2025學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三數(shù)學(xué)試卷 2025.12考生注意：1.本場(chǎng)考試時(shí)間120分鐘，試卷共4頁(yè)，滿分150分.2.每位考生應(yīng)同時(shí)收到試卷和答題卷兩份材料，答卷前，在答題卷上填寫姓名、考號(hào)等相關(guān)信息.3.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.所有作答務(wù)必填涂在答題卷上與試卷題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域，不得錯(cuò)位，在試卷上作答一律不得分.一、填空題(本大題共有12題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1.設(shè)復(fù)數(shù)z=2+i(其中i為虛數(shù)單位),則|z|=.2.設(shè)集合A=(-2,2),B=(1,+∞),則A∩B=.3.函數(shù)y=sinx+cosx的值域?yàn)?4.若冪函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(ξ/3，3)，則該冪函數(shù)的表達(dá)式為y=.5.設(shè)向量a=-1-2,6.相關(guān)部門在上海市隨機(jī)調(diào)查了10戶居民六月份的用電量(單位：kW·h)，從小到大排列依次為31、74、78、99、101、107、127、131、208、223,則這10戶居民用電量的第75百分位數(shù)為.7.已知1+2x8.一個(gè)底面積為1的正四棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的表面積為4π，則該正四棱柱的高為.9.從20名男生和18名女生中選取5人組成一個(gè)宣傳小組，其中男生和女生都不少于2人的選法有種，10.設(shè)f(x)={∣x-2∣,x≥0-1x,x<0,若實(shí)數(shù)11.某城市核心區(qū)域可看作一個(gè)平面，市中心為點(diǎn)O，城市有兩個(gè)交通樞紐站點(diǎn)A、B，其中站點(diǎn)A在市中心O的正東方向，距離O點(diǎn)4公里，站點(diǎn)B在市中心O的正北方向，距離O點(diǎn)徐匯區(qū)高三數(shù)學(xué)本卷共5頁(yè)第1頁(yè)也是4公里.為了動(dòng)態(tài)調(diào)整交通信號(hào)，相關(guān)部門計(jì)劃在距離中心O點(diǎn)2公里的位置，設(shè)置一個(gè)移動(dòng)數(shù)據(jù)采集點(diǎn)C，通過(guò)監(jiān)測(cè)∠ACB的大小來(lái)優(yōu)化信號(hào).當(dāng)∠ACB最大時(shí)，sin∠ACB=.(結(jié)果精確到0.01)12.已知數(shù)列{an}滿足:a1=0,對(duì)任意的正整數(shù)n均有an-an-1∈12,若存在正整數(shù)k(1≤k≤二、選擇題(本大題共有4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，滿分18分)每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)上，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.已知x為實(shí)數(shù)，則“x2是有理數(shù)”是“x是有理數(shù)”的()條件.A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要14.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取某個(gè)品種的小麥樣本13株，測(cè)得麥穗長(zhǎng)度(單位：cm)，以其整數(shù)部分作為“莖”，小數(shù)部分作為“葉”繪制莖葉圖如右圖所示.用該樣本數(shù)據(jù)估計(jì)此品種小麥麥穗長(zhǎng)度平均為().(結(jié)果精確到0.1cm)A.9.9cm B.9.8cm C.9.7cm D.9.6cm15.設(shè)P為橢圓x225+y216=1上一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為圓C1:x+A.7.5 B.9.5 C.11.5 D.13.516.已知n∈N,集合Pn=x∣x=x1x2x3?xnxi∈011≤i≤ni∈Nx為n維向量).若a=a1a2a3?an∈PnA.①和②均為真命題 B.①和②均為假命題C.①為真命題，②為假命題 D.①為假命題，②為真命題徐匯區(qū)高三數(shù)學(xué)本卷共5頁(yè)第2頁(yè)三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知a=4,b=5.(1)若cos2C=45,(2)若內(nèi)角C的對(duì)邊c=6，求角A的正弦值及△ABC外接圓的半徑R.18.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.