/第一章特殊平行四邊形單元測試題一、單選題1．在下列條件中選取一個(gè)作為增加條件，能使成為矩形的是（）A． B． C． D．2．如圖，在菱形中，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則（

）A．1 B．2 C．4 D．83．在矩形中，對角線，則矩形的面積為（

）A．48 B．60 C．80 D．964．如圖，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．延長交于點(diǎn)，則的長為（

）A．7 B．7.5 C．8 D．95．如圖，在等腰中，，點(diǎn)D，E分別為邊上的中點(diǎn)，連結(jié)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．如圖，在正方形中，對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)落在上，若，則的長為（

）A．2 B． C． D．7．如圖，的直角邊，，以為邊作正方形，連接，則的面積為（

）A． B． C． D．8．如圖，在菱形中，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若，則菱形的周長為（

）A．4 B．16 C．12 D．209．如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的正方形的兩邊，分別交正方形的邊，于點(diǎn)，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，，則的大小為（

）A．4 B．6 C．8 D．1010．如圖，在中，，，是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，與相交于點(diǎn)且．則下列個(gè)結(jié)論：①是等腰三角形：②；③；④四邊形的面積會(huì)發(fā)生改變，其中正確的結(jié)論有（

）．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空題11．在矩形中，，對角線，相交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，連接，則的面積為．12．如圖，在等腰中，，以斜邊為邊向外作正方形，連接，則．13．如圖，在正方形中，，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的最小值是．14．如圖①，點(diǎn)分別從正方形的頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿正方形的邊逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)的速度是點(diǎn)速度的2倍，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．圖②是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間變化的圖象，則正方形的邊長為．15．如圖，點(diǎn)E是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，，，連接，分別取的中點(diǎn)，連接．若，則線段長度的最小值為．三、解答題16．如圖，已知，、分別是、邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，，連接．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若，，，求的長．17．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)畫出旋轉(zhuǎn)后的并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)請畫出關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的(3)連接則四邊形的形狀是____________（填“菱形”“矩形”或“正方形”）；面積是__________．18．如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個(gè)三角形為“奇妙三角形”(1)如圖1，在中，，，求證：是“奇妙三角形”；(2)如圖2，在中，，若是“奇妙三角形”，求的長．19．如圖，在四邊形中，，．對角線、相交于點(diǎn)O，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．20．綜合與探究問題情境：如圖1，正方形與正方形的點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)G在邊的延長線上．連接，取的中點(diǎn)M，連接，．觀察論證：（1）請寫出圖1中與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明．操作探究：將正方形繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周．（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請就圖2說明理由；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上時(shí)，若，，請直接寫出線段的長．參考答案題號(hào)12345678910答案DCAAACBBBA1．D【分析】知識(shí)點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)、矩形與菱形的判定定理．方法：根據(jù)矩形的判定條件（對角線相等的平行四邊形是矩形），逐一分析選項(xiàng)是否符合判定要求．關(guān)鍵：區(qū)分矩形與菱形的判定條件（對角線相等→矩形；對角線垂直或鄰邊相等→菱形）．易錯(cuò)點(diǎn)：混淆矩形與菱形的判定條件，誤將菱形的判定條件當(dāng)作矩形的判定條件．明確目標(biāo)：找出能使平行四邊形成為矩形的條件；回憶矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形；逐一分析選項(xiàng)．【詳解】∵在平行四邊形中，增加條件，∴對角線相等，∴平行四邊形是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形），故D符合題意；其他選項(xiàng)分析：選項(xiàng)A：，對角線垂直，可判定為菱形，不能判定矩形；選項(xiàng)B：，是平行四邊形已有性質(zhì)，不能判定矩形；選項(xiàng)C：，鄰邊相等，可判定為菱形，不一定為矩形．故選D．2．C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)；由點(diǎn)A的坐標(biāo)為得,由菱形的性質(zhì)得出，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∵四邊形是菱形，，∴，∴，故選：C．3．A【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理求得的長是解題的關(guān)鍵．利用矩形的對角線相等和勾股定理，求出另一條邊的長度，再計(jì)算矩形面積．【詳解】解：∵在矩形中，對角線，∴在中，，為斜邊，由勾股定理得：，即，∴矩形面積．故選A．4．A【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)得，，可得出四邊形為正方形，可得．在中，由勾股定理得，，則．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，，四邊形為矩形，，四邊形為正方形，，在中，由勾股定理得，，，，故選：A．5．A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得和直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵D為邊上的中點(diǎn)，∴，∴，∴，故選：A．6．C【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出，由折疊得到，然后求出，即可求出答案．【詳解】解：正方形，∴，，∴，，∵點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)落在上，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)作的延長于點(diǎn)，可知，得到，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，則，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，故選：．8．B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)以及三角形中位線定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握：菱形的四條邊都相等，菱形的兩條對角線互相垂直平分．根據(jù)是的中位線，即可得到的長，然后根據(jù)菱形的周長公式計(jì)算即可得．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，又點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴菱形的周長，故答案選：B．9．