第21章二次根式知識(shí)點(diǎn)一、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.特別說明：①二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時(shí)，式子才是二次根式，才有意義.②次根式：形如的代數(shù)式叫做次根式，其中若為偶數(shù)，則必須滿足．2.二次根式的性質(zhì)特別說明：①一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.②中的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論取何值，一定有意義.③化簡時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡.④與的異同不同點(diǎn)：中可以取任何實(shí)數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；=，=（）.相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時(shí)，=.3.最簡二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2）被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.特別說明：最簡二次根式有兩個(gè)要求：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.?化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：（1）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡。（2）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。4.同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.特別說明：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的運(yùn)算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：特別說明：①當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如.②被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）.如.（2）．乘法公式的推廣：①；②；③．（3）．二次根式的分母有理化定義：在二次根式中，將無理數(shù)的分母化為有理數(shù)的過程．方法：分子分母同時(shí)乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母變?yōu)橛欣頂?shù)的因式）．①單項(xiàng)根式的分母有理化，同乘以分母本身．例：．②兩項(xiàng)根式的分母有理化，同乘以使分母構(gòu)成平方差公式的因式．例：．2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.特別說明：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.3.混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的（或先去括號(hào)）。?二次根式比較大小的方法（1）平方法：若兩個(gè)二次根式同號(hào)，則可先將兩個(gè)二次根式分別平方，再根據(jù)比較實(shí)數(shù)大小的方法比較即可。如當(dāng)時(shí)，若，則。（2）比較被開方數(shù)法：先把根號(hào)外的正因數(shù)平方后移到根號(hào)內(nèi)，計(jì)算出被開方數(shù)，再比較被開方數(shù)的大小，被開方數(shù)大的，其算術(shù)平方根也大。（3）作商法：同號(hào)兩數(shù)相除，比較商與1的大小，如當(dāng)都是正數(shù)時(shí)，①.若，則;②.若，則;③.若，則。（4）倒數(shù)法：若，則與互為倒數(shù)。因此比較大小時(shí)，可把轉(zhuǎn)化為，從而轉(zhuǎn)化為分母大小的比較，分母大的反而小。?估值估值通常在無理數(shù)中使用。一般采用夾逼法確定無理數(shù)所在的范圍，具體地說，先確定無理數(shù)的被開方數(shù)，找出與被開方數(shù)相鄰的兩個(gè)能開得盡方的整數(shù)，對其進(jìn)行開方，即可確定這個(gè)無理數(shù)在那兩個(gè)整數(shù)之間。4.二次根式的化簡求值（1）二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．（2）二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．【易錯(cuò)點(diǎn)一】混淆二次根式與算術(shù)平方根的概念問題：誤認(rèn)為所有帶根號(hào)的式子都是二次根式，或混淆與平方根的區(qū)別例題1：下列式子中，是二次根式的是（）

A.

B.

C.

D.答案與解析：

C（A中被開方數(shù)為負(fù)；B是立方根；D表示平方根含±）。例題2：若的算術(shù)平方根是3，則______。答案與解析：，得出，注意算術(shù)平方根的非負(fù)性）。【易錯(cuò)點(diǎn)二】忽略二次根式有意義的條件問題：未考慮被開方數(shù)必須非負(fù)（），導(dǎo)致自變量取值錯(cuò)誤例題1：函數(shù)的自變量范圍是（）

A.

B.且

C.

D.答案與解析：

B（需同時(shí)滿足且分母）。例題2：若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的最小整數(shù)值是______。答案與解析：，（由得出）。【易錯(cuò)點(diǎn)三】二次根式化簡時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤問題：化簡時(shí)未分類討論，直接寫成（正確應(yīng)為）例題1：化簡的結(jié)果是（）

A.

B.

C.

D.答案與解析：

B（）。例題2：若，則______。答案與解析：，（，原式）?！疽族e(cuò)點(diǎn)四】二次根式運(yùn)算中合并同類項(xiàng)錯(cuò)誤問題：誤將不同類二次根式（如與）直接合并例題1：計(jì)算的結(jié)果是（）

A.