某校高三年級(jí)學(xué)生參加了一次時(shí)政知識(shí)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽的成績(jī)情況，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將樣本的成績(jī)(滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段:[40,50),[50,60),…，[90，100]得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求實(shí)數(shù)m的值；若年級(jí)準(zhǔn)備選取80分及以上的學(xué)生進(jìn)入下一輪競(jìng)賽，已知該校高三年級(jí)有1000名學(xué)生，估計(jì)該校高三年級(jí)參加下一輪競(jìng)賽的人數(shù)；(2)王老師抽取了10名參加競(jìng)賽的學(xué)生，他們的分?jǐn)?shù)為：x1,x2,x3,?,x10..已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)x=91，標(biāo)準(zhǔn)差s=徐匯區(qū)高三數(shù)學(xué)本卷共5頁(yè)第3頁(yè)19.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，已知BD是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上異于B、D的一點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)C的直線AC垂直于⊙O所在的平面,且AC=BD=2.(1)若C為BD中點(diǎn)，E為線段AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AD上一點(diǎn)，且EF∥平面BCD、求證:F為線段AD中點(diǎn),并求三棱錐F-BCD的體積；(2)記二面角A-BD-C的平面角為θ，求θ的最小值，并指出其取得最小值時(shí)點(diǎn)C的位置.20.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知拋物線Γ：y2=2pxp0(1)若點(diǎn)E(4，4)在拋物線Γ上，求EF所在直線的斜率；(2)若準(zhǔn)線l：x=-1，點(diǎn)P為拋物線Γ準(zhǔn)線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓.M:x2-4x+y2+3=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.若兩條切線PA、PB與y軸分別交于點(diǎn)(3)若點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，過(guò)拋物線Γ的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)Q作圓N:x-m2+y2=1（m＞0）的兩條切線l1,l2,且l1,徐匯區(qū)高三數(shù)學(xué)本卷共5頁(yè)第4頁(yè)21.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，若其導(dǎo)函數(shù).y=f'(x))在D上是嚴(yán)格減函數(shù)，則稱f(x)是一個(gè)“S函數(shù)”.(1)設(shè)f1x=lnx,f2x(2)已知數(shù)列bn是公差為d(d>0)的等差數(shù)列，且bn的各項(xiàng)都為正數(shù)，若定義在(0+∞上的函數(shù).y=g(x)是“S函數(shù)”(3)已知“S函數(shù)”y=F(x))的定義域?yàn)镽，不等式F(x)>0的解集為-∞0..證明：函數(shù)y=F(x)在R徐匯區(qū)高三數(shù)學(xué)本卷共5頁(yè)第5頁(yè)2025學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三數(shù)學(xué)試卷答案詳解2025.12考生注意：1.本場(chǎng)考試時(shí)間120分鐘，試卷共4頁(yè)，滿分150分.2.每位考生應(yīng)同時(shí)收到試卷和答題卷兩份材料，答卷前，在答題卷上填寫姓名、考號(hào)等相關(guān)信息.3.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.所有作答務(wù)必填涂在答題卷上與試卷題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域，不得錯(cuò)位，在試卷上作答一律不得分.一、填空題(本大題共有12題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1.設(shè)復(fù)數(shù)z=2+i(其中i為虛數(shù)單位)，則|z|=.【答案】5【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)z=2+i(其中i為虛數(shù)單位)，所以∣故答案為：52.設(shè)集合A=(-2,2),B=(1,+∞),則A∩B=.【答案】(1,2)【解析】【分析】利用集合交集的定義求解即可.【詳解】由于集合A=(-2,2),B=(1,+∞),則A∩B=(1,2);故答案為:(1,2)3.函數(shù)f(x)=sinx+cosx值域?yàn)?【答案】-【解析】第1頁(yè)/共20頁(yè)【分析】化簡(jiǎn)得fx=【詳解】由題得f所以當(dāng)sinx+π當(dāng)sinx+π所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：-4.