一、填空題(將正確答案填在題中橫線上。每小題2分，共10分)

345

35D.O

1、設(shè)，D,=510,則口=1=_____________.

12。D,

2002

2、四階方陣A、B,已知|A忌，且B=2A“-(2A)T,則葉。

3、三階方陣A的特征值為1,-1,2,且B=A3-5A?,則B的特征值為o

4、若n階方陣A滿足關(guān)系式A2-3A-2^=O,若其中E是單位陣，那么

A-'=_

5、設(shè)必=(1,1,1),a2=(l,2,3),%=(1，，。線性相關(guān)，則t=。

二、單項選擇題(每小題僅有一個正確答案，將正確答案的番號填入下表內(nèi)，每小題2

分,共20分)

Y-132x+13-6

1、若方程成立,則x是

0xx-22I-4

(A)-2或3；(B)-3或2；

(C)-2或-3；(D)3或2；

2、設(shè)A、B均為n階方陣，則下列正確的公式為

(A)(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3；(B)(A-B)(A+B)=A2-B2；

(C)A2-E=(A-E)(A+E)；(D)(AB)2=A2B2

3、設(shè)A為可逆n階方陣，則(A*)*=

(A)|^|E；(B)A；

(C)\A\'A；(D)\A\'~2A；

4、下列矩陣中哪一個是初等矩陣

’100、

(\00>

(A)；(B)010；

(0()2)

、011,

’01-1、‘010、

(C)-101；(I))00-2

<00LJOo;

5、下列命題正確的是

(A)如果有仝為零的數(shù)4,k2%使4%+&%+…+-6,則4,%,

,a,“線性無關(guān)；

（B）向量組若其中有一個向量可由向量組線性表示，則…，

心線性相關(guān)；

（C）向量組四，。2，…，生”的一個部分組線性相關(guān)，則原向量組本身線性相關(guān)；

（D）向量組四，。2，?一，生”線性相關(guān)，則每一個向量都可由其余向量線性表示。

6、%，%，…，%〃和4，仇，…,瓦,為兩個n維向量組，且

見吻+四+…+乩

a?=B\+K…+Bm

%小川+國+…+Pm7

則下列結(jié)論正確的是

（A）a〃）＜R（4血，…4）

⑻寵（1,生，…，6〃）＞R（4%-，4）

?R（?,4，…，a,J=R（4月2,，&）

（0）無法判定

7、設(shè)A為n階實對稱方陣且為正交矩陣，則有

（A）A=E（B）A相似于E（C）A1=EID）A合同于E

8、若7,%，%，%是線性方程組AX=。的基礎(chǔ)解系，則7+%+/+%是AX=。的

（A）解向量（B）基礎(chǔ)解系（C）通解；（D）A的行向量；

9、4,不都是n階矩陣A的特征值，4工小，且X1和X2分別是對應(yīng)于4和4的特征

向量，當勺，心滿足什么條件時，X=KXI+&X2必是矩陣A的特征向量。

(A)K=0且42=°；(B)勺工0,

(C)k/工0(D)k｝工0而&=0

1-10

10、下列哪一個二次型的矩陣是-130

000

2X2

(A)/(M,%)=x；-2X2X2+3電2；(B)f(x,,x2)=xt-+32;

2222

(0/(Xj,x2,x3)=%)-2X2X2+3X2;(D)f(x],x2,x3)=x1-xtx2-x2x3+3x2

三、計算題（每小題9分，共63分）

aP

1、設(shè)3階矩陣，A二2八B=Yi,其中。，仇八,八均是3維行向量，且已知

3八為

行列式|A|=18,|B|=2,求|A+B|

2、解矩陣方程AX+B=X,其中

01

A=-11

-10

(1)夕可由a,,%，陽線性表示，且表示式是唯一的;

夕不能由at,a?,由線性表示;

夕可由四，a2，由線性表示，且有無窮種表示式，并寫出表示式。

4、已知四元非齊次線性方程組AX=〃滿足RA）=3,八,八，片是AX二〃的三個解向

量，其中

'2、T

-40

Y\+%=%+%=

03

4

求AX二〃的通解。

5、已知A=B,且人=

求a,b

6、齊次線性方程組

2xj-x2+3^=0

?

