第3章圖形的初步認(rèn)識1.線段、射線、直線正確理解直線、射線、線段的概念以及它們的區(qū)別：名稱圖形表示方法端點(diǎn)長度直線直線AB(或BA)直線l無端點(diǎn)無法度量射線射線OM1個無法度量線段線段AB(或BA)線段l2個可度量長度AOBAOB圖1b圖2b圖2線段公理:兩點(diǎn)間線段最短;兩點(diǎn)間線段的長度叫做這兩點(diǎn)之間的距離.比較線段長短的兩種方法:1圖3β圖4①圓規(guī)截取比較法1圖3β圖4用刻度尺可以畫出線段的中點(diǎn),線段的和、差、倍、分;用圓規(guī)可以畫出線段的和、差、倍.3角的度量與表示角:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角;這個公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn);這兩條射線叫做角的兩條邊.角的表示法：角的符號為“∠”終邊始邊圖5①用三個字母表示，如圖1終邊始邊圖5②用一個字母表示，如圖2所示∠b③用一個數(shù)字表示，如圖3所示∠1④用希臘字母表示，如圖4所示∠β4.角度數(shù)的換算：1°=60′，1′=60″角也可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。如圖5所示：一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。如圖6所示：終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時，所成的角叫做周角。如圖7所示：周角圖周角圖7平角圖65.從一個角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。6.同角(或等角)的補(bǔ)角相等，等角的余角相等7.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。8.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。9.互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。10.平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。11.如圖8所示，過點(diǎn)C作直線AB的垂線，垂足為O點(diǎn)，線段CO的長度叫做點(diǎn)C到AB的距離。圖圖8CABO一、圖形概念辨析易錯點(diǎn)易錯點(diǎn)1：立體圖形與平面圖形混淆典型錯誤：誤認(rèn)為圓柱的側(cè)面展開圖（長方形）是立體圖形；將長方體的一個面（長方形）等同于長方體本身。注意事項(xiàng)：立體圖形具有三維空間特征（長、寬、高），而平面圖形僅存在于二維平面?？赏ㄟ^觀察圖形是否具有“厚度”區(qū)分，如長方體是立體圖形，其每個面是平面圖形。易錯點(diǎn)2：直線、射線、線段特征混淆典型錯誤：用“射線AB”表示從B向A方向延伸的線；認(rèn)為直線可以度量長度。注意事項(xiàng)：直線無端點(diǎn)、向兩端無限延伸，不可度量；射線有一個端點(diǎn)，延伸方向由端點(diǎn)與命名順序決定（如“射線AB”從A向B延伸）；線段有兩個端點(diǎn)，可測量長度。命名時需注意射線的方向性。二、圖形度量計(jì)算易錯點(diǎn)易錯點(diǎn)3：度分秒換算錯誤典型錯誤：計(jì)算30.5°轉(zhuǎn)化為度分形式時，誤寫成30°50'（正確應(yīng)為30°注意事項(xiàng)：度分秒進(jìn)率為60（1°=60'，1'=60″），大單位轉(zhuǎn)小單位需乘60，小單位轉(zhuǎn)大單位需除以易錯點(diǎn)4：角平分線應(yīng)用錯誤典型錯誤：已知OC平分∠AOB，∠AOB=80°，求∠AOC時，錯寫成注意事項(xiàng)：角平分線將角平分為兩個相等的角，計(jì)算時需準(zhǔn)確運(yùn)用“半角”關(guān)系，如∠AOC=1三、圖形關(guān)系推理易錯點(diǎn)易錯點(diǎn)5：余角與補(bǔ)角概念混淆典型錯誤：將互余兩角之和誤記為180°；已知∠α=30°，求其補(bǔ)角時，錯算為60注意事項(xiàng)：互余兩角之和為90°，互補(bǔ)兩角之和為180易錯點(diǎn)6：立體圖形展開圖對應(yīng)錯誤典型錯誤：將正方體展開圖中相隔較遠(yuǎn)的面誤認(rèn)為相鄰面；折疊長方體展開圖時，混淆長、寬、高的對應(yīng)邊。注意事項(xiàng)：熟記常見立體圖形的典型展開圖特征（如正方體“1-4-1”?“2-3-1”等結(jié)構(gòu)），折疊時通過標(biāo)注頂點(diǎn)或邊的名稱輔助對應(yīng)。四、實(shí)際應(yīng)用易錯點(diǎn)易錯點(diǎn)7：幾何模型與實(shí)際問題脫節(jié)典型錯誤：用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決選址問題時，忽略地形限制；計(jì)算建筑物高度時，未考慮測量工具的誤差。注意事項(xiàng)：實(shí)際應(yīng)用需結(jié)合具體場景，驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的可行性；注意測量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性與誤差范圍，必要時進(jìn)行多次測量取平均值。易錯點(diǎn)8：邏輯推理表述不規(guī)范典型錯誤：證明“對頂角相等”時，僅描述“看起來相等”；使用幾何語言時，省略關(guān)鍵條件（如未說明“因?yàn)锳B與CD相交于點(diǎn)O”就直接得出對頂角關(guān)系）。注意事項(xiàng)：幾何推理需基于定義、定理進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)，用規(guī)范語言（“因?yàn)椤浴保┍硎?，確保條件完整、邏輯連貫。題型01直線、射線、線段的相關(guān)概念1．（24-25七年級上·吉林·期末）下列說法正確的是（

