第四章矩陣

I知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)精要

一.矩陣及其運(yùn)算

1.矩陣的概念

即…a\n

(1)由sxn個(gè)數(shù)他(i=l,2…s；j=l,2……n)排成n行n列的數(shù)表i?.i，稱為s行n列

矩陣，簡(jiǎn)記為A=(為幾。

(2)矩陣的相等設(shè)，二(?,,，B=(%)&，假如m=l,n=k,且與=%,對(duì)i=l,2...m；

j=l,2……n都成立,則稱A與B相等，idA=Bo

(3)多種特殊矩陣行矩陣，列矩陣，零矩陣，方陣(上)卜.三角矩陣，對(duì)角矩陣，數(shù)量矩陣，單

位矩陣。

2.矩陣的運(yùn)算

(I)矩陣的加法

運(yùn)算規(guī)律：

i)A+B=B+A

i)(A+B)+C=A+(B+C)

iii)A+O=A

iv)A+(-A)=O

(3)數(shù)與矩陣的乘法

運(yùn)算規(guī)律：

(k+1)A=kA+lA,

k(A+B)=ka+kB

k(lA)=(kl)A

1*A=A.

(3)矩陣的乘法

其中c“=.+ai2b2j+........十%仇八i=1,2,….s;/=1,2.....m

運(yùn)算規(guī)律：

i)(AB)C=A(BC)

i)A(B+C尸AB+AC

iii)(B+C)A=BA+CA

iv)k(AB)=A(kB)=(kA)B

一般狀況，

AB豐BA

AB=AC,AH0XB=C

AB=O'A=0或B=0

(4)矩陣的轉(zhuǎn)置

/\/

a\\…a\na\\…as\

A=；??.；A的轉(zhuǎn)置就是指矩陣A=；:

4…asn)%…4”

運(yùn)算規(guī)律：

i)(A)=A

ii)(A+B)=AB

iii)(AB)=BA

iv)(kA)=kA

(5)方陣的行列式

614

設(shè)方陣A=；A的行列式為Ml=

必

運(yùn)算規(guī)律：

1)|^|=hl

ii)|M|=r|4|

iii)MM=同網(wǎng)=忸H,這里A,B均為n級(jí)方陣。

二.矩陣的逆

1.基本概念

(I)矩陣可逆的定義

n級(jí)方陣A稱為可逆的，假如有n級(jí)方陣B,使得AB=BA二E,這里E是單位矩陣。

（2）伴隨矩陣

即1⑶…A

設(shè)為是矩陣4=:中元素與的代數(shù)余子式，矩陣A'=；；稱A的伴

an,i）IAH*a?A

隨矩陣。

2.基本性質(zhì)

（1）矩陣A可逆的充足必要條件是A非退化（|山。0）,而47=問

（2）假如矩陣A,B可逆，那么A與AB也可逆，且

（A）-1=（A-,）（ABY1=8'A-1

⑶設(shè)A是sxn矩陣，假如P是sxs可逆矩陣，Q是nxn可逆矩陣,

那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）

三.分塊矩陣

理解分塊矩陣的概念及運(yùn)算，尤其是準(zhǔn)對(duì)角矩陣的性質(zhì)。

對(duì)于兩個(gè)有相似分塊的準(zhǔn)對(duì)角矩陣

’40、40、

A=,B=假如它們對(duì)應(yīng)的分塊是同級(jí)的,則

10

氣用0、

(1)AB=

10AB”

'A+B|0、

(2)A+B=

I04+%

⑶|?、乳?…⑷

'T0、

（4）A可逆的充要條件是4,&4可逆，且此時(shí)，A-=??.

<04、

四」初等變換與初等方陣

1.基本概念

（I）初等變換

i）用一種非零的數(shù)k乘矩陣的第i行（列）記作《xHqxZ）

ii）互換矩陣中i,j兩行（列）的位置.，記作，~~>7；（C/.XC/.）

iii）將第i行（歹D的k倍加到第j行（歹IJ）上，記作夕+攵晨jx",）稱為矩陣的三種初等行

（列）矩陣。

初等行，列變換稱為初等變換所得到的矩陣。

（2）初等方陣

單位矩陣經(jīng)一次初等變換所得到的矩陣。、

2.基本性質(zhì)

（1）對(duì)一種sxn矩陣A作一次初等行變換就相稱于在A論左邊乘上對(duì)應(yīng)的sxs初等矩陣；對(duì)A

作一次初等列變換就相稱于在A的右邊乘上對(duì)應(yīng)的nxn初等矩陣。

000、

0100

■

??

