2025年應(yīng)力狀態(tài)試題解析及答案一、基礎(chǔ)計算題（20分）已知某點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)為σ?=80MPa（拉應(yīng)力），σ?=-40MPa（壓應(yīng)力），τ??=30MPa（x面上的切應(yīng)力沿y軸正方向）。要求：（1）計算與x軸成θ=20°的斜截面上的正應(yīng)力σ?和切應(yīng)力τ?；（2）判斷該斜截面上切應(yīng)力的方向（相對于截面外法線的順時針或逆時針方向）。解析：（1）平面應(yīng)力狀態(tài)下，斜截面應(yīng)力計算公式為：σ?=(σ?+σ?)/2+(σ?-σ?)/2·cos2θ+τ??·sin2θτ?=(σ?-σ?)/2·sin2θ-τ??·cos2θ代入已知條件：σ?=80MPa，σ?=-40MPa，τ??=30MPa，θ=20°（注意θ為x軸逆時針轉(zhuǎn)至截面外法線的角度，故取正值）。首先計算(σ?+σ?)/2=(80-40)/2=20MPa；(σ?-σ?)/2=(80+40)/2=60MPa；2θ=40°，cos40°≈0.7660，sin40°≈0.6428。代入σ?公式：σ?=20+60×0.7660+30×0.6428≈20+45.96+19.28≈85.24MPa（拉應(yīng)力）。計算τ?：τ?=60×0.6428-30×0.7660≈38.57-22.98≈15.59MPa。（2）切應(yīng)力方向的判斷需結(jié)合公式中τ?的符號規(guī)則：若τ?為正，表示截面外法線順時針轉(zhuǎn)90°的方向為切應(yīng)力方向；若為負(fù)，則逆時針轉(zhuǎn)90°。本題中τ?≈15.59MPa（正值），因此斜截面切應(yīng)力方向為截面外法線順時針轉(zhuǎn)90°方向（即相對于截面外法線，切應(yīng)力沿順時針方向）。答案：（1）σ?≈85.24MPa（拉），τ?≈15.59MPa；（2）順時針方向。二、主應(yīng)力與主平面分析題（30分）某點(diǎn)平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量為σ?=120MPa（拉），σ?=60MPa（拉），τ??=-40MPa（x面上的切應(yīng)力沿y軸負(fù)方向）。要求：（1）計算主應(yīng)力大小及主平面方位角；（2）繪制該點(diǎn)的應(yīng)力圓，并標(biāo)注主應(yīng)力、最大切應(yīng)力及對應(yīng)截面的位置；（3）說明主應(yīng)力的排序規(guī)則。解析：（1）主應(yīng)力計算公式為：σ?,?=(σ?+σ?)/2±√[(σ?-σ?)/2)2+τ??2]代入數(shù)據(jù)：(σ?+σ?)/2=(120+60)/2=90MPa；(σ?-σ?)/2=(120-60)/2=30MPa；τ??=-40MPa（注意符號，公式中τ??取絕對值平方，故符號不影響根號內(nèi)結(jié)果）。根號部分=√(302+(-40)2)=√(900+1600)=√2500=50MPa。因此，主應(yīng)力σ?=90+50=140MPa（拉），σ?=90-50=40MPa（拉），σ?=0（平面應(yīng)力狀態(tài)下另一主應(yīng)力為零）。主平面方位角α?由tan2α?=2τ??/(σ?-σ?)計算：2τ??=2×(-40)=-80MPa；σ?-σ?=60MPa；tan2α?=-80/60=-4/3≈-1.333，故2α?=-53.13°或126.87°（因tanθ周期為180°），則α?=-26.57°或63.43°。需驗證哪個角度對應(yīng)σ?的主平面：將α?=-26.57°代入斜截面正應(yīng)力公式，計算得σ?=140MPa（與σ?一致），故α?=-26.57°（即從x軸順時針轉(zhuǎn)26.57°）對應(yīng)σ?的主平面，另一角度63.43°對應(yīng)σ?的主平面。（2）應(yīng)力圓的圓心坐標(biāo)為((σ?+σ?)/2,0)=(90MPa,0)，半徑R=√[(σ?-σ?)/2)2+τ??2]=50MPa。繪制時，以σ軸為橫軸，τ軸為縱軸，圓心在(90,0)，半徑50。主應(yīng)力對應(yīng)應(yīng)力圓與σ軸的交點(diǎn)：σ?=140MPa（右側(cè)交點(diǎn)），σ?=40MPa（左側(cè)交點(diǎn)），σ?=0（平面應(yīng)力狀態(tài)下，垂直于紙面方向的主應(yīng)力為零，對應(yīng)應(yīng)力圓在σ=0處的點(diǎn)，但需注意三維應(yīng)力狀態(tài)中σ?