）A．直線與直線不是同一條直線 B．射線與射線是同一條射線C．延長線段和延長線段的含義一樣 D．經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線【答案】D【分析】本題考查了直線、射線、線段的性質(zhì)．根據(jù)直線、射線、線段的定義和性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、直線與直線是同一條直線，原說法錯誤，本選項(xiàng)不符合題意；B、射線與射線不是同一條射線，端點(diǎn)不同，原說法錯誤，本選項(xiàng)不符合題意；C、延長線段和延長線段的含義不一樣，原說法錯誤，本選項(xiàng)不符合題意；D、經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線，說法正確，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（24-25七年級上·山東濰坊·期末）如圖，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在射線上 B．點(diǎn)在直線上C．點(diǎn)是直線的一個端點(diǎn) D．射線和射線表示同一條射線【答案】BD【分析】本題考查了線段、射線、直線，掌握線段、射線、直線的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)線段、射線、直線的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、點(diǎn)不在射線上，在直線上，原說法錯誤，不符合題意；B、點(diǎn)在直線上，原說法正確，符合題意；C、點(diǎn)是線段的一個端點(diǎn)，原說法錯誤，不符合題意；D、射線和射線表示同一條射線，原說法正確，符合題意；故選：BD．3．（24-25七年級上·河北唐山·期末）如圖，直線l被直尺覆蓋一部分，下面選項(xiàng)中哪條射線是直線l的一部分（

）A．a(chǎn) B．b C．c D．d【答案】C【分析】本題主要考查了射線與直線的關(guān)系，掌握射線是直線的一部分成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)射線和直線的關(guān)系即可解答．【詳解】解：由圖可知：射線c在直線l有重合部分，則射線c是直線l的一部．故選C．4．（24-25七年級上·安徽亳州·期末）如圖，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在線段上 B．點(diǎn)是直線的一個端點(diǎn)C．圖中共有3條線段 D．射線和射線是同一條射線【答案】C【分析】本題主要考查了直線、射線和線段的知識，理解并掌握直線、射線和線段的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)直線、射線和線段的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：A.點(diǎn)在直線上，故該選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；B.直線沒有端點(diǎn)，故該選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；C.圖中共有3條線段，故該選項(xiàng)說法正確，符合題意；D.射線和射線的端點(diǎn)不同，故不是同一條射線，故該選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意．故選：C．5．（24-25七年級上·陜西寶雞·期末）如圖，下列說法正確的是（

）A．圖中有直線1條，射線3條，線段2條B．射線還可以表示為射線C．點(diǎn)在直線外，直線經(jīng)過點(diǎn)D．圖中線段，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn)【答案】C【分析】本題主要考查了直線、射線，線段的定義，根據(jù)直線、射線，線段的定義進(jìn)行逐一判斷即可，熟知相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、圖中有直線共1條，射線共4條，線段共3條，故A錯誤，不符題意；B、射線還不可以表示為射線，故B錯誤，不符題意；C、點(diǎn)在直線外，直線經(jīng)過點(diǎn)，故C正確，符合題意；D、圖中線段，則點(diǎn)不一定是線段的中點(diǎn)，故D錯誤，不符合題意，故選：C．題型02點(diǎn)與線的位置關(guān)系6．（2025·河北廊坊·一模）如圖，為下列某條直線上的一點(diǎn)，利用直尺判斷，該直線為（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】C【分析】該題考查了直線的定義，根據(jù)圖象解答即可．【詳解】解：根據(jù)圖象可得，該直線為直線，故選：C．7．（24-25七年級上·重慶渝中·期末）如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，下列說法錯誤的是（

）A．點(diǎn)在直線外 B．點(diǎn)在直線上C．點(diǎn)在線段的反向延長線上 D．直線與線段相交于點(diǎn)【答案】B【分析】本題考查了線段，射線，直線的關(guān)系．根據(jù)線段，射線，直線的特點(diǎn)判斷即可．【詳解】解：A、點(diǎn)在直線外，說法正確，本選項(xiàng)不符合題意；B、點(diǎn)在直線外，原說法不正確，本選項(xiàng)符合題意；C、點(diǎn)在線段的反向延長線上，說法正確，本選項(xiàng)不符合題意；D、直線與線段相交于點(diǎn)，說法正確，本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．8．（24-25七年級上·北京西城·期末）如圖，已知點(diǎn)P與直線l，用適當(dāng)?shù)恼Z句表述圖中點(diǎn)P與直線l的關(guān)系：．【答案】點(diǎn)P在直線l外【分析】本題考查點(diǎn)和直線的位置關(guān)系：①點(diǎn)經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線上；②點(diǎn)不經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線外．根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系可得答案．【詳解】解：由圖知，點(diǎn)P在直線l外，故答案為：點(diǎn)P在直線l外．9．（24-25七年級上·北京朝陽·期末）如圖，下列表述點(diǎn)與直線關(guān)系的語句：①點(diǎn)A在直線外；②直線m和n相交于點(diǎn)C；③點(diǎn)B既在直線l上又在直線m上．其中正確的是（直接填寫序號）．【答案】①②/②①【分析】本題考查了直線的基本特征，點(diǎn)與直線的關(guān)系，熟記直線的基本知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直線的基本特征及點(diǎn)與直線的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①點(diǎn)A在直線外，正確；②直線m和n相交于點(diǎn)C，正確；③點(diǎn)B既在直線l上又在直線n上，原描述錯誤．綜上所述，其中正確的是①②．故答案為：①②．10．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的是（