（2）任意一種sxn矩陣A都與一形式為的等價(jià)，它稱為矩陣A的原則

00?10

0000

oj

<00??0

型，主對(duì)角線上1的個(gè)數(shù)等于A的秩。

（3）n級(jí)矩陣A為可逆的充足必要條件是，它能表到達(dá)某些初等矩陣的乘枳。

（4）兩個(gè)sxn矩陣A,B等價(jià)的充足必要條件是，存在可逆的s級(jí)矩陣P與可逆的n級(jí)矩陣Q,使

B=PAQc

3.用初等變換求逆矩陣的措施

把n級(jí)矩陣A,E這兩個(gè)nxn矩陣湊在一起，得到一種nx2n矩陣（AE）,用初等行變換把它的左

邊二分之一化成E,這時(shí)，右邊的二分之一就是A"。

第五章二次型

知識(shí)考點(diǎn)精要

1.二次型及其矩陣表達(dá)

（I）二次型

設(shè)P是一數(shù)域，一種系數(shù)在數(shù)域P中的%,%，?????，4的二次齊次多項(xiàng)式

/（玉,W，…%）=4片+2a[2為12+…+2即+a12x；+…+2a2nx2xn++片稱為數(shù)域

P上的一種n元二次型。

（2）二次型矩陣

設(shè)/（X1,X2,xn）是數(shù)域P上的n元二次型，/（5,％2，X”）可寫成矩陣形式

…%）XAX

其中X=（XPX2,-..XH）,,A=（4）E，A'=A。A稱為二次型/（X|，w，…5）的矩陣。秩（A）稱為

二次型的秩?

（3）矩陣的協(xié)議

數(shù)域P上nxn矩陣A,B稱為協(xié)議的，假如有屬于P上可逆的nxn矩陣C,使8=CAC

2.原則型及規(guī)范性

定理數(shù)域P上任意一種二次型都可以通過非退化的線性替代化成原則型4弁+&￡++4大

用矩陣的語(yǔ)言論述，即數(shù)域P上任意一種對(duì)稱矩陣協(xié)議于一種對(duì)角矩陣。

定理任意一種復(fù)系數(shù)的二次型通過一合適的非退化的線性替代化成規(guī)范型Z；+Z；+.....+Z；且規(guī)

范形是唯一的。

定理任意一種實(shí)系數(shù)的二次型通過一合適的非退化的線性替代化成規(guī)范型

Z"..…且規(guī)范形是唯一的，其中p稱為此二次型的正慣性指數(shù)，

q稱為此二次型的負(fù)慣指數(shù)，2p-q稱為此二次型的符號(hào)差。

3.正定二次型及正定矩陣

（1）基本概念

i）正定二次型實(shí)二次型/區(qū),々,…匕）稱為正定的，假如對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)

G,C、2，…C"，均有/（C10.

ii）正定矩陣

實(shí)對(duì)稱矩陣A稱為正定的，假如二次型XAX正定。

iii）負(fù)定半正定半負(fù)定不定的二次型

設(shè)了區(qū),々，…%）是一實(shí)二次型，對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)…C，假如

/（CpC2,...Cn）＜0.,那么…x“）稱為負(fù)定的；假如均有/（cpc2,...cn）＞0.那么

稱/（百,工2，-天）為半正定的；假如均有/（cpc2,...cn）＜0.,那么了（內(nèi),工2「乜）稱為半

負(fù)定的；假如它既不是半正定的又不是半負(fù)定的，那么/區(qū),馬，X”）就稱為不定的。

（2）正定二次型，正定矩陣的鑒定

對(duì)于實(shí)二次型/（R,X2，??3）=X'AX,其中A是實(shí)對(duì)稱的，下列條件等價(jià)；

i）/（內(nèi),/，乙）是正定的，

i）A是正定的

iii）/（不/，X”）的正慣指數(shù)為n

iv）A與單位矩陣協(xié)議

v）A的各階次序主子式不小于零

第六章線性空間

知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)精要

二二線性空間

1.線性空間的定義

設(shè)V是一種非空集合，P是一種數(shù)域。在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算：這就是說，

給出了一種法則，對(duì)于V中的任意兩個(gè)元素。,夕,在v中均有唯一的一種元素r與它們對(duì)應(yīng)，稱為

a與1的和,記為

在數(shù)域P與集合v的元素之間還定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法；這就是說，對(duì)于屬于P中任