若冪函數(shù).y=x°的圖象經(jīng)過(guò)(3，3)，則此冪函數(shù)的表【答案】y【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式算出參數(shù)a即可得解.【詳解】由題意得33a=3a3=31=3故答案為：y5.設(shè)向量a=-1-2,b【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量投影的意義求解即得.【詳解】由向量a=-1-2,b=-3故答案為：-16.相關(guān)部門在上海市隨機(jī)調(diào)查了10戶居民六月份的用電量(單位：kW·h)，從小到大排列依次為31、74、78、99、101、107、127、131、208、223,則這10戶居民用電量的第75百分位數(shù)為.【答案】131【解析】第2頁(yè)/共20頁(yè)【分析】由百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)?0×75%=7.5,所以第8個(gè)數(shù)131是第75百分位數(shù)，故答案為：1317.已知1+2x【答案】960【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】二項(xiàng)式1+2x由于1則當(dāng)r=3時(shí),a故答案為：9608.一個(gè)底面積為1的正四棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的表面積為4π，則該正四棱柱的高為【答案】2【解析】【分析】求出正四棱柱底邊邊長(zhǎng)以及外接球半徑，分析可知該正四棱柱的外接球直徑即為該正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)，即可得解.【詳解】設(shè)該正四棱柱底邊的邊長(zhǎng)為a，高為h，則a2=1,可得設(shè)該正四棱柱的外接球的半徑為R，則4πR2=4由題意可知，該正四棱柱的外接球直徑即為該正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R=a因此該正四棱柱的高為.2故答案為：29.從20名男生和18名女生中選取5人組成一個(gè)宣傳小組，其中男生和女生都不少于2人的選法有種.第3頁(yè)/共20頁(yè)【答案】329460【解析】【分析】從男女共38中選出5人組成一個(gè)宣傳小組，要求男生和女生均不少于2人，分選出的5人為2男3女，和3男2女兩種情況討論即可.【詳解】從男女共38中選出5人組成一個(gè)宣傳小組，要求女生和男生均不少于2人，分為以下兩類情況：當(dāng)選出的5人為2男3女時(shí)，不同選法共為C202C183=20×192×1×18×17×163×故答案為:329460.10.設(shè)f(x)={∣x-2∣,x≥0-1x,x<0,若實(shí)數(shù)x?【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)題目條件，令fx1=fx2=fx3=kk0詳解】已知分段函數(shù)f(x)={∣x-2∣,x≥0-1令f對(duì)于x1<0對(duì)于x≥0,f(x)=|x-2|=k,x=2±k,因x2<x3,故x2=2x第4頁(yè)/共20頁(yè)古x設(shè)gk=-k4-k2(0<k≤2hk=k24-k此時(shí)hkmax=綜上，x2x3x故答案為：-211.某城市核心區(qū)域可看作一個(gè)平面，市中心為點(diǎn)O，城市有兩個(gè)交通樞紐站點(diǎn)A、B，其中站點(diǎn)A在市中心O的正東方向，距離O點(diǎn)4公里，站點(diǎn)B在市中心O的正北方向，距離O點(diǎn)也是4公里.為了動(dòng)態(tài)調(diào)整交通信號(hào)，相關(guān)部門計(jì)劃在距離中心O點(diǎn)2公里的位置，設(shè)置一個(gè)移動(dòng)數(shù)據(jù)采集點(diǎn)C，通過(guò)監(jiān)測(cè).∠ACB的大小來(lái)優(yōu)化信號(hào).當(dāng)∠ACB最大時(shí),sin∠ACB=.(結(jié)果精確到0.01【答案】0.54【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)C(x，y)，利用直線的夾角公式，表示出直線CA與CB的夾角的正切，再利用換元法令t=x+y以及直線x+y-t=0與圓O的位置關(guān)系，求出t=x+y的范圍，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到當(dāng)∠ACB最大時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)向量夾角公式，求出cos∠ACB，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，計(jì)算出sin∠ACB，即可得解.