第二十一章二次根式重難點檢測卷（滿分120分，考試時間120分鐘，共23題）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；4.測試范圍：九年級上冊第二十一章；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（24-25九年級上·四川宜賓·階段練習）化簡得（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，將分解為平方數(shù)乘積形式，利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：，故選：B2．（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）下列整數(shù)能使為最簡二次根式，則可以是（

）A．5 B． C． D．8【答案】D【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，被開方數(shù)不含分母且不含能開方的平方因數(shù)．逐一驗證選項，排除不符合條件的情況．【詳解】選項A：當時，，被開方數(shù)為負數(shù)，無意義，排除．選項B：當時，，結(jié)果為整數(shù)，不符合最簡二次根式的定義，排除．選項C：當時，，結(jié)果為整數(shù)，不符合最簡二次根式的定義，排除．選項D：當時，，符合最簡二次根式的定義．故選D．3．（24-25九年級上·四川攀枝花·期末）把根號外的因式移入根號內(nèi)，結(jié)果（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可得，所以移入括號內(nèi)為進行計算即可.【詳解】根據(jù)根式的性質(zhì)可得，所以因此故選B.【點睛】本題主要考查根式的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求a的取值范圍.4．（24-25九年級上·河南周口·階段練習）要使代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A．且 B． C．且 D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)，分式分母不為零．根據(jù)二次根式有意義的條件可得，根據(jù)分式有意義的條件可得，即可求解．【詳解】解：由題意得：，且，解得：，且．故選：A．5．（24-25九年級上·四川遂寧·期中）已知，若是整數(shù)，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，要使得為整數(shù)，需通過二次根式的乘法運算，根據(jù)運算結(jié)果驗證各選項是否滿足條件即可.【詳解】解：取，，因此，，滿足條件。當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；綜上，僅選項C滿足條件，故選C6．（24-25九年級上·四川簡陽·階段練習）已知，則的值是（）A．6 B． C．3 D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的運算，代數(shù)式求值，理解二次根式的運算法則是解答關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的運算法則先進行化簡，再將代入求解．【詳解】解：，，，，，．故選：B．7．（24-25九年級上·四川資陽·期末）如圖是一個程序框圖，若輸入，則輸出y的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的混合運算，根據(jù)程序?qū)懗龃鷶?shù)式，再代入計算解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，．故選：B．8．（24-25九年級上·重慶·期中）對代數(shù)式M定義新運算：．對于若干個數(shù)，先將任意兩個數(shù)求和，再將這些和分別進行新運算，最后再將新運算的結(jié)果求和，稱此為“新運算操作”．例如，對1，2，3進行“新運算操作”，得以下結(jié)論正確的有（

）①若，則；②在實數(shù)范圍內(nèi)存在x，使得進行“新運算操作”的結(jié)果為8；③a，b，c的“新運算操作”化簡結(jié)果可能存在的不同表達式共有6種．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】此題考查了新定義實數(shù)運算、二次根式的化簡等知識．根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡逐項進行解答判斷即可．【詳解】解：①∵，∴，∴或，解得或，故①錯誤；②進行“新運算操作”得到，∵在實數(shù)范圍內(nèi)存在x，使得進行“新運算操作”的結(jié)果為8；∴，則，∵在數(shù)軸上和的距離為8，∴在數(shù)軸上找不到一個數(shù)，使得到和的距離之和為6，∴無解，故②錯誤，a，b，c的“新運算操作”結(jié)果為，當，，時，原式；當，，時，原式；當，，時，原式；當，，時，原式；當，，時，原式；當，，時，原式；當，，時，原式；當，，時，原式；根據(jù)a，b，c的取值范圍，化簡結(jié)果可能存在的不同表達式共有8種．故③錯誤，故選：A9．（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）將1，，，按圖中所示的方式排列，若規(guī)定表示第排從左到右第個數(shù)，則與表示的兩數(shù)的積是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的乘法，數(shù)字類規(guī)律探究；首先從排列圖中可知：第1排有1個數(shù)，第2排有2個數(shù)，第3排有3個數(shù)，然后抽象出第4排第2個數(shù)，第15排第1個數(shù)，然后可以得到答案．【詳解】解：表示的數(shù)字是，表示第個數(shù)，∵∴表示∴，故選：C．10．（25-26九年級上·四川遂寧·階段練習）古希臘數(shù)學家海倫和我國宋代數(shù)學家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫-秦九韶公式．公式大意：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個三角形的面積．如圖，在中，，則的面積為（