意數(shù)k與V中任意元素a,在V中均有唯一的元素5與它們對(duì)應(yīng)，稱為k與。的數(shù)量乘積，記為

3=kao

假如加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么v稱為數(shù)域p上的線性空間。

(1)a+B=0+a

(2)a+(￡+/)=(。+/?)+/

(3)在V中有一元素0,對(duì)于V中任意元素a均有a+0=a

(具有這個(gè)性質(zhì)的元素。稱為V的零元素)；

(4)對(duì)于V中的每一種元素a,均有V中的元素夕，使得a+〃=0(夕稱為a的負(fù)元素)

(5)l?a=a；

(6)k(la)=(kl)a

(7)(k+l)a=ka+la

(8)k(a+/3)=ka+k(3

2.維數(shù)，基與坐標(biāo)

(I)假如在線性空間V中有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量。不過沒有更多數(shù)目的線性無(wú)關(guān)的向量，那么

V就稱為n維的。假如在V中可以找到任意多種線性無(wú)關(guān)的向量，那么V就稱為無(wú)限維

的。

(2)假如在線性空間V中有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量.....,a〃，且V中任歷來(lái)量都可以用它們

線性表出，那么V是n維的，而％就是V的一組基。

(3)在n維線性空間中，n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量和分……，邑稱為V的一組基。設(shè)。是V中任歷來(lái)

量，于是￡增2.......，邑，a線性有關(guān)，因此a可以被基與邑....，邑唯一的線性表出

a=+.￡]+......+a“％,其中系數(shù)4,巴，??…，巴稱為a在基……，叢下的坐標(biāo)，

記（?,%，?，&）?

3,基變換與坐標(biāo)變換

（1）設(shè)S4……，*與耳,《，????，%是n維線性空間V中兩組基，假如

%…％”卬…6“

（耳,心,....,與）=（苞￡2....邑）：：矩陣A=：：稱為%……，*到

基備…?，松的過度矩陣。

（2）設(shè)分名.……，邑與耳,《,....,《，是n維線性空間V中兩組基，由基分分...與至U基

的過度矩陣為A,向量a在這兩組基下的坐標(biāo)分別為（??…，乙）與

A*2

二.線性子空間

1.線性子空間

（1）數(shù)域P中線性空間V的一種非空子集合W稱為V的一種線性子空間，假如W對(duì)于V的兩

種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間。

（2）線性空間V的非空子集W是V的子空間的充足必要條件是W對(duì)于V的兩種運(yùn)算封閉。

2.子空間的交與和

（I）線性空間V的子空間匕匕的交與和，即Mc%，M+匕都是V的子空間。

（2）維數(shù)公式假如X，匕是線性空間V的兩個(gè)子空間，那么

維（匕）+維（匕）=維（K+匕）+維（匕c%）

3.子空間的直和

（1）設(shè)K，匕是線性空間V的子空間，假如和K+匕中的每個(gè)向量。的分解式

2-4+a2Ct2GV2是唯一的，這個(gè)和就稱為直和，記為乂十匕。

⑵設(shè)匕,匕是線性空間V的子空間，下列這些條件是等價(jià)的:

i)匕+匕是直和

ii)零向量的表達(dá)式是唯一的

iii)V；nK={0}

iv)維(耳+匕)=維(匕)+維(匕)。

三.線性空間的同構(gòu)

1.數(shù)域P上兩個(gè)線性空間V與V'稱為同構(gòu)的，假如由V到仆有一種1-1的映上的映射。，具有

如下性質(zhì)：

(1)cr(a+/?)=cr(a)+cr(/?);

(2)a(ka)=k<y(a).

其中a,〃是V中任意向量，k是P中任意數(shù)，這樣的映射。稱為同構(gòu)映射。

2.數(shù)域P兩個(gè)有限維數(shù)線性空間同構(gòu)的充足必要條件是它們有相似維數(shù)。

|第七章線性變換|

知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)精要

一.線性變換及其運(yùn)算

L線性變換的定義

線性空間V的的一種變換d稱為線性變換，假如對(duì)于V中任意元素。,僅和數(shù)域P中任意數(shù)

k,均有d(a+〃)=d(a)+d(夕)d(Ka);kd(a)

2.線性變換的運(yùn)算

設(shè)d,(，是數(shù)域P上線性空間V的兩個(gè)線性變換，kel\

(1)加法(d+燈)(a)=d(a)+以(a)

(2)數(shù)乘(kd)(a)=kd(a)