不妨以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則:A(4,0),B(0,4),設(shè)C(x,y)是圓O:x2+y2=4上|第5頁(yè)/共20頁(yè)k結(jié)合圖象，易知當(dāng)∠ACB最大時(shí)，點(diǎn)C位于第一象限，且α為鈍角，設(shè)π-α=θ，則兩直線夾角θ的正切值公式為：tan則： k1又因?yàn)镃在圓x2+y因此，tan令t=x+y,則x+y-t=0,因?yàn)?x,y)在圓O上,因此可認(rèn)為直線l:x+y-t=0與圓O有交點(diǎn),即圓心到直線l的距離d=∣t由于點(diǎn)C(x,y)在第一象限的圓O上,易知t=x+y>2,因此2故tan由于3t-1是關(guān)于t的減函數(shù)(分母增大，整體減小)，因此當(dāng)t=22時(shí)，tanθ取得最小，即θ最小，此時(shí)對(duì)應(yīng)∠ACB=α當(dāng)t=x+y=22時(shí)，結(jié)合cos又因?yàn)閟in第6頁(yè)/共20頁(yè)解得sin故答案為:0.54.12.已知數(shù)列{an滿足：a1=0,對(duì)任意的正整數(shù)n均有an-an-1∈12,【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題目條件列出a?到a??，要使不等式恒成立，a1+a2+?+ak【詳解】由題可知：a則：aa要使不等式恒成立，a1+a2當(dāng)k=6時(shí),取aa1當(dāng)k=7時(shí),取aa1+aa8當(dāng)k=7時(shí),取a1=0,a2=2,a3=第7頁(yè)/共20頁(yè)當(dāng)k=8時(shí),取aa1+a2當(dāng)k=9時(shí),取a1a1+a2綜上：k的最大值為6.故答案為：6二、選擇題(本大題共有4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，滿分18分)每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)上，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.已知x為實(shí)數(shù)，則“x2是有理數(shù)”是“x是有理數(shù)”的()條件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合特殊值法判斷可得出結(jié)論.【詳解】若x2是有理數(shù)，不妨取.x=2,則x即“x2是有理數(shù)”不能推出“x是有理數(shù)”，若x為有理數(shù)，則存在p、q∈Z且q≠0，使得x=pq,故“x2是有理數(shù)”∈“x是有理數(shù)”，所以“x2是有理數(shù)”是“x是有理數(shù)”的必要非充分條件，故選:B.14.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取某個(gè)品種的小麥樣本13株，測(cè)得麥穗長(zhǎng)度(單位：cm)，以其整數(shù)部分作為“莖”，小數(shù)部分作為“葉”繪制莖葉圖如圖所示.用該樣本數(shù)據(jù)估計(jì)此品種小麥麥穗長(zhǎng)度平均為()(結(jié)果精確到0.1cm)第8頁(yè)/共20頁(yè)7 88 699 1677810 02611 27A.9.9cm B.9.8cm C.9.7cm D.9.6cm【答案】B【解析】【分析】利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知,抽取的13株小麥的麥穗長(zhǎng)度分別為:7.8、8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.7、9.8、10、10.2、10.6、11.2、11.7,單位:cm,用該樣本數(shù)據(jù)估計(jì)此品種小麥麥穗長(zhǎng)度平均為x故選:B.15.設(shè)P為橢圓x225+y216=1上一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為圓C1:x+3A.7.5 B.9.5 C.11.5 D.13.5【答案】D【解析】【分析】由題可得兩個(gè)圓心恰好是橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值為點(diǎn)到圓心距離減半徑，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最大值為點(diǎn)到圓心距離加半徑，求出∣PM∣+∣【詳解】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F?(-3,0),F?(3,0),恰好為兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo),圓C?的半徑r?=1,圓C?的半徑r由橢圓的定義可得∣當(dāng)橢圓上動(dòng)點(diǎn)P與焦點(diǎn)連線與圓相交于M，N時(shí)，|PM|+|PN|最小，最小值為∣第9頁(yè)/共20頁(yè)當(dāng)橢圓上動(dòng)點(diǎn)P與焦點(diǎn)連線的反向延長(zhǎng)線與圓相交于M，N時(shí)，∣PM∣+∣PN所以7故選:D.16.已知n∈N,集合Pn=x∣x=x1x2x3?xnxi∈011≤i≤ni∈N(x為n維向量)若a=a1a2a3?an∈Pn,A.①和②均為真命題 B.①和②均為假命題C.①為真命題，②為假命題 D.①為假命題，②為真命題【答案】C【解析】【分析】先通過(guò)ā的全l結(jié)構(gòu)，確定a?b對(duì)應(yīng)b中1的個(gè)數(shù)，得.fm=Cnm;驗(yàn)證命題①時(shí)代入n=第10頁(yè)/共20頁(yè)【詳解】由a=111∈Pn,得a?b=i=1naibi=i對(duì)于命題①：當(dāng)n=3時(shí)，m=03對(duì)于命題②：當(dāng)n=2k(k為正整數(shù))時(shí)，m由二項(xiàng)式定理，m=02而2n-1=22k-1,取k=1(即n=2),左邊=1+2=故命題②不成立.