為最小主應(yīng)力）。最大切應(yīng)力τ_max=R=50MPa，對應(yīng)應(yīng)力圓上最高點(diǎn)（τ=50MPa），其所在截面與主平面成45°（即α?±45°）。（3）主應(yīng)力排序規(guī)則：按代數(shù)值從大到小排列，即σ?≥σ?≥σ?。本題中σ?=140MPa（拉），σ?=40MPa（拉），σ?=0（零應(yīng)力），故排序為σ?>σ?>σ?。答案：（1）σ?=140MPa（拉），σ?=40MPa（拉），σ?=0；主平面方位角分別為-26.57°（σ?）和63.43°（σ?）；（2）應(yīng)力圓圓心(90,0)，半徑50MPa，主應(yīng)力位于σ軸交點(diǎn)，最大切應(yīng)力50MPa位于圓頂；（3）按代數(shù)值從大到小排序。三、強(qiáng)度理論應(yīng)用題（30分）某鋼構(gòu)件（塑性材料，許用應(yīng)力[σ]=160MPa）危險點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)為σ?=100MPa（拉），σ?=50MPa（拉），σ?=-80MPa（壓）。要求：（1）分別用第三強(qiáng)度理論（最大切應(yīng)力理論）和第四強(qiáng)度理論（畸變能理論）計算相當(dāng)應(yīng)力σ_r3和σ_r4；（2）判斷該點(diǎn)是否滿足強(qiáng)度要求。解析：（1）第三強(qiáng)度理論（σ_r3）的相當(dāng)應(yīng)力公式為σ_r3=σ?-σ?；第四強(qiáng)度理論（σ_r4）的相當(dāng)應(yīng)力公式為σ_r4=√[(σ?-σ?)2+(σ?-σ?)2+(σ?-σ?)2]/√6。代入數(shù)據(jù)：σ_r3=100-(-80)=180MPa；計算σ_r4的分子部分：(100-50)2=2500，(50+80)2=16900，(-80-100)2=32400；總和=2500+16900+32400=51800；σ_r4=√51800/√6≈227.6/2.449≈92.9MPa（此處計算有誤，正確計算應(yīng)為：√(51800)=227.6，除以√6≈2.449，故227.6/2.449≈92.9？實(shí)際正確計算應(yīng)為：√(51800)=√(518×100)=10√518≈10×22.76≈227.6；√6≈2.449，故227.6/2.449≈92.9MPa。但需檢查公式是否正確：第四強(qiáng)度理論公式應(yīng)為σ_r4=√[(σ?-σ?)2+(σ?-σ?)2+(σ?-σ?)2]/√6，代入數(shù)值：(100-50)=50，(50-(-80))=130，(-80-100)=-180，平方后分別為2500、16900、32400，總和為2500+16900+32400=51800，開平方為√51800≈227.6，除以√6≈2.449，故σ_r4≈227.6/2.449≈92.9MPa。但實(shí)際正確計算應(yīng)為：51800/6≈8633.33，√8633.33≈92.9MPa，正確。（2）比較相當(dāng)應(yīng)力與許用應(yīng)力：第三強(qiáng)度理論下σ_r3=180MPa>[σ]=160MPa，不滿足；第四強(qiáng)度理論下σ_r4≈92.9MPa<[σ]=160MPa，滿足。但需注意，塑性材料通常以第四強(qiáng)度理論更符合實(shí)際，第三強(qiáng)度理論偏于保守。本題中第三強(qiáng)度理論計算結(jié)果超過許用應(yīng)力，需結(jié)合構(gòu)件實(shí)際工作條件判斷是否需要調(diào)整設(shè)計；若按第四強(qiáng)度理論則滿足要求。答案：（1）σ_r3=180MPa，σ_r4≈92.9MPa；（2）第三強(qiáng)度理論不滿足，第四強(qiáng)度理論滿足。四、空間應(yīng)力狀態(tài)綜合題（20分）某點(diǎn)處的空間應(yīng)力狀態(tài)為σ?=150MPa（拉），σ?=80MPa（拉），σ?=-50MPa（壓）。要求：（1）計算該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力；（2）說明最大切應(yīng)力所在平面的方位特征。解析：（1）最大正應(yīng)力為三個主應(yīng)力中的最大值，即σ_max=σ?=150MPa；最大切應(yīng)力τ_max=(σ?-σ?)/2=(150-(-50))/