《直線及平面垂直的判定（一）》的教案

教材：人教版《普通高中課程標出實驗教科書?數(shù)學（A版）》必修2

課題：2.3.1直線及平面垂直的判定（一）

一、教學目標

1.借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出宜線及平面垂宜的定義，并能正確理解立線及平面垂直的定義。

2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線及平面垂直判定的定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題,

進一步培養(yǎng)學生的空間觀念。

3.讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數(shù)學的興趣。

二、教學重點、難點

1.教學重點：操作確認并概括出直線及平面垂直的定義和判定定理。

2.教學難點：操作確認并概括出直線及平面垂直的判定定理及初步運用。

三、課前準備

L教師準備：教學課件

2.學生自備：三角形紙片、鐵絲（代表直線）、紙板（代表平面）、三角板

四、教學過程設計

1.直線及平面垂直定義的建構(gòu)

（1）創(chuàng)設情境

①請同學們觀察圖片，說出旗桿及地面、高樓的側(cè)棱及地面的位置有什么關系？

②請把自己的數(shù)學書打開宜立在桌面上，觀察竹脊及桌面的位置有什么關系？

③請將①中旗桿及地面的位置關系畫出相應的幾何圖形。

（2）觀察歸納

①思考：一條直線及平面垂直時.這條直線及平面內(nèi)的直線有什么樣的位置關系？

②多媒體演示：旗桿及它在地面上影子的位置變化。

③歸納出直線及平面垂直的定義及相關概念。1

定義：如果直線1及平面Q內(nèi)的任意一條直線都垂直，/P/

我們就說直線1及平面a互相垂直，記作：ALQ.）

直線,叫做平面。的垂線，平面。叫做直線/的垂面.直線及平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

用符號語言表示為：俄是平面。內(nèi)任一直線］

（=>/JLa

（3）辨析（完成下列練習）：/-Ltn

①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線就及這個平面垂直。

②若a±a,bUa,則a±bo

在創(chuàng)設情境中，學生練習本上畫圖，教師針對學生出現(xiàn)的問題，如不直觀、不標字母等加以強調(diào)，并指出這就叫直線

及平面垂直，引出課題。

在多媒體演示時，先展示動畫1使學生感受到旗桿AB所在直線

及過點B的直線都垂直。再展示動畫2使學生明確旗桿AB所在直線

及地面內(nèi)任意一條丕過點B的直線B￡也垂直，進而引導學生歸納出

直線及平面垂直的定義。

在辨析問題中，解釋“無數(shù)”及“任何”的不同，并說明線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直及

線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化，給出常用命題：

2.直線及平面垂直的判定定理的探究

（1）設置問題情境

提出問題：學校廣場上樹了一根新旗桿，現(xiàn)要檢驗它是否及地面垂直，你有什么好辦法？

（2）折紙試驗

如圖，請同學們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片,

得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC及桌面接觸:.觀察并思考:

①折痕AD及桌面垂直嗎？

②如何翻折才能使折痕AD及桌面所在的平面垂直？

③多媒體演示翻折過程。

（3）歸納直線及平面垂直的判定定理

①思考：由折痕AD_LBC,翻折之后垂直關系，即

AD1CD,AD_LBD發(fā)牛.變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

②歸納出直線及平面垂直的判定定理。

定理：一條直線及一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,

則該直線及此平面垂直。

用符號語言表示為:mua,〃ua、mc〃=P

=/_La

在討論實際問題時，學生同桌合拈由張4乩蔣鐵絲當旗桿，桌向當?shù)孛妫┖蠼唤鸱桨?，如用直角?jié)n板量:一次,量兩

次等。教師不作點評，說明完成下面的折紙試驗后就有結(jié)論。

在折紙試驗中，學生會出現(xiàn)“垂直”及“不垂直”兩種情況，引導這兩類學生進行交流，根據(jù)直線及平面垂直的定義分

析“不垂直”的原因。學生再次折紙，進而探究直線及平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC

邊上的高，即AD_LBC,翻折后折痕AD就及桌面垂直，再利用多媒體演示翎折過程，增強幾何直觀性。

在歸納直線及平面垂直的判定定理時，先讓學生敘述結(jié)論，不完善的地方教師引導、補充完整，并結(jié)合“兩條相交直

線確定?個平面”的事實，簡要說明直線及平面垂直的判定定理。然后，學生試用圖形語言式述，練習本上畫圖，可能出現(xiàn)