玉-3X2+4X3=0>

-%）+2X2+ar=0

中當a為何值時，有非零解，并求出通解。

2

7、用正交變換法化二次型/（七,工2，工3）=4*2+4X2+4.2+4%內(nèi)+4X占+4工2.為標

準型，并求出正交變換。

四、證明題（7分）

設(shè)A為mXn矩陣，B為n階矩陣，已知R（A）=n

證明：若AB=O,則B=O

《線性代數(shù)》期末考試題A題參考答案與評分標準

填空題

1、~10；2、81；3、—4,—6,—12；4、/（A—3E）；5、5；

一、二、單項選擇題（每小題2分，共20分）

題號12345678910

答案AC1)BCCCADC

番號

一、三、計算題（每小題9分，共63分）

1>|A+B|（2分）

（4分）

（7分）

=2X18+12X2=60（9分）

2、AX+B=X=>(E-A)X=B（2分）

1-10

|E-^|=10-l=3wO（3分）

102

X=(E-Ay}B（5分）

ro2r

(E-A)“=g-321

（7分）

0-11

（9分）

3、設(shè)￡=勺。|+k2al+%%

1+211111

|A|=11+21=(2+3)11+21=￡(4+3)w()

111+/1111+/1

=400且；1工一3時，方程組有唯一解

即夕可由必，%,由唯一線性表示，

(2)當;1=—3時

11（）、-21-3、

-21一3一01-12

1-2切10006,

???R(A尸2,R(A)=3無解

即當義二一3時，，夕不能由a、，%線性表示（6分）

(3)當;1=0時

(A)=[1110、(\110、

110-0000

11110J10000,

R(A)=R(A)=1<3二.有無窮組解

下、

基礎(chǔ)解系為：7=1

通解為x=c"一j4=q

<C2，

當2=0時夕可由囚，［2，線性表示為無窮多種形式

P=（一q—。2）e+G%+q,c2為任意常數(shù)（9分）

4、?.?R（A）=3<4AX=6?的基礎(chǔ)解系含一個解（2分）

?/A/j=p(i=L2,3)

設(shè)"二（%+%）一仇+%）=（4分）

為基礎(chǔ)解系（6分）

???A；(%+%)

乙I乙乙

「1、

I-2

?.?“)=](%+%)=；為特解（8分）

J

，l+c、

故AX二夕的通解為X=")+c〃="2-4C

c為任意常數(shù)（9分）

-3c

—2cl

5、A8/.|AE-.A|=|AE-B|

A.—1-a-1

|AE-A|=-a2-1-b=A,3-3A2+(2-a2-b2)A+(a-b)2（2分）

-1-bA-l

200

|2E-B|=-a2-10=A(2-1)U-2)=23-322+24（4分）

00A-2

/V—32~+(2—cr—h')A+(67—b)~=%'—3/i~+2A（6分）

比較同次基系數(shù)有

2-a2-b2=2

（8分）

(a-h)2=0

解之，得a=b=O（9分）

'2-13、z01-1、

6、A=1-34-101（3分）

「12a)、。0a-3^

當“二3時.R（A）=2<3有非零解（5分）

一、

基礎(chǔ)解系為〃=1（8分）

通解為X=ci]c為任意常數(shù)（9分）

A-4-2-2

7、\AE-A\=-24-4—2=(2-2)2(2-8)=0（3分）

-2-22-4

特征值為4=8,?L=4=2（4分）

rr1]0

特征向量為7=ifh=0，%=1（6分）

ll

-L-1

1

正交單位化為4=方=0，瓦2（7分）

r質(zhì)76

222

標準型為f=8.V1+2v2+2y3（8分）

l1

_fL&

o>/26

y9分

耳

正交變換為X=一

1I>/l6

3F

v6

四、證明題（）

B=￥\，%…，鳳）

M=A（4,%??，月）=（A片，A魚,，物）=。（2分）

:Z、=ea=i,2,，.,,〃）

B的每一列向量為齊次方程組AX=。的解（4分）

由于R（A）=nAX=0只有零解

B=O

線性代數(shù)期末考試題

一、填空題(將正確答案填在題中橫線上。每小題2分，共10分)