(3)乘法(d稅)(a)=d(p(a))

(4)逆變換

V的變換d稱為可逆的，假如有V的變換份，使dp=pd=o(V的恒等變換)

3.設(shè)6……，邑是數(shù)域P上的n維線性空間V的一組基，d是V中的一種線性變換,基向量的象可

以被基線性表出:

Aq=4^+42￡2+?,

A?2=。21與+。22*2+…+a2n^n，

4《=%向+%2￡2+???+%￡”

用矩陣來(lái)表達(dá)是A（馬4、￡?）=（AqA4A%）=（八%,）A

a\\…a\n

其中A=矩陣A稱為d在基苞與……，兄下列矩陣。

（2）設(shè)……，邑是數(shù)域P上n維向量空間V的一組基，在這組基下，每個(gè)線性變換按公式（1）

對(duì)應(yīng)一種nxn矩陣。這個(gè)對(duì)應(yīng)具有如下性質(zhì)：

i）線性變換的和對(duì)應(yīng)于矩陣的和

ii）線性變換的乘積對(duì)應(yīng)于矩陣的乘積；

iii）線性變換的數(shù)量乘積對(duì)應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積；

iv）可逆的線性變換與可逆矩陣對(duì)應(yīng)，且逆變換對(duì)應(yīng)于逆矩陣。

（3）設(shè)線性變換d在基￡邑……,%下的矩陣是A,句量4在基S&……，J下的坐標(biāo)是

（芯,則dj在基分4……,與下的坐標(biāo)（加力，??…，”）可按公式必=4與計(jì)

算。

（4）設(shè)A,B為數(shù)域P上兩個(gè)n級(jí)矩陣，假如可以找到數(shù)域P上的n級(jí)可逆矩陣X,使得

8=X-iAX,就說A相似于Bo

（5）線性變換在不一樣基下所對(duì)應(yīng)的矩陣是相似的；反過來(lái)，假如兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看

作同一線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣。

二.特性值與特畫蔻

1.特性值與特性向量的定義

設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的一種線性變換，假如定于數(shù)域P中--數(shù)/1。，存在一非零向量

J，使得A4=4＞鼻那么4稱為A的一種特性值，4彌為A的屬于特性值4）的一種特性向

量。

2.特性多項(xiàng)式的定義

（1）設(shè)A是數(shù)域P上一種n級(jí)矩陣，幾是一種文字，矩陣2E-A的行列式

丸一%|…一。]“

|AE-A|=：???稱為A的特性多項(xiàng)式，這是數(shù)域P上的一種n次多項(xiàng)式，則

-an\"一4“

/（A）=A〃-（％+????+4GAi+…十㈠再山石=o

3.特性值與特性向量的性質(zhì)

（1）設(shè)4冬,乙是n級(jí)矩陣A=（q；）〃x“的全體特性值，則

4+???+%=%+—+4”，4?0=網(wǎng)

（2）屬于不一樣特性值的特性向量是線性無(wú)關(guān)的。

（3）假如4,4,......4是線性變換A的不一樣的特性值，而如，……?是屬于特性值4的線性無(wú)關(guān)

的特性向量，i=l,2…，k那么向量組。幡,.…4].…。奶也線性無(wú)關(guān)。

4.線性變換在某組基下為對(duì)角矩陣的條件

（1）設(shè)A是n維線性空間V的一種線性變換，A的矩陣可以在某一組基下為對(duì)角矩陣的充要條件

是，A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特性值。

（2）假如在n維線性空間V中的，線性變換A的特性多項(xiàng)式在數(shù)域P中有n個(gè)不一樣的根，即A

有n個(gè)不一樣的特性值，那么A在某組基下的矩陣是對(duì)角矩陣。

（3）在負(fù)數(shù)域上的線性空間中，假如線性變換A的特性多項(xiàng)式?jīng)]有重跟，那么A在某組基下的矩

陣是對(duì)角矩陣。

三.矩陣的相似

1.矩陣相似的定義

設(shè)A,B為數(shù)域P上兩個(gè)n級(jí)矩陣,假如可以找到數(shù)域P上的n級(jí)可逆矩陣X,使得B=XxAX,

就說A相似于B,記為A~B.