B.

C.

D.答案與解析：

B（，合并為）。例題2：下列計(jì)算正確的是（）

A.

B.

C.

D.答案與解析：

C（，相減為；A、B、D均運(yùn)算錯(cuò)誤）?！疽族e(cuò)點(diǎn)五】分母有理化時(shí)漏乘或符號(hào)錯(cuò)誤問題：有理化時(shí)未對分子分母同乘共軛根式，或漏負(fù)號(hào)例題1：分母有理化后為（）

A.

B.

C.

D.答案與解析：

B（分子、分母同乘，得）。例題2：若，則______。答案與解析：（有理化得，代入后原式）?！疽族e(cuò)點(diǎn)六】混合運(yùn)算順序錯(cuò)誤問題：忽略"先乘除后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)"的規(guī)則例題1：計(jì)算：錯(cuò)誤做法：

正確解析：

先算乘法：，再算加法：。例題2：計(jì)算：錯(cuò)誤做法：

正確解析：

先算括號(hào)：，再算除法：，最后加法：?！疽族e(cuò)點(diǎn)七】比較大小方法不當(dāng)問題：未通過平方、倒數(shù)或作差法科學(xué)比較例題1：比較與的大小。錯(cuò)誤做法：直接估算得錯(cuò)誤結(jié)論。

正確解析：

取倒數(shù)：，

∵，∴。例題2：比較與的大小。解析：

平方：，，∵，∴?！疽族e(cuò)點(diǎn)八】求字母范圍忽略隱含條件問題：在復(fù)合根式中遺漏多個(gè)約束條件例題1：代數(shù)式有意義的范圍是______。解析：

需同時(shí)滿足：解得，解得，解得（在內(nèi)自動(dòng)滿足），

∴。例題2：函數(shù)的取值范圍是______。解析：

需滿足：解得，解得，

∴?！疽族e(cuò)點(diǎn)九】性質(zhì)應(yīng)用忽略條件問題：錯(cuò)誤應(yīng)用或（忽略的條件）例題1：化簡。錯(cuò)誤做法：（無意義）。

正確解析：

直接計(jì)算：（性質(zhì)要求被開方數(shù)非負(fù)）。例題2：計(jì)算。解析：

∵，∴（不可拆為）?！疽族e(cuò)點(diǎn)十】解方程時(shí)忽略檢驗(yàn)問題：解含根式方程時(shí)未檢驗(yàn)增根或忽略自變量取值例題1：解方程：錯(cuò)誤做法：平方后得或，未檢驗(yàn)。

