A與歐拉線相切，故，所以圓上的點(diǎn)到歐拉線的距離為，故B正確.若點(diǎn)在圓上，設(shè)，則，故，故的最小值為1，故C正確.因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故即，故，由C的判斷可得，故，故D正確.故選：BCD.12．（多選題）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．的最小值為5D．點(diǎn)到直線的距離的最大值為【答案】BD【解析】方程表示以為圓心，的圓，對于A：表示點(diǎn)與的連線的斜率，設(shè)過點(diǎn)的直線的斜率為，則，即，所以，解得，故A錯(cuò)誤；對于B：令，即，則，解得，即，故的最小值為，即B正確；對于C：表示圓上的點(diǎn)到的距離的平方，令圓上的點(diǎn)到的距離，因?yàn)?，所以，即，所以，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，又，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故D正確；故選：BD13．已知點(diǎn)在圓上．(1)求的最大值；(2)求的最大值；(3)求的最小值．【解析】(1)圓的圓心，半徑，令，即，表示斜率為-1，縱截距為a的直線，依題意，此直線與圓C有公共點(diǎn)，于是得，即，解得，所以的最大值為.(2)令，即，表示過原點(diǎn)斜率為k的直線，依題意，此直線與圓C有公共點(diǎn)，則有，即，解得，所以的最大值是.(3)因，則表示圓C上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，而，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)P是線段AC與圓C的交點(diǎn)時(shí)取“=”，所以的最小值是.考點(diǎn)3：距離型14．已知實(shí)數(shù)滿足，求的最小值.【解析】表示點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)之間的距離的平方，若最小，則也最小，數(shù)形結(jié)合知的最小值為，故的最小值為5.15．過點(diǎn)P(-3，1)作直線m(x-1)+n(y-1)=0的垂線，垂足為點(diǎn)M，若定點(diǎn)N(3，4)，那么的最小值為________．【答案】3【解析】直線m(x-1)+n(y-1)=0恒過定點(diǎn)，顯然點(diǎn)M與P，Q都不重合時(shí)，，于是得點(diǎn)M在以線段PQ為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)M與P，Q之一重合時(shí)，也滿足條件，即點(diǎn)M的軌跡是以線段PQ為直徑的圓，圓心，半徑，圓C的方程為：，顯然，點(diǎn)N在圓C外，于是得，所以的最小值為為3.故答案為：316．若點(diǎn)在圓上，則的最小值__________．【答案】【解析】由，得，則圓的圓心為，半徑為，因?yàn)楸硎緢A上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，所以的最小值為，故答案為：17．已知滿足，則的最小值為___________.【答案】3?22【解析】設(shè)圓的圓心為，半徑為，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，連接，可得，線段與圓的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小，所以的最小值為.故答案為：.18．（多選題）已知圓心為的圓與點(diǎn)，則（

）A．圓的半徑為2B．點(diǎn)在圓外C．點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最大值為D．點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最小值為【答案】BCD【解析】依題意，圓：，則圓心，半徑，A不正確；因點(diǎn)，則，點(diǎn)在圓外，B正確；因點(diǎn)在圓外，在圓上任取點(diǎn)P，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，C，A共線，且P在線段AC延長線上時(shí)取“=”，C正確；在圓上任取點(diǎn)M，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C，M，A共線，且M在線段CA上時(shí)取“=”，C正確.故選：BCD19．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】設(shè)圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取得等號，故選：A.20．已知實(shí)數(shù)、滿足方程，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑長為，，所以，原點(diǎn)在圓外.的幾何意義為坐標(biāo)原點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的平方，.故選：A.21．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．10【答案】A【解析】由題意直線過已知圓的圓心，圓心為，∴，即，點(diǎn)在直線上，表示直線的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，∴最小值為．故選：A．22．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.23．已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】由圓，得，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為1，圓心到直線的距離，而為直線上的動(dòng)點(diǎn)，N為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．故選：D24．設(shè)曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為a，最小值為b，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，可得圓心到直線的距離為，所以，，所以.故選：C.考點(diǎn)4：周長面積型25．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切，圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別與圓切于、兩點(diǎn)，求四邊形周長的最小值.【解析】（1）因?yàn)閳A心在直線上，所以可設(shè)，半徑為，則圓的方程為；又圓經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切，所以，解得，所以圓的方程為.（2）由題意：四邊形周長，其中，即取最小值時(shí)，此時(shí)周長最小，又因在直線上，即圓心到直線的距離時(shí)，的最小值為，所以周長，故四邊形周長的最小值為.26．已知直線3x＋4y-12＝0與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在圓x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移動(dòng)，則△ABC面積的最大值和最小值之差為________.【答案】15【解析】令得，令得，所以A（4，0），點(diǎn)B（0，3），∴|AB|＝5，由x2＋y2-10x-12y＋52＝得，所以圓的半徑為3，圓心為，圓心到直線的距離，所以點(diǎn)C到直線的距離的最小值為，最大值為，所以的最大值為，最小值為，所以△ABC面積的最大值和最小值之差為.故答案為：1527．設(shè)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB為圓的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，則四邊形APBC面積的最小值為__________.【答案】【解析】圓的圓心，半徑，連接，，，可得，，且，，，的最小值是圓心到直線的距離，所以四邊形面積的最小值為．故答案為：．28．已知P為圓上任意一點(diǎn)，A，B為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則面積的最大值是___________．【答案】3【解析】根據(jù)圓的方程，圓心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離，此時(shí)最大面積．故答案為：．29．過直線上一點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，，則四邊形的面積的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由圓的方程可得：，則圓心為：，半徑又為圓的切線，則

又

當(dāng)四邊形的面積的取最小值時(shí)，最小，又垂直于直線時(shí)，最小

四邊形面積的最小值為：故選：B30．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的最小值為（

）A．6 B． C．12 D．【答案】A【解析】，，∴，圓的圓心到直線的距離，∴到距離的最小值為，∴面積的最小值為，故選：A.考點(diǎn)5：長度型31．已知分別是，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____________.【答案】5【解析】如圖，圓是圓關(guān)于直線的對稱圓，所以圓的方程為，圓心為，且由圖知，五點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，所以的最小值為5.故答案為：5.32．已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓的切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是________．【答案】【解析】由題意知，A，B是切點(diǎn)，是圓心，且圓的半徑為所以，四邊形PACB面積為：所以當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值由點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)可知，當(dāng)與直線垂直時(shí)取最小值此時(shí)為圓心到直線的距離即故四邊形PACB最小面積為：故答案為：.33．已知，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q在圓C：上，則的最小值是______．【答案】8【解析】因?yàn)閳AC：，故圓C是以為圓心，半徑的圓，則圓心到直線的距離，故直線和圓相離，點(diǎn)A坐標(biāo)滿足，A在圓外，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，故，解得，故，則,連接交圓C于Q，交直線于P,由對稱性可知:,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，取等號，故答案為：834．已知圓,圓，M，N分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的