2.相似矩陣的性質(zhì)

（1）相似矩陣有相似的特性多項(xiàng)式.（2）相似矩陣有相似的最小多項(xiàng)式。

四.線性變換的值域?qū)懞?/p>

1.設(shè)A是線性空間V的一種線性變換，A的全體象構(gòu)成的集合稱為A的值域，用AV表達(dá)。AV

是V的子空間，維（AV）稱為A的秩，所有被A變成零向量的向量構(gòu)成的集合稱為A的

核，記為TTY。）。A-（0）是V的子空間，維（A”（0））稱為A的零度。

2.設(shè)d是n維線性空間V的線性變換，￡風(fēng)……，邑是V的一組基。在這組基下d的矩陣是A,則

（1）dV=L（AQ.....，八￡”）

（2）d的秩二A的秩

3.設(shè)A是n維線性空間V的線性變換，則A的秩+A的零度=n

子空間

1.設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，假如W中的向量在A下的象仍在W

中，就稱W是A的不變子空間，簡(jiǎn)稱A-子空間。

第九章歐幾里得空間

知識(shí)考點(diǎn)精要

一.歐氏空間的基本概念

1.設(shè)V是是數(shù)域R上一線性空間，在V上定義了一種二元實(shí)函數(shù)，稱為內(nèi)積，記為(。,夕)，特具有

一下性質(zhì)：

⑴(a,/?)=(/?,a)；

(2)(ka,0)=k(a,/3)

(3)(a+⑸y)=(a,y)+(7V)；

(4)(a,a)>0,當(dāng)且僅當(dāng)。=0時(shí)(a,夕)=0.這里a,是V中任意的向量，k是任意實(shí)數(shù)，

這樣的線性空間V稱為歐幾里得空間。

2.非負(fù)實(shí)數(shù)J(a,a)稱為向量。的長(zhǎng)度,記為|回。

3.非零向量a,"的夾角儂⑼規(guī)定為夕〉=arccos尊符,0<<Q<乃

4.假如向量a,夕的內(nèi)積為零，即(。,夕)=0,那么稱為正交或互相垂直，記為

5.設(shè)V是一種n維歐幾里得空間，在V中取一組基分4……，冬令為=(小叼),(。)=1,2,....〃)矩

陣4=(%)““”稱為基￡邑……，￡〃的度量矩陣。

(1)度量矩陣是正定的；

(2)不一樣基底的度量矩陣是協(xié)議的。

6.歐氏空間V中一組非零向量，假如它們兩兩正交，就稱為一正交向量組。在n維歐氏空間中，由

n個(gè)向量構(gòu)成的正交向量組稱為正交基；由單位向量構(gòu)成的正交基稱為原則正交基。

二.同構(gòu)

1.實(shí)數(shù)域R上歐氏空間V與n稱為同構(gòu)，假如由V到y(tǒng)有種1-1上的映射b,適合

(1)cr(a+/?)=a(a)+cr(/?)

(2)cy(ka)-k(j(a)

(3)(b(a)。(分))=(%/?)這里這樣的映射。稱為V到口的同構(gòu)映射。

2.兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充足條件是它們的維數(shù)相似。

三.正交矩陣

1.基本概念

(1)n級(jí)實(shí)數(shù)矩陣A稱為正交矩陣，假如A'A=E。

(2)歐氏空間V的線性變換A稱為正交變換，假如它保持向量的內(nèi)積不變，即對(duì)任意的

a.peV均有(Aa,月P)二(。,夕)

2.重要結(jié)論

設(shè)A是歐氏空間V的一種線性變換，于是下面4個(gè)命題等價(jià)：

(1)A是正交變換；

(2)A保持向量的長(zhǎng)度不變，即對(duì)于asV,|Aa|二|a|：

(3)假如S4……，J是原則正交基，那么……,A%也是原則正交基;

(4)A在任一組原則正交基下的矩陣是正交矩陣。

四.正交子空間

1.基本概念

(1)設(shè)乂,匕是歐氏空間V中兩個(gè)子空間。假如對(duì)于任意的?！陙V,尸6%恒有(%夕)=0,則稱

丁匕為正交的，記乂_L匕。一種向量a,假如對(duì)于任意的〃￡匕，恒有Q,尸)=0,則稱

a與子空間匕正交，記為aJ-匕。

(2)子空間匕稱為子空間的一種正交補(bǔ).假如耳_1_匕,并口h+%=v.

2.重要結(jié)論

(I)假如子空間乂,..…,匕兩兩正交，那么和M+..…+匕是直和。

(2)歐氏空間V的每一種子空間匕均有唯一的正交補(bǔ)?