正確解析：

檢驗(yàn)：時(shí)，左邊，右邊（舍）；時(shí)，左邊，右邊（成立）。例題2：解方程：解析：

移項(xiàng)平方得，檢驗(yàn)：左邊，右邊（成立）?！竞诵囊c(diǎn)總結(jié)】解決二次根式問題需緊扣三大核心：①自變量取值優(yōu)先始終牢記被開方數(shù)必須≥0，這是二次根式存在的前提條件。②性質(zhì)條件嚴(yán)審應(yīng)用公式時(shí)，必須檢查公式成立的前提條件（如a≥0,b>0等）。③運(yùn)算規(guī)范嚴(yán)格遵守運(yùn)算順序，正確合并同類項(xiàng)，合理使用分母有理化。通過例題對比強(qiáng)化易錯(cuò)點(diǎn)辨析，養(yǎng)成檢驗(yàn)習(xí)慣，避免概念混淆與步驟跳步。重難點(diǎn)01二次根式的定義（1）二次根式的定義：形如的式子.（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0.一．二次根式的定義【典例1】下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的定義，一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵，∴，∴一定是二次根式，而、和中的被開方數(shù)均不能保證大于等于0，故不一定是二次根式，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【典例2】定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿足ab＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛（è）二次根式．問題解決：（1）若a與2是關(guān)于6的共軛二次根式，則a＝；（2）若4+與8﹣m是關(guān)于26的共軛二次根式，求m的值．【分析】（1）根據(jù)共軛二次根式的定義列等式可得a的值；（2）根據(jù)共軛二次根式的定義列等式可得m的值．【解答】解：（1）∵a與2是關(guān)于6的共軛二次根式，∴2a＝6，∴a＝＝，故答案為：；（2）∵4+與8﹣m是關(guān)于26的共軛二次根式，∴（4+）（8﹣m）＝26，∴8﹣m＝＝＝8﹣2，∴m＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義共軛二次根式的理解和應(yīng)用，并會(huì)用二次根據(jù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【典例3】已知是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值為（）A．0 B．6 C．3 D．2【分析】先分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)是一個(gè)正整數(shù)和a為正整數(shù)得出答案即可．【解答】解：∵是一個(gè)正整數(shù)，又∵72＝62×2，a為正整數(shù)，∴正整數(shù)a的最小值為2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的定義，能正確分解質(zhì)因數(shù)是解此題的關(guān)鍵．二次根式有意義的條件【典例1】若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x﹣2≥0，再解即可．【解答】解：二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x﹣2≥0，解得x≥2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【典例2】如果y＝，則2x+y的值是5或﹣3．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求出x的值，再求出y，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：由題意得，x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，∴x2＝4，解得x＝±2，y＝1，∴2x+y＝2×2+1＝4+1＝5，或2x+y＝2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3，綜上所述，2x+y的值是5或﹣3．故答案為：5或﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【典例3】使等式成立的條件時(shí)﹣3≤x＜2．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件解決此題．【解答】解：由題意得：x+3≥0且2﹣x＞0．∴x≥﹣3且x＜2．∴﹣3≤x＜2．故答案為：﹣3≤x＜2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式有意義條件、分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件、分式有意義的條件是解決本題的關(guān)鍵．【典例4】已知實(shí)數(shù)x，y，a，b滿足+＝×．求a+b的值及7x﹣y2023的值．【分析】化簡×，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得出a+b的值；由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，解二元一次方程組可得x，y的值，將x，y的值代入7x﹣y2023即可得出答案．【解答】解：∵×＝＝，∴2022﹣（a+b）＝0，∴a+b＝2022．∵+＝×，∴+＝0，∴，①×2，得6x﹣2y﹣14＝0③，③﹣②，得5x﹣10＝0，解得x＝2，將x＝2代入①，得6﹣y﹣7＝0，解得y＝﹣1，將x＝2，y＝﹣1，代入7x﹣y2023，得7×2﹣（﹣1）2023＝14﹣（﹣1）＝14+1＝15．∴7x﹣y2023＝15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的乘法、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、二次根式有意義的條件以及解二元一次方程組，熟練掌握二次根式的乘法以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答本題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)02二次根式的性質(zhì)與化簡【典例1】化簡二次根式的結(jié)果為（）A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a【分析】先判斷a的正負(fù)，再化簡二次根式．【解答】解：∵﹣8a3≥0，∴a≤0∴＝2|a|＝﹣2a故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡，此題容易忘記判斷a的正負(fù)而出錯(cuò)．【典例2】若，則（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3【分析】等式左邊為算術(shù)平方根，結(jié)果為非負(fù)數(shù)，即3﹣b≥0．【解答】解：∵＝3﹣b，∴3﹣b≥0，解得b≤3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】解答此題，要弄清以下問題：1、定義：一般地，形如（a≥0）的代數(shù)式叫做二次根式．當(dāng)a＞0時(shí)，表示a的算術(shù)平方根；當(dāng)a＝0時(shí)，＝0；當(dāng)a小于0時(shí)，二次根式無意義．2、性質(zhì)：＝|a|．【典例3】已知≈1.414，則的近似值為2.83（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．【分析】化簡的值即可得出答案．【解答】解：＝2≈2.83，故答案為：2.83．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握＝?（a≥0，b≥0）是解題的關(guān)鍵．【典例4】化簡：______，______．【答案】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡求解即可．【詳解】解：，，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，會(huì)利用二次根式的性質(zhì)正確化簡是解答的關(guān)鍵．【典例5】已知的算術(shù)平方根是，且,則的平方根是_______.【答案】±5【解析】根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根的定義可得方程=0,從而求得x,y的值，代入可得答案．解：根據(jù)二次根式的意義，=0，則a=0由題意，得