）A．如圖1所示，點(diǎn)C在線段上B．如圖2所示，射線經(jīng)過點(diǎn)AC．如圖3所示，延長線段到點(diǎn)CD．如圖4所示，圖中共有4條射線【答案】D【分析】本題考查了直線、射線和線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是直線、射線和線段性質(zhì)定理的應(yīng)用．根據(jù)直線、射線和線段的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判定即可．【詳解】A．如圖1，點(diǎn)C在射線上，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．如圖2所示，射線不經(jīng)過點(diǎn)A，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．如圖3所示，延長線段到點(diǎn)C，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D．如圖4所示，圖中共有4條射線，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．題型03直線相交的交點(diǎn)個數(shù)問題11．（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）一平面內(nèi)，3條直線兩兩相交，最多有3個交點(diǎn)；4條直線兩兩相交，最多有6個交點(diǎn)；5條直線兩兩相交，最多有10個交點(diǎn)；…；那么，10條直線兩兩相交，最多有個交點(diǎn)．【答案】45【分析】此題考查的知識點(diǎn)是相交線，關(guān)鍵是此題在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊到一般猜想的方法．由已知一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個交點(diǎn)；4條直線兩兩相交，最多有6個交點(diǎn)；5條直線兩兩相交，最多有10個交點(diǎn)，…，總結(jié)出：在同一平面內(nèi)，n條直線兩兩相交，則最多有個交點(diǎn)，代入即可求解．【詳解】解：∵3條直線兩兩相交，最多有3個交點(diǎn)；而；4條直線兩兩相交，最多有6個交點(diǎn)；而，5條直線兩兩相交，最多有10個交點(diǎn)；而，…；∴在同一平面內(nèi)，n條直線兩兩相交，則最多有個交點(diǎn)，∴10條直線兩兩相交，交點(diǎn)的個數(shù)最多為．故答案為：．12．（24-25七年級下·福建三明·期中）在同一平面內(nèi)，以下結(jié)論正確的是（

）①7條直線最多有21個交點(diǎn)；②7條兩兩不平行的直線，其中任2條直線的所有交角中，至少有一個角小于；③存在7條直線（任意3條都不共點(diǎn)），其中每條直線都恰與另3條直線相交．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本題主要考查了圖形變化類，在相交線的基礎(chǔ)上，通過觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納得出結(jié)論．．【詳解】解：①∵7條直線兩兩相交：3條直線相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個交點(diǎn)，而，，，∴七條直線相交最多有交點(diǎn)的個數(shù)是：．故結(jié)論①正確；②假設(shè)所有的角都大于等于26°，假設(shè)7條線相交于同一點(diǎn)P，則以點(diǎn)P為中心形成14個角．如果所有的角都，則其和，與圓心角矛盾．假設(shè)7條線不相交于同一點(diǎn)．則可通過平移，使7條線相交于同一點(diǎn)，角的度數(shù)不變，可知與定理矛盾．綜上可知假設(shè)不成立，因此至少有一個角小于．故結(jié)論②正確；③在平面上不能畫出沒有三線共點(diǎn)的七條直線，使得其中每條直線都恰與另外三條直線相交．理由如下：假設(shè)平面上可以畫出沒有三線共點(diǎn)的七條直線，其中每一條直線都恰與另外三條相交，兩直線相交只有一個交點(diǎn)，∵每條直線上恰有另三條直線交得的三個不同的交點(diǎn)，∴七條直線共個交點(diǎn)，∵每個交點(diǎn)分屬于兩條直線，重復(fù)計(jì)數(shù)一次，∴這七條直線交點(diǎn)實(shí)際數(shù)為個，這與交點(diǎn)個數(shù)為整數(shù)矛盾．所以滿足題設(shè)條件的七條直線是不存在的．故結(jié)論③不正確；故選：A．13．（24-25七年級下·山東聊城·期中）在同一平面內(nèi)，我們把n條直線中任一條直線都和其余的直線相交叫做直線兩兩相交．兩條直線相交，最多有1個交點(diǎn)；三條直線兩兩相交，最多有3個交點(diǎn)；四條直線兩兩相交，最多有6個交點(diǎn)…按照此規(guī)律，12條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)個數(shù)是（