）A． B． C．18 D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的應用，二次根式的化簡，利用閱讀材料，先計算出p的值，然后根據(jù)海倫公式計算的面積．【詳解】解：∵，，，∴，∴的面積；故選：A．第II卷（非選擇題）二、填空題（5小題，每小題3分，共15分）11．（2025·四川宜賓·模擬預測）比較大?。海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查比較二次根式的大小，熟知二次根式的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．先把根號外邊的數(shù)移到根號里面，再比較被開方數(shù)的大小即可．【詳解】解：，，，，即故答案為：．12．（25-26九年級上·四川遂寧·隨堂練習）化簡：．【答案】1【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，化簡二次根式；先根據(jù)二次根式有意義的條件求出，再利用二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件可知，∴，∴，∴，故答案為：．13．（24-25九年級上·福建廈門·期中）化簡的結(jié)果是，化簡的結(jié)果是．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式化簡的步驟．利用二次根式化簡的步驟進行化簡即可．【詳解】解：；；故答案為：，．14．（24-25九年級上·四川眉山·期中）利用平方與開平方互為逆運算的關(guān)系，可以將某些無理數(shù)進行如下操作：例如：時，移項得，兩邊平方得，所以，即得到整系數(shù)方程：．仿照上述操作方法，若，計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，代數(shù)式求值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知可得，然后利用完全平方公式得到的整系數(shù)方程為：，可得，然后代入式子中進行計算即可解答．【詳解】解：∵，∴∴，∴，∴得到的整系數(shù)方程為：，∴，∴故答案為：．15．（24-25九年級上·湖南衡陽·期中）如圖，座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其計算公式為，其中表示周期（單位：），表示擺針的擺長（單位：），．若一臺座鐘的擺針的擺長為，則該座鐘擺針擺動的周期為．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的應用，根據(jù)公式計算即可；【詳解】解：∵，∴故答案為：．三、解答題（8小題，共75分）16．（25-26九年級上·四川遂寧·課后作業(yè)）計算：(1)．(2)．【答案】(1)1(2)【詳解】本題考查了二次根式的混合運算，二次根式的乘法，除法，正確處理運算順序和根式的約分是解題的關(guān)鍵．（1）首先將帶分數(shù)轉(zhuǎn)換為假分數(shù)，然后利用根式的乘除法則進行化簡；（2）先化簡各根式，再按運算順序逐步計算即可．解：（1）原式．（2）原式．17．（24-25九年級上·廣西桂林·階段練習）根據(jù)下列條件求代數(shù)式的值；（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】分別把、、的值代入，再化簡二次根式，然后約分即可求得答案．【詳解】解：（1）當時原式；（2）當時，原式．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．18．（24-25九年級上·四川遂寧·階段練習）若最簡二次根式與是同類二次根式．求m2+n2的值．【答案】11【分析】根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義求得m2、n2，再代入求值即可；【詳解】解：由題意得：，，，，，時，兩個二次根式分別為和，符合題意，∴m2+n2＝8+3＝11；【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式；同類二次根式：把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．19．（2025九年級上·四川宜賓·專題練習）當時，求a+a2(1)的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；(3)當時，求a2?6a+9【答案】(1)小亮(2)(3)【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求出答案；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求出答案；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)進行化簡即可求出答案．【詳解】（1）解：小亮的解法中：1?a2當時，1?a=a?1，∴小亮的解法是錯誤的；故答案為：小亮.（2）解：由（1）知，錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；故答案為：.（3）解：∵，∴，，∴原式===a?3?=a?3?a+1．20．（24-25九年級上·四川樂山·期末）如圖，數(shù)軸上右邊兩個邊長為1的小正方形可以通過拆分拼接成左邊一個大正方形．(1)這個大正方形的邊長為______；(2)作圖：在如圖數(shù)軸上作出實數(shù)“”對應的點P（要求保留作圖痕跡）；(3)在（2）的基礎(chǔ)上，在答題卷備用圖數(shù)軸上通過尺規(guī)作圖來判斷是正數(shù)還是負數(shù)？【答案】(1)(2)見解析(3)是正數(shù)，見解析【分析】本題考查勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，二次根式的乘法，掌握數(shù)軸表示數(shù)的方法是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求出邊長為1的正方形的對角線的長；（2）根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法以及尺規(guī)作圖的方法進行解答即可；（3）在（2）的基礎(chǔ)上截取，再觀察點Q與數(shù)軸表示3的點的位置關(guān)系進行解答即可．【詳解】（1）解：∵大正方形的邊長恰好是邊長為1的正方形的對角線，∴大正方形的邊長為，故答案為：；（2）解：如圖，設原點為O，以點O為圓心，以為半徑畫弧交數(shù)軸的正半軸于點P，即則點P所表示的數(shù)是；（3）解：是正數(shù)，作圖驗證如下：如圖，由（2）可得，再在點P的右側(cè)的數(shù)軸上截取則，此時點Q在數(shù)軸上表示3的點的左側(cè)，即，∴即是正數(shù)，21．（24-25九年級上·重慶·階段練習）請閱讀下列材料：已知，求代數(shù)式的值．小熙根據(jù)二次根式的性質(zhì)：，聯(lián)想到了如下解法：由得，則，即，∴．把作為整體，得：．請運用上述方法解決下列問題：(1)已知，求代數(shù)式的值；(2)已知，求代數(shù)式的值．【答案】(1)2(2)2025【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用、二次根式的乘法、整體思想等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（1）按照例題的方法解答即可；（2）由得，將其兩邊平方并利用完全平方公式展開，得到；將整體代入計算即可．【詳解】（1）解：由得，則，∴，∴．（2）解：由得，則，∴，∴．22．（24-25九年級上·四川巴中·階段練習）小明在解決問題，已知，求的值，他是這樣分析與解答的：∵．∴∴，即∴∴．請你根據(jù)小明分析過程的思想方法，解決如下問題：(1)分母有理化：______，(2)計算：；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)9(3)9【分析】本題考查的是分母有理化，構(gòu)建整體代入求解代數(shù)式的值，熟練運算方法是解題的關(guān)鍵.（1）分子與分母都乘以，再利用平方差公式計算即可得到答案；（2）先把每一項都分母有理化，再合并同類二次根式即可得到答案；（3）先求解，再變形可得：，再整體代入即可得到答案.【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵，∴，∴，即．∴，∴．23．（24-25九年級上·陜西漢中·期中）如圖，正方形的面積為50，正方形的面積為242．