，

解得x=9，y=1．

∴3x-2y=25，

∴3x-2y的平方根是±=±5．故答案為±5.【點(diǎn)評(píng)】利用二次根式的性質(zhì)化簡二次根式，即=，同時(shí)聯(lián)系絕對值的意義正確解答.【典例6】三邊分別為、、，為斜邊，則代數(shù)式的化簡結(jié)果為．【分析】將代數(shù)式化簡為，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【解答】解：三邊分別為、、，為斜邊，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，根據(jù)勾股定理和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡是解題關(guān)鍵．重難點(diǎn)03最簡二次根式滿足以下兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡二次根式：=1\*GB3①一般地，被開方數(shù)不含分母，即被開方數(shù)是整數(shù)或整式；②被開方數(shù)中不含有能開方的因數(shù)或因式．【典例1】下列各式中是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．的被開方數(shù)中含有能開方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足以下兩個(gè)條件的二次根式是最簡二次根式，①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．【典例2】化簡成最簡二次根式：；．【分析】直接根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式，故答案為：；（2）原式．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是二次根式，掌握其性質(zhì)概念是解決此題關(guān)鍵．【典例3】二次根式中最簡二次根式是______．【答案】、、【解答】解：第一個(gè)根式不是最簡二次根式，因?yàn)楸婚_方數(shù)的因式不是整數(shù)，第二個(gè)根式不是最簡二次根式，因?yàn)楸婚_方數(shù)含有開的盡方的因數(shù)，第三個(gè)根式為最簡二次根式，第四個(gè)根式為最簡二次根式，第五個(gè)根式不是最簡二次根式，因?yàn)楸婚_方數(shù)含有開的盡方的因數(shù)和因式，第六個(gè)根式為最簡二次根式，故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡二次根式的定義.最簡二次根式要滿足：（1）被開方數(shù)是整數(shù)或是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開方的因式或因數(shù).【典例4】將式子化為最簡二次根式．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由題意可知：，，原式故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．重難點(diǎn)04二次根式的乘除法（1）二次根式的乘法：（2）二次根式的除法：【典例1】計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的乘除運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．【典例2】計(jì)算×的結(jié)果是2．【分析】利用二次根式的乘法公式，直接計(jì)算即可．【解答】解：原式＝＝＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘法，題目比較簡單，掌握×＝是解決本題的關(guān)鍵．【典例3】計(jì)算的結(jié)果正確的是A．1 B．2.5 C．5 D．6【分析】先化簡原式，再運(yùn)算即可求解．【解答】解：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例4】已知，那么的值是4．【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算以及完全平方公式即可求出答案．【解答】解：，，，，故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【典例5】已知：，．求下列各式的值．（1）xy；（2）x2﹣xy+y2．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式的加法法則求出x+y的值，先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再代入，最后根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵x＝+，y＝﹣，∴xy＝（+）×（﹣）＝（）2﹣（）2＝7﹣5＝2；（2）∵x＝+，y＝﹣，∴x+y＝（+）+（﹣）＝2，∵xy＝2，∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝（2）2﹣3×2＝28﹣6＝22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡求值和完全平方公式，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)05商的算術(shù)平方根與分母有理化（1）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（2）分母有理化：，分子分母所乘的式子叫做分母的有理化因式?！镜淅?】化簡：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）÷．【分析】（1）直接進(jìn)行化簡即可；（2）直接進(jìn)行化簡即可；（3）先進(jìn)行加法運(yùn)算，然后進(jìn)行化簡即可；（4）先計(jì)算根號(hào)下的數(shù)值，然后進(jìn)行化簡即可；（5）先計(jì)算根號(hào)下的數(shù)值，然后進(jìn)行化簡即可；（6）先進(jìn)行除法運(yùn)算，然后進(jìn)行化簡；（7）先進(jìn)行除法運(yùn)算，然后進(jìn)行化簡．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝＝；（4）原式＝＝；（5）原式＝＝；（6）原式＝＝2；（7）原式＝＝3．【典例2】若M，N分別代表兩個(gè)多項(xiàng)式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab．（1）求多項(xiàng)式M和N．（2）當(dāng)a＝+1，b＝﹣1時(shí)，求分式的值．【分析】（1）將已知兩個(gè)等式聯(lián)立方程組，解之可得M、N；（2）先將所求M、N表示的多項(xiàng)式代入化簡，再將a、b的值代入計(jì)算可得．【解答】解：（1）將M+N＝2a2，M﹣N＝2ab組成方程組，得，①+②，得2M＝2a2+2ab，所以M＝a2+ab，①﹣②，得2N＝2a2﹣2ab，所以N＝a2﹣ab．