）A．66 B．78 C．156 D．143【答案】A【分析】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類；根據(jù)所給數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：n條直線兩兩相交，最多有個交點(diǎn)，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：兩條直線相交，最多有個交點(diǎn)，三條直線兩兩相交，最多有個交點(diǎn)，四條直線兩兩相交，最多有個交點(diǎn)．．．按照此規(guī)律，條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)個數(shù)是，∴12條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)個數(shù)是，故選：A．14．（24-25七年級上·山東濟(jì)寧·期末）在同一平面內(nèi)，我們把條直線中任一條直線都和其余的直線相交叫做直線兩兩相交．兩條直線相交，最多有1個交點(diǎn)；三條直線兩兩相交，最多有3個交點(diǎn)；四條直線兩兩相交，最多有6個交點(diǎn)．．．按照此規(guī)律，條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了探究規(guī)律，兩條直線相交，最多有個交點(diǎn)，三條直線兩兩相交，最多有個交點(diǎn)，四條直線兩兩相交，最多有個交點(diǎn)，據(jù)此可求解；找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：兩條直線相交，最多有個交點(diǎn)，三條直線兩兩相交，最多有個交點(diǎn)，四條直線兩兩相交，最多有個交點(diǎn)．．．按照此規(guī)律，條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)個數(shù)是，故選：A．15．（24-25七年級上·廣東韶關(guān)·期末）如圖所示，兩條直線兩兩相交有1個交點(diǎn)，三條直線兩兩相交最多有3個交點(diǎn)，八條直線兩兩相交最多有個交點(diǎn)．【答案】【分析】本題主要考查了相交線，掌握此題著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法．根據(jù)題意，3條直線相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個交點(diǎn)，5條直線相交最多有個交點(diǎn)，而，故可猜想，n條直線相交，最多有個交點(diǎn)．據(jù)此即可求解答案．【詳解】解：∵3條直線相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個交點(diǎn)，而，∴可猜想，n條直線相交，最多有個交點(diǎn)，∴八條直線兩兩相交最多有（個）交點(diǎn)，故答案為：．題型04線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算16．（24-25七年級下·云南昆明·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長度；(2)若，其他條件不變，請猜想線段的長度，并說明理由；【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題主要考查的是線段的和差，掌握線段的中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和差運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）由中點(diǎn)的性質(zhì)得，，根據(jù)可得答案；（2）由中點(diǎn)的性質(zhì)得，，根據(jù)可得答案．【詳解】（1）解：，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，，；（2）解：，理由如下：、分別是、的中點(diǎn)，，，，．17．（24-25七年級上·天津?qū)幒印て谀┤鐖D，已知C為線段的中點(diǎn)，D在線段上．若，，則．【答案】【分析】此題考查的是線段的和與差，掌握各線段之間的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意即可求出的長，然后根據(jù)中點(diǎn)的定義即可求出，從而求出的長．【詳解】解：∵，，∴，∵C為線段的中點(diǎn)，∴，∴．故答案為：．18．（24-25七年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）追本溯源：題（1）來自課本中的嘗試·思考，請你完成解答，提煉方法并完成題（2）．（1）在直線上順次取三點(diǎn)，使得，．如果是線段的中點(diǎn)，那么線段和的長度分別是多少？方法應(yīng)用（2）①已知是線段上一點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，則___________；②如圖，是線段上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，求的長．【答案】（1），；（2）2；（3）【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差．（1）根據(jù)線段的和差得出，再求出，即可得解；（2）①先求出線段的長，再根據(jù)線段中點(diǎn)計(jì)算即可得解；②由線段的中點(diǎn)可得，再由線段的和差計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵是線段的中點(diǎn)，∴，∴；（2）①∵，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴；故答案為：2；②∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴．19．（24-25七年級上·河北滄州·期中）已知，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且，，點(diǎn)E、F分別是線段、的中點(diǎn)，求線段的長．【答案】線段EF的長為或【分析】本題考查線段中點(diǎn)的性質(zhì)以及線段的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)相對于線段的不同位置進(jìn)行分類討論，再利用線段中點(diǎn)性質(zhì)求出相關(guān)線段長度，進(jìn)而得出EF的長度．先根據(jù)線段中點(diǎn)性質(zhì)求出和的長度，再分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段的延長線上兩種情況，通過線段的和差關(guān)系計(jì)算的長度．【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是線段、的中點(diǎn)，，，所以，，①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時，如圖1，；②當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長線上時，如圖2，．所以線段的長為或．20．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）如圖，點(diǎn)B是線段上一點(diǎn)，且，．點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)．(1)圖中共有______條線段；(2)求線段的長．