B【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．由正方形的性質(zhì)得，，，，則，，，，所以，因?yàn)?，所以，可證明，則，推導(dǎo)出，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：四邊形是正方形，，對角線相交于點(diǎn)，，，，，，，，，，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，故選：B．10．A【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到線段與角的等量關(guān)系，結(jié)合角的代換證明三角形全等，進(jìn)而推導(dǎo)相關(guān)結(jié)論并分析面積變化．【詳解】解：，是邊上的中點(diǎn)，，，又，，，，又，，，，在和中，，，是等腰三角形，①正確；，，，，，，②正確；，，，③正確；，，為定值，④錯(cuò)誤．故選：．11．5【分析】本題考查知識(shí)點(diǎn)為矩形的性質(zhì)（對角線互相平分）、三角形面積的比例關(guān)系．利用矩形面積與三角形面積的關(guān)系，結(jié)合對角線平分的性質(zhì)，通過“中點(diǎn)分面積”的比例逐步計(jì)算．關(guān)鍵：明確矩形對角線平分后，各三角形面積的比例關(guān)系．易錯(cuò)點(diǎn)：混淆中點(diǎn)對應(yīng)的面積比例（誤將面積比例算錯(cuò)倍數(shù)）．先算矩形面積，得面積為矩形的一半；由矩形對角線平分，得O是中點(diǎn)，面積為的一半；由E是中點(diǎn)，得面積為的一半．【詳解】矩形的面積為．故．矩形對角線互相平分，故O是中點(diǎn)，；又E是中點(diǎn)，．故答案為：5．12．【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，由勾股定理得，由正方形得是等腰直角三角形，得，最后根據(jù)勾股定理得．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．13．/【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟知最小時(shí)，最小是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到最小時(shí)，最小，即可解答．【詳解】解：線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，為等腰直角三角形，，即最小時(shí)，最小，如圖，當(dāng)時(shí)，最小，根據(jù)勾股定理可得，，，，即的最小值是．故答案為：14．4【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，關(guān)鍵是根據(jù)圖中信息找到關(guān)鍵點(diǎn)．根據(jù)圖2當(dāng)時(shí)，P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)，Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積求出正方形的邊長．【詳解】解：由圖2可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至的中點(diǎn)，∵點(diǎn)Q的速度是點(diǎn)P速度的2倍，且時(shí)，∴，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)，由圖2可知，當(dāng)時(shí)，，設(shè)正方形的邊長為，則，解得，∴正方形邊長為4，故答案為：4．15．【分析】本題考查平行四邊形性質(zhì)、直角三角形圓周角性質(zhì)、三角形中位線定理，涉及知識(shí)點(diǎn)：直徑所對圓周角為直角、中位線平行且等于第三邊的一半、勾股定理。解題方法是確定點(diǎn)E的軌跡（以為直徑的圓），利用中位線將轉(zhuǎn)化為的一半，通過構(gòu)造直角三角形求的最小值；解題關(guān)鍵是找到的軌跡圓心，計(jì)算圓心到的距離，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略E的軌跡范圍。解題思路：先確定E在以為直徑的圓上，求圓心到的距離，得最小值，再由中位線得最小值?！驹斀狻拷猓哼B接，如圖，∵的中點(diǎn)為，∴，∴取得最小值時(shí)，長度最?。唿c(diǎn)是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為直徑的半圓，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)最小，如圖，∵，∴，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，如圖，∵四邊形為平行四邊形，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴線段長度的最小值．故答案為：．16．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中位線的性質(zhì)證得，結(jié)合，證得四邊形是平行四邊形，根據(jù)，從而得出結(jié)論；在中，證得、，進(jìn)而證得和，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出的長即可．【詳解】（1）證明：D、分別是、邊上的中點(diǎn)，是的中位線，，即，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；（2）解：在中，，、點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)在中，，在中，，由勾股定理得，．17．(1)圖見解析，(2)見解析(3)菱形，【分析】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，中心對稱，菱形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫圖，即可得出答案；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)畫圖，即可得出答案；（3）利用對角線互相平分且垂直，可證明四邊形為菱形，利用菱形面積等于對角線之積的一半進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，；分別作出兩點(diǎn)繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，連接即可；（2）解：如圖，即為所求；分別作出關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接即可；（3）解：∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴為菱形，四邊形的面積為．18．(1)見解析(2)3或4【分析】本題主要考查了三角形中線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，然后根據(jù)“奇妙三角形”的定義求解即可；（2）分中線為、、邊上的中線三種情況，分別根據(jù)“奇妙三角形”的定義以及勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作，∵，∴D為BC中點(diǎn)，即，∴，∵，∴為“奇妙三角形”．（2）解：①若中線為的中線，如圖a，可得，不滿足“奇妙三角形”的條件；②若中線為的中線，如圖，可得，且，則；③若中線為的中線，如圖，可得，設(shè)，則，由可得，即，解得，∴的長為4．綜上，的長為3或4．19．(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明它的對角線相等即可得出平行四邊形是矩形．（2）先利用矩形的性質(zhì)得出，，從而可得，再利用含度角的直角三角形的性質(zhì)求得，從而可求得四邊形的面積．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，，，，，平行四邊形ABCD是矩形．（2）解：在矩形中，，，則，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了是矩形的判定和性質(zhì)，含度角的直角三角形，勾股定理，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能熟練運(yùn)用求解．20．（1）結(jié)論：，，證明見解析；（2）成立，理由見解析；（3）的長為或【分析】（1）延長交于，由題意易得，，，然后可得，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（2）延長到點(diǎn)，使得，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，由題意易得，然后可得，進(jìn)而問題可求解；（3）由題意可分兩種情況進(jìn)行分類求解即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：，，理由：如圖1中，延長交于，∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，綜上可得：，；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長到點(diǎn)，使得，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，∵點(diǎn)為的中