（2）＝＝＝，當(dāng)a＝+1，b＝﹣1時(shí)，＝＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，以及分式的值，解題的關(guān)鍵是掌握整式、分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及二次根式的運(yùn)輸能力．【典例3】已知a＝，b＝2+，則a，b的關(guān)系是（）A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式【分析】求出a與b的值即可求出答案．【解答】解：∵a＝＝+2，b＝2+，∴a＝b，故選：A．【典例4】下列二次根式中，與互為有理化因式的是（）A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)有理化因式的定義得出答案．【解答】解：∵，∴二次根式的有理化因式是：．故選：A．【典例5】閱讀下列材料，然后解答問題：在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如：，，一樣的式子．其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：＝＝：（一）＝＝：（二）＝＝＝：（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：＝＝＝＝．（四）請解答下列問題：（1）請用不同的方法化簡．①參照（三）式得＝﹣；②參照（四）式得＝＝＝﹣；（2）化簡：++；（保留過程）（3）猜想：+++…+的值．（直接寫出結(jié)論）【分析】根據(jù)分母有理化，可得答案．【解答】解：（1）結(jié)果為﹣；②參照（四）式得＝＝＝﹣；（2）化簡：++＝﹣1+﹣+﹣＝﹣1；（3）猜想：+++…+＝（﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化，利用平方差公式是解題關(guān)鍵．【典例6】【閱讀材料】對于一些特殊類型的根式，我們有一些常用的化簡計(jì)算方法．如：，這是利用平方差公式進(jìn)行化簡運(yùn)算的思路．除此之外，我們還可以用“平方之后再開方”的方式來化簡，即運(yùn)用性質(zhì)＝|a|．如：對于，設(shè)．由，可知x＞0．由，解得．即．【學(xué)以致用】請你根據(jù)以上介紹的方法，化簡．【分析】利用題干材料的方法解答即可．【解答】解：設(shè)x＝，∵，∴x＜0．∵x2＝＝6﹣3+6+3﹣2＝6，∴x＝﹣．原式＝﹣＝5﹣2﹣＝5﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分母有理化，二次根式的性質(zhì)與化簡，實(shí)數(shù)大小的比較，乘法公式，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用題干中方法是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)06同類二次根式同類二次根式的概念：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。【典例1】下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】判斷一個(gè)二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行，或直觀地觀察被開方數(shù)的每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)要先因式分解后再觀察．【解答】解：A、＝2，與不是同類二次根式；B、與不是同類二次根式；C、與是同類二次根式，正確；D、與不是同類二次根式；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡二次根式的定義．在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．【典例2】已知最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值為（）A．16 B．0 C．2 D．不確定【分析】先把化簡為3，再利用最簡二次根式的定義和同類二次根式的定義得到a+2＝2，從而得到a的值．【解答】解：∵＝3，而最簡二次根式與是同類二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故選：B．【典例3】若最簡根式與是同類二次根式，則m＝2．【分析】根據(jù)同類根式及最簡二次根式的定義列方程求解．【解答】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴﹣2m+9＝5m﹣5，解得m＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是同類二次根式與最簡二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．重難點(diǎn)06二次根式的加減法（1）二次根式的加減運(yùn)算法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。（2）具體步驟：①若式子有括號(hào)，按照去括號(hào)的方法去括號(hào)。②對二次根式進(jìn)行化簡。③合并同類二次根式?！镜淅?】如果與的和等于3，那么a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：∵與＝2的和等于3，∴＝3﹣2＝，故a+1＝3，則a＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【典例2】）計(jì)算下列各題；；（2）【答案】(1) (2)【分析】（1）先利用二次根式的性質(zhì)化簡各個(gè)根式，再合并同類二次根式即可求解；（2）先利用二次根式的性質(zhì)化簡各個(gè)根式，再合并同類二次根式即可求解．（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)及加減運(yùn)算，正確化簡各個(gè)二次根式是解答的關(guān)鍵．【典例3】計(jì)算：．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡各數(shù)，然后根據(jù)二次根式的加減法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法，正確地計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【典例4】計(jì)算：．【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案．【解答】解：原式＝2×2﹣3+4＝4﹣3+4＝5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的加減，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．【典例5】計(jì)算：（1）3﹣5+4；（2）﹣；（3）+﹣；（4）﹣（3+）．