(3)Vj恰由所有與匕正交的向量構(gòu)成。

57對(duì)稱矩陣的性質(zhì)

1.實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)

（1）實(shí)對(duì)稱矩陣的特性值皆為實(shí)數(shù)。

（2）設(shè)A是n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，則R”中屬于A的不一樣特性值的特性向量必正交。

（3）對(duì)于任意一種n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A,都存在一種n級(jí)正交矩陣T,使747=廠”7成對(duì)角矩

陣。

2.對(duì)稱矩陣

（1）設(shè)A是歐氏空間V中的一種線性變換，假如對(duì)于任意的a,"EV,有（Aa,』）=（a,A夕）則

稱A為對(duì)稱變換。

（2）對(duì)稱變換的性質(zhì)

i）對(duì)稱變換在原則正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣。

ii）設(shè)A是對(duì)稱變換，匕是A-子空間，則也是A-子空間。

iii）設(shè)A是n維歐氏空間V中的對(duì)稱變換，則V中存在一組由A得特性向量構(gòu)成的原則正交

基。

六.向量到子空間的距離，最小二乘法

1.長(zhǎng)度.―川稱為向量a和/的距離，記為。30,且

（2）d（a,0）NO,當(dāng)且僅當(dāng)a=￡時(shí)等號(hào)成立；

（3）d（a/）Wd（a,y）+d（y、0）（三角不等式）

2.實(shí)系數(shù)線性方程組

為乂+《2々+,??+4”%一伉二°

劉+a22x2+…+%再也=。

4川Xl+?！?工2+一十%,再一"=°

也許尢解，即任何一組實(shí)數(shù)X,々，……&都也許使￡（即內(nèi)+Cii2x2+......+aisxs-2）2小等十

1=1

零，尋找實(shí)數(shù)組嚀,尺,..…使上式最小，這樣的引，咒,..…，尺稱為方程組的最小二乘解。

3.線性方程組AX=b的最小二乘解即為滿足方程組A'AX=Ab的解X。

第十章雙線性函數(shù)I

知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)精要

一.線性函數(shù)

1.基本概念

(D設(shè)v是數(shù)域p上的一種線性空間，f是v到p的一種映射,假如f滿足：

i)/+f⑺

ii)f(ka)=kf(a)

其中。,尸是v中任意元素，k是P中任意數(shù)，則稱f為v上的一種線性函數(shù)。

(2)設(shè)V是數(shù)域P上的一種n維線性空間。V上全體線性函數(shù)構(gòu)成的集合記作L(V,P)。用自然數(shù)

措施定義L(V,P)中的加法和數(shù)顯乘法，L(V,P)稱為數(shù)域P上的線性空間，稱為V的對(duì)?偶空

間。

(3)設(shè)數(shù)域P上n維線性空間V的一組基為昌，%……,￡〃，作V上n個(gè)線性函數(shù)工，統(tǒng)使得

1/=/

/?)=，.i，/=L2.?…〃則//??/為L(zhǎng)(V,P)的一組基，稱為與匕……，與的對(duì)偶

基。

2.重要結(jié)論

(1)設(shè)V是P上一種n維線性空間，￡昌......，J是V的一組基，a}a2......是P中任意n個(gè)數(shù)，

存在唯一的V上線性函數(shù)f使/(與)=6.,/=1,2.....n。

(2)設(shè)……，%及九%.?……〃”是線性空間V的兩組甚，它們的對(duì)偶基分別為及

SvSi-Sn。假如由￡國(guó).……，?到/.名.……，力的過度矩陣為A,那么由/；".../；到

gi，g2…g”的過度矩陣為(A)L

(3)設(shè)V是P上一種線性空間，V?是其對(duì)偶空間，取定V中一種向量x,定義V?的一種函數(shù)x”

如下：/7/)=/(x),/eV*輕易驗(yàn)證上的一種線性函數(shù)，因此是V”的對(duì)偶空間

(V?)?二v”中的一種元素，映射川―丁?是V到V的一種同構(gòu)映射。

二.雙線性函數(shù)

1.基本概念

(I)設(shè)v是數(shù)域p上一種線性空間，/(a,/)是v上一種二元函數(shù)。假如/(a,/)有下列性質(zhì)：

i)/(a,々典+欠2夕2)=欠1/(。，/0+&/(。，夕2)

ii)/伏臼+k?a”仍=kJ(%,。)+kJ(a?、。).

其中。,%,火，夕，/，河是丫中任意向量，是P中任意數(shù)，則稱/(a,6)為V上的一種雙線

性函數(shù)。

(2)設(shè)/(a,/)是數(shù)域P上n維線性空間