【答案】(1)6(2)6【分析】本題考查了線段定義，兩點(diǎn)間的距離，掌握線段定義，兩點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段定義解答即可；（2）根據(jù)已知，由，根據(jù)點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，即可求出的長，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【詳解】（1）解：觀察圖形可知，線段有：，共6條．故答案為：6；（2）解：∵，∴，∵點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，∴，∴．題型05線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算21．（24-25七年級上·福建龍巖·期末）如圖M是線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)C是上的一點(diǎn)，且滿足，則線段的長度是．【答案】【分析】此題考查線段的中點(diǎn)性質(zhì)，線段等分點(diǎn)的計(jì)算，線段的和差計(jì)算，正確理解圖形中線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)M是線段的中點(diǎn)，求出，再根據(jù)求出的長度，即可得到答案．【詳解】解：M是線段的中點(diǎn)，，，，．故答案為：．22．（24-25七年級上·江西南昌·期末）已知線段，是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．(1)若，，求的長；(2)在（1）的條件下，若且點(diǎn)在直線上，，求的長度．【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了線段的n等分點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，線段的和差，理解線段n等分點(diǎn)的定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）由，可得，，然后根據(jù)求解即可；（2）先求出線段的長，然后分點(diǎn)G在線段上和點(diǎn)G在線段的延長線上兩種情況求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴．∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，．綜上可知，的長度為或．23．（24-25七年級上·山西呂梁·期末）如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，．(1)求線段的長度．(2)若點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，求線段的長度．【答案】(1)(2)或【分析】本題考查線段的和差，中點(diǎn)的定義，三等分點(diǎn)的定義，（1）根據(jù)，即可求解；（2）先求出的長，再根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可求解；根據(jù)題意得出各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，∴線段的長度為；（2）當(dāng)時，則，∵，∴，，∵，∴；當(dāng)時，則，∵，∴，，∵，∴；∴線段的長度為或．24．（24-25七年級上·貴州遵義·期末）如圖，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，．(1)求BC的長；(2)在射線AB上有一點(diǎn)M，，求線段CM的長．【答案】(1)(2)CM長為3或7【分析】本題考查線段和差、線段中點(diǎn)的知識，掌握線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算是解題關(guān)鍵；（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）分點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)和右側(cè)兩種情況，再根據(jù)線段和差性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）∵C是AB的中點(diǎn)，，∴；（2）∵，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)時，∵，∴；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時，∵，∴．綜上所述，CM長為3或7．25．（24-25七年級上·廣東惠州·期末）如圖，已知線段，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，延長線段到點(diǎn)D，使．(1)求線段的長．(2)點(diǎn)E是線段的一個三等分點(diǎn)，求線段的長．【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的意義，線段的和差計(jì)算：（1）利用中點(diǎn)求出，再由求出，最后由求解即可；（2）分兩種情況討論，分別求出，再由即可求解．【詳解】（1）解：∵線段，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)∴，∵，∴，∴（2）解：當(dāng)點(diǎn)為靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時，如圖：則，∴；當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)為靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)時，如圖：則，∴，∴的長為或．題型06與線段有關(guān)的動點(diǎn)問題26．（2025·河北唐山·二模）如圖，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)，四點(diǎn)之中相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等，光點(diǎn)P沿著直線從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)D，當(dāng)光點(diǎn)P到A，B，C，D四點(diǎn)中至少兩點(diǎn)的距離相等時，光點(diǎn)P就會發(fā)出紅光，則光點(diǎn)P發(fā)出紅光的次數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)，利用總體思想去思考線段的總條數(shù)是解決問題最巧妙的辦法，可以減去不必要的討論與分類．點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個點(diǎn)距離相等時，也就是點(diǎn)P恰好是其中一條線段中點(diǎn)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過任意一條線段中點(diǎn)時會發(fā)出紅光，∵圖中共有線段、、、、、，∵四點(diǎn)之中相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等∵和中點(diǎn)是同一個，∴光點(diǎn)P發(fā)出紅光的次數(shù)為5．故選：C．27．（24-25七年級上·湖南懷化·期末）已知：如圖1，M是定長線段上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）．