【分析】（1）直接利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（2）直接化簡二次根式，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（3）直接化簡二次根式，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（4）直接化簡二次根式，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）3﹣5+4＝2；（2）﹣＝﹣＝；（3）+﹣＝6+﹣＝+；（4）﹣（3+）＝×2﹣3×﹣＝﹣﹣＝﹣．重難點(diǎn)07二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算法則：同有理數(shù)的混合運(yùn)算法則相同，先去乘方，再算乘除，最后算加減。有括號(hào)的先算括號(hào)，先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)。若能用乘法公式計(jì)算的用乘法公式計(jì)算?！镜淅?】計(jì)算（1）；（2）．【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)以及二次根式的混合運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）原式＝（6﹣4）÷﹣+＝2÷﹣+＝2﹣+＝2﹣；（2）原式＝12+1﹣4﹣（12﹣18）＝12+1﹣4+6＝19﹣4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【典例2】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方．如3+2＝（1+）2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn．故a＝m2+2n2，b＝2mn，這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：28+16＝（4+2）2；（3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式展開，再得出a、b的值即可；（2）設(shè)a+＝（m+）2，根據(jù)完全平方公式求出（m+）2＝m2+3+2m，得出2m＝1，a＝m2+3，再求出答案即可；（3）根據(jù)完全平方公式求出（m+n）2＝m2+3n2+2mn，求出2mn＝4，a＝m2+3n2，求出mn＝2，根據(jù)m、n為正整數(shù)得出m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，再求出a即可．【解答】解：（1）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，又∵a+b＝（m+n）2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn，故答案為：m2+3n2，2mn；（2）設(shè)a+b＝（m+n）2，∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，∴2mn＝b，a＝m2+3n2，取n＝2，m＝4，則b＝16，a＝16+12＝28，故答案為：28，16，4，2；（3）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，∵a+4＝（m+n）2，∴2mn＝4，a＝m2+3n2，∴mn＝2，∵m、n都為正整數(shù)，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，當(dāng)m＝2，n＝1時(shí)，a＝22+3×12＝4+3＝7；當(dāng)m＝1，n＝2時(shí)，a＝12+3×22＝1+12＝13，所以a的值是7或13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和完全平方公式，能根據(jù)完全平方公式展開是解此題的關(guān)鍵．【典例3】計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式的加法和減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)平方差公式和二次根式四則混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1），＝，＝1；（2），＝，＝；（3），＝，＝．重難點(diǎn)08二次根式的化簡求值（1）二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．（2）二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．【典例1】已知，，求．【分析】利用二次根式的性質(zhì)將a，b的值化簡，求得a+b，ab的值，再利用整體代入的方法解答即可．【解答】解：∵a＝＝＝4，b＝＝＝4﹣，∴a+b＝8，ab＝（4+）（4﹣）＝16﹣15＝1．∴原式＝＝＝＝62．【典例2】先化簡，再求值：a+，其中a＝2020．如圖是小亮和小芳的解答過程．（1）小亮的解法是錯(cuò)誤的；錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：＝|a|；（2）先化簡，再求值：a+2，其中a＝﹣2．【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷即可；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)把原式化簡，把a(bǔ)＝﹣2代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）小亮的解法是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：＝|a|，故答案為：小亮；＝|a|；（2）原式＝a+2＝a+2|a﹣3|，∵a＝﹣2＜3，∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的性質(zhì)：＝|a|是解題的關(guān)鍵．【典例3】已知a＝，b＝．求：（1）a2b﹣ab2的值；（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．【分析】先將a和b進(jìn)行化簡，然后代入各式中進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵a＝＝3+2，b＝＝3﹣2，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝（3+2）（3﹣2）（3+2﹣3+2）＝1×4＝4．（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015＝a（a2﹣5a﹣6）﹣b+2015＝（3+2）（9+8+12﹣15﹣10﹣6）﹣（3﹣2）+2015＝（3+2）（2﹣4）﹣（3﹣2）+2015＝6﹣12+8﹣8﹣3+2+2015＝2008．【典例4】先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個(gè)數(shù)、使，，這樣，，那么便有．例如：化簡．解：首先把化為，這里，；由于，，即，，．由上述例題的方法化簡：（1）．（2）．（3）．【分析】先把各題中的無理式變成