垂足及兩相交直線交點重合的情況(如圖)，教師補充說明，同時給出符號語言表述。

在理解立線及平面垂直的判定定理時，強調(diào)“兩條”、“相交”缺一不可，并結(jié)合前面”檢驗旗桿及地面垂宜”問題再進

行詢認。指出要判斷一條直線及一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，這充分體

現(xiàn)了“直線及平面垂直”及“直線及直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

3.直線及平面垂直的判定定理的初步應用

CD嘗試練習:

求證：及三角形的兩條邊同時垂直的直線必及第三條邊垂直。

學生根據(jù)題意畫圖，將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：不妨設a-LAC,a_L8c.求證：a1AB

請三位同學板演，其余同學在練習本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條

件，同時指出：這為證明“線線垂直”提供了一種方法。

(2)嘗試練習：如圖，有一根旗桿AB高8m,它的頂端A掛有兩

條長10m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點(和旗桿

腳不在同一條直線上)C、D,如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m,

則旗桿就和地面垂直.為什么？

本題需要通過計算得到線線垂直。學牛.練習本上完成后，對照課本,69例1,完善自己的解題步驟。

(3)嘗試練習：如圖，已知a〃b,a_La,求證：b_La。

此題有一定難度，教師引導學生分析思路，可利用線面垂直的定

義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，學生練習本上完成，

對照課本P69例2,完善自J的解題步驟。

4.總結(jié)反思

(1)通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些判斷直線及平面垂直的方法？

(2)在證明直線及平面垂直時應注意哪些問題？

(3)本節(jié)課你還有哪些問題？

學生發(fā)言，互相補充，教師點評，歸納出判斷直線及平面垂直的方法，給出框圖(投影展示)，同時，說明木課縊含著

轉(zhuǎn)化、類比、歸納、猜想等數(shù)學思想方法，強調(diào)“平面化”是解決立體幾何問題的一般思路，并鼓勵學生反思，大膽質(zhì)疑，

教師作好記錄，以便查缺補漏。

對角線AC及BD的交點,且PA=PC,PB=PD.

求證：PO_L平面ABCD

（2）課本P70練習2

（3）探究：如圖，PA_L[@10所在平面，AB是圓0的直徑,

C是圓周上一點，則圖中有幾個直角三角形由此你認為三棱錐

中最多有幾個直角三角形？四棱錐呢？

【板書設計】

2.3.1直線及平面垂宜的判定（一）

教學設計說明

1、直線及平面垂直2、直線及平面垂直的判練習1：

在這次新課程數(shù)學做差電容中，立體幾何不迨延教材編排還是教學要求募國考.生了很大變化,因而我在本節(jié)課的處理

上也作了相應調(diào)你借助多媒體輔助教學,采用,“引相一探究式”教學方法絢涉3教學過程遵循“直觀完知一操作確認一歸

納總結(jié)”的認知J見律，注重發(fā)展學生的合情推理能力，降低幾何證明的難度，同時，力口強空間觀念的培舞，注重知識產(chǎn)生的

過程性，具體體現(xiàn)在以下幾個方面:

1.線面垂直的定義沒有直接給出，而是讓學生在對圖形、實例的觀察感知基礎上，借助動畫演示幫助學生概括得出，并

通過辨析問題深化對定義的理解。這樣就避免了學生死記硬背概念，有利于理解數(shù)學概念的本質(zhì)。

2.線面垂直的判定定理不易發(fā)現(xiàn)，在教學中，通過創(chuàng)設問題情境引起學生思考，安排折紙試驗，討論交流，給學生充分

活動的時間及空間，幫助學生從自己的實踐中獲取知識。教師盡量少講，學生能做的事就讓他們自己去做，使學生更好的參

及教學活動，展開思維，體驗探索的樂趣，增強學習數(shù)學的興趣。

3.本節(jié)中教師不作例題示范，而是讓學生先嘗試完成，后講評明晰。為更好地鞏固判定定理，設置了有梯度的練習，其