第八章平面解析幾何8.3圓的方程數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1圓的方程考點(diǎn)2與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題0102考點(diǎn)3與圓有關(guān)的最值問(wèn)題03課時(shí)作業(yè)第三部分高考創(chuàng)新方向多想少算041．理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．2．能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．圓的方程(1)圓的定義：平面上到____的距離等于____的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑．(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：我們把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)稱為圓心為_(kāi)_________，半徑為_(kāi)_的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝r2(r>0)，表示以原點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓．教材回扣定點(diǎn)定長(zhǎng)(a，b)r(x0－a)2＋

(y0－b)2＞r2d＝rd<r教材拓展4．阿波羅尼斯圓：古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ(λ>0且λ≠1)的點(diǎn)所形成的圖形是圓，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．1．判斷(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(

)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)為圓心，a為半徑的圓．(

)(3)已知圓的方程為x2－2x＋y2＝0，過(guò)點(diǎn)A(1，2)可作該圓的兩條切線．(

)基礎(chǔ)檢測(cè)√×√√2．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P85T1改編)已知圓的圓心為(－3，4)，半徑為5，則它的方程為(

)A．(x－3)2＋(y－4)2＝5B．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y－4)2＝5解析：因?yàn)閳A心為(－3，4)，半徑為5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y－4)2＝25.故選C.C3．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P102T7改編)若方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是(

)A．(－∞，－5) B．(－5，＋∞)C．(－∞，5) D．(5，＋∞)解析：因?yàn)榉匠蘹2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一個(gè)圓，所以42＋22＋4m>0，解得m>－5，即m的取值范圍為(－5，＋∞).故選B.B4．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P85T2改編)已知點(diǎn)(1，1)在圓x2＋y2＋ax＋a＝0外，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A．(－1，＋∞)B．(－1，0)C．(－1，0)∪(4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)C互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1圓的方程【例1】

(1)(2024·山東聊城三模)已知圓C與兩坐標(biāo)軸及直線x＋y－2＝0都相切，且圓心在第二象限，則圓C的方程為(

)D(2)(2024·吉林長(zhǎng)春三模)經(jīng)過(guò)A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三點(diǎn)的圓的方程為(

)A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1C規(guī)律總結(jié)求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫(xiě)出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】

(1)若直線3x－4y＋12＝0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A，B，則過(guò)A，B及原點(diǎn)O三點(diǎn)的圓的方程是(

)A．x2＋y2＋4x－3y＝0B．x2＋y2－4x－3y＝0C．x2＋y2＋4x－3y－4＝0D．x2＋y2－4x－3y＋8＝0A(2)(2024·北京西城區(qū)二模)已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，0)和(3，0)，且與直線y＝2相切，則圓C的方程為_(kāi)_________________．(x－1)2＋y2＝4考點(diǎn)2與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例2】

(1)長(zhǎng)為10的線段的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為(

)D(2)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，AM與圓相切，且|AM|＝2，則點(diǎn)A的軌跡方程是(

)A．y2＝4xB．x2＋y2－2x－2y－3＝0C．x2＋y2－2y－3＝0D．y2＝－4xB規(guī)律總結(jié)求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】

(1)平面上一動(dòng)點(diǎn)P滿足|PM|2＋|PN|2＝6，且M(－1，0)，N(1，0)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(

)A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x－1)2＋y2＝3C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝3解析：設(shè)P(x，y)，由|PM|2＋|PN|2＝6，所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝6，整理得x2＋y2＝2，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2.故選C.C(2)已知圓C：x2＋y2＝3，直線l過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，線段AB的端點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為(

)B考點(diǎn)3與圓有關(guān)的最值問(wèn)題命題角度1利用幾何性質(zhì)求最值【例3】已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．命題角度2利用函數(shù)求最值【例4】若點(diǎn)P在拋物線y2＝x上，點(diǎn)Q在圓M：(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為(

)D規(guī)律總結(jié)(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱性解決．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】

(1)(多選)已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4y＋1＝0，則下列說(shuō)法正確的是(

)AC(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，則x＋y的取值范圍為_(kāi)___________．[－2，0]高考創(chuàng)新方向多想少算【例】已知實(shí)數(shù)a，b滿足

a2＋b2－|a|－|b|＝0(a，b不同時(shí)為0)，則|a＋b－3|的最小值與最大值之和為(

)A．4 B．5C．6 D．7C創(chuàng)新解讀本題本質(zhì)上考查了直線和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，但是題目設(shè)置上需要學(xué)生對(duì)題干條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，才能利用已有知識(shí)解決．本題落實(shí)通過(guò)“材料信息的豐富性、試題要素的靈活性”的高考命題改革要求，引導(dǎo)學(xué)生提升思維品質(zhì)，減少死記硬背和機(jī)械化刷題．課時(shí)作業(yè)55第分部三B2．（5分）點(diǎn)(－1，－1)在圓(x＋a)2＋(y－a)2＝4的內(nèi)部，則a的取值范圍是(

)A．－1<a<1 B．0<a<1C．a(chǎn)<－1或a>1 D．a(chǎn)＝±1解析：因?yàn)辄c(diǎn)(－1，－1)在圓(x＋a)2＋(y－a)2＝4的內(nèi)部，所以(－1＋a)2＋(－1－a)2<4，化簡(jiǎn)得a2<1，解得－1<a<1.故選A.AA．(x－1)2＋y2＝4B．x2＋(y＋1)2＝4C．(x＋1)2＋y2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：由題可知|PA|2＝4|PO|2，所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，化簡(jiǎn)得(x＋1)2＋y2＝4.故選C.C4．（5分）已知圓M過(guò)點(diǎn)O(0，0)，A(2，0)，B(2，－2)，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x＋1)2＋(y－1)2＝2AAC7．（6分）（多選）已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．當(dāng)a＝10時(shí)，表示圓心為(2，－4)的圓B．當(dāng)a<10時(shí)，表示圓心為(2，－4)的圓D．當(dāng)a＝8時(shí)，表示的圓與y軸相切BCD8．（6分）（多選）圓C：(x－2)2＋y2＝1，點(diǎn)P(m，n)為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)ACx2＋(y－2)2＝410．（5分）（2024·江西九江二模）歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．這條線稱為三角形的歐拉線．已知A(0，2)，B(4，2)，C(a，－1)，且△ABC為圓x2＋y2＋Ex＋Fy＝0的內(nèi)接三角形，則△ABC的歐拉線方程為_(kāi)_____．y＝112．（17分）已知圓C的方程為x2＋y2－2x＋4y－m＝0.(1)若點(diǎn)A(m，－2)在