的形式，再根據(jù)范例分別求出各題中的a、b，即可求解．解：（1）．（2）．（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡．二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡是符合完全平方公式的特點(diǎn)的式子．【典例5】定義：我們將與稱為一對“對偶式”．因?yàn)椋梢杂行У娜サ舾?hào)，所以有一些題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決．例如：已知，求的值，可以這樣解答：因?yàn)?，所以．?）已知：，求：①＝2；②結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：；（2）代數(shù)式中x的取值范圍是2≤x≤10，最大值是4，最小值是2；（3）計(jì)算：．【分析】（1）①根據(jù)平方差公式可解答；②兩邊同時(shí)平方將根號(hào)化去，解方程并進(jìn)行檢驗(yàn)；（2）根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，列不等式組可得結(jié)論；（3）分別進(jìn)行分母有理化可解答．【解答】解：（1）①∵（+）×（﹣）＝（）2﹣（）2＝20﹣x﹣4+x＝16，且，∴﹣＝2；故答案為：2；②，＝8﹣，兩邊同時(shí)平方得：20﹣x＝64﹣16+4﹣x，＝3，兩邊同時(shí)平方得：4﹣x＝9，∴x＝﹣5，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝﹣5是原方程的解；（2）由題意得：，解得：2≤x≤10，當(dāng)x＝2時(shí)，＝＝2，當(dāng)x＝6時(shí)，＝2+2＝4，∴最大值是4，最小值是2；故答案為：2≤x≤10，4，2；（3）＝+++…+＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．【典例6】設(shè)，求不超過的最大整數(shù)______．【答案】【分析】首先將化簡，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．【詳解】解：，，不超過的最大整數(shù)．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式、二次根式的化簡，能正確化簡是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)08二次根式的應(yīng)用【典例1】如圖，長和寬分別是a，b的長方形紙片的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長為x的正方形．（1）用含a，b，x的代數(shù)式表示紙片剩余部分的面積；（2）當(dāng)a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面積．【分析】（1）用長方形的面積減去四周四個(gè)小正方形的面積列式即可；（2）根據(jù)（1）所列出的式子，再把a(bǔ)＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入即可求出答案．【解答】解：（1）剩余部分的面積為：ab﹣4x2；（2）把a(bǔ)＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入ab﹣4x2得：（20+2）（20﹣2）﹣4×（）2＝400﹣8﹣4×2＝400﹣8﹣8＝384．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查二次根式的應(yīng)用，用代數(shù)式表示正方形、矩形的面積，需熟記公式，且認(rèn)真觀察圖形，得出等量關(guān)系．【典例2】如圖，正方形ABCD的面積為8，正方形ECFG的面積為32．（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的邊長；（2）求陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式求得邊長；（2）先求出直角三角形BFG、ABD的面積，然后用兩個(gè)正方形的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積，這就是陰影部分的面積．【解答】解：（1）正方形ABCD的邊長為：BC＝，正方形ECFG的邊長為：CF＝；（2）∵BF＝BC+CF，BC＝2，CF＝4，∴BF＝6；∴S△BFG＝GF?BF＝24；又S△ABD＝AB?AD＝4，∴S陰影＝S正方形ABCD+S正方形ECFG﹣S△BFG﹣S△ABD＝8+32﹣24﹣4，＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，三角形的面積．第（2）題關(guān)鍵是把陰影部分面積轉(zhuǎn)化為正方形與三角形的面積進(jìn)行計(jì)算．