圖1

圖2(1)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了，求的值；(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有，直接填空：_______；(3)在（2）的條件下，N是直線上一點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或1【分析】本題考查線段的和與差，以及動點(diǎn)問題，（1）根據(jù)題意算出，，再由，即可解題．（2）設(shè)運(yùn)動時間為t，則，，根據(jù)，，結(jié)合，即可解題．（3）根據(jù)N是直線上一點(diǎn)，且，可分為以下兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)N在線段上時和當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上時，結(jié)合線段之間的和差關(guān)系，得出與的數(shù)量關(guān)系，即可解題．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了時，，，，．（2）解：設(shè)運(yùn)動時間為t，則，，，，又，，即，，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)N在線段上時，如圖，又，，，即．當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上時，如圖：，又，，即．綜上所述的值為或．28．（22-23七年級上·江西九江·期末）已知點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，若，點(diǎn)N是直線上的一動點(diǎn)，且，則．【答案】1或【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段上，當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段上，如圖：

，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上，如圖：

，，，，綜上所述：的值為1或，故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分兩種情況進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．29．（24-25七年級下·湖南衡陽·期中）如圖，已知線段，，半徑，當(dāng)點(diǎn)在的上方，且時，點(diǎn)繞著點(diǎn)以每秒的速度在圓周上逆時針旋轉(zhuǎn)一周后停止，同時點(diǎn)從點(diǎn)沿線段向點(diǎn)運(yùn)動，若點(diǎn)、兩點(diǎn)能相遇，則點(diǎn)的運(yùn)動速度為．【答案】或【分析】本題主要考查了線段的和差計(jì)算，點(diǎn)M和點(diǎn)N相遇時，只會在線段上相遇，且有兩個相遇點(diǎn)，點(diǎn)O左側(cè)和點(diǎn)O右側(cè)，據(jù)此討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M在點(diǎn)O左邊相遇時，則點(diǎn)N的速度為，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M在點(diǎn)O右邊相遇時，則點(diǎn)N的速度為；綜上所述，點(diǎn)N的速度為或，故答案為：或．30．（24-25七年級上·湖北孝感·期末）如圖線段，動點(diǎn)從出發(fā)，以2個單位長度／秒的速度沿射線運(yùn)動，為中點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，①出發(fā)多少秒后，？②試說明為定值；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上運(yùn)動時，設(shè)為的中點(diǎn)，有下列兩個結(jié)論：①長度不變；②的值不變．選出一個正確的結(jié)論，并求其值；【答案】(1)①出發(fā)6秒后，；②見解析(2)①長度不變，；【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，表示出各線段的長度是解題的關(guān)鍵．（1）①出發(fā)秒后，則，，，建立方程，求出的值即可．②設(shè)，則，，表示出后，化簡即可得出結(jié)論．（2）設(shè)，則，，，分別表示出，的長度，即可作出判斷．【詳解】（1）解：①設(shè)出發(fā)秒后，則，，為中點(diǎn)，，，解得：，出發(fā)6秒后，；②設(shè)，則，，為定值．（2）解：①長度不變，；理由：如圖設(shè)，為中點(diǎn)，，，為的中點(diǎn)，①，長度不變；②，長度變化；①長度不變，．題型07兩點(diǎn)之間線段最短31．（2025·四川遂寧·中考真題）如圖，圓柱的底面直徑為，高為，一只螞蟻在點(diǎn)C處，沿圓柱的側(cè)面爬到點(diǎn)B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最短路線，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓柱的側(cè)面展開和最短路徑問題，掌握求解的方法是關(guān)鍵；根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖是長方形結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短解答即可．【詳解】解：現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最短路線應(yīng)該是：，故選：B．32．（2025七年級下·河南鄭州·專題練習(xí)）“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩．由此引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”．將軍在點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營B處，問：將軍怎么走能使得路程最短？將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即：在直線l上選取一點(diǎn)P，使得最?。旅嫠姆N解決方案中，符合要求的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了兩點(diǎn)之間，線段最短．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”等模型．依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短得出答案．作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，則線段的長度即為的最小值．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則，∴，連結(jié)，則線段的長度即為的最小值，這樣做依據(jù)的基本事實(shí)是：兩點(diǎn)之間，線段最短．故選：A．33．（24-25七年級下·江蘇南京·期中）如圖，甲、乙均從處去往處．甲選擇圖中的路線①，即依次途徑，，，最終到達(dá)；乙選擇圖中的路線②，即途徑，最終到達(dá)．圖中的，，，，，均在格點(diǎn)上，且從一處到下一處均按直線行走，則兩條路線中較長的是（

）A．① B．② C．一樣長 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短，連接，再利用兩點(diǎn)之間線段最短即可求解，【詳解】解：連接有圖可知：在中，即，在中，，即，，則路線①的距離路線②的距離，故選：A．34．（24-25七年級上·河北石家莊·期末）圖中圓為草坪，線段和為小路，經(jīng)常有路人踩踏草坪走路線，路人選擇路線的原因可以用數(shù)學(xué)知識解釋為．【答案】兩點(diǎn)之間，線段最短【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，掌握線段的性質(zhì)“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：路人選擇路線AC的原因可以用數(shù)學(xué)知識解釋為兩點(diǎn)之間，線段最短．故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短．35．（2025·河北·一模）如圖，這是嘉嘉繪制的從地到地的路線圖，這兩地之間的最短距離為，從上到下分別為路線，，，，其中某條路線所標(biāo)的數(shù)據(jù)錯誤，則數(shù)據(jù)錯誤的是（

）A．路線 B．路線 C．路線 D．路線【答案】B【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，這兩地之間的最短距離為，其他線路都應(yīng)大于，但是線路的長度為，所以線路所標(biāo)的數(shù)據(jù)錯誤．【詳解】解：這兩地之間的最短距離為，其他線路都應(yīng)大于，線路的長度為，故線路所標(biāo)的數(shù)據(jù)錯誤．故選：B．題型08角的相關(guān)概念36．（24-25七年級上·廣東深圳·期末）深圳市數(shù)碼產(chǎn)品購置補(bǔ)貼活動期間，小山爸爸在坪山商場購入了一臺“三折疊”手機(jī)，小山測量“三折疊”手機(jī)打開角度如下圖．此時“三折疊”手機(jī)的打開角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了角的概念，解題的關(guān)鍵是掌握量角器的讀數(shù)方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)量角器直接讀取即可．【詳解】解：觀察量角器可得“三折疊”手機(jī)的打開角度，故選：D．37．（24-25七年級上·河北邯鄲·期末）如圖，下列說法中不正確的是（

）

A．與是同一個角B．也可以用表示C．D．可以看作射線繞著它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至而形成的圖形，也可看作由有公共端點(diǎn)O的兩條射線組成的圖形【答案】B【分析】本題主要考查了角的表示方法．根據(jù)角的表示方法即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、與是同一個角，說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不可以用表示，原說法錯誤，故本選項(xiàng)符合題意；C、，說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D、可以看作射線繞著它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至而形成的圖形，也可看作由有公共端點(diǎn)O的兩條射線組成的圖形，說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．38．（24-25七年級上·河北保定·期末）如圖，的邊經(jīng)過的點(diǎn)是（

）

A． B．B C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了角的有關(guān)概念，一個角是由有公共頂點(diǎn)的兩條射線組成的，因此邊經(jīng)過的點(diǎn)一定在射線上，據(jù)此作圖求解即可．【詳解】解：如圖所示，的邊經(jīng)過的點(diǎn)是B，

