上海市寶山區(qū)淞浦中學2025-2026學年高二數學第一學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的左右兩焦點分別為，，過垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，，則橢圓C的離心率是（）A. B.C. D.2．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.3．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊4．橢圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A. B.C. D.5．直線是雙曲線的一條漸近線，，分別是雙曲線左、右焦點，P是雙曲線上一點，且，則（）A.2 B.6C.8 D.106．將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.7．在區(qū)間內隨機取一個數x，則使得的概率為（）A. B.C. D.8．如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點、，交其準線于點，若，且，則的值為（）A. B.C. D.9．已知向量，，則等于（）A. B.C. D.10．已知命題對任意，總有；是方程的根則下列命題為真命題的是A. B.C. D.11．設是定義在R上的可導函數，若（為常數），則（）A. B.C. D.12．橢圓（）的右頂點是拋物線的焦點，且短軸長為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的偶函數的導函數為，當時，有，且，則使得成立的的取值范圍是___________.14．已知，若在區(qū)間上有且只有一個極值點，則a的取值范圍是______15．如圖，在棱長都為的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則________；請選擇該平行六面體的三個頂點，使得經過這三個頂點的平面與直線垂直.這三個頂點可以是________16．由曲線圍成的圖形的面積為_______________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知各項為正數的等比數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為.點P是橢圓上的一動點，且P在第一象限.記的面積為S，當時，.（1）求橢圓E的標準方程；（2）如圖，PF1，PF2的延長線分別交橢圓于點M，N，記和的面積分別為S1和S2.（i）求證：存在常數λ，使得成立；（ii）求S2-S1的最大值.19．（12分）設橢圓：的左頂點為，右頂點為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.20．（12分）已知是等差數列，，.（1）求的通項公式；（2）設的前項和，求的值.21．（12分）已知數列中，，___________，其中.（1）求數列的通項公式；（2）設，求證：數列是等比數列；（3）求數列的前n項和.從①前n項和，②，③且，這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.22．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題可得為等邊三角形，可得，即得.【詳解】∵過垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，，∴為等邊三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故選：C.2、B【解析】根據得到三角形為等腰三角形，然后結合雙曲線的定義得到，設，進而作，得出，由此求出結果【詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B3、C【解析】第n環(huán)天石心塊數為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數列，設為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到.【詳解】設第n環(huán)天石心塊數為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數列，，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數列前n項和有關的計算問題，考查學生數學運算能力，是一道容易題.4、A【解析】與已知直線平行，與橢圓相切的直線有二條，一條距離最短，一條距離最長，利用相切，求出直線的常數項，再計算平行線間的距離即可.【詳解】設與已知直線平行，與橢圓相切的直線為，則所以所以橢圓上點P到直線的最短距離為故選：A5、C【解析】根據漸近線可求出a，再由雙曲線定義可求解.【詳解】因為直線是雙曲線的一條漸近線，所以，，又或，或（舍去），故選：C6、B【解析】由題意知直線的斜率為，設其傾斜角為，將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設其傾斜角為，則，將直線繞著原點逆時針旋轉，則故新直線的斜率是.