【典例3】秦九韶（1208年﹣1268年），字道古，漢族，生于普州安岳（今四川省安岳縣）人，祖籍魯郡（今河南范縣）．南宋著名數(shù)學(xué)家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家．他精研星象、音律、算術(shù)、詩詞、弓劍、營造之學(xué)，是一位既重視理論又重視實(shí)踐，既善于繼承又勇于創(chuàng)新的世界著名數(shù)學(xué)家．他所提出的大衍求一術(shù)（中國剩余定理）和正負(fù)開方術(shù)及其名著《數(shù)書九章》，是中國數(shù)學(xué)史、乃至世界數(shù)學(xué)史上光彩奪目的一頁，對后世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了廣泛的影響．他寫的《數(shù)書九章》序堪稱一篇奇文．秦九韶的數(shù)學(xué)成果豐碩，其中關(guān)于三角形的面積公式與古希臘幾何學(xué)家海倫的成果統(tǒng)稱海倫﹣秦九韶公式．如果一個(gè)三角形的三邊長分別是a、b、c，記p＝，那么三角形的面積為：s＝．（1）在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，請用上面的公式計(jì)算△ABC的面積．（2）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E．求BE的長．【分析】（1）根據(jù)題目的指示，了解海倫﹣秦九昭公式，根據(jù)具體的數(shù)字先計(jì)算p的值，然后再代入公式，計(jì)算三角形的面積即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)的到ED＝EH＝EF，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海倫﹣秦九韶公式求得△ABC的面積．再根據(jù)，即可求DE，根據(jù)勾股定理求出BE．【解答】解：（1）p＝，∴；（2）如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AC，EH⊥AB，垂足為F，H．由角平分線的性質(zhì)可得：ED＝EH＝EF．在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海倫—秦九韶公式：求得p＝，△ABC的面積為：＝．S△ABC＝S△ABE+S△BEC+S△CAE，∴，即，；又∵AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足為D，∴，∴在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的應(yīng)用，也考察了勾股定理解直角三角形，以及等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟悉掌握海倫﹣秦九韶公式求三角形的面積．【典例4】閱讀理解：二次根式的除法，要化去分母中的根號(hào)，需將分子、分母同乘以一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩胃剑纾夯啠猓簩⒎肿印⒎帜竿艘缘茫海惐葢?yīng)用：（1）化簡：；（2）化簡：．拓展延伸：寬與長的比是的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形ABCD的寬AB=1．（1）黃金矩形ABCD的長BC=；（2）如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個(gè)以AB為邊的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②中，連結(jié)AE，則點(diǎn)D到線段AE的距離為．【答案】類比應(yīng)用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF為黃金矩形，理由見解析；（3）.【解析】解：類比應(yīng)用：（1）根據(jù)題意可得：=；（2）根據(jù)題意可得：====2；拓展延伸：（1）∵寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，若黃金矩形ABCD的寬AB=1，則黃金矩形ABCD的長BC===；（2）矩形DCEF為黃金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根據(jù)黃金矩形的性質(zhì)可得：AD=BC=，∴FD=EC=AD-AF==，∴=，故矩形DCEF為黃金矩形；（3）連接AE，DE，過D作DG⊥AE于點(diǎn)G，∵AB=EF=1，AD=，∴AE=，在△AED中，S△AED=，即，則，解得DG=，∴點(diǎn)D到線段AE的距離為.【典例5】閱讀下面材料并解決有關(guān)問題：（一）由于，所以，即，并且當(dāng)時(shí)，；對于兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)a，