故選：B．39．（24-25七年級上·貴州遵義·期末）如圖，下列說法不正確的是（

）A．和是同一個角 B．也可以用表示C．圖中有三個角 D．和是同一個角【答案】B【分析】本題主要考查了角的概念和表示，解題的關(guān)鍵是掌握角的表示方法．根據(jù)角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（，…）表示進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、和是同一個角，說法正確，不符合題意；B、不能用表示，故原說法錯誤，符合題意；C、圖中有、和三個角，說法正確，不符合題意；D、和是同一個角，說法正確，不符合題意．故選：B．40．（24-25七年級上·河南信陽·期末）如圖，在銳角的內(nèi)部依次作射線、和，則圖中共有個銳角．【答案】10/十【分析】本題考查了角的分類，掌握銳角的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)銳角的定義求解即可．【詳解】解：圖中的銳角有、、、、、、、、、，共10個，故答案為：10．題型09與方向角有關(guān)的計(jì)算41．（24-25七年級下·山西運(yùn)城·期中）為推進(jìn)城鄉(xiāng)融合發(fā)展，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)要修建一條鄉(xiāng)村公路，如圖所示，公路從地沿著北偏東方向到地，再從地沿著南偏東方向到地，然后從地到地．已知的方向與的方向一致，則公路從地到地修建的方向?yàn)椋?/p>

）A．東偏北 B．北偏東C．南偏東 D．北偏西【答案】B【分析】本題考查了與方位角有關(guān)的計(jì)算題，根據(jù)的方向與的方向一致，且公路從地沿著北偏東方向到地，即可作答．【詳解】解：∵的方向與的方向一致，且公路從地沿著北偏東方向到地，∴公路從地到地修建的方向?yàn)楸逼珫|，故選：B42．（2025·河北邯鄲·二模）如圖，已知從點(diǎn)看點(diǎn)，仰角為，嘉淇做一個數(shù)學(xué)游戲，把由仰角描述換成用方向角來描述，則點(diǎn)位于點(diǎn)的（

）A．南偏西方向上 B．南偏西方向上C．北偏東方向上 D．北偏東方向上【答案】D【分析】本題考查了仰角與方向角；過A作水平方向射線，垂直方向射線，則，；由此可求得，從而可確定點(diǎn)位于點(diǎn)的方向．【詳解】解：過A作水平方向射線，垂直方向射線，則，；則，∴點(diǎn)位于點(diǎn)的方向?yàn)楸逼珫|方向上．故意選：D．43．（2025·河南信陽·二模）為了提高學(xué)生體質(zhì)，2025年新學(xué)期國家出臺了“中小學(xué)課間延長至15分，每天1節(jié)體育課”政策，孩子們有了更多時間進(jìn)行體育鍛煉．如圖，有一次大課間，A、B兩處均有學(xué)生在練跳繩，為了減少練跳繩時相互干擾，小紅同學(xué)就拿著跳繩走到了的平分線上的處，則處相對觀測點(diǎn)的方向?yàn)椋?/p>

）A．南偏東 B．東偏南 C．南偏東 D．東偏南【答案】C【分析】本題考查了方位角與角的和與差，根據(jù)、兩點(diǎn)的方位可知，根據(jù)點(diǎn)在的平分線上，可知，因?yàn)椋蕴幭鄬τ^測點(diǎn)的方向?yàn)槟掀珫|．【詳解】解：由圖象可知：，，平分，，∴處相對觀測點(diǎn)的方向?yàn)槟掀珫|．故選：C．44．（24-25七年級下·四川南充·期中）如圖，一物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若摩擦力與重力G方向的夾角，則斜面的坡角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識．根據(jù)題意，由平行線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵摩擦力的方向與斜面平行．摩擦力與重力方向的夾角，∴，∵重力的方向豎直向下，∴，∴，故選：C．45．（2025·河北邯鄲·一模）甲、乙、丙三家的位置如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏東方向C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏東方向【答案】D【分析】根據(jù)方向角的應(yīng)用，判定解答即可．本題考查了方向角的應(yīng)用，熟練掌握方向角是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.丙家在甲家南偏東方向，此選項(xiàng)不符合題意；B.甲家在丙家北偏西方向，此選項(xiàng)不符合題意；C.甲家在乙家北偏東方向，此選項(xiàng)不符合題意；

