第14講洛必達(dá)法則解高考導(dǎo)數(shù)壓軸題

我們在前面的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該能體會(huì)到參變分離對于解決不等式恒成立問題的重要性

和快捷性，但有時(shí)候我們明明知道了函數(shù)的單調(diào)性，知道了函數(shù)會(huì)大于或者小于某一個(gè)值(這

個(gè)值被稱為確界),但就是取不到，這個(gè)時(shí)候就需要用到極限來計(jì)算，在求函數(shù)的極限時(shí)，常會(huì)遇

到兩個(gè)函數(shù)/(*),「")都是無窮小或都是無窮大時(shí)，求它們比值的極限，此時(shí)極限lim組

F\x)

可能存在,也可能不存在.通常把這種極限叫作未定式,并分別簡稱為9型或藝型.

0oo

例如,］而也就是。型的未定式而極限lim生就是差型的未定式，對于未定式的極限,

X0XTXX00

我們該如何求呢？

計(jì)算未定式的極限往往需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?轉(zhuǎn)化成可利用極限運(yùn)算法則或重要極限的

形式進(jìn)行計(jì)算.這種變形沒有一般方法，需視具體問題而定，屬于特定的方法.本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)作

為工具，給出計(jì)算未定式極限的一般方法，即洛必達(dá)法則，在此之前我們需要明白“確界”的概

念.

確界

如果分離參數(shù)后相應(yīng)的函數(shù)不存在最值,為了能夠利用分離參數(shù)思想【解析】決含參不

等式恒成立的問題，我們利用如下的函數(shù)確界的概念：

函數(shù)尸/(x)(xe。)的上確界為min{M/'(X),,￡)>,記作函數(shù)y=/(x)(xw。)的下

確界為max{Ml/(x)…M.xw0，記作.于是,有如下結(jié)論：

⑴若/(工)無最大值，而有上確界，這時(shí)要使/(x)<g(〃)恒成立，只需"曰,g(a).

⑵若無最小值，而有下確界M卜.，這時(shí)要使/(x)>g(a)恒成立，只需

確界通俗地說就是，知道函數(shù)不會(huì)超過某個(gè)值(這個(gè)值其實(shí)就是確界)，但就是在定義域內(nèi)

取不到這個(gè)值，舉個(gè)【例】子：

在xe(l,2)/(x)=x+l>fl恒成立，求a的取值范圍.「x取不到1,但/(x)為單調(diào)遞皚

/./(x)>/(l)=2，即2就是/(力的下確界，于是我們可以得到”,2.

可以簡單地理解為確界就是函數(shù)取不到的最值，需要用極限來逼近，下面舉例子來說明.

【例1】設(shè)函數(shù)=-1-1一0^,尤.0時(shí)求。的取值范圍.

分析:由/("..。對所有的x.O成立，可得

⑴當(dāng)工=0時(shí),aeR.

(2)當(dāng)工>()時(shí),④“一：一1

x

設(shè)g(x)=乙二二1.把問題轉(zhuǎn)化為求w(X)的最小值或下確界.

?X

,/X-2xeX+X2+2x人，/\，Tc*?2r

g(x)=---------------------------,令〃(x)=x-e-2xe+x-+2x,

貝ji/f(x)=x2el-2e'+2x+2,x>0.

又〃(力的二階導(dǎo)數(shù)h"(x)=2xex+_2/+2/z(x)的三階導(dǎo)數(shù)hm(x)=ex(x2+4x)>0,

???/f(x)是增函數(shù)..?"(x)>/;w(0)=0.A//(x)增函數(shù)..?/*)>1(0)=0Z/(x)是增函數(shù).

/.h(x)>A(0)=0,從而>0,于是g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故g(x)無最小值.

此時(shí)，由于g(0)無意義，分析可知g(x)是有下確界的，運(yùn)用極限表述為：8(?)>limg(x),關(guān)鍵

是這個(gè)極限值或者說確界如何求出呢?這就是本章的重點(diǎn):洛必達(dá)法則.

由洛必達(dá)法則即可得limg(%)=lim-——--=lim-——-=iim—.

,

KT''XTO"x.v->o2xv-*o*22

II，「

故X>0時(shí),-，因而一，綜上知。的取值范圍為.

722I2」

那什么是洛必達(dá)法則呢？

洛必達(dá)法則

(一)《型不定式

定理1設(shè)函數(shù)滿足下列條件：

(1)lim/(%)=0,limF(x)=0.

⑵/(x)與產(chǎn)(工)在飛的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且r(x)*o.

⑶lim與?存在(或?yàn)闊o窮大)，則lim=lim.

F(X)1/r(A)XTRF(x)

【例1】計(jì)算極限lim^e1.

x

【解析】該極限屬于2型不定式,于是由洛必達(dá)法則得==

0TXf1

(二)2■型不定式

00

定理2設(shè)函數(shù)/(x),2(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=cojimF(x)=oo.

IQI",

⑵/(.r)與F(x)在小的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且r(x)*0.

⑶lim與斗存在(或?yàn)闊o窮大)，

F(X)

l/(x)..f'(x)

則mihrm—=lim—.

F(x)-%F(x)

【例2】計(jì)算極限lin】：

Kf田

【解析】所求問題是土型不定式，連續(xù)八次實(shí)行洛必達(dá)法則，有

00

x"nxn~'1)尸m

lim—=lim=lim——-——=lim—=0.

x->4-xe*XT”e*,V-?-KOe*—

使用洛必達(dá)法則時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：

(1)洛必達(dá)法則只能適用于9型和藝型的不定式，其他的不定式須先化簡變形成9型或？型

0oo0co

才能運(yùn)用該法則.對于8-00型與0.8型的未定式,可通過通分或者取倒數(shù)的形式化為基本形

式.對于o°型,產(chǎn)型與8°型的未定式，可通過取對數(shù)等手段化為°型或藝型未定式.