故選：C三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.在ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知a=4,b=5.(1)若cos2C=45,(2)若內(nèi)角C的對(duì)邊c=6，求角A的正弦值及ABC外接圓的半徑R.【答案】(1)102【解析】【分析】(1)利用二倍角的余弦公式求出sinC的值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果；(2)利用余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得出sinA的值，再利用正弦定理可求得R的值.【小問(wèn)1詳解】由二倍角余弦公式可得cos2C=因?yàn)镃∈(0,π),所以sinC>0,故sin第11頁(yè)/共20頁(yè)故ABC的面積為S【小問(wèn)2詳解】在ABC中,a=4,b=5,c=6,由余弦定理可得cos故A為銳角，且sin由正弦定理可得2R=a18.某校高三年級(jí)學(xué)生參加了一次時(shí)政知識(shí)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將樣本的成績(jī)(滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)、[50,60)、、[90,100]得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求實(shí)數(shù)m的值；若年級(jí)準(zhǔn)備選取80分及以上的學(xué)生進(jìn)入下一輪競(jìng)賽，已知該校高三年級(jí)有1000名學(xué)生，估計(jì)該校高三年級(jí)參加下一輪競(jìng)賽的人數(shù)；(2)王老師抽取了10名參加競(jìng)賽的學(xué)生，他們的分?jǐn)?shù)為：x1、x2、x3、、x10.已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)x=91，標(biāo)準(zhǔn)差s=【答案】(1)m=0.005;300人(2)平均數(shù)為91,方差為25【解析】【分析】(1)在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1，可求得m的值；結(jié)合頻率分布直方圖可計(jì)算得出該校高三年級(jí)參加下一輪競(jìng)賽的人數(shù)；(2)利用平均數(shù)和方差公式可求得剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差.【小問(wèn)1詳解】第12頁(yè)/共20頁(yè)在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1，即(m+2m+0.015+0.02×2+0.03)×10=1,解得m=0.005,80分及以上的學(xué)生所占的比例為((0.02+0.005×2)×10=0.3,故估計(jì)該校高三年級(jí)參加下一輪競(jìng)賽的人數(shù)為1000×0.3=300人.【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)x9=96故剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為x因?yàn)樵瓟?shù)據(jù)的方差為s所以x故剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的方差為s19.如圖，已知BD是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上異于B、D的一點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)C的直線AC垂直于⊙O所在的平面,且AC=BD=2.(1)若C為?BD中點(diǎn)，E為線段AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AD上一點(diǎn)，且EF∥平面BCD.求證：F為線段AD中點(diǎn)，并求三棱錐F-BCD(2)記二面角A-BD-C的平面角為θ，求θ的最小值，并指出其取得最小值時(shí)點(diǎn)C的位置.【答案】(1)證明見解析，12θmin=arctan2,【解析】【分析】(1)由線面平行的性質(zhì)定理得到EF∥CD，即可求證，由EF∥平面BCD，第13頁(yè)/共20頁(yè)得到F到平面BCD的距離即為E到平面BCD的距離，結(jié)合體積公式即可求解；(2)過(guò)C作CH⊥BD,垂足為H,確定∠AHC即為二面角A-BD-C的平面角θ,結(jié)合tanθ=∣AC∣∣【小問(wèn)1詳解】EF∥平面BCD,CD在平面BCD內(nèi),所以EF,CD沒有交點(diǎn),又EF,CD都在平面ACD內(nèi),所以EF∥CD,在三角形ACD中，因?yàn)镋為線段AC的中點(diǎn)，所以F為線段AD中點(diǎn)，因?yàn)镋F∥平面BCD,所以F到平面BCD的距離即為E到平面BCD的距離，又AC⊥平面BCD,AC=2,所以E到平面BCD的距離為1，又△BCD為等腰直角三角形，所以S所以三棱錐F-BCD的體積V【小問(wèn)2詳解】過(guò)C作CH⊥BD,垂足為H,因?yàn)锳C⊥平面BCD,BD在平面BCD內(nèi),所以BD⊥AC,又AC,CH為平面ACH內(nèi)兩條相交直線,第14頁(yè)/共20頁(yè)所以BD⊥平面ACH,又AH在平面ACH內(nèi),所以BD⊥AH,所以∠AHC即為二面角A-BD-C的平面角θ,在直角三角形ACH中，tan又CH為C到BD距離,所以|CH|≤|CO|=1,當(dāng)C為BD所以tanθ=2∣CH∣即θmin=arctan2,當(dāng)且僅當(dāng)C20.