故選：B.7、A【解析】解一元一次不等式求不等式在上解集，再利用幾何概型的長度模型求概率即可.【詳解】由，可得，其中長度為1，而區(qū)間長度為4，所以，所求概率為故選：A.8、B【解析】分別過點、作準線的垂線，垂足分別為點、，設，根據拋物線的定義以及直角三角形的性質可求得，結合已知條件求得，分析出為的中點，進而可得出，即可得解.【詳解】如圖，分別過點、作準線的垂線，垂足分別為點、，設，則由己知得，由拋物線的定義得，故，在直角三角形中，，，因為，則，從而得，所以，，則為的中點，從而.故選：B.9、C【解析】根據題意，結合空間向量的坐標運算，即可求解.【詳解】由，，得，因此.故選：C.10、A【解析】由絕對值的意義可知命題p為真命題；由于，所以命題q為假命題；因此為假命題，為真命題，“且”字聯(lián)結的命題只有當兩命題都真時才是真命題，所以答案選A11、C【解析】根據導數的定義即可求解.【詳解】.故選：C.12、A【解析】求得拋物線的焦點從而求得，再結合題意求得，即可寫出橢圓方程.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，故可得；又短軸長為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據當時，有，令，得到在上遞增，再根據在上的偶函數，得到在上是奇函數，則在上遞增，然后由，得到求解【詳解】∵當時，有，令，∴，∴在上遞增，又∵在上的偶函數∴，∴在上是奇函數∴在上遞增，又∵，∴當時，，此時，0＜x＜1，當時，，此時，，∴成立的的取值范圍是故答案為：﹒14、【解析】求導得，進而根據題意在上有且只有一個變號零點，再根據零點的存在性定理求解.【詳解】解：，∵在區(qū)間上有且只有一個極值點，∴在上有且只有一個變號零點，∴，解得∴a的取值范圍是.故答案為：15、①.②.點或點（填出其中一組即可）【解析】（1）以向量，，為基底分別表達出向量和，展開即可解決；（2）由上一問可知，用上一問同樣的方法可以證明出，這樣就證明了平面與直線垂直.【詳解】（1）令，，，則，則有，故（2）令，，，則，則有，故故，即又由（1）之,,故直線垂直于平面同理可證直線垂直于平面故答案為：0;點或點16、【解析】當時，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據對稱性，可知由曲線圍成的圖形的面積為考點：本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學生分類討論思想的運用和運算求解能力.點評：解決此題的關鍵是看出所求圖形在四個象限內是相同的，然后求出在一個象限內的圖形的面積即可解決問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據條件求出即可；（2），然后利用等差數列的求和公式求出答案即可.【詳解】（1）且，，（2）18、（1）（2）(i)存在常數，使得成立；(ii)的最大值為.【解析】(1)求點P的坐標，再利用面積和離心率，可以求出，然后就可以得到橢圓的標準方程；(2)設點的坐標和直線方程，聯(lián)立方程，解出的y坐標值與P的坐標之間的關系，求以焦距為底邊的三角形面積；利用均值定理當且僅當時取等號，求最大值.【小問1詳解】先求第一象限P點坐標：，所以P點的坐標為，所以，所以橢圓E的方程為【小問2詳解】設，易知直線和直線的坐標均不為零，因為，所以設直線的方程為，直線的方程為，由所以，因為，，所以所以同理由所以，因為，，所以所以，因為，，(i)所以所以存在常數，使得成立.(ii)，當且僅當，時取等號，所以的最大值為.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據直線被圓截得的弦長為，由解得，再由離心率結合求解。（2）設，則，得到直線：；直線：，聯(lián)立求得，再根據線斜率大于，求得，然后由求解.【詳解】（1）以線段為直徑的圓的圓心為：，半徑，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，解得：，又橢圓離心率，∴，，橢圓的標準方程為：.（2）設，其中，，則，∴，，則直線為：；直線為：，由得：，∴，∴，∴，令，，則，∴，∵∴，∴，即.【點睛】本題主要考查橢圓方程和幾何性質以及直線與圓，橢圓的位置關系的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，利用題中等式建立、的方程組，求出、的值，然后根據等差數列的通項公式求出數列的通項公式；（2）利用等差數列前項和公式求出，然后由求出的值.【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，解得，，數列的通項為；（2）數列的前項和，由，化簡得，即，.【點睛】本題考查等差數列的通項公式的求解，考查等差數列的前項和公式，常用的方法就是利用首項和公差建立方程組求解，考查運算求解能力，屬于中等題.21、（1）（2）見解析（3）【解析】（1）選①，根據與的關系即可得出答案；選②，根據與的關系結合等差數列的定義即可得出答案；選③，利用等差中項法可得數列是等差數列，再求出公差，即可得解；（2）求出數列的通項公式，再根據等比數列的定義即可得證；（3）求出數列的通項公式，再利用錯位相減法即可得出答案.【小問1詳解】解：選①，當時，，當時，也成立，所以；選②，因為，所以，