0oo

⑵只要條件具備，就可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則.

(3)洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要，因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在.

洛必達(dá)法則求參數(shù)取值范圍

洛必達(dá)法則求參數(shù)取值范圍的一般步驟和前面參變分離的解題步驟一致，只不過是最后無

法直接求解最值，只能用洛必達(dá)法則求解確界.

［例1］已知函數(shù)1)一加，當(dāng)T.0時(shí)，/(%)-。，求4的取值范圍.

【解析】證明第一步:分類討論滲變分離.當(dāng)x.O時(shí),/(x)..O,即

①當(dāng)x=0時(shí),〃wR.

②當(dāng)x>0時(shí),⑷2等價(jià)于e'-L⑷，即a,上」.

第二步:構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，并把分了?提出，再次構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并研究出原函數(shù)單調(diào)性.

記g(x)=^^,工40,+8),則“(%)=(，1)；+1.

AX

記萬(%)=(x-l)e，+l,xe(0,+oc),

則〃(x)=xe*>0,

因此〃(x)=(x—l)e'+l在(0,+8)上單調(diào)遞增，且〃(力>方(0)=0,/./("=綽>0,

X

從而g(A-)-一在(0,十8)上單調(diào)遞增.

第三步:利用洛必達(dá)法則求出函數(shù)下

X_1X

確界.limg(X)=lim—二=lim—=1,

x-^)\'.v-?0xx-*0I

即當(dāng)％->0時(shí),g(x)f1即有%1.

綜上所述，當(dāng)a剌"0時(shí),/(x)..0成立.

【例2】設(shè)函數(shù)/3=1-"二設(shè)當(dāng)x.O時(shí),/(力”」一，求a的取值范圍.

【解析】證明第一步:必要性討論，縮小參數(shù)范圍.

由題設(shè)x..O,此時(shí)/(x)..O.

①當(dāng)”0.時(shí)，若x>」,貝Jx<0,/(x)?x不成立.

aat+1ar+l

②當(dāng)a..0時(shí)，當(dāng)x.0時(shí)，f(x),,—-—，即.1-e'弟0―--1—1—■—.

ax+lav+lax+\

若x=0,則awR.

第二步:不等式等價(jià)變化并參變分離.

xx

若x>0,則1—x等價(jià)于-1-—--d-~-”——1，即為皆xe一—^—+1.

ar+1xax+\xe-x

第三步:構(gòu)造函數(shù)，并因式分解，把部分因式提出，單獨(dú)構(gòu)造函數(shù)，并多次求導(dǎo)，結(jié)合特殊值最終確

定原函數(shù)的單調(diào)性.

v2r2vv

.、.re—e'+1,,、e—xe—2e+1e'(Av2Ar\

記g(x)=——-----，則g'(R)=---=--~~7e-x-2+e-)

依r(xe、-”Gev-AV

記力(x)=e"—-2+e~r,貝ij/?*(%)=ev-2x-=ev+e-'-2>0.

因此,"(x)=e-2x-ex在(0,-boo)上單調(diào)遞增，且〃'(0)=0,"(X)>0,即h(x)在

(0,+oo)上單調(diào)遞增，且/?(0)=0,/.h(x)>0.

因此g'(x)=---------7xh{x}>0，

(xcx-X?

g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

第四步:利用洛必達(dá)法則求出函數(shù)下確界.

vvvv

../\xe-e+l..xe..e+je'1HnsI,、八x1

InnP(X)=hm--------------=lim---------------=lim-------------=一，即當(dāng)x—>0時(shí),g(x)—>—,

A->()xrxx

i)疣「xe+xe-l-o2e+xe22

即有g(shù)5)>；,

「.4，綜上所述,a的取值范圍是1-8-

2I2

【例3】若不等式sinx>x-加1對于x￡（0,恒成立，求a的取值范圍。

【解析】第一步:參變分離.

當(dāng)/e（0,5）時(shí)，原不等式等價(jià)于a>忙詈

第二步:構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，并提取分子單獨(dú)構(gòu)造,多次求導(dǎo)結(jié)合特殊值得出原函數(shù)單調(diào)性.

記/。）=弓u,則八處=3sinx-xcosx-2x

JT

記g(x)=3sinx7cosx-2x,

則gf(x)=2cosx+xsinx-2,g〃(x)=xcosx-sinx,g(x)=-xsinx<0,

J.g〃(X)在(0,^)上單調(diào)遞減，旦g〃(.Y)

???g'(外在(o,5)上單調(diào)遞減，且g'(x)<0.

因此g(x)在(o，］)上單調(diào)遞減，且g。)<0

故f(x)=軍<0,因此/(X)=X—；nx在(0馬上單調(diào)遞減.第三步:利用洛必達(dá)法則

riTIY?IJWrP93I,ri\v工—Sin工..1—COSXSinA,..COSX1

可得函數(shù)上確界.hm/(x)=hm--；—=lim------；—=lim----=lim-----=-,

10XTOx103廠…6x366

即當(dāng)x-0時(shí),g(x)->L即有/(x)<L

66

故時(shí),不等式sinx>x-ax},對于xe恒成，立?

v

[例4]已知函數(shù)/(尤)=/+《a2+〃(+/,當(dāng)。=一1時(shí)若都有/*),,e

恒成立，求〃的取值范圍.

【解析】當(dāng)x<0時(shí),/一/+"+],,"恒成立，等價(jià)于屋、一一十--1恒成立.

X

令g⑶二二31,則

XX

再令h(x)=e、-2/一X一I.由h