已知拋物線T:y2=2(1)若點(diǎn)E(4，4)在拋物線Γ上，求EF所在直線的斜率；(2)若準(zhǔn)線l：x=-1，點(diǎn)P為拋物線Γ準(zhǔn)線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓.M:x2-4x+y2+3=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.若兩條切線PA、(3)若點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，過(guò)拋物線Γ的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)Q作圓N:x-m2+y2=1m0)的兩條切線4、l?,且l?、l?分別與Γ交于(Cs1t1、Ds2t2兩點(diǎn)和(【答案】】(1)42(3)存在，且定值為16【解析】第15頁(yè)/共20頁(yè)【分析】(1)將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線Γ的方程，求出P的值，可得出該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可求出其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，再利用斜率的斜率公式可求出直線EF的斜率；(2)設(shè)點(diǎn)P(-1，t)，由題意可知，切線PA、PB的斜率都存在，設(shè)這兩條切線的斜率分別為k1、k2,設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y-t=k(x+1)，利用圓心到切線的距離等于半徑得出8k2+6tk+(3)設(shè)點(diǎn)Q(-1,q),設(shè)過(guò)點(diǎn)Q的切線的方程為y-q=k(x+1),因?yàn)閳A心N(m,0)到切線的距離為1,可得出m+12-1k2+2qm+1k+q2-1=0,設(shè)切線l?、l?的斜率分別為k3、k4,則k3、k4為該方程的兩根，利用韋達(dá)定理得出【小問(wèn)1詳解】將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線Γ的方程可得2p×4=4故拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x,其焦點(diǎn)為F故直線EF的斜率為k【小問(wèn)2詳解】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-22+y2=1,則圓心為M(因?yàn)閽佄锞€Γ的準(zhǔn)線方程為x=-1，即-p2=-1,可得p=2設(shè)點(diǎn)P(-1，t)，由題意可知，切線PA、PB的斜率都存在，設(shè)它們的斜率分別為k不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y-t=k(x+1),即kx-y+k+t=0,由題意知,圓心M到直線kx-y+k+t=0的距離為1,即∣整理可得8依題意，k?、k?是關(guān)于k的方程8k第16頁(yè)/共20頁(yè)所以Δ=36t易知直線PA的方程為y-t=k1x+1,令x=0可得所以∣當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立，故|ST|的最小值為2【小問(wèn)3詳解】若點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，即p=2，故拋物線Γ的方程為y其準(zhǔn)線l的方程為x=-1,設(shè)點(diǎn)Q(-l,q),圓N的圓心為N(m,0),半徑為1,由題意可知，過(guò)點(diǎn)Q的切線的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)Q的切線方程為y-q=k(x+1),即kx-y+k+q=0,因?yàn)閳A心N(m，0)到切線的距離為1，則∣整理可得m設(shè)切線l?、l?的斜率分別為k則k?、k?為關(guān)于k的方程m+故k將直線l?的方程與拋物線Γ的方程聯(lián)立{y=k第17頁(yè)/共20頁(yè)由韋達(dá)定理可得t1t2故t=16q2因?yàn)閙>0，解得m故當(dāng)m=2時(shí)，即存在定圓.N:x-22+y2=1,使得當(dāng)點(diǎn)Q21.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，若其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)在D上是嚴(yán)格減函數(shù)，則稱f(x)是一個(gè)“S函數(shù)”.(1)設(shè)f1x=lnx,f2x(2)已知數(shù)列{b?}是公差為d(d>0)的等差數(shù)列，且{b?}的