1-31

1.若05x=0,則Z=,,

-12-2

+工2+尤3=0

2.若齊次線性方程組?x,+人2+七=0只有零解，則尤應(yīng)滿足。

X1+=0

3.已知矩陣A,B,C=(c)),x“，滿足AC=C3,則A與3分別是階

矩陣。

/、

卬a2

4.矩陣A=f/21an的行向量組線性o

Mi4),

5.〃階方陣4滿足｛2_3A_E=0,則。

二、判斷正誤(正確的在括號內(nèi)填“J"，錯誤的在括號內(nèi)填“X”。每小題2分，共10分)

1.若行列式。中每個元素都大于零，則。〉0。()

2.零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合。()

3.向量組4,W〃帆中，如果q與%對應(yīng)的分量成比例，則向量組。1，…，as

線性相關(guān)。()

-0100-

1000,

4.A=，則人7=A。()

0001

0010

5.若2為可逆矩陣4的特征值，則A-的特征值為2。()

三、單項選擇題(每小題僅有一個正確答案，將正確答案題號填入括號內(nèi)。每小題2分,

共10分)

1.設(shè)A為〃階矩陣，且|4|=2,則料A，卜()。

①2"②2〃T③2向④4

2.〃維向量組%,%，…，(3<s<n)線性無關(guān)的充要條件是()。

①%,a2，…，%中任意兩個向量都線性無關(guān)

②四,。2,,…，％中存在一個向量不能用其余向量線性表示

③%,口?，…，%中任一個向量都不能用其余向量線性表示

④%,%中不含零向量

3.下列命題中正確的是（）。

①任意〃個〃+1維向量線性相關(guān)

②任意〃個〃+1維向量線性無關(guān)

③任意〃+1個日維向量線性相關(guān)

④任意，+1個〃維向量線性無關(guān)

4.設(shè)A,8均為n階方陣，下面結(jié)論正確的是（）。

①若A,3均可逆，則A+4可逆②若A,8均可逆，則

AB可逆

③若A+3可逆，則4一3可逆④若A+8可逆，則A,

B均可逆

5.若匕，v2,匕，匕是線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系，則匕+乙+匕+匕是

AX=O的（）

①解向量②基礎(chǔ)解系③通解④A的行向量

四、計算題（每小題9分，共63分）

x+abcd

ax-^-bcd

1.計算行列式

abx+cd

abcx+d

<30

2.設(shè)43=A+23,且4=110,求3。

1()14J

」-100、’2134、

3設(shè)8=0170C=；0j2；13；且矩陣X滿足關(guān)系式

又001-1

,0001>002,

X（C—8）二瓦求X。

4.問。取何值時,下列向量組線性相關(guān)？%二——，％=a，%

2

AX|+X-)+—A.—3

5.4為何值時，線性方程組(王+疝2+￡=—2有唯一解，無解和有無窮多解？當方程

X1+x2+AX3=-2

組有無窮多解時求其通解。

T<2、(3、

49010

6.設(shè)%=,二,=,%=.求此向量組的秩和一個極大無關(guān)

1-1-3-7

k~3>

組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。

Uo0、

7.設(shè)A=()10,求A的特征值及對應(yīng)的特征向量。

、021,

五、證明題(7分)

若4是〃階方陣，且441=/,|聞=一1,證明|4+/|=0。其中/為單位矩陣。

線性代數(shù)期末考試題答案

一、填空題

1.52.2^13.sxs，nxn4.相關(guān)

5.A-3E

二、判斷正誤

1.X2.V3.V4.5.X

-ZZ.、單項選擇題

1.③2.③3.③4.②5.①

四、計算題

1.

x+abcdx+a+b+c+dbcd

ax+hcclx+a+b+c+dx+bcd

—

abx+cdbx+cd

abcx+dx+a+b+c+dbcx+d

1bcd1bcd

1x+lcd0A00a

={x+a+b+c+cl)={x+a-b-3t-c+d)=(x+a+b+c-\-d)x'

bx+cd00x0

1bcx+cl000.￥

2.

2-1-1

(A-2E)B=A(A-2E)-2-2-1

-111

-5-2-2

B=(A-2E)-iA=4-3-2

-223

3.

234000

0232100

C-