D.丙家在乙家北偏東方向，此選項(xiàng)符合題意；故選：D．題型10角的單位與角度制46．（24-25七年級上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）．【答案】【分析】本題考查了度、分之間的換算，掌握度、分、秒的換算關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，計(jì)算解答即可．【詳解】解：，故答案為：．47．（24-25七年級上·河北唐山·期末）若，，，則有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了角度的單位換算及大小比較，解題的關(guān)鍵是將不同單位表示的角度統(tǒng)一單位后再比較．將的度數(shù)換算為度分形式，再統(tǒng)一與比較大?。驹斀狻拷猓海?，即，又，，，故選：A．48．（24-25七年級上·江西贛州·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查度分秒之間的計(jì)算．依據(jù)度分秒的換算即可得到結(jié)果．【詳解】解：．49．（24-25七年級上·四川瀘州·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了角度的加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握度，分單位的換算，先分別計(jì)算度與度，分與分的和，再對分進(jìn)行進(jìn)位處理．將度與度，分與分分別相加，再對分進(jìn)行進(jìn)位換算．【詳解】計(jì)算分的和：，因?yàn)?，所以，?jì)算度的和：，再加上分進(jìn)位的，得到，最終結(jié)果為，故答案為：．50．（24-25七年級上·河北邯鄲·期中）已知，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．以上均不正確【答案】B【分析】本題考查了度分秒的換算，小單位化大單位除以進(jìn)率是解題關(guān)鍵．根據(jù)小單位化大單位除以進(jìn)率，由，可得答案．【詳解】解：，，，，，．故選B．題型11角的度數(shù)大小比較51．（2025·湖南張家界·二模）已知，，則（填“”，“”或“”）．【答案】【分析】本題主要考查了度分秒的換算，首先根據(jù)把化成，再比較和的大小即可．【詳解】解：，．故答案為：．52．（24-25七年級上·甘肅蘭州·期末）已知，，則和的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法判斷【答案】C【分析】本題考查角的大小比較，將化成后，再進(jìn)行比較即可．【詳解】解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故選：C．53．（24-25七年級上·陜西安康·期末）比較大小：．（填“”“”或“”）【答案】【分析】本題考查了角度的大小比較，角度值的換算，根據(jù)可得，即可求解．【詳解】解：故答案為：．54．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）已知則的大小關(guān)系是．【答案】【分析】本題主要考查了度分秒的換算和角的大小比較，先統(tǒng)一單位，，，再比較大小即可求解．【詳解】解：，因?yàn)?，所以．故答案為：?5．（24-25七年級上·山西太原·階段練習(xí)）如圖，的度數(shù)可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角的度量與計(jì)算．根據(jù)量角器可得約為，約為，然后根據(jù)即可得．【詳解】解：由圖可知，約為，約為，則的度數(shù)可能為，故選：C．題型12三角板中角度計(jì)算問題56．（24-25六年級下·山東煙臺·期中）如圖所示，將一副三角板的直角頂點(diǎn)O重合疊放在一起．(1)如圖1若，則；若，則；(2)如圖2若，則；(3)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖1說明理由．【答案】(1)，(2)(3)，見解析【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算,三角板中的角度計(jì)算.（1）根據(jù)可求得，根據(jù)可求得；（2）根據(jù)計(jì)算可得；（3）根據(jù)，即可求得．【詳解】（1）∵，，，∴，∵，∴；（2）∵，∴；（3），理由如下，∵，∴．57．（24-25七年級下·海南省直轄縣級單位·期中）綜合與實(shí)踐學(xué)習(xí)完《平行線的證明》，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，李凱和張芳將一副透明三角板中的兩個直角三角尺的直角頂點(diǎn)按如圖所示的方式疊放在一起，其中，，．(1)操作判斷若，則______；若，則______；(2)性質(zhì)探究由（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；【答案】(1)，(2)，證明見解析【分析】本題考查了疊放三角板中的角的計(jì)算．熟練掌握三角板性質(zhì)，余角補(bǔ)角定義和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，平行線性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)求出，進(jìn)而可得、的度數(shù)；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可提出猜想，再由，論證即可；【詳解】（1）解：∵，∴，若，則；若，則．故答案為：，．（2）解：．證明如下：∵，∴．58．（24-25七年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）如圖所示，把一副三角板疊放在一起，則【答案】15【分析】本題考查與三角板有關(guān)的角度計(jì)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．由即可求解．【詳解】解：由題意得，，故答案為：15．59．（24-25八年級上·廣東惠州·期中）如圖，將一個三角板角的頂點(diǎn)與另一個三角板的直角頂點(diǎn)重合，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角的計(jì)算，根據(jù)，求出的度數(shù)，再根據(jù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選：C．60．（24-25七年級上·吉林·期末）如圖，將一個直角三角板的角的頂點(diǎn)與另一個直角三角板的直角頂點(diǎn)重合若，則．【答案】【分析】本題考查了三角板中的角度計(jì)算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，，可得的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴．故答案為：題型13幾何圖形中角度計(jì)算問題61．（24-25七年級下·安徽合肥·期末）已知，，以O(shè)為頂點(diǎn)作射線，使，若設(shè)，則的值有可能為：①；②；③；④．以上結(jié)論中正確的個數(shù)是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，根據(jù)題意，分情況討論射線和的位置，計(jì)算出的可能值即可．【詳解】解：∵，，，∴，，如圖，分四種情況進(jìn)行討論：由圖可知：；；；；綜上：正確的個數(shù)是4個；故選A．62．（24-25七年級下·安徽淮北·期末）如圖，直線相交于點(diǎn)，，平分，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了幾何圖形的角度運(yùn)算，與角平分線有關(guān)的運(yùn)算，先由平角得，平分，得，因?yàn)椋瑒t，再進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，故選：B63．（24-25七年級下·福建廈門·期中）如圖，直線相交于點(diǎn)O，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，垂直得到，平角的定義求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴；故選C．64．（2025·河南平頂山·二模）如圖，已知直線相交于點(diǎn)平分，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)角平分線平分角，求出的度數(shù)，再利用平角的定義，求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵平分，，∴，∴；故選C．65．（24-25七年級下·云南昭通·期中）如圖，已知，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】